Integral tizim - Integrable system

To'liq bo'lsa-da yaxlitlik umumiy bo'lmagan umumiy xususiyatdir dinamik tizimlar, fizikada paydo bo'ladigan ko'plab tizimlar to'liq birlashtirilishi mumkin Hamiltoniyalik ma'noda, asosiy misol ko'p o'lchovli harmonik osilatorlar. Yana bir standart misol - bu bitta sobit markaz (masalan, quyosh) yoki ikkitasi atrofida sayyora harakati. Boshqa oddiy misollarga qattiq jismning o'z massasi markazi (Eyler tepasi) va eksenel nosimmetrik qattiq jismning simmetriya o'qidagi nuqtaga (Lagranj tepasi) nisbatan harakati kiradi.

Kashfiyot bilan qayta tiklangan zamonaviy integratsiyalashgan tizimlar nazariyasida 1994 yilda solitonlar tomonidan Martin Kruskal va Norman Zabuskiy, va teskari tarqalish usuli, fizikada cheksiz ko'p erkinlik darajalariga ega bo'lgan integral tizimlar mavjudligi, masalan, sayoz suv to'lqinlarining ba'zi modellari (Korteweg – de Fris tenglamasi ), the Kerr effekti bilan tavsiflangan optik tolalarda chiziqli bo'lmagan Shredinger tenglamasi, va kabi ba'zi birlashtiriladigan ko'p tanali tizimlar Toda panjarasi.

Nayjel Xitchin integrallanadigan tizimlarning uchta o'ziga xos xususiyatlarini aniqlaydi:^[1]

• mavjudligi a maksimal saqlanib qolgan miqdorlar to'plami
• mavjudligi algebraik o'zgarmas, asosga ega algebraik geometriya (algebraik integrallik)
• aniq funktsional shakldagi echimlarni aniq belgilash (ichki xususiyat emas, balki ko'pincha " hal qilish qobiliyati)

Konservalangan miqdorlar shuningdek ma'lum birinchi integrallar tizimning. Hamilton tizimlarining alohida holatida, agar oqim parametrlari uchun o'zgarmas darajadagi koordinatali tizim sifatida xizmat qilishi mumkin bo'lgan birinchi mustaqil integral Pousson kommutatsiyasi etarli bo'lsa ( barglar ning Lagrangian barglari ), va agar oqimlar to'liq bo'lsa va energiya darajasi o'rnatilgan bo'lsa, bu shuni anglatadi Liovil-Arnold teoremasi; ya'ni mavjudligi harakat burchagi o'zgaruvchilari.

Umumiy dinamik tizimlarda bunday saqlanadigan miqdorlar mavjud emas; hatto avtonom holatida ham Hamiltoniyalik tizimlar, energiya odatda yagona, va energiya darajasi to'plamlarida oqim odatda bo'ladi tartibsiz.

Integral tizimlarni tavsiflovchi asosiy tarkibiy qism bu Frobenius teoremasi, bu tizim ekanligini bildiradi Frobenius integral (ya'ni ajralmas taqsimot orqali hosil qilinadi), agar mahalliy sifatida u barglar maksimal integral manifoldlar tomonidan. Ammo dinamik tizimlar ma'nosida integrallik mahalliy xususiyat emas, balki global xususiyatdir, chunki barglar submanifoldlarga ko'milgan holda bargning odatiy bo'lishini talab qiladi.

Umumiy dinamik tizimlar

Differentsial kontekstda dinamik tizimlar, tushunchasi yaxlitlik o'zgarmas, muntazam mavjudligiga ishora qiladi yaproqlar; ya'ni barglari bo'lganlar ko'milgan submanifoldlar ostida o'zgarmas bo'lishi mumkin bo'lgan eng kichik o'lchamlarning oqim. Shunday qilib, o'zgarmas yaproq barglarining o'lchamiga qarab, integrallanish darajasining o'zgaruvchan tushunchasi mavjud. Ushbu kontseptsiya quyidagi holatlarda takomillashtirilgan Hamilton tizimlari sifatida tanilgan ma'nosida to'liq integrallik Liovil (quyida ko'rib chiqing), bu erda ushbu kontekstda eng ko'p tilga olinadigan narsa.

