Teskari tarqoq konvertatsiya - Inverse scattering transform

Yilda matematika, teskari tarqoq konvertatsiya ba'zi bir chiziqli bo'lmaganlarni hal qilish uchun usul qisman differentsial tenglamalar. Bu so'nggi 40 yil ichida matematik fizikaning eng muhim rivojlanishlaridan biridir^{[iqtibos kerak ]}. Usulning chiziqli bo'lmagan analogidir va ma'lum ma'noda umumlashtirish Furye konvertatsiyasi, uning o'zi ko'plab chiziqli qisman differentsial tenglamalarni echish uchun qo'llaniladi. "Teskari tarqalish usuli" nomi uning tarqalish ma'lumotlarining vaqt evolyutsiyasidan potentsialning vaqt evolyutsiyasini tiklashning asosiy g'oyasidan kelib chiqadi: teskari tarqalish to'g'ridan-to'g'ri tarqalishdan farqli o'laroq, uning tarqalish matritsasidan potentsialni tiklash muammosini anglatadi. sochilish matritsasini potentsialdan topish muammosi.

Teskari tarqoq konvertatsiya deb ataladigan ko'plarga qo'llanilishi mumkin aniq hal etiladigan modellar, Demak to'liq integral cheksiz o'lchovli tizimlar.

Umumiy nuqtai

Teskari tarqoq konvertatsiya birinchi marta Klifford S. Gardner, Jon M. Grin va Martin D. Kruskal va boshq. (1967, 1974 ) uchun Korteweg – de Fris tenglamasi va tez orada chiziqli bo'lmagan Shredinger tenglamasi, Sine-Gordon tenglamasi, va Toda panjarasi tenglama. Keyinchalik bu kabi ko'plab boshqa tenglamalarni echish uchun ishlatilgan Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi, Ishimori tenglamasi, Dym tenglamasi, va hokazo. Quyidagi misollar oilasi Bogomolniy tenglamalari (ma'lum bir o'lchov guruhi va yo'naltirilgan Riemann 3 barobar uchun), ${displaystyle L ^ {2}}$ ularning echimlari magnit monopollar.

Teskari sochish usuli bilan olingan eritmalarning xarakteristikasi bu mavjudlikdir solitonlar, ikkala zarrachaga va to'lqinlarga o'xshash echimlar, bu chiziqli qisman differentsial tenglamalar uchun analogi yo'q. "Soliton" atamasi chiziqli bo'lmagan optikadan kelib chiqadi.

Teskari tarqalish masalasini a shaklida yozish mumkin Riemann-Hilbert faktorizatsiyasi muammo, hech bo'lmaganda bitta kosmik o'lchamdagi tenglamalar bo'lsa. Ushbu formulani 2 dan katta tartibli differentsial operatorlar va shuningdek davriy potentsial uchun umumlashtirish mumkin.Yuqori kosmik o'lchovlar o'rniga "nonlocal" Riemann-Hilbert faktorizatsiya muammosi (ko'paytirish o'rniga konvolusiya bilan) yoki d-bar muammosi mavjud.

Masalan: Korteweg – de Vriz tenglamasi

Korteveg-de-Vriz tenglamasi chiziqli bo'lmagan, dispersiv va evolyutsiyadir qisman differentsial tenglama a funktsiya siz; ikkitadan haqiqiy o'zgaruvchilar, bitta bo'shliq o'zgaruvchisi x va bitta vaqt o'zgaruvchisi t :

{displaystyle u_ {t} -6uu_ {x} + u_ {xxx} = 0}

bilan ${displaystyle u_ {t}}$ va ${displaystyle u_ {x}}$ belgilaydigan qisman hosilalar munosabat bilan t va xnavbati bilan.

