Algebra bo'limi - Division algebra

Sohasida matematika deb nomlangan mavhum algebra, a bo'linish algebra taxminan, an maydon ustida algebra unda bo'linish, noldan tashqari, har doim ham mumkin.

Ta'riflar

Rasmiy ravishda biz a bilan boshlaymiz nolga teng emas algebra D. ustidan maydon. Biz qo'ng'iroq qilamiz D. a bo'linish algebra agar biron bir element uchun bo'lsa a yilda D. va nolga teng bo'lmagan har qanday element b yilda D. aniq bir element mavjud x yilda D. bilan a = bx va aniq bir element y yilda D. shu kabi a = yb.

Uchun assotsiativ algebralar, ta'rifi quyidagicha soddalashtirilishi mumkin: maydon ustidagi nolga teng bo'lmagan assotsiativ algebra a bo'linish algebra agar va faqat agar u multiplikativga ega hisobga olish elementi 1 va har bir nolga teng bo'lmagan element a multiplikativ teskari (ya'ni element) ega x bilan bolta = xa = 1).

Assotsiativ bo'linish algebralari

Assotsiativ bo'linish algebralarining eng taniqli namunalari cheklangan o'lchovli haqiqiylardir (ya'ni maydon ustidagi algebralar) R ning haqiqiy raqamlar sonli bo'lgano'lchovli kabi vektor maydoni reallar ustidan). The Frobenius teoremasi ta'kidlaydi qadar izomorfizm uchta algebra mavjud: reallarning o'zi (o'lchov 1), maydoni murakkab sonlar (o'lchov 2) va kvaternionlar (o'lchov 4).

Vedberbernning kichik teoremasi agar shunday bo'lsa D. u holda cheklangan bo'linish algebra hisoblanadi D. a cheklangan maydon.[1]

Ustidan algebraik yopiq maydon K (masalan murakkab sonlar C), cheklangan o'lchovli assotsiativ bo'linish algebralari mavjud, bundan mustasno K o'zi.[2]

Assotsiativ bo'linish algebralarida yo'q nol bo'luvchilar. A cheklangan o'lchovli yagona assotsiativ algebra (har qanday soha ustida) bo'linish algebrasi agar va faqat agar unda nolinchi bo'luvchi yo'q.

Har doim A assotsiativ hisoblanadi birlamchi algebra ustidan maydon F va S a oddiy modul ustida A, keyin endomorfizm halqasi ning S bo'linish algebrasi F; har bir assotsiativ bo'linma algebrasi tugadi F ushbu shaklda paydo bo'ladi.

The markaz algebra assotsiativ bo'linmasi D. maydon ustidan K o'z ichiga olgan maydon K. Bunday algebraning uning markazi ustidagi o'lchami, agar cheklangan bo'lsa, a mukammal kvadrat: u maksimal subfild o'lchamlari kvadratiga teng D. markaz orqali. Maydon berilgan F, Brauer ekvivalenti sodda sinflar (faqat ahamiyatsiz ikki tomonlama ideallarni o'z ichiga oladi) assotsiativ bo'linish algebralari, ularning markazi F va ular cheklangan o'lchovli F guruhga aylantirilishi mumkin Brauer guruhi maydonning F.

Ixtiyoriy maydonlar ustida chekli o'lchovli assotsiativ bo'linish algebralarini qurishning bir usuli kvaternion algebralari (Shuningdek qarang kvaternionlar ).

Cheksiz o'lchovli assotsiativ bo'linish algebralari uchun eng muhim holatlar bu makonning ba'zi bir oqilona xususiyatlariga ega bo'lishi topologiya. Masalan, qarang normalangan bo'linish algebralari va Banach algebralari.

Assotsiativ bo'linish algebralari shart emas

Agar bo'linish algebrasi assotsiativ deb qabul qilinmasa, odatda zaifroq holat (masalan.) muqobillik yoki kuch assotsiatsiyasi ) o'rniga o'rnatiladi. Qarang maydon ustida algebra bunday shartlar ro'yxati uchun.

