German-Mauguin yozuvi - Hermann–Mauguin notation - Wikipedia
Yilda geometriya, German-Mauguin yozuvi ifodalash uchun ishlatiladi simmetriya elementlari yilda nuqta guruhlari, samolyot guruhlari va kosmik guruhlar. Uning nomi nemis kristalografining nomi bilan atalgan Karl Hermann (1928 yilda kim kiritgan) va frantsuz mineralogisti Charlz-Viktor Maugin (1931 yilda kim o'zgartirgan). Ushbu yozuv ba'zan chaqiriladi xalqaro notatsiya, chunki u standart sifatida qabul qilingan Kristallografiya bo'yicha xalqaro jadvallar ularning 1935 yildagi birinchi nashridan beri.
German-Mauguin yozuvi, bilan taqqoslaganda Schoenflies notation, afzallik beriladi kristallografiya chunki u yordamida osonlikcha tarjima simmetriya elementlarini kiritish mumkin va u simmetriya o'qlarining yo'nalishlarini belgilaydi.[1]
Nuqtaviy guruhlar
Aylanish o'qlari raqam bilan belgilanadi n - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... (burilish burchagi φ = 360°/n). Uchun noto'g'ri aylanishlar, Hermann-Mauguin belgilarida Schoenflies va Shubnikov yozuvlaridan farqli o'laroq rotoinversiya o'qlari ko'rsatilgan, bu esa aylanma aks etuvchi o'qlarni aks ettiradi. Rotoinversiya o'qlari a bilan mos keladigan raqam bilan ifodalanadi makron, n — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... . 2 oynali tekislikka teng va odatda sifatida belgilangan m. Oyna tekisligining yo'nalishi unga perpendikulyar yo'nalish sifatida aniqlanadi (ning yo'nalishi 2 o'qi).
Hermann-Mauguin belgilarida nosimmetrik usulda ekvivalent bo'lmagan o'qlar va tekisliklar ko'rsatilgan. Simmetriya elementining yo'nalishi Hermann-Mauguin belgisidagi holatiga mos keladi. Agar aylanish o'qi bo'lsa n va oyna tekisligi m bir xil yo'nalishga ega (ya'ni tekislik o'qga perpendikulyar)n), keyin ular kasr sifatida belgilanadi n/m yokin /m.
Agar ikkita yoki undan ko'p o'qlar bir xil yo'nalishga ega bo'lsa, yuqori simmetriyaga ega o'q ko'rsatiladi. Yuqori simmetriya shuni anglatadiki, eksa ko'proq nuqtalar bilan naqsh hosil qiladi. Masalan, 3, 4, 5, 6, 7, 8 aylanish o'qlari mos ravishda 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-nuqta naqshlarini hosil qiladi. Noto'g'ri aylanish o'qlar 3, 4, 5, 6, 7, 8 mos ravishda 6-, 4-, 10-, 6-, 14-, 8-punktli naqshlarni hosil qiling. Agar aylanish va rotoinversiya o'qi bir xil sonli nuqtalarni hosil qilsa, aylanish o'qini tanlash kerak. Masalan, 3/m birikmasi tengdir 6. Beri 6 6 ball hosil qiladi va 3 faqat 3 hosil qiladi, 6 o'rniga yozilishi kerak 3/m (emas 6/m, chunki 6 allaqachon ko'zgu tekisligini o'z ichiga oladi m). Shunga o'xshash tarzda, agar ikkala 3 va 3 o'qlar mavjud, 3 yozilishi kerak. Ammo biz yozamiz 4/m, emas 4/m, chunki ikkalasi ham 4 va 4 to'rt ball hosil qiling. Taqdirda 6/m kombinatsiya, bu erda 2, 3, 6, 3va 6 o'qlar mavjud, o'qlar 3, 6, va 6-ning barchasi 6-nuqta naqshlarini hosil qiladi, ammo ikkinchisidan foydalanish kerak, chunki u aylanish o'qi - belgisi bo'ladi 6/m.