Ushbu tenglama uchun boshlang'ich qiymat muammosini hal qilish uchun qaerda ${displaystyle u (x, 0)}$ ning ma'lum funktsiyasidir x, bu tenglamaga Shryodingerning o'ziga xos qiymati tenglamasi qo'shiladi

{displaystyle psi _ {xx} -upsi = lambda psi.}

qayerda ${displaystyle psi}$ ning noma'lum funktsiyasi t va x va siz dan tashqari noma'lum bo'lgan Korteweg-de Vriz tenglamasining echimi ${displaystyle t = 0}$ . Doimiy ${displaystyle lambda}$ bu o'zgacha qiymatdir.

Shredinger tenglamasidan olamiz

{displaystyle u = {frac {1} {psi}} psi _ {xx} -lambda.}

Buni Korteweg-de-Vriz tenglamasiga almashtirish va integrallash tenglamani beradi

{displaystyle psi _ {t} + psi _ {xxx} -3 (u-lambda) psi _ {x} = Cpsi + Dpsi int {frac {1} {psi ^ {2}}} dx}

qayerda C va D. doimiydir.

Yechish usuli

1-qadam. Lineer bo'lmagan qisman differentsial tenglamani aniqlang. Bunga odatda tahlil qilish orqali erishiladi fizika o'rganilayotgan vaziyat haqida.

2-qadam. Ishga joylashtiring oldinga tarqalish. Bu topishdan iborat Bo'shashgan juftlik. Laks juftligi ikkita chiziqli chiziqdan iborat operatorlar, ${displaystyle L}$ va ${displaystyle M}$ , shu kabi ${displaystyle Lv = lambda v}$ va ${displaystyle v_ {t} = Mv}$ . Bu juda muhimdir o'ziga xos qiymat ${displaystyle lambda}$ vaqtdan mustaqil bo'lish; ya'ni ${displaystyle lambda _ {t} = 0.}$ Buning uchun zarur va etarli shartlar quyidagicha aniqlanadi: vaqt ajrating lotin ning ${displaystyle Lv = lambda v}$ olish

{displaystyle L_ {t} v + Lv_ {t} = lambda _ {t} v + lambda v_ {t}.}

Ulanish ${displaystyle Mv}$ uchun ${displaystyle v_ {t}}$ hosil

{displaystyle L_ {t} v + LMv = lambda _ {t} v + lambda Mv.}

Uzoq muddatli muddatni qayta tuzish bizga imkon beradi

{displaystyle L_ {t} v + LMv = lambda _ {t} v + MLv.}

Shunday qilib,

{displaystyle L_ {t} v + LMv-MLv = lambda _ {t} v.}

Beri ${displaystyle vot = 0}$ , bu shuni anglatadiki ${displaystyle lambda _ {t} = 0}$ agar va faqat agar

{displaystyle L_ {t} + LM-ML = 0.,}

Bu Laks tenglamasi. Laks tenglamasida bu ${displaystyle L_ {t}}$ ning vaqt hosilasi ${displaystyle L}$ aniq qaerga bog'liq ${displaystyle t}$ . Differentsiatsiyani bu yo'l bilan aniqlashning sababi eng oddiy misol bilan bog'liq ${displaystyle L}$ , bu Schrödinger operatori (qarang Shredinger tenglamasi ):

{displaystyle L = qisman _ {xx} + u,}

bu erda u "potentsial" dir. Ifodani taqqoslash ${displaystyle L_ {t} v + Lv_ {t}}$ bilan ${displaystyle qisman _ {t} chap (v_ {xx} + uvight)}$ bizga buni ko'rsatadi ${displaystyle L_ {t} = u_ {t},}$ Shunday qilib birinchi muddatni e'tiborsiz qoldiring.

Tegishli Laks juftligini tuzgandan so'ng, Laks tenglamasi asl chiziqli bo'lmagan PDE ni tiklaydigan holat bo'lishi kerak.

