Ruxsat etilgan nuqta (matematika) - Fixed point (mathematics)

Uchta sobit nuqtaga ega funktsiya

Yilda matematika, a sobit nuqta (ba'zan qisqartiriladi tuzatish nuqtasi, shuningdek, an o'zgarmas nuqta) ning funktsiya funktsiyasining elementidir domen bu funktsiya bilan o'z-o'zidan bog'langan. Demak, v funktsiyaning sobit nuqtasidir f agar f(v) = v. Buning ma'nosi f(f(...f(v)...)) = fⁿ(v) = v, rekursiv hisoblashda muhim tugatishni hisobga olish f. A o'rnatilgan sobit nuqtalar ba'zan a deb nomlanadi belgilangan to'plam.

Masalan, agar f belgilanadi haqiqiy raqamlar tomonidan

${ displaystyle f (x) = x ^ {2} -3x + 4,}$

u holda 2 ning sobit nuqtasi f, chunki f(2) = 2.

Barcha funktsiyalarning aniq nuqtalari mavjud emas: masalan, agar f kabi haqiqiy sonlarda aniqlangan funktsiya f(x) = x + 1, unda unda aniq bir nuqta yo'q, chunki x hech qachon teng bo'lmaydi x Istalgan haqiqiy raqam uchun + 1. Grafika nuqtai nazaridan sobit nuqta x nuqta degani (x, f(x)) satrda y = x, yoki boshqacha qilib aytganda grafik ning f ushbu chiziq bilan umumiy nuqtaga ega.

Sonli sondan keyin yana bir xil qiymatga qaytadigan ballar takrorlash funktsiyasi deyiladi davriy fikrlar. A sobit nuqta davri biriga teng bo'lgan davriy nuqta. Yilda proektsion geometriya, a ning belgilangan nuqtasi proektivlik a deb nomlangan ikki nuqta.^[1][2]

Yilda Galua nazariyasi, to'plamining sobit nuqtalari to'plami dala avtomorfizmlari a maydon deb nomlangan sobit maydon avtomorfizmlar to'plamining

Jozibali sobit nuqtalar

The sobit nuqta takrorlash x_n+1 = cos x_n boshlang'ich qiymati bilan x₁ = −1.

An jozibali sobit nuqta funktsiya f belgilangan nuqta x₀ ning f har qanday qiymati uchun x etarlicha yaqin bo'lgan domenda x₀, takrorlanadigan funktsiya ketma-ketlik

${ displaystyle x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), dots}$

yaqinlashadi ga x₀. Old shartlarning ifodasi va bunday echimning mavjudligini isbotlovchi Banax sobit nuqta teoremasi.

Tabiiy kosinus funktsiya ("tabiiy" - degan ma'noni anglatadi radianlar, daraja yoki boshqa birliklar emas) aynan bitta qat'iy nuqtaga ega, bu jozibali. Bunday holda, "etarlicha yaqin" umuman qat'iy mezon emas - buni namoyish etish uchun boshlang har qanday haqiqiy raqamni bosing va qayta-qayta bosing cos kalkulyatorda kalit (avval kalkulyatorning "radian" rejimida ekanligini tekshirish). Oxir-oqibat, bu qat'iy nuqta bo'lgan taxminan 0,739085133 ga yaqinlashadi. Bu erda kosinus funktsiyasi grafigi chiziqni kesib o'tadi ${ displaystyle y = x}$.^[3]

Hamma sobit fikrlar jozibali emas. Masalan, x = 0 - bu funktsiyaning sobit nuqtasi f(x) = 2x, lekin bu funktsiyani noldan boshqa har qanday qiymat uchun takrorlashi tez farq qiladi. Ammo, agar funktsiya bo'lsa f sobit nuqtaning ochiq mahallasida doimiy ravishda farqlanadi x₀va ${ displaystyle | f , '(x_ {0}) | <1}$, jalb qilish kafolatlangan.

Jozibali sobit nuqtalar - bu kengroq matematik kontseptsiyaning maxsus hodisasidir attraktorlar.

Jozibali sobit nuqta deyiladi barqaror sobit nuqta agar u ham bo'lsa Lyapunov barqaror.

Ruxsat etilgan nuqta a deb aytiladi neytral barqaror sobit nuqta agar shunday bo'lsa Lyapunov barqaror lekin jozibali emas. A markazi chiziqli bir hil differentsial tenglama ikkinchi darajadagi neytral barqaror sobit nuqtaga misol.

An-da bir nechta jozibali fikrlarni to'plash mumkin jozibali sobit to'plam.

Ilovalar

Ushbu bo'lim uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. (2018 yil iyul) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Ko'p sohalarda muvozanat yoki barqarorlik sobit fikrlar nuqtai nazaridan ta'riflanishi mumkin bo'lgan asosiy tushunchalardir. Ba'zi misollar keltirilgan.

• Yilda iqtisodiyot, a Nash muvozanati a o'yin o'yinning aniq nuqtasi eng yaxshi javob yozishmalar. Jon Nesh ekspluatatsiya qilingan Kakutani sobit nuqta teoremasi unga iqtisodiyot bo'yicha Nobel mukofotiga sazovor bo'lgan seminal qog'ozi uchun.

