Geometrik miqdor - Geometric quotient

Yilda algebraik geometriya, a geometrik miqdor ning algebraik xilma X an harakati bilan algebraik guruh G a navlarning morfizmi ${ displaystyle pi: X to Y}$ shu kabi^[1]

(i) har biri uchun y yilda Y, tola ${ displaystyle pi ^ {- 1} (y)}$ ning orbitasi G.

(ii) ning topologiyasi Y bo'ladi topologiyasi: ichki qism ${ displaystyle U subset Y}$ ochiq va faqat agar bo'lsa ${ displaystyle pi ^ {- 1} (U)}$ ochiq.

(iii) har qanday ochiq to'plam uchun ${ displaystyle U subset Y}$, ${ displaystyle pi ^ { #}: k [U] dan k [ pi ^ {- 1} (U)] ^ {G}}$ izomorfizmdir. (Bu yerda, k asosiy maydon.)

Tushunchasi paydo bo'ladi geometrik o'zgarmas nazariya. (i), (ii) shunday deyishadi Y bu orbitadagi bo'shliq ning X yilda topologiya. (iii) shuningdek, sochlarning izomorfizmi sifatida ham ifodalanishi mumkin ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y} simeq pi _ {*} ({ mathcal {O}} _ {X} ^ {G})}$. Xususan, agar X kamaytirilmaydi, demak shunday bo'ladi Y va ${ displaystyle k (Y) = k (X) ^ {G}}$: ratsional funktsiyalar yoqilgan Y o'zgarmas ratsional funktsiyalar sifatida qaralishi mumkin X (ya'ni, ratsional-invariantlar ning X).

Masalan, agar H ning yopiq kichik guruhidir G, keyin ${ displaystyle G / H}$ geometrik qismdir. A GIT miqdori geometrik kotirovka bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin: lekin ikkalasi ham o'ziga xos bo'lgan kategorik kotirovkalar; boshqacha qilib aytganda, ikkala turdagi kvotlarga ega bo'lish mumkin emas (ular bir xil bo'lmasdan).

Boshqa takliflar bilan bog'liqlik

Geometrik miqdor a kategoriya. Bu Mumfordning geometrik o'zgarmas nazariyasida isbotlangan.

Geometrik nuqta aniq a yaxshi miqdor uning tolalari guruhning orbitalari.

Misollar

• Kanonik xarita ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n + 1} setminus 0 to mathbb {P} ^ {n}}$ geometrik qismdir.
• Agar L a chiziqli chiziqli to'plam algebraik bo'yicha G- xilma-xillik X, keyin yozish ${ displaystyle X _ {(0)} ^ {s}}$ to'plami uchun barqaror fikrlar munosabat bilan L, miqdor

${ displaystyle X _ {(0)} ^ {s} dan X _ {(0)} ^ {s} / G} gacha$  

geometrik qismdir.

Adabiyotlar

• M. Brion, "Algebraik guruhlar harakatlariga kirish" [1]