Ehresmann aloqasi - Ehresmann connection

Yilda differentsial geometriya, an Ehresmann aloqasi (frantsuz matematikidan keyin Charlz Ehresmann kim birinchi bo'lib ushbu kontseptsiyani rasmiylashtirdi) a tushunchasining bir versiyasidir ulanish, bu har qanday silliqlikda mantiqiy tola to'plami. Xususan, u asosiy tolalar to'plamining mumkin bo'lgan vektor to'plamiga ishonmaydi, ammo shunga qaramay, chiziqli ulanishlar maxsus ish sifatida qaralishi mumkin. Ehresmann aloqalarining yana bir muhim maxsus holati asosiy aloqalar kuni asosiy to'plamlar bo'lishi kerak bo'lgan ekvariant asosiyda Yolg'on guruh harakat.

Kirish

A kovariant hosilasi differentsial geometriyada a chiziqli differentsial operator qaysi oladi yo'naltirilgan lotin a qismining a vektor to'plami a kovariant uslubi. Shuningdek, u a tushunchasini shakllantirishga imkon beradi parallel to'plamning vektor yo'nalishi bo'yicha bo'limi: bo'lim s vektor bo'ylab parallel X agar ${displaystyle abla _ {X} s = 0}$ . Shunday qilib, kovariant lotin kamida ikkita narsani beradi: differentsial operator, va har bir yo'nalishda parallel bo'lish nimani anglatishini tushuncha. An Ehresmann aloqasi differentsial operatorni to'liq tushiradi va ulanishni har tomonga parallel bo'laklarga qarab aksiomatik aniqlaydi (Ehresmann 1950 yil ). Xususan, Ehresmann aloqasi a ni ajratib turadi vektor subspace har birining teginsli bo'shliq deb nomlangan tola to'plamining umumiy maydoniga gorizontal bo'shliq. Bo'lim s keyin yo'nalishda gorizontal (ya'ni parallel) bo'ladi X agar ${displaystyle {m {d}} s (X)}$ gorizontal bo'shliqda yotadi. Mana biz haqida s funktsiya sifatida ${displaystyle scolon M o E}$ bazadan M tola to'plamiga E, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${displaystyle {m {d}} scolon TM o s ^ {*} TE}$ keyin oldinga tangens vektorlar. Gorizontal bo'shliqlar birgalikda vektor subbundle hosil qiladi ${displaystyle TE}$ .

Bu shunchaki vektor to'plamlariga qaraganda ancha kengroq tuzilmalar sinfida aniqlanadigan foyda keltiradi. Xususan, u umumiy ma'noda aniq belgilangan tola to'plami. Bundan tashqari, kovariant lotinining ko'plab xususiyatlari hanuzgacha saqlanib kelinmoqda: parallel tashish, egrilik va holonomiya.

Lineerlikdan tashqari, ulanishning etishmayotgan tarkibiy qismi kovaryans. Klassik kovariant hosilalari bilan kovaryans an posteriori hosilaning xususiyati. Ularning konstruktsiyasida. Ning o'zgarishi qonuni ko'rsatilgan Christoffel ramzlari - bu kovariant emas - va keyin umumiy kovaryans lotin Natijada quyidagicha. Ehresmann aloqasi uchun boshidanoq umumiy kovaryans printsipini joriy etish orqali Yolg'on guruh tolalar to'plamining tolalari ustida harakat qilish. Tegishli shart gorizontal bo'shliqlarning ma'lum ma'noda bo'lishini talab qilishdir. ekvariant guruh harakatlariga nisbatan.

Ehresmann ulanishining yakuniy xususiyati shundaki, u a sifatida ifodalanishi mumkin differentsial shakl, a holatiga o'xshash tarzda ulanish shakli. Agar guruh tolalar ustida ishlasa va ulanish ekvariant bo'lsa, unda shakl ham ekvariant bo'ladi. Bundan tashqari, ulanish shakli egrilikni a sifatida aniqlashga imkon beradi egrilik shakli shuningdek.