3-qadam. Har bir o'ziga xos qiymat bilan bog'liq bo'lgan xos funktsiyalarning vaqt evolyutsiyasini aniqlang ${displaystyle lambda}$ , normativ konstantalar va aks ettirish koeffitsienti, uchalasi ham tarqalish deb nomlangan ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Bu vaqt evolyutsiyasi chiziqli tizim tomonidan berilgan oddiy differentsial tenglamalar buni hal qilish mumkin.

4-qadam. Bajaring teskari tarqalish hal qilish orqali protsedura Gelfand-Levitan-Marchenko integral tenglamasi (Isroil Moiseevich Gelfand va Boris Moiseevich Levitan;^[1] Vladimir Aleksandrovich Marchenko^[2]), chiziqli integral tenglama, original nochiziqli PDE ning yakuniy echimini olish uchun. Buning uchun barcha tarqalgan ma'lumotlar talab qilinadi. Agar aks ettirish koeffitsienti nolga teng bo'lsa, jarayon ancha osonlashadi. Ushbu qadam, agar ishlaydi ${displaystyle L}$ - bu ikkita buyurtmaning differentsial yoki farq operatori, ammo yuqori buyurtmalar uchun shart emas. Biroq, barcha holatlarda teskari tarqalish muammo a ga kamayadi Riemann-Hilbert faktorizatsiyasi Muammo. (Ikkala yondashuv uchun Ablowitz-Clarkson (1991) ga qarang. Matematik qat'iy davolash uchun Marchenko (1986) ga qarang.)

Integral tenglamalarga misollar

Integral tenglamalarning keyingi misollarini maqolada topish mumkin Integral tizim.

Adabiyotlar

^ Gel’fand, I. M. & Levitan, B. M., "Diferensial tenglamani spektral funktsiyasidan aniqlash to'g'risida". Amerika Matematik Jamiyati Tarjimalari, (2) 1: 253-304, 1955.
^ V. A. Marchenko, "Shturm-Liovil operatorlari va ilovalari", Birkxauzer, Bazel, 1986 y.

M. Ablowits, X.Segur, Solitonlar va teskari tarqalish o'zgarishi, SIAM, Filadelfiya, 1981 yil.
N. Asano, Y. Kato, Lineer bo'lmagan to'lqinli tenglamalar uchun algebraik va spektral usullar, Longman Scientific & Technical, Esseks, Angliya, 1990 yil.
M. Ablowits, P. Klarkson, Solitonlar, Evolyutsiyaning tengsiz tenglamalari va teskari tarqalishi, Kembrij universiteti matbuoti, Kembrij, 1991 y.
Gardner, Klifford S.; Grin, Jon M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1967), "Korteweg-deVries tenglamasini echish usuli", Jismoniy tekshiruv xatlari, 19: 1095–1097, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103 / PhysRevLett.19.1095
Gardner, Klifford S.; Grin, Jon M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1974), "Korteweg-deVries tenglamasi va umumlashtirilishi. VI. To'liq yechim usullari.", Kom. Sof Appl. Matematika., 27: 97–133, doi:10.1002 / cpa.3160270108, JANOB 0336122
V. A. Marchenko, "Shturm-Liovil operatorlari va ilovalari", Birkxauzer, Bazel, 1986 y.
J. Shou, Optik tolali aloqaning matematik asoslari, SIAM, Filadelfiya, 2004 yil.
E'lonlar: R.K. Bullough, PJ.Kodri. Hozirgi fizikadagi "Solitons" mavzulari 17. Springer Verlag, Berlin-Geydelberg-Nyu-York, 1980 yil.

Tashqi havolalar

[1] Gel’fand, I. M. & Levitan, B. M., "Diferensial tenglamani spektral funktsiyasidan aniqlash to'g'risida". Amerika Matematik Jamiyati Tarjimalari, (2) 1: 253-304, 1955.

[2] V. A. Marchenko, "Shturm-Liovil operatorlari va ilovalari", Birkxauzer, Bazel, 1986 y.

[1]

[2]