Ikkilik shaklning o'zgarmasligi - Invariant of a binary form

Matematikada o'zgarmas nazariya, an ikkilik shaklning o'zgarmasligi a koeffitsientlaridagi polinom hisoblanadi ikkilik shakl ikkita o'zgaruvchida x va y ostida o'zgarmas bo'lib qoladi maxsus chiziqli guruh o'zgaruvchilar bo'yicha harakat qilish x va y.

Terminologiya

Ikkilik shakl (daraja) n) - bir hil polinom Σⁿ
_men=0 (ⁿ
_men)a_n−menx^n−meny^men = a_nxⁿ + (ⁿ
₁)a_n−1xⁿ⁻¹y + ... + a₀yⁿ. Guruh SL₂(C) olish orqali ushbu shakllarda harakat qiladi x ga bolta + tomonidan va y ga cx + dy. Bu bo'shliqda harakatni keltirib chiqaradi a₀, ..., a_n va bu o'zgaruvchilardagi polinomlarga. An o'zgarmas bularda polinom n + 1 o'zgaruvchilar a₀, ..., a_n bu harakat ostida o'zgarmasdir. Odatda a kovariant in polinomidir a₀, ..., a_n, x, y bu o'zgarmasdir, shuning uchun o'zgarmas bu o'zgaruvchiga ega bo'lgan kovariantning alohida holatidir x va y sodir bo'lmaydi. Umuman olganda, hali ham bir vaqtning o'zida o'zgarmas ning bir nechta turli xil koeffitsientlaridagi polinomidir x vay.

Xususida vakillik nazariyasi, har qanday vakillik berilgan V guruhning SL₂(C) o'zgarmas polinomlarning halqasini so'rash mumkin V. Ikkilik darajadagi invariantlar n olishga to'g'ri keladi V bo'lishn + 1) o'lchovli qisqartirilmaydigan tasvir va kovaryantlar qabul qilishga mos keladi V o'lchamlari 2 va kamaytirilmaydigan tasavvurlarining yig'indisi bo'lishi kerakn + 1.

Ikkilik shakldagi invariantlar a ni hosil qiladi darajali algebra va Gordan (1868) bu algebra sonli maydonda hosil bo'lganligini isbotladi agar asosiy maydon murakkab sonlar bo'lsa.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 daraja shakllarini ba'zida kvadrikalar, kubiklar, kvartikalar, kvintikalar, sekstika, septikalar yoki septimika, oktika yoki oktavika, nonik va deksika yoki dekimika deb atashadi. "Quantic" - bu o'zboshimchalik darajasining shakli uchun eski nom. 1, 2, 3, 4, ... o'zgaruvchilar shakllari unary, ikkilik, uchlik, to'rtlamchi, ... shakllar deyiladi.

Misollar

Shakl f o'zi 1 daraja va tartib kovariantidir n.

The diskriminant shakl o'zgarmasdir.

The natijada ikki shaklning bir vaqtning o'zida o'zgarmasligidir.

Shaklning Gessian kovarianti Hilbert (1993 yil, s.88) - ning aniqlovchisi Gessian matritsasi

{ displaystyle H (f) = { begin {bmatrix} { frac { qismli ^ {2} f} { qismli x ^ {2}}} va { frac { qismli ^ {2} f} { qismli x , qismli y}} [10pt] { frac { qismli ^ {2} f} { qismli y , qismli x}} va { frac { qismli ^ {2} f } { kısmi y ^ {2}}} end {bmatrix}}.}

Bu 2-tartibning kovariantidirn- 4 va 2 daraja.

The katalektikant daraja o'zgarmasligidir n/ 2 + 1 juft darajadagi ikkilik shakl n.

The kanonizant daraja va tartibning kovariantidir (n+1) / 2 toq darajadagi ikkilik shakl n.