Va nihoyat, German-Mauguin belgisi turiga bog'liq[tushuntirish kerak ] ning guruh.
Yuqori darajali o'qlari bo'lmagan guruhlar (uch yoki undan ortiq tartib o'qlari)
Ushbu guruhlarda faqat ikki qavatli o'qlar, oyna tekisliklari va / yoki teskari markaz bo'lishi mumkin. Bular kristallografik nuqta guruhlari 1 va 1 (triklinik kristalli tizim ), 2, mva 2/m (monoklinik ) va 222, 2/m2/m2/mva mm2 (ortorombik ). (Ning qisqa shakli 2/m2/m2/m bu mmm.) Agar belgi uchta pozitsiyani o'z ichiga olsa, u holda ular simmetriya elementlarini bildiradi x, y, z navbati bilan.
Bir yuqori tartibli o'qi bo'lgan guruhlar
- Birinchi pozitsiya - birlamchi yo'nalish - z yuqori darajadagi o'qga tayinlangan yo'nalish.
- Ikkinchi pozitsiya - nosimmetrik jihatdan teng ikkilamchi ga perpendikulyar bo'lgan yo'nalishlar z-aksis. Ular 2 bo'lishi mumkin, m, yoki 2/m.
- Uchinchi pozitsiya - nosimmetrik jihatdan teng uchinchi darajali orasidan o'tib ketadigan yo'nalishlar ikkilamchi ko'rsatmalar[tushuntirish kerak ]. Ular 2 bo'lishi mumkin, m, yoki 2/m.
Bular 3, 32, 3 kristallografik guruhlarim, 3va 32/m (trigonal kristall tizimi ), 4, 422, 4mm, 4, 42m, 4/mva 4/m2/m2/m (to'rtburchak ) va 6, 622, 6mm, 6, 6m2, 6/mva 6/m2/m2/m (olti burchakli ). Xuddi shunday, kristalllografik bo'lmagan guruhlarning belgilarini (5, 7, 8, 9 ... tartibli o'qlari bilan) qurish mumkin. Ushbu guruhlarni quyidagi jadvalda joylashtirish mumkin
| Scenflies | H – M belgisi | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cn | n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
| Cnv | nm | 3m | 5m | 7m | 9m | 11m | ∞m | ||||||
| nmm | 4mm | 6mm | 8mm | 10mm | 12mm | ||||||||
| S2n | n | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | ∞/m | ||||||
| Sn | 4 | 8 | 12 | ||||||||||
| Cn/2h | 6 | 10 | |||||||||||
| Cnh | n/m | 4/m | 6/m | 8/m | 10/m | 12/m | |||||||
| D.n | n2 | 32 | 52 | 72 | 92 | (11)2 | ∞2 | ||||||
| n22 | 422 | 622 | 822 | (10)22 | (12)22 | ||||||||
| D.nd | n2/m | 32/m | 52/m | 72/m | 92/m | (11)2/m | ∞/mm | ||||||
| D.n/2d | n2m = nm2 | 42m | 82m | (12)2m | |||||||||
| D.n/2h | 6m2 | (10)m2 | |||||||||||
| D.nh | n/m2/m2/m | 4/m2/m2/m | 6/m2/m2/m | 8/m2/m2/m | 10/m2/m2/m | 12/m2/m2/m |
Shuni payqash mumkinki, toq tartibli o'qlari bo'lgan guruhlarda n va n ramzdagi uchinchi pozitsiya doimo mavjud emas, chunki barchasi n yuqori tartibli o'qga perpendikulyar bo'lgan yo'nalishlar nosimmetrik jihatdan tengdir. Masalan, uchburchak rasmida barcha uchta ko'zgu tekisliklari (S0, S1, S2) tengdir - ularning barchasi bitta tepadan va qarama-qarshi tomonning markazidan o'tadi. Bir tekis tartibli o'qlar uchun n va n lar bor n/2 ikkilamchi yo'nalishlar va n/2 uchinchi darajali yo'nalishlar. Masalan, odatiy olti burchakli