Integrallik tushunchasining kengayishi panjaralar kabi diskret tizimlarga ham tegishli. Ushbu ta'rifni ikkala tizim bo'lgan evolyutsiya tenglamalarini tavsiflash uchun moslashtirish mumkin differentsial tenglamalar yoki chekli farq tenglamalari.

Integral va integrallanmagan dinamik tizimlar o'rtasidagi farq muntazam harakat va boshqalarga sifatli ta'sir ko'rsatadi. tartibsiz harakat va shuning uchun ichki xususiyat nafaqat tizimning aniq shaklda aniq birlashtirilishi mumkinligi masalasida emas.

Gamilton tizimlari va Liovilning yaxlitligi

Ning maxsus sozlamalarida Hamilton tizimlari, bizda integrallik tushunchasi mavjud Liovil sezgi. (Qarang Liovil - Arnold teoremasi.) Liovilning integralligi o'zgarmas manifoldlar orqali fazalar makonining muntazam ravishda yaproqlanishi mavjudligini anglatadi, masalan, yaproqlanish invariantlari bilan bog'langan Hamilton vektor maydonlari teginish taqsimotiga to'g'ri keladi. Buni ta'kidlashning yana bir usuli shundaki, Puassonning harakatlanuvchi invariantlarining maksimal to'plami mavjud (ya'ni, faza fazosidagi funktsiyalar Poisson qavslari tizimning Gamiltonian bilan, va bir-biri bilan yo'qoladi).

Agar cheklangan o'lchovlarda, agar fazaviy bo'shliq bu simpektik (ya'ni, Puasson algebrasining markazi faqat doimiylardan iborat), unda u teng o'lchovga ega bo'lishi kerak ${ displaystyle 2n}$va mustaqil Puassonning o'zgaruvchan invariantlarining maksimal soni (shu jumladan, Gamiltonianning o'zi) ${ displaystyle n}$. Yaproq barglari umuman izotrop simpektik shaklga nisbatan va bunday maksimal izotropik yaproqlanish deyiladi Lagrangian. Hammasi avtonom Gamilton tizimlari (ya'ni Hamiltonian va Poisson qavslari vaqtga aniq bog'liq bo'lmagan tizimlar) kamida bitta o'zgarmaslikka ega; ya'ni Hamiltonning o'zi, uning oqimi bo'ylab qiymati energiya hisoblanadi. Agar energiya sathi to'plamlari ixcham bo'lsa, lagranj barglarining barglari tori bo'lib, ulardagi tabiiy chiziqli koordinatalar "burchak" o'zgaruvchilari deyiladi. Kanonik davrlar ${ displaystyle 1}$-formare amal o'zgaruvchilari deyiladi va natijada kanonik koordinatalar deyiladi harakat burchagi o'zgaruvchilari (pastga qarang).

Shuningdek, to'liq integrallik o'rtasida farq bor Liovil ma'no va qisman integrallik, shuningdek tushunchasi supertegrability va maksimal supertegrability. Aslida, bu farqlar barg barglari o'lchamlariga mos keladi. Mustaqil Puassonning o'zgaruvchan invariantlari soni maksimaldan kam bo'lsa (lekin, avtonom tizimlar uchun bittadan ko'p bo'lsa), biz tizimni qisman integral deb aytamiz. Poisson kommutatsiyasi bo'lishi mumkin bo'lgan maksimal sondan tashqari, funktsional jihatdan mustaqil invariantlar mavjud bo'lganda va shuning uchun o'zgarmas yaproq barglarining o'lchamlari n dan kam bo'lsa, biz tizim deymiz supertegrable. Agar bir o'lchovli barglar (egri chiziqlar) bilan muntazam ravishda barglar bo'lsa, bu maksimal darajada birlashtiriladigan deb nomlanadi.