Realsda (izomorfizmgacha) faqat ikkitasi mavjud kommutativ chekli o'lchovli algebralar: reallarning o'zi va murakkab sonlar. Bu, albatta, ikkala assotsiativ. Assotsiativ bo'lmagan misol uchun, ning sonini olish bilan aniqlangan kompleks sonlarni ko'rib chiqing murakkab konjugat odatdagi ko'paytma:

Bu bu reallar ustidagi 2-o'lchamdagi komutativ, assotsiativ bo'lmagan algebra va birlik elementiga ega emas. Boshqa izomorf bo'lmagan komutativ, assotsiativ bo'lmagan, cheklangan o'lchovli haqiqiy bo'linish algebralari juda ko'p, ammo ularning barchasi 2 o'lchovga ega.

Aslida, har bir cheklangan o'lchovli haqiqiy komutativ bo'linish algebrasi 1 yoki 2 o'lchovli. Bu sifatida tanilgan Hopf teoremasi va 1940 yilda isbotlangan. isboti dan usullaridan foydalaniladi topologiya. Garchi undan keyinroq dalil topilgan bo'lsa-da algebraik geometriya, to'g'ridan-to'g'ri algebraik isbot ma'lum emas. The algebraning asosiy teoremasi Hopf teoremasining xulosasi.

Kommutativlik talabini tashlab, Xopf o'z natijasini umumlashtirdi: har qanday sonli o'lchovli haqiqiy bo'linish algebrasi o'lchovi 2 ga teng bo'lishi kerak.

Keyinchalik ish shuni ko'rsatdiki, aslida har qanday sonli o'lchovli haqiqiy bo'linish algebrasi 1, 2, 4 yoki 8 o'lchovli bo'lishi kerak. Buni mustaqil ravishda isbotladi Mishel Kervayer va Jon Milnor usullarini qo'llagan holda 1958 yilda algebraik topologiya, jumladan K-nazariyasi. Adolf Xurvits shaxsiyat ekanligini 1898 yilda ko'rsatgan edi faqat 1, 2, 4 va 8 o'lchamlari uchun ushlab turilgan.[3] (Qarang Xurvits teoremasi.) Uch o'lchovli bo'linish algebrasini qurish muammosi bir nechta dastlabki matematiklar tomonidan hal qilindi. Kennet O. May 1966 yilda ushbu urinishlarni o'rganib chiqdi.[4]

Haqiqiy sonli o'lchovli algebra bo'yicha real har qanday haqiqiy bo'linish bo'lishi kerak

  • izomorfik R yoki C agar unitar va kommutativ bo'lsa (ekvivalent: assotsiativ va kommutativ)
  • kvaternionlar uchun izomorfik, agar noaniq, ammo assotsiativ bo'lsa
  • ga izomorf oktonionlar agar assotsiativ bo'lmagan bo'lsa muqobil.

Cheklangan o'lchovli algebra o'lchovi haqida quyidagilar ma'lum A maydon ustida K:

  • xira A = 1 agar K bu algebraik yopiq,
  • xira A = 1, 2, 4 yoki 8, agar bo'lsa K bu haqiqiy yopiq va
  • Agar K na algebraik, na haqiqiy yopiq emas, u holda cheksiz algebralar mavjud bo'lgan juda ko'p o'lchovlar mavjud K.

Shuningdek qarang

Izohlar

  1. ^ Lam (2001), p. 203
  2. ^ Kon (2003), Taklif 5.4.5, p. 150
  3. ^ Rojer Penrose (2005). Haqiqatga yo'l. Amp. ISBN  0-09-944068-7., s.202
  4. ^ Kennet O. May (1966) "Uch o'lchovli fazoda vektorlarning bo'linish algebrasining imkonsizligi", Amerika matematik oyligi 73(3): 289–91 doi: 10.2307/2315349

Adabiyotlar

Tashqi havolalar