Rasmiy ta'rif

Ruxsat bering ${displaystyle pi kolon E o M}$ silliq bo'ling tola to'plami.^[1] Ruxsat bering

{displaystyle V = ker (operator nomi {d} pi ikki nuqta TE o TM)}

bo'lishi vertikal to'plam ning "tolalariga teginuvchi" vektorlaridan tashkil topgan E, ya'ni V da ${displaystyle ein E}$ bu ${displaystyle V_ {e} = T_ {e} (E_ {pi (e)})}$ . Ushbu subbundle ${displaystyle TE}$ kanonik ravishda aniqlangan, asosiy bo'shliq uchun kanonik subspace tangensi yo'q M. (Albatta, bu assimetriya "faqat bitta proektsiyaga ega" bo'lgan tolalar to'plamining ta'rifidan kelib chiqadi. ${displaystyle pi kolon E o M}$ mahsulot bo'lsa ${displaystyle E = M imes F}$ ikkitasi bo'lar edi.)

Gorizontal pastki bo'shliqlar orqali ta'rif

An Ehresmann aloqasi kuni E silliq pastki to'plamdir H ning ${displaystyle TE}$ , deb nomlangan gorizontal to'plam to`ldiruvchi bog`lanishning V, a ma'nosida a to'g'ridan-to'g'ri summa parchalanish ${displaystyle TE = Hoplus V}$ (Kolář, Michor & Slovák 1993 yil ). Batafsilroq gorizontal to'plam quyidagi xususiyatlarga ega.

Har bir nuqta uchun ${displaystyle ein E}$ , ${displaystyle H_ {e}}$ a vektor subspace tangens bo'shliqning ${displaystyle T_ {e} E}$ ga E da e, deb nomlangan gorizontal pastki bo'shliq ulanishning at e.
${displaystyle H_ {e}}$ bog'liq silliq kuni e.
Har biriga ${displaystyle ein E}$ , ${displaystyle H_ {e} shapka V_ {e} = {0}}$ .
Tangensli vektor T_eE (har qanday kishi uchun e∈E) gorizontal va vertikal komponentning yig'indisi, shunday qilib T_eE = H_e + V_e.

Keyinchalik xususiyatlarga ko'ra, ushbu xususiyatlarni qondiradigan gorizontal bo'shliqlarning bunday belgilanishi aniq silliq qismiga to'g'ri keladi. jet to'plami J¹E → E.

Ulanish shakli orqali ta'rif

Teng ravishda, ruxsat bering v vertikal to'plamga proektsiya bo'ling V birga H (Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida H = ker v). Bu yuqoridagilar bilan belgilanadi to'g'ridan-to'g'ri summa parchalanishi TE gorizontal va vertikal qismlarga bo'linadi va ba'zan ulanish shakli Eresman aloqasi. Shunday qilib v a vektorli to'plam homomorfizmi dan TE o'ziga quyidagi xususiyatlarga ega (umuman proektsiyalar):

v² = v;
v identifikator yoqilgan V = Rasm (v).

Aksincha, agar v bu vektor to'plami endomorfizm ning TE bu ikki xususiyatni qondirish, keyin H = ker v Ehresmann aloqasining gorizontal pastki to'plami.

Va nihoyat, e'tibor bering v, har bir teginish fazosini o'ziga xos chiziqli xaritasi sifatida, a sifatida ham ko'rib chiqilishi mumkin TE- 1-shakl bo'yicha baholangan E. Bu kelgusi bo'limlarda foydali nuqtai nazar bo'ladi.

Gorizontal ko'targichlar orqali parallel tashish

Ehresmann aloqasi, shuningdek, taglik kollektoridan egri chiziqlarni ko'tarish usulini belgilaydi M tola to'plamining umumiy maydoniga E shuning uchun egri chiziqlar gorizontal bo'ladi.^[2] Bular gorizontal ko'targichlar ning to'g'ridan-to'g'ri analogidir parallel transport ulanish formalizmining boshqa versiyalari uchun.