Harakat burchagi o'zgaruvchilari

Agar cheklangan o'lchovli Gamilton sistemasi Liovil ma'nosida to'liq integrallanadigan bo'lsa va energiya darajalari to'plamlari ixcham bo'lsa, oqimlar tugaydi va o'zgarmas barglarning barglari tori. Keyinchalik, yuqorida aytib o'tilganidek, maxsus to'plamlar mavjud kanonik koordinatalar ustida fazaviy bo'shliq sifatida tanilgan harakat burchagi o'zgaruvchilari, o'zgarmas tori-ning qo'shma darajadagi to'plamlari harakat o'zgaruvchilar. Shunday qilib, ular Gamilton oqimining to'liq o'zgarmas to'plamini (harakatning konstantalari) ta'minlaydi va burchak o'zgaruvchilari torusdagi tabiiy davriy koordinatalardir. Ushbu kanonik koordinatalarda ifodalangan o'zgarmas tori bo'yicha harakat burchak o'zgaruvchilarida chiziqli.

Hamilton-Jakobi yondashuvi

Yilda kanonik o'zgarish nazariya mavjud Gemilton-Jakobi usuli, unda Hamilton tenglamalariga echimlar avval bog'langanlarning to'liq echimini topish orqali izlanadi Gemilton-Jakobi tenglamasi. Klassik terminologiyada bu umuman bexabar o'zgaruvchilardan tashkil topgan koordinatalarning kanonik to'plamiga o'tishni aniqlash sifatida tavsiflanadi; ya'ni Hamiltonianning kanonik "pozitsiya" koordinatalarining to'liq to'plamiga bog'liqligi bo'lmagan va shu sababli mos keladigan kanonik konjuge momentlarning barchasi saqlanib qolgan kattaliklardir. Yilni energiya darajasi to'plamlarida, bu aniqlash uchun birinchi qadamdir harakat burchagi o'zgaruvchilari. Ning qisman differentsial tenglamalarining umumiy nazariyasida Xemilton-Jakobi turi, to'liq echim (ya'ni bog'liq bo'lgan narsa) n integratsiyaning mustaqil konstantalari, bu erda n konfiguratsiya maydonining o'lchamidir), juda umumiy holatlarda mavjud, ammo faqat mahalliy ma'noda. Shuning uchun. Ning to'liq echimining mavjudligi Gemilton-Jakobi tenglamasi Liovil ma'nosida hech qanday to'liq integrallikning tavsifi emas. "Aniq birlashtirilishi" mumkin bo'lgan aksariyat holatlar to'liqni o'z ichiga oladi o'zgaruvchilarni ajratish, unda ajratish konstantalari talab qilinadigan to'liq integratsiya sobitlarining to'plamini beradi. Faqatgina ushbu sobitlarni to'liq fazaviy bo'shliq sharoitida, Lagrangian yaprog'i barglari bilan cheklangan Pousson kommutatsiya funktsiyalarining to'liq to'plamining qiymatlari sifatida qayta talqin qilish mumkin bo'lganda, tizimni Liovil ma'nosida to'liq integral deb hisoblash mumkin.

Solitonlar va teskari spektral usullar

Klassik integral tizimlarga bo'lgan qiziqishning qayta tiklanishi 1960-yillarning oxirida kashf etilishi bilan yuzaga keldi solitonlar kabi kuchli barqaror, lokalizatsiya qilingan qismli differentsial tenglamalarning echimlari Korteweg – de Fris tenglamasi (bu sayoz havzalarda 1 o'lchovli dissipativ bo'lmagan suyuqlik dinamikasini tavsiflaydi), bu tenglamalarni cheksiz o'lchovli integrallangan Hamilton tizimlari sifatida ko'rib chiqish orqali tushunish mumkin edi. Ularni o'rganish ushbu tizimlarni "integratsiya qilish" uchun juda samarali yondashuvni keltirib chiqaradi teskari tarqoq konvertatsiya va umuman teskari spektral usullar (ko'pincha kamaytirilishi mumkin Riman-Xilbert muammolari ), bog'liq bo'lgan integral tenglamalarni echish orqali Fourier analizi kabi mahalliy chiziqli usullarni lokal bo'lmagan chiziqlilashtirishga umumlashtiradigan.

