Harborts gumoni - Harborths conjecture - Wikipedia

Savol, Veb Fundamentals.svgMatematikada hal qilinmagan muammo:
Har bir planar grafikada ajralmas Fáry joylashtirilishi mavjudmi?
(matematikada ko'proq hal qilinmagan muammolar)

Yilda matematika, Harbortning taxminlari har bir narsani ta'kidlaydi planar grafik planarga ega rasm chizish unda har bir chekka to'g'ri segment ning tamsayı uzunlik.[1][2][3] Ushbu taxmin nomi bilan atalgan Heiko Harborth va (agar rost bo'lsa) kuchayadi Fery teoremasi har bir tekislik grafigi uchun to'g'ri chiziqli chizmalar mavjudligi to'g'risida. Shu sababli, butun chekka uzunliklariga ega bo'lgan chizma ham an deb nomlanadi ajralmas Fáry joylashuvi.[4] Keyingi ko'plab izlanishlarga qaramay, Xarbortning gumoni hal qilinmayapti.[5]

Ning ajralmas Fáry joylashuvi sekizli grafik K2,2,2

Grafiklarning maxsus sinflari

Garbort gumoni barcha planar grafikalar uchun to'g'ri ekanligi ma'lum bo'lmasa-da, bu bir necha maxsus planar grafikalar uchun isbotlangan.

Ajralmas Fáry ko'milgan grafiklarning bir klassi ga qisqartirilishi mumkin bo'lgan grafikalardir bo'sh grafik ikki turdagi operatsiyalar ketma-ketligi bo'yicha:

  • Eng yuqori darajadan ikkitasini olib tashlash.
  • Uchinchi darajali tepalikni ikkita qo'shnisi orasidagi chekka bilan almashtirish. (Agar bunday chekka allaqachon mavjud bo'lsa, uchinchi daraja vertexni qo'shnilariga boshqa chekka qo'shmasdan olib tashlash mumkin.)

Bunday grafika uchun oqilona Fáry ko'milishi, ushbu olib tashlash jarayonini orqaga qaytarish orqali, berilgan ikkita nuqtadan ratsional masofada joylashgan nuqtalar to'plamining tekislikda zichligi va agar uchta nuqta ratsional bo'lsa bitta juftlik orasidagi masofa va qolgan ikki juftlik orasidagi kvadratik ildizning masofasi, keyin uchaladan ham ratsional masofalardagi nuqtalar tekislikda yana zich bo'ladi.[6][7] Bunday ko'milishdagi masofalar, tegishli koeffitsient bilan kattalashtirish orqali butun sonlarga aylantirilishi mumkin. Ushbu konstruktsiyaga asoslanib, ajralmas Fari qo'shimchalariga ega bo'lgan grafikalar quyidagilarni o'z ichiga oladi ikki tomonlama planar grafikalar, (2,1) - siyrak planar grafikalar, ning planar grafikalar kenglik ko'pi bilan 3, yoki to'rttasi, yoki a ni o'z ichiga olgan to'rttasi olmos subgraf yoki yo'q 4 qirraga ulangan.[4][8][9]

Xususan, faqat ikkita vertikal tepalikni olib tashlash orqali bo'sh grafikka tushirilishi mumkin bo'lgan grafikalar ( 2-degeneratsiya planar grafikalar) ikkalasini ham o'z ichiga oladi tashqi planli grafikalar va ketma-ket parallel grafikalar. Shu bilan birga, tashqi planar grafikalar uchun to'g'ridan-to'g'ri ajralmas Fari qo'shimchalarini qurish mumkin, bu cheksiz kichik to'plamlar mavjudligiga asoslanadi. birlik doirasi unda barcha masofalar oqilona.[10]

Bundan tashqari, Farining ajralmas qo'shimchalari beshtaning har biri uchun ma'lum Platonik qattiq moddalar.[3]

Tegishli taxminlar

Harbort gumonining yanada kuchli versiyasi Kleber (2008), har bir tekislik grafasida tekislik chizmasi mavjudmi, unda vertikal koordinatalar va chekka uzunliklari hammasi butun sonlardir.[11] Bu haqiqat ekanligi ma'lum 3 muntazam grafikalar,[12] maksimal 4 darajaga ega, ammo 4 odatiy bo'lmagan grafikalar uchun,[13] va uchun planar 3 daraxtlar.[13]