rasmda ikkita ko'zgu tekisligining to'plamini ajratib ko'rsatish mumkin - uchta samolyot ikkita qarama-qarshi vertikadan, yana uchta samolyot qarama-qarshi tomonlarning markazlaridan o'tib ketadi. Bu holda ikkita to'plamdan har qandayini quyidagicha tanlash mumkin ikkilamchi ko'rsatmalar, qolganlari o'rnatiladi uchinchi darajali ko'rsatmalar. Shuning uchun guruhlar 42m, 62m, 82m, ... deb yozish mumkin 4m2, 6m2, 8m2, .... Nuqta guruhlari ramzlari uchun odatda bu tartib muhim emas; ammo, mos keladigan kosmik guruhlarning Hermann-Mauguin ramzlari uchun muhim bo'ladi, bu erda ikkilamchi yo'nalishlar simmetriya elementlarining hujayraning birlik tarjimalari yo'nalishidir. b va v, uchinchi darajali yo'nalishlar birlik hujayralari tarjimalari orasidagi yo'nalishga to'g'ri keladi b va v. Masalan, P belgilari6m2 va P62m ikki xil kosmik guruhni belgilang. Bu, shuningdek, 3 va toq tartibli o'qlari bo'lgan kosmik guruhlarning belgilariga ham tegishli 3. Perpendikulyar simmetriya elementlari birlik hujayralarining tarjimalari bo'ylab ketishi mumkin b va v yoki ular orasida. P321 va P312 kosmik guruhlari navbati bilan avvalgi va keyingi holatlarning namunalari.
Nuqta guruhining belgisi 32/m chalkash bo'lishi mumkin; tegishli Schoenflies belgisi bu D.3ddemak, bu guruh 3 qavatli o'qdan, uchta perpendikulyar 2 qavatli o'qlardan va shu 2 qavatli o'qlar orasidan o'tuvchi 3 vertikal diagonal tekislikdan iborat, demak, guruhni 32 deb belgilash mumkin.m yoki 3m2. Shunga qaramay, esda tutish kerakki, Schoenflies yozuvidan farqli o'laroq, Hermann-Mauguin belgisidagi tekislikning yo'nalishi tekislikka perpendikulyar yo'nalishda va D.3d barcha oynali tekisliklarni ikki qavatli o'qlarga perpendikulyar, shuning uchun ularni xuddi shu holatda yozish kerak 2/m. Ikkinchidan, bular 2/m komplekslar inversiya markazini hosil qiladi, bu esa 3 marta burilish o'qi bilan birlashganda a hosil bo'ladi 3 rotoinversiya o'qi.
Guruhlar n = ∞ chegara guruhlari yoki deyiladi Kyuri guruhlari.
Bir nechta yuqori tartibli o'qlari bo'lgan guruhlar
Bular a ning kristallografik guruhlari kubik kristalli tizim: 23, 432, 2/m3, 43mva 4/m32/m. Ularning barchasida to'rtta diagonali 3 marta o'qlar mavjud. Ushbu o'qlar to'rtburchak diagonallari bo'ylab yo'naltirilgan kub ichida 3 barobar o'qlar shaklida joylashgan (kub 4/m32/m simmetriya). Ushbu belgilar quyidagi tarzda tuzilgan:
- Birinchi pozitsiya - koordinata o'qlarining nosimmetrik ekvivalent yo'nalishlari x, yva z. Ular diagonali 3 barobar o'qlar mavjudligi sababli tengdir.
- Ikkinchi pozitsiya - diagonali 3 yoki 3 o'qlar.
- Uchinchi pozitsiya - uchta koordinata o'qining istalgan ikkitasi orasidagi diagonal yo'nalishlar x, yva z. Bular 2 bo'lishi mumkin, m, yoki 2/m.