Xususan, deylik γ(t) bu to'g'ri egri chiziq M nuqta orqali x = γ(0). Ruxsat bering e ∈ E_x tolaga nuqta bo'ling x. A ko'tarish ning γ orqali e egri chiziq ${displaystyle {ilde {gamma}} (t)}$ umumiy bo'shliqda E shu kabi

{displaystyle {ilde {gamma}} (0) = e}

va

{displaystyle pi ({ilde {gamma}} (t)) = gamma (t).}

Lift - bu gorizontal agar qo'shimcha ravishda har qanday egri chiziq gorizontal subbundle ichida bo'lsa TE:

{displaystyle {ilde {gamma}} '(t) in H _ {{ilde {gamma}} (t)}.}

Yordamida ko'rsatilishi mumkin daraja-nulllik teoremasi uchun qo'llaniladi π va v har bir vektor X∈T_xM vektorga noyob gorizontal ko'tarilishga ega ${displaystyle {ilde {X}} T_ {e} E} da$ . Xususan, tegang maydon γ ning umumiy maydonida gorizontal vektor maydonini hosil qiladi orqaga tortish to'plami γ*E. Tomonidan Pikard-Lindelef teoremasi, bu vektor maydoni integral. Shunday qilib, har qanday egri uchun γ va ishora qiling e ustida x = γ(0), a mavjud noyob gorizontal ko'tarish ning γ orqali e oz vaqtga t.

Ehresmanning umumiy aloqalari uchun gorizontal ko'tarish yo'lga bog'liqligini unutmang. Ikki tekis egri chiziq bo'lganda M, bilan mos keladi γ₁(0) = γ₂(0) = x₀ va yana bir nuqtada kesishgan x₁ ∈ M, gorizontal ravishda ko'tariladi E xuddi shu orqali e ∈ π⁻¹(x₀), ular odatda turli xil nuqtalardan o'tadi π⁻¹(x₁). Bu tolalar to'plamlarining differentsial geometriyasi uchun muhim oqibatlarga olib keladi H emas Yolg'on subalgebra bo'yicha vektor maydonlari maydoni E, chunki u (umuman) ostida yopilmagan Vektorli maydonlarning qavslari. Yolg'on qavs ostida yopilishning bu muvaffaqiyatsizligi egrilik.

Xususiyatlari

Egrilik

Ruxsat bering v Ehresmann aloqasi bo'ling. Keyin egrilik v tomonidan berilgan^[3]

{displaystyle R = {frac {1} {2}} [v, v]}

bu erda [-, -] ning ma'nosi Frölicher-Nijenhuis qavslari ning v ∈ Ω¹(E,TE) o'zi bilan. Shunday qilib R ∈ Ω²(E,TE) ikki shaklli E qiymatlari bilan TE tomonidan belgilanadi

{displaystyle R (X, Y) = vleft ([(mathrm {id} -v) X, (mathrm {id} -v) Y] ight)}

,

yoki, boshqacha qilib aytganda,

{displaystyle Rleft (X, Yight) = left [X_ {H}, Y_ {H} ight] _ {V}}

,

qayerda X = X_H + X_V to'g'ridan-to'g'ri yig'indining parchalanishini bildiradi H va V navbati bilan komponentlar. Ushbu egrilikning so'nggi ifodasidan, agar gorizontal subbundle bo'lsa, xuddi shu tarzda yo'q bo'lib ketishi ko'rinadi. Frobenius integral. Shunday qilib egrilik yaxlitlik sharti gorizontal subbundle tola to'plamining ko'ndalang kesimlarini hosil qilish uchun E → M.

Ehresmann aloqasining egriligi ham versiyasini qondiradi Byankining o'ziga xosligi:

{displaystyle left [v, Right] = 0}

bu erda yana [-, -] - v ∈ Ω ning Frölicher-Nijenhuis qavsidir¹(E,TE) va R ∈ Ω²(E,TE).

To'liqlik

Ehresmann aloqasi egri chiziqlarni noyob gorizontal ko'targichlarga ega bo'lishiga imkon beradi mahalliy. Uchun to'liq Ehresmann aloqasi, egri chiziq butun gorizontal ravishda ko'tarilishi mumkin.

