Ikkita teginish to'plami - Double tangent bundle

Yilda matematika, ayniqsa differentsial topologiya, juft tangens to'plami yoki ikkinchi teginish to'plami ga ishora qiladi teginish to'plami (TTM,π_TTM,TM) umumiy maydonning TM ning teginish to'plami (TM,π_TM,M) a silliq manifold M.^[1] Notation haqida eslatma: ushbu maqolada biz ularning domenlari bo'yicha proektsion xaritalarni belgilaymiz, masalan. π_TTM : TTM → TM. Ba'zi mualliflar ushbu xaritalarni ularning diapazonlari bo'yicha indekslashadi, shuning uchun ular uchun ushbu xarita yoziladi π_TM.

Ikkinchi teginish to'plami o'rganishda paydo bo'ladi ulanishlar va ikkinchi darajali oddiy differentsial tenglamalar, ya'ni. (yarim) purkagich tuzilmalari silliq kollektorlarda va buni bilan adashtirmaslik kerak ikkinchi darajali reaktiv to'plam.

Ikkilamchi vektorli to'plam tuzilishi va kanonik burilish

Beri (TM,π_TM,M) o'z-o'zidan vektor to'plami, uning teginish to'plami esa ikkilamchi vektorli to'plam tuzilishi (TTM,(π_TM)_*,TM), qayerda (π_TM)_*:TTM→TM - kanonik proektsiyaning oldinga siljishi π_TM:TM→M.Quyida biz belgilaymiz

T_ {x} M, qquad X = ichida { displaystyle xi = xi ^ {k} { frac { qismli} { qismli x ^ {k}}} { Big |} _ {x} T_ {x} M} da X ^ {k} { frac { qismli} { qismli x ^ {k}}} { Big |} _ {x}

va tegishli koordinata tizimini qo'llang

{ displaystyle xi mapsto (x ^ {1}, ldots, x ^ {n}, xi ^ {1}, ldots, xi ^ {n})}

kuni TM. Keyin ikkilamchi vektor to'plamining tuzilishi at X∈T_xM shaklni oladi

{ displaystyle ( pi _ {TM}) _ {*} ^ {- 1} (X) = { Big {} X ^ {k} { frac { qismli} { qisman x ^ {k }}} { Big |} _ { xi} + Y ^ {k} { frac { qismli} { qismli xi ^ {k}}} { Big |} _ { xi} { T_ {x} M , Y ^ {1}, ldots, Y ^ {n} in mathbb {R} { Big }} da katta |} xi .}

Ikkita teginish to'plami a juft vektorli to'plam.

The kanonik aylantirish^[2] silliq involution j:TTM→TTM bu vektorli kosmik tuzilmalarni almashtiradi, bu uning orasidagi vektorli izomorfizm degan ma'noni anglatadi (TTM,π_TTM,TM) va (TTM,(π_TM)_*,TM). Bilan bog'liq koordinatalarda TM kabi o'qiydi

{ displaystyle j { Big (} X ^ {k} { frac { qismli} { qismli x ^ {k}}} { Big |} _ { xi} + Y ^ {k} { frac { qismli} { qismli xi ^ {k}}} { Big |} _ { xi} { Big)} = xi ^ {k} { frac { qismli} { qismli x ^ { k}}} { Big |} _ {X} + Y ^ {k} { frac { qismli} { qismli xi ^ {k}}} { Big |} _ {X}.}

Kanonik flip har qanday kishi uchun xususiyatga ega f: R² → M,

{ displaystyle { frac { qismli f} {{ qismli t} { qismli s}}}} = j tsirk { frac { qismli f} {{ qismli s} { qismli t}}}}

qayerda s va t ning standart asoslarining koordinatalari R ². E'tibor bering, ikkala qisman hosilalar ham funktsiyalar R² ga TTM.

Ushbu xususiyat, aslida, kanonik flipning ichki ta'rifini berish uchun ishlatilishi mumkin.^[3] Darhaqiqat, suv osti suvi borp: J²₀ (R², M) → TTM tomonidan berilgan

{ displaystyle p ([f]) = { frac { qismli f} {{ qismli t} { qismli s}}} (0,0)}

qayerda p nolga teng ikkita reaktiv fazoda aniqlanishi mumkin, chunki faqat bog'liq f nolda ikkita buyurtma berishgacha. Biz arizani ko'rib chiqamiz:

{ displaystyle J: J_ {0} ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2}, M) dan J_ {0} ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2}, M) quad / quad J ([f]) = [f circ alfa]}

qaerda a (s,t)= (t,s). Keyin J proektsiyaga mos keladi p va taklif bo'yicha kanonik aylantirishni keltirib chiqaradi TTM.