The Jacobian

{ displaystyle det { begin {bmatrix} { frac { kısmi f} { qisman x}} va { frac { qisman f} { qisman y}} [10pt] { frac { qisman g} { qismli x}} va { frac { qismli g} { qismli y}} end {bmatrix}}}

ikki shaklning bir vaqtning o'zida o'zgarmasligidir f, g.

O'zgarmaslarning halqasi

Invariantlar halqasining tuzilishi kichik darajalarda ishlab chiqilgan. Silvestr va Franklin (1879) 10 darajagacha bo'lgan shakllar uchun invariantlar va kovariantlar generatorlari sonlarining jadvallarini berdi, ammo jadvallarda katta darajalar uchun bir nechta kichik xatolar mavjud, asosan bir nechta invariantlar yoki kovariantlar chiqarib tashlangan.

Ikkilik chiziqli shakldagi kovaryantlar

Lineer shakllar uchun bolta + tomonidan yagona invariantlar doimiydir. Kovariantlar algebrasi 1-darajali shakl va 1-tartibning o'zi tomonidan hosil bo'ladi.

Ikkilik kvadratning kovariantlari

Kvadratik shakldagi invariantlar algebrasi bolta² + 2bxy + cy² bu diskriminant tomonidan hosil qilingan 1 o'zgaruvchidagi polinom algebra b² − ak daraja 2. Kovariantlar algebrasi - bu diskriminant tomonidan hosil qilingan 2 o'zgaruvchisidagi polinom algebra. f o'zi (1 daraja va 2 tartib). (Schur 1968 yil, II.8) (Hilbert 1993 yil, XVI, XX)

Ikkilik kubning kovaryantlari

Kub shaklidagi o'zgarmaslarning algebrasi bolta³ + 3bx²y + 3cxy² + dy³ bu diskriminant tomonidan hosil qilingan 1 o'zgaruvchidagi polinom algebra D. = 3b²v² + 6a B C D − 4b³d − 4v³a − a²d² 4. daraja. Kovaryantlar algebrasi diskriminant tomonidan shaklning o'zi (1-daraja, 3-tartib), Gessian tomonidan yaratilgan. H (daraja 2, buyurtma 2) va kovariant T daraja 3 va tartib 3. Ular quyidagilar bilan bog'liq syzygy 4H³=Df²-T² 6-daraja va 6-tartib. (Schur 1968 yil, II.8) (Hilbert 1993 yil, XVII, XX)

Ikkilik kvartikaning kovariantlari

Kvartik shakldagi invariantlar algebrasi invariantlar tomonidan hosil qilinadi men, j 2, 3. darajalar, bu halqa tabiiy ravishda 1-darajali modulli shakllar halqasiga izomorf bo'lib, ikkita generator Eisenshteyn qatoriga to'g'ri keladi E₄ va E₆. Kovariantlar algebrasi ushbu ikkita invariant tomonidan shakl bilan birga hosil bo'ladi f 1-darajali va 4-darajali, Gessian H 2-darajali va 4-darajali va kovariant T daraja 3 va tartib 6. Ular syezgiya bilan bog'liq $jf 3 - Hf 2 men + 4 H 3 + T 2 = 0$ daraja 6 va buyurtma 12. (Schur 1968 yil, II.8) (Hilbert 1993 yil, XVIII, XXII)

Ikkilik kvintikaning kovariantlari

Kvintik shakldagi invariantlar algebrasi Silvestr tomonidan topilgan va uni 4, 8, 12, 18 darajadagi invariantlar yaratgan. 4, 8, 12 darajadagi generatorlar polinom halqasini hosil qiladilar, ular tarkibida Germitning skari o'zgarmas kvadratini o'z ichiga oladi. 18-daraja. Invariantlar aniq yozish uchun juda murakkab: Silvestr 4, 8, 12, 18 darajadagi generatorlar ko'pincha juda katta koeffitsientlarga ega 12, 59, 228 va 848 atamalarga ega ekanligini ko'rsatdi. (Schur 1968 yil, II.9) (Hilbert 1993 yil, XVIII) Kovariantlar halqasini 23 kovariant yaratadi, ulardan biri kanonizant 3 daraja va 3 buyurtma.