Ushbu usulning asosiy g'oyasi faza fazosidagi pozitsiyasi bilan belgilanadigan va ko'rib chiqilayotgan tizim dinamikasi ostida rivojlanib boradigan chiziqli operatorni uning "spektri" (mos ravishda umumlashtirilgan ma'noda) o'zgarmas bo'lishi uchun joriy etishdir. evolyutsiya ostida, qarang. Bo'shashgan juftlik. Bu ma'lum hollarda tizimni to'liq integral qilish uchun etarli darajada o'zgarmas yoki "harakat integrallari" ni ta'minlaydi. KdV tenglamasi kabi cheksiz erkinlik darajalariga ega bo'lgan tizimlarda bu Liovilning integralliligini aniq qilish uchun etarli emas. Biroq, mos ravishda belgilangan chegara shartlari uchun spektral konvertatsiya, aslida, ga o'tish deb talqin qilinishi mumkin umuman bexabar koordinatalar, unda saqlanadigan miqdorlar ikki baravar cheksiz kanonik koordinatalar to'plamining yarmini tashkil qiladi va oqim bularda lineerlashadi. Ba'zi hollarda, bu hatto harakatning burchagi o'zgaruvchilariga o'tish sifatida qaralishi mumkin, garchi odatda faqat "pozitsiya" o'zgaruvchilarining cheklangan soni aslida burchak koordinatalari, qolganlari esa ixcham emas.

Kvantli integral tizimlar

Kvantli integral tizimlar tushunchasi ham mavjud.

Kvant parametrida fazalar fazosidagi funktsiyalar o'rniga qo'yilishi kerak o'z-o'zidan bog'langan operatorlar a Hilbert maydoni va Pousson kommutatsiya funktsiyalari tushunchasi kommutatsiya operatorlari bilan almashtirilgan. Tabiatni muhofaza qilish qonunlari tushunchasi ixtisoslashgan bo'lishi kerak mahalliy tabiatni muhofaza qilish qonunlari.^[2] Har bir Hamiltoniyalik uning energiyasiga projektorlar tomonidan berilgan cheksiz saqlanadigan kattaliklar to'plami mavjud o'z davlatlari. Biroq, bu hech qanday maxsus dinamik tuzilmani anglatmaydi.

Kvant integralligini tushuntirish uchun zarrachalarning erkin joylashishini ko'rib chiqish foydalidir. Bu erda barcha dinamikalar bir tanaga kamaytirilishi mumkin. Agar dinamika ikki tanani kamaytiradigan bo'lsa, kvant tizimi integrallanadi deyiladi. The Yang-Baxter tenglamasi bu kamaytirilishning natijasidir va cheksiz saqlanib qolgan miqdorlarni ta'minlaydigan iz identifikatorlariga olib keladi. Ushbu g'oyalarning barchasi kvant teskari sochish usuli bu erda algebraik Bethe ansatz aniq echimlarni olish uchun ishlatilishi mumkin. Kvantli integral modellarga quyidagilar kiradi Lieb-Liniger modeli, Xabbard modeli va bo'yicha bir nechta farqlar Heisenberg modeli.^[3] Kvant integralliligining ba'zi boshqa turlari aniq Tavsit-Kammings modeli kabi vaqtga bog'liq bo'lgan kvant muammolarida ma'lum.^[4]

To'liq echiladigan modellar

Fizikada to'liq integral tizimlar, ayniqsa cheksiz o'lchovli muhitda, ko'pincha aniq hal etiladigan modellar deb nomlanadi. Bu Gamilton ma'nosida integrallikni va umumiy dinamik tizimlar ma'nosini ajratib turadi.

Statistik mexanikada aniq echiladigan modellar mavjud bo'lib, ular klassiklarga qaraganda kvantli integral tizimlar bilan chambarchas bog'liqdir. Ikki chambarchas bog'liq usul: Bethe ansatz asoslangan zamonaviy yondashuv Yang-Baxter tenglamalari va kvant teskari sochish usuli teskari spektral usullarning kvant analoglarini taqdim etish. Bular statistik mexanikada echiladigan modellarni o'rganishda bir xil ahamiyatga ega.