Holonomiya

Ulanishning tekisligi mahalliy darajaga to'g'ri keladi Frobenius integralligi gorizontal bo'shliqlarning Boshqa o'ta g'oyib bo'ladigan egrilik mavjudligini anglatadi holonomiya ulanish.^[4]

Maxsus holatlar

Asosiy to'plamlar va asosiy aloqalar

Aytaylik E silliqdir asosiy G- to'plam ustida M. Keyin Ehresmann aloqasi H kuni E deb aytiladi a asosiy (Ehresmann) aloqasi^[5] agar u o'zgarmas bo'lsa G harakat E bu ma'noda

{displaystyle H_ {eg} = mathrm {d} (R_ {g}) _ {e} (H_ {e})}

har qanday kishi uchun e∈E va g∈G; Bu yerga

{displaystyle mathrm {d} (R_ {g}) _ {e}}

ning differentsialini bildiradi to'g'ri harakat ning g kuni E da e.

Ning bitta parametrli kichik guruhlari G vertikal ravishda harakat qilish E. Ushbu harakatning differentsialligi pastki bo'shliqni aniqlashga imkon beradi ${displaystyle V_ {e}}$ Lie algebra bilan g guruh G, xarita orqali ayting ${displaystyle iota yo'g'on ichak V_ {e} o {mathfrak {g}}}$ . Ulanish shakli v keyin Ehresmann aloqasi 1-shakl sifatida qaralishi mumkin ω kuni E qiymatlari bilan g tomonidan belgilanadi ω(X)=i(v(X)).

Shunday qilib, ulanish shakli qayta talqin qilindi ω quyidagi ikkita xususiyatni qondiradi:

U o'zgaradi teng ravishda ostida G harakat: ${displaystyle R_ {h} ^ {*} omega = {hbox {Ad}} (h ^ {- 1}) omega}$ Barcha uchun h∈G, qayerda R_h^* bo'ladi orqaga tortish to'g'ri harakat ostida va E'lon bo'ladi qo'shma vakillik ning G uning algebrasida.
U xaritalar vertikal vektor maydonlari Lie algebra bilan bog'liq elementlariga: ω(X)=i(X) Barcha uchun X∈V.

Aksincha, shuni ko'rsatish mumkinki, bunday a g- asosiy to'plamdagi 1-formali yuqorida ko'rsatilgan xususiyatlarni qondiradigan gorizontal taqsimot hosil bo'ladi.

Mahalliy trivializatsiyani hisobga olgan holda kamaytirish mumkin ω gorizontal vektor maydonlariga (bu trivializatsiya qilishda). Bu 1-shaklni belgilaydi ω ' kuni B orqali orqaga tortish. Shakl ω ' belgilaydi ω butunlay, lekin bu trivializatsiya tanloviga bog'liq. (Ushbu shakl ko'pincha a deb ham nomlanadi ulanish shakli va oddiygina bilan belgilanadi ω.)

Vektorli to'plamlar va kovariant hosilalari

Aytaylik E silliqdir vektor to'plami ustida M. Keyin Ehresmann aloqasi H kuni E deb aytiladi a chiziqli (Ehresmann) ulanish agar H_e chiziqli bog'liq e ∈ E_x har biriga x ∈ M. Buni aniqroq qilish uchun, ruxsat bering S_λ skalyar ko'paytirishni belgilang λ kuni E. Keyin H va agar shunday bo'lsa, chiziqli bo'ladi ${displaystyle H_ {lambda e} = mathrm {d} (S_ {lambda}) _ {e} (H_ {e})}$ har qanday kishi uchun e ∈ E va skalar λ.

Beri E - bu vektor to'plami, uning vertikal to'plami V izomorfik π*E. Shuning uchun agar s ning qismi E, keyinv(ds):TM→s*V=s*π*E=E. Bu vektor to'plami morfizmi va shuning uchun ∇ bo'limi bilan berilgans vektor to'plami Hom (TM,E). Ehresmann aloqasi chiziqli ekanligi shundan iboratki, u har bir funktsiyani tekshiradi ${displaystyle f}$ kuni ${displaystyle M}$ Leybnits qoidasi, ya'ni. ${displaystyle abla (fs) = fabla (s) + d (f) otimes s}$ va shuning uchun a kovariant hosilasi ning s.

