Muvozanat nuqtasi - Equilibrium point

Yilda matematika, xususan differentsial tenglamalar, an muvozanat nuqtasi differentsial tenglamaning doimiy echimidir.

Rasmiy ta'rif

Gap shundaki ${ displaystyle { tilde { mathbf {x}}} in mathbb {R} ^ {n}}$ bu muvozanat nuqtasi uchun differentsial tenglama

{ displaystyle { frac {d mathbf {x}} {dt}} = mathbf {f} (t, mathbf {x})}

agar ${ displaystyle mathbf {f} (t, { tilde { mathbf {x}}}) = mathbf {0}}$ Barcha uchun ${ displaystyle t}$ .

Xuddi shunday, nuqta ${ displaystyle { tilde { mathbf {x}}} in mathbb {R} ^ {n}}$ bu muvozanat nuqtasi (yoki sobit nuqta ) uchun farq tenglamasi

{ textstyle mathbf {x} _ {k + 1} = mathbf {f} (k, mathbf {x} _ {k})}

agar ${ displaystyle mathbf {f} (k, { tilde { mathbf {x}}}) = { tilde { mathbf {x}}}}$ uchun ${ displaystyle k = 0,1,2, ldots}$ .

Muvozanat haqidagi tenglamalarni lineerizatsiya qilishning o'ziga xos qiymatlari belgilariga qarab, muvozanatni tasniflash mumkin. Ya'ni, baholash orqali Yakobian matritsasi tizimning har bir muvozanat nuqtasida, so'ngra hosil bo'lgan xos qiymatlarni topganda, muvozanatni toifalarga ajratish mumkin. Keyin har bir muvozanat nuqtasi yaqinidagi tizimning xatti-harakatlarini har bir o'ziga xos qiymat bilan bog'liq bo'lgan xususiy vektor (lar) ni topish orqali sifat jihatidan aniqlash (yoki hatto ba'zi hollarda miqdoriy ravishda aniqlash mumkin) mumkin.

Muvozanat nuqtasi giperbolik agar o'ziga xos qiymatlarning hech birida haqiqiy qism nolga teng bo'lmasa. Agar barcha xususiy qiymatlar salbiy real qismga ega bo'lsa, muvozanat barqaror tenglama bo'ladi. Agar kamida bittasi ijobiy haqiqiy qismga ega bo'lsa, muvozanat beqaror tugun hisoblanadi. Agar kamida bitta xos qiymatning salbiy qismi, kamida bittasining ijobiy haqiqiy qismi bo'lsa, muvozanat a egar nuqtasi.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

Boyz, Uilyam E.; DiPrima, Richard C. (2012). Elementar differentsial tenglamalar va chegara masalalari (10-nashr). Vili. ISBN 978-0-470-45831-0.
Perko, Lourens (2001). Differentsial tenglamalar va dinamik tizimlar (3-nashr). Springer. 102-104 betlar. ISBN 1-4613-0003-7.