Ba'zida "aniq echimlilik" tushunchasi quyidagicha tushuniladi: "echimlar ilgari ma'lum bo'lgan ba'zi funktsiyalar bo'yicha aniq ifodalanishi mumkin", go'yo bu faqat tizimning o'ziga xos xususiyati edi, aksincha bu aniq hisoblash xususiyati. bizda tasodifan ba'zi "ma'lum" funktsiyalar mavjud bo'lib, ular bo'yicha echimlar ifodalanishi mumkin. Ushbu tushuncha ichki ma'noga ega emas, chunki "ma'lum" funktsiyalar deganda ko'pincha ularning ma'lum berilgan tenglamalarni qondirishi aniqlanadi va bunday "ma'lum funktsiyalar" ro'yxati doimiy ravishda o'sib boradi. Garchi "integrallik" ning bunday tavsifi ichki kuchga ega bo'lmasa-da, ko'pincha integrallanadigan tizimlarda kutilishi mumkin bo'lgan muntazamlikni anglatadi.^{[iqtibos kerak ]}

Ba'zi taniqli klassik integral tizimlarning ro'yxati

Klassik mexanik tizimlar (cheklangan o'lchovli faza maydoni)

• Harmonik osilatorlar yilda n o'lchamlari
• Markaziy kuch harakat (klassik markaziy kuch muammolarining aniq echimlari )
• Ikkita markaz Nyuton tortishish kuchi harakat
• Ellipsoidlarda geodezik harakat
• Neyman osilatori
• Lagranj, Eyler va Kovalevskaya tepalari
• Suyuqlikdagi integral Klebsch va Steklov tizimlari
• Kalogero-Mozer-Sazerlend modeli^[5]

Birlashtiriladigan panjara modellari

• Toda panjarasi
• Ablowits - Ladik panjarasi
• Volterra panjarasi
• Korteweg – de Fris tenglamasi
• Sinus-Gordon tenglamasi
• Lineer bo'lmagan Shredinger tenglamasi
• AKNS tizimi
• Bussinesq tenglamasi (suv to'lqinlari)
• Kamassa-Xolm tenglamasi
• Lineer bo'lmagan sigma modellari
• Klassik Heisenberg ferromagnet modeli (aylanish zanjiri)
• Klassik Gaudin spin tizimi (Garnier tizimi)
• Kaup-Kupershmidt tenglamasi
• Krichever-Novikov tenglamasi
• Landau-Lifshits tenglamasi (uzluksiz aylanish sohasi)
• Benjamin-Ono tenglamasi
• Degasperis-Procesi tenglamasi
• Dym tenglamasi
• Katta Thirring modeli
• Uch to'lqinli tenglama

2 + 1 o'lchamdagi integral PDElar

• Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi
• Deyvi - Styuartson tenglamasi
• Ishimori tenglamasi
• Novikov-Veselov tenglamasi
• The Belinski-Zaxarov konvertatsiyasi uchun Lax juftligini hosil qiladi Eynshteyn maydon tenglamalari; umumiy echimlar deb nomlanadi tortishish solitonlari, ulardan Shvartschild metrikasi, Kerr metrikasi va ba'zilari tortishish to'lqini echimlar misollar.

Shuningdek qarang

• Hitchin tizimi

Tegishli joylar

• Matematik fizika
• Soliton
• Og'riqli transsendentsiyalar
• Statistik mexanika
• Integratsiyalashgan algoritm

Ba'zi asosiy yordamchilar (1965 yildan beri)

• Mark Ablowits
• Rodni Baxter
• Persi Deyft
• Leonid Dikki
• Vladimir Drinfeld
• Boris Dubrovin
• Lyudvig Faddeev
• Hermann Flaschka
• Isroil Gel'fand
• Aleksandr Uning
• Michio Jimbo
• Igor M. Krichever
• Martin Kruskal
• Piter Laks
• Vladimir Matveev
• Robert Miura
• Tetsuji-Miwa
• Alan Nyuell
• Nikolay Reshetixin
• Aleksey Shabat
• Evgeniy Sklyanin
• Mikio Sato
• Grem Segal
• Jorj Uilson
• Vladimir E. Zaxarov