Ikkilik sekstikaning kovariantlari

Sekstik shakldagi invariantlar algebrasi 2, 4, 6, 10, 15 darajali invariantlar tomonidan hosil qilingan, 2, 4, 6, 10 darajadagi generatorlar 15 darajali generator kvadratini o'z ichiga olgan polinom halqasini hosil qiladi. . (Schur 1968 yil, II.9) Kovariantlar halqasini 26 kovariant yaratadi. Invariantlarning halqasi 2-avlod egri chiziqlarining moduli fazosi bilan chambarchas bog'liq, chunki bunday egri chiziq 6 nuqtada tarvaqalangan proektsion chiziqning ikki qavatli qopqog'i sifatida ifodalanishi mumkin va 6 nuqtani ikkilikning ildizi sifatida qabul qilish mumkin sekstik.

Ikkilik septikning kovaryantlari

Ikkilik septiklar invariantlarining halqasi g'ayritabiiy va bir nechta nashr qilingan xatolarga sabab bo'lgan. Keyli invariantlarning halqasi oxir-oqibat yaratilmagan deb noto'g'ri da'vo qildi. Silvestr va Franklin (1879) invariantlar halqasi va kovariantlar halqasi generatorlari soni bo'yicha 26 va 124 pastki chegaralarini berdi va isbotlanmagan "fundamental postulat" tenglikni anglatishini anglatadi. Ammo fon Gall (1888) Silvestrning raqamlari generatorlar soniga teng emasligini ko'rsatdi, ular invariantlar halqasi uchun 30 ta va kovaryantlar halqasi uchun kamida 130 ga teng, shuning uchun Silvestrning asosiy postulati noto'g'ri. fon Gall (1888) va Dixmier & Lazard (1986) 7 darajali invariantlar algebrasi 4 darajali 1 o'zgarmas, 8 daraja 3, 12 daraja 6, 14 daraja 4, 16 daraja 2, 18 daraja 9 va bitta to'plam bilan hosil bo'lganligini ko'rsatdi. 20, 22, 26, 30 darajalarning har biri. Kroni (2002) kovariantlarning halqasi uchun 147 ta generator beradi.

Ikkilik oktavikaning kovariantlari

Silvestr va Franklin (1879) 8 darajali invariantlar halqasini 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 darajadagi 9 o'zgarmas va kovariantlar halqasini 69 kovariantlar hosil qilganligini ko'rsatdi. Avgust fon Gall (fon Gall (1880) ) va Shioda (1967) invariantlar halqasi uchun generatorlarni tasdiqladi va ular orasidagi munosabatlar idealini 16, 17, 18, 19, 20 daraja elementlari yaratishini ko'rsatdi.

Ikkilik nonikning kovaryantlari

Brouwer va Popoviciu (2010a) 9 darajali invariantlar algebrasi 92 invariant tomonidan hosil bo'lishini ko'rsatdi. Kroni, Xagornn va Brouver^[1] hisoblangan 476 kovaryant va Lercier & Olive ushbu ro'yxat to'liq ekanligini ko'rsatdi.

Ikkilik dekimikaning kovariantlari

Silvestr ikkitomonlama dekikalarning invariantlari halqasini 104 invariantlari 475 kovariantlari tomonidan kovariantlarning halqasini hosil qiladi; uning ro'yxati 16 darajagacha to'g'ri, yuqori darajalarda esa noto'g'ri. Brouwer va Popoviciu (2010b) 10 darajali invariantlar algebrasi 106 o'zgarmas tomonidan hosil bo'lishini ko'rsatdi. Hagedorn va Brouwer^[1] hisoblangan 510 kovariant va Lercier & Olive ushbu ro'yxat to'liq ekanligini ko'rsatdi.

Ikkilik bo'lmagan kovaryantlar

11 darajali ikkilik shakllar invariantlarining halqasi murakkab va hali aniq tavsiflanmagan.