Tangens to'plamidagi kanonik tensor maydonlari

Har qanday kelsak vektor to'plami tegang bo'shliqlar T_ξ(T_xM) tolalardan T_xM teginish to'plami (TM,π_TM,M) tolalar bilan aniqlanishi mumkin T_xM o'zlari. Rasmiy ravishda bu orqali erishiladi vertikal ko'tarish, bu tabiiy vektor fazosi izomorfizmivl_ξ:T_xM→V_ξ(T_xM) sifatida belgilangan

{ displaystyle ( operator nomi {vl} _ { xi} X) [f]: = { frac {d} {dt}} { Big |} _ {t = 0} f (x, xi + tX ), qquad f in C ^ { infty} (TM).}

Vertikal ko'tarilishni tabiiy vektor to'plami izomorfizmi sifatida ham ko'rish mumkinvl: (π_TM)^*TM→VTMorqaga tortish to'plamidan (TM,π_TM,M) ustida π_TM:TM→M vertikal teginish to'plamiga

{ displaystyle VTM: = operatorname {Ker} ( pi _ {TM}) _ {*} subset TTM.}

Vertikal ko'tarish bizni aniqlashga imkon beradi kanonik vektor maydoni

{ displaystyle V: TM to TTM; qquad V _ { xi}: = operatorname {vl} _ { xi} xi,}

kesilgan tangens to'plamida silliq TM 0. Kanonik vektor maydonini Lie-guruh harakatining cheksiz kichik generatori sifatida ham aniqlash mumkin

{ displaystyle mathbb {R} times (TM setminus 0) to TM setminus 0; qquad (t, xi) mapsto e ^ {t} xi.}

Har qanday vektor to'plami uchun aniqlanishi mumkin bo'lgan kanonik vektor maydonidan farqli o'laroq, kanonik endomorfizm

{ displaystyle J: TTM to TTM; qquad J _ { xi} X: = operatorname {vl} _ { xi} ( pi _ {TM}) _ {*} X, qquad X in T_ { xi} TM}

teginish to'plami uchun alohida ahamiyatga ega. Kanonik endomorfizm J qondiradi

{ displaystyle operator nomi {Ran} (J) = operator nomi {Ker} (J) = VTM, qquad { mathcal {L}} _ {V} J = -J, qquad J [X, Y] = J [JX, Y] + J [X, JY],}

va u shuningdek sifatida tanilgan teginish tuzilishi quyidagi sababga ko'ra. Agar (E,p,M) har qanday vektor to'plamidir, bu kanonik vektor maydoniga ega V va (1,1) -tensor maydoni J bilan yuqorida sanab o'tilgan xususiyatlarni qondiradigan VE o'rniga VTM, keyin vektor to'plami (E,p,M) teginuvchi to'plam uchun izomorfdir (TM,π_TM,M) taglik kollektorining va J ning teginuvchi tuzilishiga mos keladi TM bu izomorfizmda.

Ushbu turdagi yanada kuchli natijalar mavjud ^[4] agar shunday bo'lsa, deyiladi N bu 2n- o'lchovli manifold va agar u mavjud bo'lsa (1,1) -tensor maydoni J kuni N bu qondiradi

{ displaystyle operator nomi {Ran} (J) = operator nomi {Ker} (J), qquad J [X, Y] = J [JX, Y] + J [X, JY],}

keyin N ba'zilarining teginish to'plamining umumiy maydonining ochiq to'plamiga diffeomorfikdir n- o'lchovli ko'p qirrali Mva J ning teginuvchi tuzilishiga mos keladi TM bu diffeomorfizmda.