Adabiyotlar

• V. I. Arnold (1997). Klassik mexanikaning matematik usullari, 2-nashr. Springer. ISBN  978-0-387-96890-2.
• O. Babelon, D. Bernard, M. Talon (2003). Klassik integral tizimlarga kirish. Kembrij universiteti matbuoti. doi:10.1017 / CBO9780511535024. ISBN  0-521-82267-X.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
• R.J. Baxter (1982). Statistik mexanikada aniq echilgan modellar. Akademik matbuot Inc [Harcourt Brace Jovanovich Publishers]. ISBN  978-0-12-083180-7.
• M. Dunayskiy (2009). Solitons, Instantons va Twistors. Oksford universiteti matbuoti. ISBN  978-0-19-857063-9.
• L. D. Faddeev, L. A. Taxtajon (1987). Solitonlar nazariyasidagi gamiltonian usullari. Addison-Uesli. ISBN  978-0-387-15579-1.
• A. T. Fomenko, Simpektik geometriya. Usullari va qo'llanilishi. Gordon va buzilish, 1988. Ikkinchi nashr 1995, ISBN  978-2-88124-901-3.
• A. T. Fomenko, A. V. Bolsinov Hamiltonning yaxlit tizimlari: geometriya, topologiya, tasnif. Teylor va Frensis, 2003 yil ISBN  978-0-415-29805-6.
• X. Goldshteyn (1980). Klassik mexanika, 2-chi. tahrir. Addison-Uesli. ISBN  0-201-02918-9.
• J. Xarnad, P. Winternitz, G. Sabidussi, tahrir. (2000). Integral tizimlar: Klassikadan kvantgacha. Amerika matematik jamiyati. ISBN  0-8218-2093-1.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola) CS1 maint: qo'shimcha matn: mualliflar ro'yxati (havola)
• Xarnad, J.; Balogh, F. (2020), "Tau funktsiyalari va ularning qo'llanilishi", Matematik fizika bo'yicha Kembrij monografiyalari, Kembrij universiteti matbuoti, Kembrij, Buyuk Britaniya.
• J. Xietarinta, N. Joshi, F. Nijhoff (2016). Diskret tizimlar va integrallik. Kembrij universiteti matbuoti. doi:10.1017 / CBO9781107337411. ISBN  978-1-107-04272-8.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
• V. E. Korepin, N. M. Bogoliubov, A. G. Izergin (1997). Kvant teskari tarqalish usuli va korrelyatsion funktsiyalar. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  978-0-521-58646-7.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
• V. S. Afrajmovich, V. I. Arnold, Yu. S. Il'yashenko, L. P. Shil'nikov. Dinamik tizimlar V. Springer. ISBN  3-540-18173-3.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
• Juzeppe Musussardo (2010). Statistik maydon nazariyasi. Statistik fizikaning aniq echilgan modellariga kirish. Oksford universiteti matbuoti. ISBN  978-0-19-954758-6.
• G. Sardanashvili (2015). Integral Hamilton tizimlarining qo'llanmasi. URSS. ISBN  978-5-396-00687-4.

Qo'shimcha o'qish

• A. Beylinson va V. Drinfeld, Xitchinning integral tizimining kvantizatsiyasi va Xekening o'ziga xos xususiyatlari [1]
• Donagi, R.; Markman, E. (1996). "Algebraik jihatdan to'liq integrallangan spektral qoplamalar, Gamilton sistemalari va to'plamlarning modullari". Integral tizimlar va kvant guruhlari. Springer. 1–119 betlar. doi:10.1007 / BFb0094792.
• Mikele Audin, Spinning Tops: Integral tizimlar kursi, Kembrij universiteti matbuoti.

Tashqi havolalar

• "Integral tizim", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• "SIDE - farq tenglamalarining nosimmetrikliklari va yaxlitligi", integrallanuvchi farq tenglamalarini va shu bilan bog'liq mavzularni o'rganishga bag'ishlangan konferentsiya.^[6]

Izohlar