Geometriyadagi yana bir hal qilinmagan muammo Erduss-Ulam muammosi, mavjudligiga tegishli zich pastki qismlar barcha masofalar joylashgan tekislikning ratsional sonlar. Agar bunday ichki qism mavjud bo'lsa, u a ni tashkil qiladi universal nuqta to'plami bu barcha tekis grafiklarni oqilona chekka uzunliklari bilan chizish uchun ishlatilishi mumkin edi (va shuning uchun ularni mos ravishda masshtablagandan so'ng, butun chekka uzunliklari bilan). Biroq, Ulam zich ratsional masofalar to'plamlari mavjud emas deb taxmin qildi.[14]Ga ko'ra Erdos – Anning teoremasi, barcha masofalar butun sonlarga teng bo'lgan cheksiz kollinear bo'lmagan nuqta to'plamlari mavjud bo'lmaydi. Bu barcha masofalar oqilona bo'lgan to'plamlarning mavjudligini istisno etmaydi, ammo shuni anglatadiki, har qanday bunday to'plamda ratsional masofalarning maxrajlari o'zboshimchalik bilan kattalashishi kerak.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ Xartfild, Nora; Ringel, Gerxard (2013), Grafika nazariyasidagi marvaridlar: keng qamrovli kirish, Matematikadan Dover kitoblari, Courier Dover nashrlari, p. 247, ISBN  9780486315522, JANOB  2047103. 1994 yil akademik matbuot nashrining qayta nashr etilishi; xuddi shu nom 1990 yildagi asl nashrida taxminlarga berilgan.
  2. ^ Kemnits, Arnfrid; Xarbort, Xeyko (2001), "Planar grafikalar tekisligining integral rasmlari", Diskret matematika, Grafika nazariyasi (Kazimierz Dolny, 1997), 236 (1–3): 191–195, doi:10.1016 / S0012-365X (00) 00442-8, JANOB  1830610. Kemnitz va Harborth ushbu gumonning asl nashriga ishonadilar Harbort va boshq. (1987).
  3. ^ a b Xarbort, Xeyko; Kemnits, Arnfrid; Myuller, Meinxard; Syussenbax, Andreas (1987), "Ganzzahlige planare Darstellungen der platonischen Körper", Elemente der Mathematik, 42 (5): 118–122, JANOB  0905393.
  4. ^ a b Sun, Timoti (2013), "To'liq qirralarning uzunligi bilan bir nechta 4 muntazam planar grafikalar chizish", Proc. Hisoblash geometriyasi bo'yicha Kanada konferentsiyasi (CCCG 2013) (PDF).
  5. ^ Brass, Peter; Mozer, Uilyam O. J .; Pach, Xanos (2005), Diskret geometriyadagi tadqiqot muammolari, Springer, p. 250, ISBN  9780387299297, JANOB  2163782.
  6. ^ Almering, J. H. J. (1963), "Ratsional to'rtburchaklar", Indagationes Mathematicae, 25: 192–199, doi:10.1016 / S1385-7258 (63) 50020-1, JANOB  0147447.
  7. ^ Berri, T. G. (1992), "Uchburchak tepalaridan oqilona masofada joylashgan nuqtalar", Acta Arithmetica, 62 (4): 391–398, doi:10.4064 / aa-62-4-391-398, JANOB  1199630.
  8. ^ Bidl, Tereza (2011), "Butun qirralarning uzunliklari bilan bir qator planar grafikalar chizish", Proc. Hisoblash geometriyasi bo'yicha Kanada konferentsiyasi (CCCG 2011) (PDF).
  9. ^ Sun, Timoti (2011), "Integral Fary ko'milishining qat'iyligi-nazariy konstruktsiyalari", Proc. Hisoblash geometriyasi bo'yicha Kanada konferentsiyasi (CCCG 2011) (PDF).
  10. ^ Kli, Viktor; Vagon, Sten (1991), "10-masala: tekislikda zich ratsional to'plam mavjudmi?", Samolyotlar geometriyasi va raqamlar nazariyasidagi eski va yangi hal qilinmagan muammolar, Dolciani matematik ekspozitsiyalari, 11, Kembrij universiteti matbuoti, 132–135 betlar, ISBN  978-0-88385-315-3, JANOB  1133201.
  11. ^ Kleber, Maykl (2008), "Uchrashuv uzoq nuqtada", Matematik razvedka, 1: 50–53, doi:10.1007 / BF02985756.
  12. ^ Geelen, Jim; Guo, Anji; McKinnon, Devid (2008), "Kubik planar grafikalarning butun chekka uzunliklariga to'g'ri chiziqli kiritmalari", Grafika nazariyasi jurnali, 58 (3): 270–274, doi:10.1002 / jgt.20304, JANOB  2419522.
  13. ^ a b Benediktovich, Vladimir I. (2013), "Geometrik grafikani oqilona yaqinlashtirish to'g'risida", Diskret matematika, 313 (20): 2061–2064, doi:10.1016 / j.disc.2013.06.018, JANOB  3084247.
  14. ^ Solymosi, Jozsef; de Zeeuw, Frank (2010), "Erdo's va Ulam masalasida", Diskret va hisoblash geometriyasi, 43 (2): 393–401, arXiv:0806.3095, doi:10.1007 / s00454-009-9179-x, JANOB  2579704.