Har qanday bog'liq koordinata tizimida TM kanonik vektor maydoni va kanonik endomorfizm koordinatali tasvirlarga ega

{ displaystyle V = xi ^ {k} { frac { qismli} { qismli xi ^ {k}}}, qquad J = dx ^ {k} otimes { frac { qismli} { qisman xi ^ {k}}}.}

(Yarim) buzadigan amallar tuzilmalari

A Semispray tuzilishi silliq manifoldda M ta'rifi bo'yicha silliq vektor maydoni H kuni TM 0 shunday JH=V. Ekvivalent ta'rif bu j(H)=H, qayerda j:TTM→TTM bu kanonik flip. Yarim sprey H a buzadigan amallar, agar qo'shimcha ravishda bo'lsa, [V,H]=H.

Spray va semispray tuzilmalari ikkinchi darajali oddiy differentsial tenglamalarning o'zgarmas versiyasidir M. Buzadigan amallar va yarim püskürtme tuzilmalarining farqi shundaki, buzadigan amallar eritma egri chiziqlari ijobiy o'zgarmasdir reparametrizatsiyalar^{[jargon ]} nuqta o'rnatilgandek M, yarim semprizlarning eritma egri chiziqlari odatda bunday emas.

Silliq manifoldlarda chiziqli bo'lmagan kovariant hosilalar

Kanonik flip silliq manifoldlarda chiziqsiz kovariant hosilalarini quyidagicha aniqlashga imkon beradi. Ruxsat bering

{ displaystyle T (TM setminus 0) = H (TM setminus 0) oplus V (TM setminus 0)}

bo'lish Ehresmann aloqasi yorilgan tangens to'plamida TM 0 va xaritani ko'rib chiqing

{ displaystyle D: (TM setminus 0) times Gamma (TM) to TM; quad D_ {X} Y: = ( kappa circ j) (Y _ {*} X),}

qayerda Y_*:TM→TTM oldinga siljish, j:TTM→TTM bu kanonik flip va κ:T(TM/0)→TM/ 0 - bu ulagich xaritasi. Xaritalash D._X bu moduldagi hosila Γ (TM) tekis vektor maydonlari M bu ma'noda

${ displaystyle D_ {X} ( alfa Y + beta Z) = alfa D_ {X} Y + beta D_ {X} Z, qquad alfa, beta in mathbb {R}}$ .
${ displaystyle D_ {X} (fY) = X [f] Y + fD_ {X} Y, qquad qquad qquad f in C ^ { infty} (M)}$ .

Har qanday xaritalash D._X bu xususiyatlar bilan a deyiladi (nochiziqli) kovariant hosilasi^[5] kuni M.Atama chiziqli emas ushbu turdagi kovariant lotin ekanligini anglatadi D._X yo'nalishi bo'yicha chiziqli bo'lishi shart emas X∈TMDifferentsiyaning / 0.

Mahalliy vakolatxonalarga qarab Ehresmann (TM/ 0, π_TM/0,M) va nochiziqli kovariant hosilalari M bittadan yozishmalarda. Bundan tashqari, agar D._X chiziqli X, keyin Ehresmann aloqasi ikkilamchi vektorli to'plam tuzilishi va D._X uning chiziqli kovariant hosilasi bilan mos keladi.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ JM Li, Smooth manifoldlarga kirish, Springer-Verlag, 2003 yil.
^ P.Michor. Differentsial geometriyadagi mavzular, Amerika matematik jamiyati, 2008 yil.
^ Robert J. Fisher va H. Tyorner Laker, Riemann geometriyasidagi ikkinchi darajali tanjens vektorlari, J. Koreys matematikasi. Soc. 36 (1999), № 5, 959-1008 betlar
^ D.S.Goel, Deyarli tegan tuzilmalar, Kodai Math.Sem.Rep. 26 (1975), 187-193.
^ I.Bukataru, R.Miron, Finsler-Lagranj geometriyasi, Editura Academiei Române, 2007 yil.

[1] JM Li, Smooth manifoldlarga kirish, Springer-Verlag, 2003 yil.

[2] P.Michor. Differentsial geometriyadagi mavzular, Amerika matematik jamiyati, 2008 yil.

[3] Robert J. Fisher va H. Tyorner Laker, Riemann geometriyasidagi ikkinchi darajali tanjens vektorlari, J. Koreys matematikasi. Soc. 36 (1999), № 5, 959-1008 betlar

[4] D.S.Goel, Deyarli tegan tuzilmalar, Kodai Math.Sem.Rep. 26 (1975), 187-193.

[5] I.Bukataru, R.Miron, Finsler-Lagranj geometriyasi, Editura Academiei Române, 2007 yil.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]