Yuqorida keltirilgan barcha German-Maugu ramzlari deyiladi to'liq belgilar. Ko'pgina guruhlar uchun ularni qoldirib soddalashtirish mumkin n- burilish o'qlarini n/m lavozimlar. Agar bu aylanish o'qini belgida keltirilgan simmetriya elementlarining kombinatsiyasidan aniq olish mumkin bo'lsa, buni amalga oshirish mumkin. Masalan, qisqa belgi uchun 2/m2/m2/m bu mmm, uchun 4/m2/m2/m bu 4/mmmva uchun 4/m32/m bu m3m. Bitta yuqori tartibli o'qni o'z ichiga olgan guruhlarda ushbu yuqori tartibli o'qni qoldirib bo'lmaydi. Masalan, belgilar 4/m2/m2/m va 6/m2/m2/m 4 ga soddalashtirilishi mumkinmmm (yoki 4/mmm) va 6 /mmm (yoki 6/mmm), lekin unday emas mmm; uchun qisqa belgi 32/m bu 3m. Barcha 32 kristallografik nuqta guruhlari uchun to'liq va qisqa belgilar berilgan kristallografik nuqta guruhlari sahifa.
Besh kubik guruhdan tashqari yana ikkita kristallografik bo'lmagan ikosaedral guruh mavjud (Men va Menh yilda Schoenflies notation ) va ikkita chegara guruhi (K va Kh yilda Schoenflies notation ). Hermann-Mauguin ramzlari kristalografik bo'lmagan guruhlar uchun mo'ljallanmagan, shuning uchun ularning ramzlari ancha nominal va kubik kristalli tizimning kristallografik guruhlari belgilariga o'xshashlikka asoslangan.[2][3][4][5][6] Guruh Men 235, 25, 532, 53 deb belgilash mumkin. uchun mumkin bo'lgan qisqa belgilar Menh bor m35, m5, m5m, 53m. Limit guruhi uchun mumkin bo'lgan belgilar K ∞∞ yoki 2∞, va uchun Kh bor ∞/m∞ yoki m∞ yoki ∞∞m.
Samolyot guruhlari
Samolyot guruhlari Hermann-Mauguin tizimi yordamida tasvirlanishi mumkin. Birinchi harf yoki kichik harf p yoki v ibtidoiy yoki markazlashtirilganni ifodalash birlik hujayralari. Keyingi raqam - yuqorida keltirilgan aylanish simmetriyasi. Oynali samolyotlarning mavjudligi belgilanadi m, esa sirpanish akslari belgilanadi g.
Kosmik guruhlar
A belgisi kosmik guruh ni tavsiflovchi katta harfni birlashtirish orqali aniqlanadi panjara turi simmetriya elementlarini belgilaydigan belgilar bilan. Simmetriya elementlari mos keladigan nuqta guruhi (kosmik guruhdan barcha tarjima tarkibiy qismlarini olib tashlasa olinadigan guruh) belgisidagi kabi tartiblanadi. Simmetriya elementlari uchun belgilar yanada xilma-xildir, chunki aylanma o'qlar va ko'zgu tekisliklaridan tashqari kosmik guruh yanada murakkab simmetriya elementlarini o'z ichiga olishi mumkin - burama o'qlar (aylanish va tarjima kombinatsiyasi) va sirpanish tekisliklari (oynani aks ettirish va tarjima kombinatsiyasi). Natijada, turli xil kosmik guruhlar bir xil nuqta guruhiga mos kelishi mumkin. Masalan, turli xil panjara turlarini va sirpanish tekisliklarini tanlash nuqta guruhidan 28 ta turli kosmik guruhlarni yaratishi mumkin mmm, masalan. Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd.