Aksincha a kovariant hosilasi ∇ vektor to'plamida chiziqli Ehresman aloqasini belgilash orqali aniqlaydi H_e, uchun e ∈ E bilan x=π(e), tasvir bo'lish ds_x(T_xM) qayerda s ning qismi E bilan s(x) = e va ∇_Xs = 0 hamma uchun X ∈ T_xM.

E'tibor bering (tarixiy sabablarga ko'ra) atama chiziqli ulanishlarga qo'llanganda, ba'zan ishlatiladi (so'z kabi) afine - qarang Affine aloqasi ) teginuvchi to'plamda aniqlangan ulanishlarga murojaat qilish uchun ramka to'plami.

Birlashtirilgan to'plamlar

Ehresmann aloqasi a tola to'plami (tuzilish guruhi bilan ta'minlangan) ba'zida Anda Eresman aloqasini keltirib chiqaradi bog'langan to'plam. Masalan, (chiziqli) vektor to'plamidagi ulanish E, ning parallelligini berishni o'ylardim E yuqoridagi kabi, P ramkalarining bog'langan to'plamida ulanishni keltirib chiqaradiE ning E. Aksincha, P-dagi aloqaE ichida (chiziqli) aloqani keltirib chiqaradi E P-dagi ulanish sharti bilanE umumiy chiziqli guruhning freymlarga ta'siriga nisbatan ekvariant (va shunday qilib a asosiy aloqa ). Bu har doim emas Ehresmann aloqasi, tabiiy ravishda, bog'lab qo'yilgan to'plamda ulanishni keltirib chiqarishi mumkin. Masalan, vektor to'plami ramkalari to'plamidagi tengsiz Ehresman aloqasi vektor to'plamidagi aloqani keltirib chiqarmasligi mumkin.

Aytaylik E bog'liq bo'lgan to'plamdir P, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida E = P ×_G F. A G- ulanish kuni E parallel transport xaritasi such bo'lgan Ehresmann aloqasi: F_x → F_{x ′} a tomonidan berilgan G- tolalarning o'zgarishi (etarlicha yaqin nuqtalarda x va x′ In M egri chiziq bilan birlashtirilgan).^[6]

Asosiy aloqani hisobga olgan holda P, biri oladi a G- bog'langan tolalar to'plamiga ulanish E = P ×_G F orqali orqaga tortish.

Aksincha, a berilgan G- ulanish yoqilgan E bog'liq bo'lgan asosiy to'plamda asosiy aloqani tiklash mumkin P. Ushbu asosiy aloqani tiklash uchun a tushunchasi kiritiladi ramka odatda tolaga F. Beri G cheklangan o'lchovli^[7] Faoliyat ko'rsatadigan yolg'on guruh F, nuqtalarning cheklangan konfiguratsiyasi bo'lishi kerak (y₁,...,y_m) ichida F shunday G-orbit R = {(gy₁,...,gy_m) | g ∈ G} ning asosiy bir hil fazosi G. Biror kishi haqida o'ylash mumkin R uchun ramka tushunchasini umumlashtirish sifatida G-harakat yoqilgan F. E'tibor bering, beri R uchun asosiy bir hil makon G, tola to'plami E(R) bilan bog'liq E odatda tola bilan R bilan bog'liq bo'lgan asosiy to'plam (teng) E. Ammo bu ham subbundle m- mahsulotning to'plami E o'zi bilan. Gorizontal bo'shliqlarning taqsimlanishi E ushbu mahsulot to'plamidagi bo'shliqlarning taqsimlanishiga olib keladi. Ulanish bilan bog'liq bo'lgan parallel transport xaritalari bo'lgani uchun G- xaritalar, ular pastki bo'shliqni saqlaydi E(R) va shuning uchun G- ulanish printsipialga tushadi G- ulanish yoqilgan E(R).

Xulosa qilib aytganda, bog'langan tola to'plamlari bilan asosiy ulanishlarning tushishi o'rtasida bir-biriga mos keladigan (ekvivalentga qadar) va G- bog'langan tolalar to'plamidagi ulanishlar. Shu sababli, tuzilish guruhiga ega bo'lgan tola to'plamlari toifasida G, asosiy ulanish uchun tegishli barcha ma'lumotlar mavjud G- bog'langan to'plamlardagi ulanishlar. Shunday qilib, agar bog'langan to'plamlardagi ulanishlarni ko'rib chiqish uchun muhim sabab bo'lmasa (masalan, masalan, Karton aloqalari ) biri odatda to'g'ridan-to'g'ri asosiy ulanish bilan ishlaydi.