Ikkilik duodekimikaning kovariantlari

12-daraja shakllari uchun Silvestr (1881) 14 darajagacha 109 asosiy o'zgarmas mavjudligini aniqladi. Yuqori darajalarda yana kamida 4 ta bor. Asosiy kovaryantlar soni kamida 989 tani tashkil qiladi.

Ikkilik shakllar va ikkilik shakllar kovariantlari uchun generatorlar sonini (ketma-ketlikda) topish mumkin A036983 ichida OEIS ) va (ketma-ketlik) A036984 ichida OEIS ) navbati bilan.

Bir nechta ikkilik shakllarning o'zgaruvchan variantlari

Ikkilik shakldagi kovariantlar asosan ikkilik shakl va ikkilik chiziqli shaklning qo'shma invariantlari bilan bir xil. Umuman olganda, har qanday ikkilik shakllar to'plamining qo'shma invariantlarini (va kovariantlarini) so'rashi mumkin. O'rganilgan ba'zi holatlar quyida keltirilgan.

Ikki chiziqli shakldagi kovaryantlar

1 asosiy o'zgarmas va 3 asosiy kovaryant mavjud.

Chiziqli va kvadratik kovariantlar

2 asosiy o'zgarmas va 5 asosiy kovaryant mavjud.

Chiziqli shakl va kubning kovaryantlari

4 ta asosiy o'zgarmas (asosan kubning kovariantlari) va 13 ta asosiy kovariantlar mavjud.

Chiziqli shakl va kvartikaning kovariantlari

5 ta asosiy o'zgarmas (asosan kvartikaning asosiy kovariantlari) va 20 ta asosiy kovariantlar mavjud.

Chiziqli shakl va kvintikaning kovariantlari

23 ta asosiy o'zgarmas (asosan kvintikaning asosiy kovariantlari) va 94 ta asosiy kovariantlar mavjud.

Chiziqli shakl va kvant kovariantlari

Bir nechta chiziqli shakllarning kovariantlari

Ning o'zgarmas halqasi n chiziqli shakllar tomonidan yaratilgan n(n–1) / 2 darajali invariant 2. ning kovariantlari halqasi n chiziqli shakllar mohiyatan o'zgarmaslarning halqasi bilan bir xil n+1 chiziqli shakllar.

Ikki kvadratik kovaryantlari

3 asosiy o'zgarmas va 6 asosiy kovaryant mavjud.

Ikki kvadratik kovaryantlar va chiziqli shakl

Bir nechta chiziqli va kvadratik shakllarning kovariantlari

Sumning o'zgarmas halqasi m chiziqli shakllar va n kvadratik shakllar tomonidan hosil qilingan m(m–1)/2 + n(n+1) / 2 darajadagi 2 generator, nm(m+1)/2 + n(n–1)(n–2) / 6 daraja 3 va m(m+1)n(n–1) / 4 daraja 4.

Kovariantlar halqasining generatorlari soni uchun o'zgartiring m ga m+1.

Kvadratik va kubning kovaryantlari

5 asosiy o'zgarmas va 15 asosiy kovaryant mavjud

Kvadratik va kvartikaning kovariantlari

6 asosiy invariant va 18 asosiy kovaryant mavjud

Kvadratik va kvintikaning kovariantlari

29 asosiy o'zgarmas va 92 asosiy kovaryant mavjud

Kub va kvartikaning kovariantlari

20 asosiy o'zgarmas va 63 asosiy kovaryant mavjud

Ikki kvartikaning kovariantlari

8 asosiy o'zgarmas (3 daraja 3, 3 daraja 4 va 4 darajadagi 1) va 28 asosiy kovaryant mavjud. (Gordan 30 kovariant berdi, ammo Silvestr ularning ikkitasi kamaytirilishini ko'rsatdi).

Ko'p kubik yoki kvartikadan kovaryantlar

Invariantlar yoki kovariantlar generatorlarining soni berilgan Yosh (1899).

