Maxsus chiziqli guruh - Special linear group

Yilda matematika, maxsus chiziqli guruh SL (n, F) daraja n ustidan maydon F ning to'plami n × n matritsalar bilan aniqlovchi 1, oddiy guruh operatsiyalari bilan matritsani ko'paytirish va matritsa inversiyasi. Bu oddiy kichik guruh ning umumiy chiziqli guruh tomonidan berilgan yadro ning aniqlovchi

{ displaystyle det colon operatorname {GL} (n, F) to F ^ { times}.}

qaerga yozamiz F^× uchun multiplikativ guruh ning F (anavi, F 0 tashqari).

Ushbu elementlar a ni tashkil etishi bilan "maxsus" subvariety umumiy chiziqli guruh - ular polinom tenglamasini qondiradi (chunki determinant yozuvlarda polinom hisoblanadi).

Geometrik talqin

Maxsus chiziqli guruh SL (n, R) guruhi sifatida tavsiflanishi mumkin hajmi va yo'nalish saqlash ning chiziqli o'zgarishlari Rⁿ; bu determinantning hajmi va yo'nalishi o'zgarishini o'lchash sifatida izohlanishiga mos keladi.

Yolg'onchi kichik guruh

Qachon F bu R yoki C, SL (n, F) a Yolg'onchi kichik guruh ning GL (n, F) o'lchov n² − 1. The Yolg'on algebra ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (n, F)}$ SL (n, F) barchadan iborat n × n matritsalar tugadi F g'oyib bo'lish bilan iz. The Yolg'on qavs tomonidan berilgan komutator.

Topologiya

Har qanday qaytariladigan matritsa ga muvofiq noyob tarzda ifodalanishi mumkin qutbli parchalanish a mahsuloti sifatida unitar matritsa va a hermit matritsasi ijobiy bilan o'zgacha qiymatlar. The aniqlovchi unitar matritsaning qiymati birlik doirasi Hermitian matritsasi haqiqiy va ijobiy bo'lsa va maxsus chiziqli guruhdan olingan matritsa bo'lsa, bu ikkita determinantning hosilasi 1 bo'lishi kerak, shunda ularning har biri 1 bo'lishi kerak. Shuning uchun maxsus chiziqli matritsa yozilishi mumkin. a mahsuloti sifatida maxsus unitar matritsa (yoki maxsus ortogonal matritsa haqiqiy holatda) va a ijobiy aniq hermit matritsasi (yoki nosimmetrik matritsa aniq holatda) 1 determinantiga ega.

Shunday qilib guruhning topologiyasi SL (n, C) bo'ladi mahsulot SU topologiyasi (n) va ijobiy o'ziga xos qiymatlari bilan birlik determinantining hermitiy matritsalari guruhi topologiyasi. Birlik determinantining va ijobiy o'ziga xos qiymatlarga ega bo'lgan germitian matritsasi noyob sifatida ifodalanishi mumkin eksponent a izsiz germitian matritsasi, va shuning uchun bu topologiyani (n² − 1)- o'lchovli Evklid fazosi.^[1] SU dan beri (n) oddiygina ulangan,^[2] biz shunday xulosa qilamiz SL (n, C) Hammasi uchun oddiygina bog'langan n.

Topologiyasi SL (n, R) topologiyasining mahsulidir SO (n) va ijobiy o'ziga xos qiymatlari va birlik determinantiga ega bo'lgan simmetrik matritsalar guruhi topologiyasi. So'nggi matritsalar nosimmetrik izsiz matritsalarning eksponentligi sifatida noyob tarzda ifodalanishi mumkin bo'lganligi sababli, bu oxirgi topologiya (n + 2)(n − 1)/2- o'lchovli Evklid fazosi. Shunday qilib, guruh SL (n, R) bir xil narsaga ega asosiy guruh SO sifatida (n), anavi, Z uchun n = 2 va Z₂ uchun n > 2.^[3] Xususan, bu degani SL (n, R), farqli o'laroq SL (n, C), shunchaki bog'liq emas, chunki n 1 dan katta.

GL ning boshqa kichik guruhlari bilan aloqalar (n,A)

Ba'zi hollarda SL bilan mos keladigan va boshqa hollarda tasodifan SL bilan to'qnashgan ikkita tegishli kichik guruhlar kommutatorning kichik guruhi GL va guruh tomonidan yaratilgan transveksiyalar. Bu ikkala SL ning kichik guruhlari (transkventsiyalar 1 determinantiga ega va det - bu abeliya guruhining xaritasi, shuning uchun [GL, GL] ≤ SL), lekin umuman u bilan mos kelmaydi.

Transveksiyalar natijasida hosil bo'lgan guruh belgilanadi E (n, A) (uchun elementar matritsalar ) yoki Televizor (n, A). Ikkinchisiga Shtaynberg munosabati, uchun n ≥ 3, transvektsiyalar kommutatorlardir, shuning uchun n ≥ 3, E (n, A≤ [GL (n, A), GL (n, A)].

Uchun n = 2, transvektsiyalar komutator bo'lmasligi kerak (ning 2 × 2 matritsalar), masalan ko'rinib turganidek A bu F₂, keyin ikkita elementning maydoni

{ Displaystyle operator nomi {Alt} (3) cong [ operator nomi {GL} (2, mathbf {F} _ {2}), operator nomi {GL} (2, mathbf {F} _ {2} )] < operator nomi {E} (2, mathbf {F} _ {2}) = operator nomi {SL} (2, mathbf {F} _ {2}) = operator nomi {GL} (2, mathbf {F} _ {2}) cong operatorname {Sym} (3),}

bu erda Alt (3) va Sym (3) ni bildiradi o'zgaruvchan resp. nosimmetrik guruh 3 ta harfda.