Izohlar

^ Ushbu mulohazalar umumiy vaziyatga teng darajada to'g'ri keladi ${displaystyle pi kolon E o M}$ a shubhali suvga botish: ya'ni, E a tolali manifold ustida M. Muqobil umumlashtirishda (tufayli)1999 yil til ) va (Eliason 1967 yil ), E va M bo'lishi mumkin Banax manifoldlari, bilan E tolalar to'plami M yuqoridagi kabi.
^ Qarang (Kobayashi va Nomizu 1996 yil ) va (Kolář, Michor & Slovák 1993 yil )
^ (Kolář, Michor & Slovák 1993 yil )
^ Ehresmann ulanishining holonomiyasi tola to'plamlarida ba'zida Ehresmann-Reeb holonomiyasi yoki barg holonomiyasi o'rganish uchun Ehresmann ulanishlaridan foydalangan holda birinchi batafsil tadqiqotga murojaat qilish yaproqlar ichida (Reeb 1952 )
^ Kobayashi va Nomizu 1996 yil 1-jild.
^ Shuningdek qarang Lumiste (2001), Kollektordagi ulanishlar.
^ Qulaylik uchun biz buni taxmin qilamiz G cheklangan o'lchovli, garchi bu taxmin kichik o'zgartirishlar bilan bekor qilinishi mumkin.

Adabiyotlar

Ehresmann, Charlz (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Colloque de Toplogie, Bruksel, 29-55 betlar
Eliason, H (1967), "Xaritalarning ko'p qirrali geometriyasi", Differentsial geometriya jurnali, 1: 169–194
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Differentsial geometriya asoslari, Jild 1 (Yangi tahr.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Differentsial geometriya asoslari, Jild 2 (Yangi tahr.), Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-15732-8
Kolash, Ivan; Michor, Piter; Slovak, yanvar (1993), Differentsial geometriyadagi tabiiy operatorlar (PDF), Springer-Verlag, arxivlangan asl nusxasi (PDF) 2017-03-30 kunlari, olingan 2007-04-25
Lang, Serj (1999), Differentsial geometriya asoslari, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98593-X
Lumiste, Ülo (2001) [1994], "Elyaf to'plamidagi ulanish", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
Lumiste, Ülo (2001) [1994], "Kollektordagi ulanishlar", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
Rib, Jorj (1952), Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Parij: Herman

Qo'shimcha o'qish

Raul Bott (1970) "Integratsiyaga topologik to'siq", Proc. Simp. Sof matematik., 16 Amer. Matematika. Soc., Providence, RI.

[1] Ushbu mulohazalar umumiy vaziyatga teng darajada to'g'ri keladi ${displaystyle pi kolon E o M}$ a shubhali suvga botish: ya'ni, E a tolali manifold ustida M. Muqobil umumlashtirishda (tufayli)1999 yil til ) va (Eliason 1967 yil ), E va M bo'lishi mumkin Banax manifoldlari, bilan E tolalar to'plami M yuqoridagi kabi.

[2] Qarang (Kobayashi va Nomizu 1996 yil ) va (Kolář, Michor & Slovák 1993 yil )

[3] (Kolář, Michor & Slovák 1993 yil )

[4] Ehresmann ulanishining holonomiyasi tola to'plamlarida ba'zida Ehresmann-Reeb holonomiyasi yoki barg holonomiyasi o'rganish uchun Ehresmann ulanishlaridan foydalangan holda birinchi batafsil tadqiqotga murojaat qilish yaproqlar ichida (Reeb 1952 )

[5] Kobayashi va Nomizu 1996 yil 1-jild.

[6] Shuningdek qarang Lumiste (2001), Kollektordagi ulanishlar.

[7] Qulaylik uchun biz buni taxmin qilamiz G cheklangan o'lchovli, garchi bu taxmin kichik o'zgartirishlar bilan bekor qilinishi mumkin.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]