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b Brouwer, Invariants va miqdorlarning kovariantlari

Brouwer, Andris E.; Popoviciu, Mixaela (2010a), "Ikkilik nonikning invariantlari", Ramziy hisoblash jurnali, 45 (6): 709–720, arXiv:1002.0761, doi:10.1016 / j.jsc.2010.03.003, ISSN 0747-7171, JANOB 2639312
Brouwer, Andris E.; Popoviciu, Mixaela (2010b), "Ikkilik dekimikaning invariantlari", Ramziy hisoblash jurnali, 45 (8): 837–843, arXiv:1002.1008, doi:10.1016 / j.jsc.2010.03.002, ISSN 0747-7171, JANOB 2657667
Dikmier, Jak; Lazard, D. (1988), "7 daraja ikkilik shakli uchun minimal invariantlarning minimal soni", Ramziy hisoblash jurnali, 6 (1): 113–115, doi:10.1016 / S0747-7171 (88) 80026-9, ISSN 0747-7171, JANOB 0961375
fon Gall, Avgust Freyherr (1880), "Das vollständige Formensystem einer binären Form for achter Ordnung", Matematik Annalen, 17 (1): 31–51, doi:10.1007 / BF01444117, ISSN 0025-5831, JANOB 1510048
fon Gall, Avgust Freyherr (1888), "Das vollständige Formensystem der binären Form 7^terOrdnung ", Matematik Annalen, 31 (3): 318–336, doi:10.1007 / BF01206218, ISSN 0025-5831, JANOB 1510486
Gordan, Pol (1868), "Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binären Form eine ganze Funktsiya mit numerischen Coeffizienten einer endlichen Anzahl solcher Formen ist", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1868 (69): 323–354, doi:10.1515 / crll.1868.69.323
Xilbert, Devid (1993) [1897], Algebraik invariantlar nazariyasi, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN 978-0-521-44457-6, JANOB 1266168
Kung, Jozef P. S.; Rota, Jan-Karlo (1984), "Ikkilik shakllarning o'zgarmas nazariyasi", Amerika matematik jamiyati. Axborotnomasi. Yangi seriya, 10 (1): 27–85, doi:10.1090 / S0273-0979-1984-15188-7, ISSN 0002-9904, JANOB 0722856
Schur, Issai (1968), Grunskiy, Helmut (tahr.), Vorlesungen über Invariantentheorie, Die Grundlehren derhematischen Wissenschaften, 143, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-04139-9, JANOB 0229674
Shioda, Tetsuji (1967), "Ikkilik oktavikalarning o'zgarmas darajadagi halqasida", Amerika matematika jurnali, 89 (4): 1022–1046, doi:10.2307/2373415, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373415, JANOB 0220738
Sturmfels, Bernd (1993), İnvariant nazariyadagi algoritmlar, Simvolik hisoblashda matnlar va monografiyalar, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-211-77417-5, ISBN 978-3-211-82445-0, JANOB 1255980
Silvestr, J. J.; Franklin, F. (1879), "Birinchi o'nta buyruqlarning ikkilik kvantikasi uchun funktsiyalar va zamin shakllarini yaratish jadvallari", Amerika matematika jurnali, 2 (3): 223–251, doi:10.2307/2369240, ISSN 0002-9327, JSTOR 2369240, JANOB 1505222
Silvester, Jeyms Jozef (1881), "Ikkilik duodekimikaning hosil bo'ladigan funktsiyalari va zamin shakllari jadvallari, ba'zi umumiy izohlar va ba'zi kvantlarning kamayib bo'lmaydigan syyzigiyalari jadvallari", Amerika matematika jurnali, Jons Xopkins universiteti matbuoti, 4 (1): 41–61, doi:10.2307/2369149, ISSN 0002-9327, JSTOR 2369149

Tashqi havolalar

Brouwer, Andris E., Ikkilik shakllarning o'zgaruvchan variantlari

[aeb-1] Brouwer, Invariants va miqdorlarning kovariantlari

[1]