Panjara turlari
Bular Bravais panjarasi uch o'lchamdagi turlari:
- P - ibtidoiy
- Men - tanasi markazlashtirilgan (nemischa "Innenzentriert" dan)
- F - Yuzi markazlashtirilgan (nemischa "Flächenzentriert" dan)
- A - taglik faqat A yuzlariga qaratilgan
- B - B yuzi markazlashgan taglik faqat yuzlar
- C - Faqatgina C yuzlarida joylashgan tayanch
- R - Romboedral
 |  |  |  |  |
|---|---|---|---|---|
| Ibtidoiy, P | Baza markazlashtirilgan, C | Yuzi markazlashtirilgan, F | Tana markazlashtirilgan, Men | Rombohedral olti burchakli sharoitda, R |
Vida o'qlari
The vida o'qi raqam bilan qayd etilgan, n, burilish burchagi bu erda 360°/n. Keyin tarjima darajasi parallel panjara vektorining bir qismi sifatida tarjima o'qi bo'ylab qancha masofani ko'rsatadigan pastki yozuv sifatida qo'shiladi. Masalan, 21 ning 180 ° (ikki marta) aylanishidan so'ng tarjimasi 1/2 panjara vektorining. 31 120 ° (uch marta) aylanish, so'ngra tarjimasi 1/3 panjara vektorining.
Mumkin bo'lgan vida o'qlari: 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64va 65.4 bor enantiomorfik juftliklar eksa: (31 — 32), (41 — 43), (61 — 65) va (62 — 64). Ushbu enantiomorfizm natijasida 11 juft enantiomorfik kosmik guruhlar, ya'ni
| Kristalli tizim | Tetragonal | Uchburchak | Olti burchakli | Kubik | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Birinchi guruh Guruh raqami | P41 76 | P4122 91 | P41212 92 | P31 144 | P3112 152 | P3121 151 | P61 169 | P62 171 | P6122 178 | P6222 180 | P4132 213 |
| Ikkinchi guruh Guruh raqami | P43 78 | P4322 95 | P43212 96 | P32 145 | P3212 154 | P3221 153 | P65 170 | P64 172 | P6522 179 | P6422 181 | P4332 212 |
Glide samolyotlari
Glide samolyotlari tomonidan qayd etilgan a, b, yoki v glide qaysi o'qi bo'ylab joylashganligiga qarab. Shuningdek, mavjud n glide, bu yuzning diagonali yarmi bo'ylab siljish va d yuzaning to'rtdan bir qismi yoki birlik katakchasining bo'shliq diagonali bo'ylab joylashgan sirpanish. The d Glide ko'pincha olmos glide tekisligi deb nomlanadi, chunki u olmos tuzilishi.
- a, b, yoki v ushbu yuzning panjara vektorining yarmi bo'ylab sirpanish tarjimasi.
- n yuzning diagonali bilan birga glide tarjimasi.
- d Diagonal yuzning to'rtdan bir qismi bo'ylab tarjima qilingan sirpanish tekisliklari.
- e bir xil sirpanish tekisligiga ega ikkita sirpanish va ikkita (har xil) yarim panjarali vektorlar bo'yicha tarjima qilish.
Adabiyotlar
- ^ Sands, Donald E. (1993). "Kristalli tizimlar va geometriya". Kristallografiyaga kirish. Mineola, Nyu-York: Dover Publications, Inc. p.165. ISBN 0-486-67839-3.
- ^ [1]
- ^ Zorkiy, Petr. "Semeystva tochechnyx grupp". www.chem.msu.su. Arxivlandi asl nusxasidan 2012-04-15.
- ^ Vaynshtein, Boris K., Zamonaviy kristallografiya 1: Kristal asoslari. Simmetriya va strukturaviy kristalografiya usullari, Springer. 1994 yil, 93-bet.
- ^ Uch o'lchovdagi guruhlarni yo'naltiring
- ^ Shubnikov, A.V., Belov, N.V. va boshqalar, Rangli simmetriya, Oksford: Pergamon Press. 1964 yil, 70-bet.
Tashqi havolalar
- Hermann-Maguin yozuvini dekodlash - Yangi boshlanuvchilar uchun Hermann-Maguin yozuviga kirish.