• Yilda fizika, aniqrog'i o'zgarishlar o'tish nazariyasi, chiziqlash yaqinida beqaror sobit nuqta olib keldi Uilson Nobel mukofotiga sazovor bo'lgan ishni ixtiro qildi renormalizatsiya guruhi va "atamasini matematik tushuntirishga"tanqidiy hodisa."^[4][5]

• Dasturlash tili kompilyatorlar dasturni tahlil qilish uchun sobit nuqta hisob-kitoblaridan foydalaning, masalan ma'lumotlar oqimini tahlil qilish, ko'pincha kod uchun talab qilinadi optimallashtirish. Ular, shuningdek, umumiy dasturni tahlil qilish usuli tomonidan ishlatiladigan asosiy tushunchadir mavhum talqin.^[6]

• Yilda tip nazariyasi, sobit nuqtali kombinator da rekursiv funktsiyalarni aniqlashga imkon beradi noaniq lambda toshi.

• Ning vektori PageRank barcha veb-sahifalarning qiymatlari a ning belgilangan nuqtasidir chiziqli transformatsiya dan olingan Butunjahon tarmog'i havola tuzilishi.

• A ning statsionar taqsimoti Markov zanjiri bir qadam o'tish ehtimoli funktsiyasining sobit nuqtasidir.

• Mantiqiy Shoul Kripke o'zining ta'sirchan haqiqat nazariyasida sobit fikrlardan foydalanadi. U qanday qilib qisman aniqlangan predikatni yaratishi mumkinligini ko'rsatadi (masalan, muammoli jumlalar uchun aniqlanmagan bo'lib qoladi).Ushbu jumla to'g'ri emas"), so'zning so'zlari bo'lmagan til segmentidan boshlab va jarayon yangi aniqlangan jumlalarni berishni to'xtatguncha davom etadigan" haqiqatni "rekursiv ravishda aniqlash orqali. hisoblanadigan cheksizlik qadamlar.) Ya'ni L tili uchun L ga ("L-prime" ni o'qing) L qo'shilishi natijasida hosil bo'ladigan til bo'lsin, Ldagi har bir S jumla uchun "S to'g'ri."L L L bo'lganda aniq bir nuqtaga erishiladi; bu erda quyidagi kabi jumlalar"Ushbu jumla to'g'ri emas"aniqlanmagan bo'lib qoladi, shuning uchun Kripkening so'zlariga ko'ra, nazariya o'z ichiga olgan tabiiy tilga mos keladi Shaxsiy haqiqat predikat.

Topologik sobit nuqta xususiyati

A topologik makon ${ displaystyle X}$ ega bo'lishi aytiladi sobit nuqta xususiyati agar mavjud bo'lsa (qisqacha FPP) doimiy funktsiya

${ displaystyle f colon x to X}$

mavjud ${ displaystyle x in X}$ shu kabi ${ displaystyle f (x) = x}$.

FPP a topologik o'zgarmas, ya'ni har qanday kishi tomonidan saqlanib qoladi gomeomorfizm. FPP har qanday kishi tomonidan saqlanadi orqaga tortish.

Ga ko'ra Brouwerning sobit nuqtali teoremasi, har bir ixcham va qavariq kichik to'plam a Evklid fazosi FPP-ga ega. Faqatgina ixchamlik FPPni anglatmaydi va konveksiya hatto topologik xususiyatga ega emas, shuning uchun FPPni topologik jihatdan qanday tavsiflashni so'rash mantiqan to'g'ri keladi. 1932 yilda Borsuk ixchamlik bilan birga yoki yo'qligini so'radi kontraktivlik FPPni ushlab turish uchun zarur va etarli shart bo'lishi mumkin. Muammo 20 yil davomida ochiq edi, gipoteza Kinoshita tomonidan tasdiqlanmaguncha, u FPPsiz ixcham qisqaradigan makon namunasini topdi.^[7]

Qisman buyurtmalar bo'yicha umumlashtirish: prefiks va postfikspoint

Tushunchasi va terminologiyasi a ga umumlashtiriladi qisman buyurtma. ≤ to'plam bo'yicha qisman tartib bo'lsin X va ruxsat bering f: X → X funktsiya tugashi kerak X. Keyin a prefiks (shuningdek yozilgan oldindan tuzatish nuqtasi) ning f har qanday p shu kabi f(p) ≤ p. Shunga o'xshash a postfixpoint (yoki post-fixpoint) ning f har qanday p shu kabi p ≤ f(p).^[8] Ifoda etishning bir usuli Knaster-Tarski teoremasi bu degani a monoton funktsiyasi a to'liq panjara bor eng kam aniqlanish nuqtasi bu eng kichik prefiks nuqtasiga to'g'ri keladi (va shunga o'xshash eng katta fiksatsiya nuqtasi eng katta postfiktsiya nuqtasiga to'g'ri keladi). Prefiks nuqtalari va postfiks punktlarida dastur mavjud nazariy informatika.^[9]

Shuningdek qarang

Izohlar

Tashqi havolalar

• Ruxsat etilgan nuqta chizish uchun oqlangan echim