Ammo, agar A bu 2 dan ortiq elementlardan iborat maydon, keyin E (2, A) = [GL (2, A), GL (2, A)]va agar bo'lsa A 3 dan ortiq elementlardan iborat maydon, E (2, A) = [SL (2, A), SL (2, A)].^{[shubhali – muhokama qilish]}

Ba'zi hollarda bular bir-biriga to'g'ri keladi: maydon ustidagi maxsus chiziqli guruh yoki a Evklid domeni transvektsiyalar orqali hosil bo'ladi va barqaror a ustidan maxsus chiziqli guruh Dedekind domeni transveksiyalar orqali hosil bo'ladi. Ko'proq umumiy halqalar uchun barqaror farq maxsus Whitehead guruhi SK₁(A): = SL (A) / E (A)qaerda SL (A) va E (A) barqaror guruhlar maxsus chiziqli guruh va elementar matritsalar.

Jeneratorlar va munosabatlar

Agar SL hosil bo'lgan halqa ustida ishlasa transveksiyalar (masalan, a maydon yoki Evklid domeni ), a berishi mumkin taqdimot Ba'zi munosabatlar bilan transvektsiyalar yordamida SL ning. Transvektsiyalar qoniqtiradi Shtaynberg munosabatlari, ammo bu etarli emas: natijada guruh Shtaynberg guruhi, bu maxsus chiziqli guruh emas, aksincha universal markaziy kengaytma GL kommutatori kichik guruhining.

Uchun etarli munosabatlar to'plami SL (n, Z) uchun n ≥ 3 Shtaynberg munosabatlarining ikkitasi va uchinchi munosabat bilan berilgan (Conder, Robertson va Uilyams 1992 yil, p. 19) .Qo'yaylik T_ij := e_ij(1) diagonali va ning ichida 1 ga teng bo'lgan elementar matritsa bo'ling ij pozitsiyasi va 0 boshqa joylarda (va men ≠ j). Keyin

{ displaystyle { begin {aligned} left [T_ {ij}, T_ {jk} right] & = T_ {ik} && { text {for}} i neq k [4pt] left [ T_ {ij}, T_ {k ell} right] & = mathbf {1} && { text {for}} i neq ell, j neq k [4pt] (T_ {12} T_) {21} ^ {- 1} T_ {12}) ^ {4} & = mathbf {1} end {aligned}}}

SL uchun munosabatlarning to'liq to'plamidir (n, Z), n ≥ 3.

SL^±(n,F)

Yilda xarakterli 2 dan tashqari, determinantli matritsalar to'plami $\pm1$ GL ning yana bir kichik guruhini tuzing, SL indeks 2 kichik guruhi bilan (normal bo'lishi shart); xarakterli 2da bu SL bilan bir xil. Bu shakllanadi qisqa aniq ketma-ketlik guruhlar:

{ displaystyle mathrm {SL} (n, F) to mathrm {SL} ^ { pm} (n, F) to { pm 1 }.}

Ushbu ketma-ketlik har qanday matritsani determinant bilan olish orqali bo'linadi $-1$ , masalan, diagonali matritsa ${ displaystyle (-1,1, dots, 1).}$ Agar ${ displaystyle n = 2k + 1}$ g'alati, salbiy identifikatsiya matritsasi ${ displaystyle -I}$ ichida $SL \pm (n, F)$ lekin emas $SL (n, F)$ va shu tariqa guruh ikkiga bo'linadi ichki to'g'ridan-to'g'ri mahsulot ${ displaystyle SL ^ { pm} (2k + 1, F) cong SL (2k + 1, F) times { pm I }}$ . Ammo, agar ${ displaystyle n = 2k}$ hatto, ${ displaystyle -I}$ allaqachon kiritilgan $SL (n, F)$ , $SL \pm$ bo'linmaydi va umuman ahamiyatsiz emas guruhni kengaytirish.

Haqiqiy raqamlar bo'yicha, $SL \pm (n, R)$ ikkitasi bor ulangan komponentlar, mos keladigan $SL (n, R)$ va nuqta tanlashiga qarab identifikatsiyalash bilan izomorf bo'lgan boshqa komponent (determinantli matritsa) $-1$ ). Toq o'lchovda ular tabiiy ravishda aniqlanadi ${ displaystyle -I}$ , lekin hatto o'lchamda ham tabiiy identifikatsiya mavjud emas.

GL tuzilishi (n,F)

Guruh GL (n, F) uning determinantiga bo'linadi (biz foydalanamiz F^× ≅ GL (1, F) → GL (n, F) sifatida monomorfizm dan F^× ga GL (n, F), qarang yarim yo'nalishli mahsulot ) va shuning uchun GL (n, F) sifatida yozilishi mumkin yarim yo'nalishli mahsulot ning SL (n, F) tomonidan F^×:

GL (n, F) = SL (n, F) ⋊ F^×.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Zal 2015 2.5-bo'lim
^ Zal 2015 Taklif 13.11
^ Zal 2015 13.2 va 13.3-bo'limlar

Konder, Marston; Robertson, Edmund; Uilyams, Piter (1992), "Butun halqalar ustidagi 3 o'lchovli maxsus chiziqli guruhlar uchun taqdimotlar", Amerika matematik jamiyati materiallari, Amerika matematik jamiyati, 115 (1): 19–26, doi:10.2307/2159559, JSTOR 2159559, JANOB 1079696
Hall, Brian C. (2015), Yolg'on guruhlari, yolg'on algebralari va vakolatxonalari: Boshlang'ich kirish, Matematikadan magistrlik matnlari, 222 (2-nashr), Springer

[1] Zal 2015 2.5-bo'lim

[2] Zal 2015 Taklif 13.11

[3] Zal 2015 13.2 va 13.3-bo'limlar

[1]

[2]

[3]