Jacobian egri chizig'i - Jacobian curve - Wikipedia

Ushbu maqolada bir nechta muammolar mavjud. Iltimos yordam bering uni yaxshilang yoki ushbu masalalarni muhokama qiling munozara sahifasi. (Ushbu shablon xabarlarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Bu maqola matematika bo'yicha mutaxassisning e'tiboriga muhtoj. Iltimos, sabab yoki a gapirish muammoni maqola bilan tushuntirish uchun ushbu shablonga parametr. WikiProject Matematikasi mutaxassisni jalb qilishda yordam berishi mumkin. (2009 yil dekabr) Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Resurs manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "Jacobian egri chizig'i"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2009 yil dekabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Ushbu maqola mumkin talab qilish tozalamoq Vikipediya bilan tanishish uchun sifat standartlari. Yo'q tozalash sababi aniqlandi. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang Agar imkoningiz bo'lsa. (2010 yil yanvar) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda matematika, Jakobi egri chizig'i ning vakili elliptik egri chiziq odatdagidan farq qiladi (Vaystrassass tenglamasi ). Ba'zan u ishlatiladi kriptografiya Weierstrass formasi o'rniga, chunki u himoyani ta'minlay oladi oddiy va differentsial quvvat tahlili uslub (SPA) hujumlari; Haqiqatan ham, ushbu shakldagi elliptik egri chiziqdagi nuqtani ikki baravar oshirish uchun umumiy qo'shilish formulasidan foydalanish mumkin: shu tarzda ikkala operatsiyani ba'zi bir kanal ma'lumotlaridan ajratib bo'lmaydigan bo'lib qoladi.^[1] Jakobi egri chizig'i Weierstrass egri chizig'iga nisbatan tezroq arifmetikani ham taklif etadi.

Jakobi egri chizig'i ikki xil bo'lishi mumkin: Jakobi chorrahasi, bu ikki yuzaning kesishishi bilan berilgan va Jacobi kvartikasi.

Elliptik egri chiziqlar: asoslar

Elliptik egri chiziqni hisobga olgan holda, uning nuqtalari orasida bir nechta "operatsiyalar" ni bajarish mumkin: masalan, mumkin ikki ball qo'shing P va Q fikrni olish P + Q egri chiziqqa tegishli; bir nuqta berilgan P elliptik egri chiziqda P ni "ikki baravar" oshirish mumkin, bu topishni anglatadi [2]P = P + P (kvadrat qavslar ko'rsatish uchun ishlatiladi [n] P, nuqta P qo'shildi n marta), shuningdek inkorini toping P, bu topishni anglatadi -P. Shu tarzda, elliptik egri chiziqning nuqtalari a hosil qiladi guruh. Shuni esda tutingki, guruh operatsiyasining identifikatsiya elementi affin tekisligidagi nuqta emas, u faqat proektiv koordinatalarda ko'rinadi: keyin O = (0: 1: 0) "cheksizlik nuqtasi", ya'ni neytral element ichida guruh qonuni. Formulalarni qo'shish va ko'paytirish hisoblash uchun ham foydalidir [n] P, n- nuqtaning ko'pligi P elliptik egri chiziqda: bu operatsiya eng ko'p deb hisoblanadi egri chiziqli kriptografiya.

Elliptik egri chiziq E, ustidan maydon K ga qo'yish mumkin Weierstrass shakli y² = x³ + bolta + b, bilan a, b yilda K. Keyinchalik muhim bo'lgan narsa buyurtma nuqtasi 2, anavi P kuni E shundayki [2]P = O. Agar P = (p, 0) nuqta Ekeyin 2-tartib bor; Umuman olganda, 2-tartibli nuqtalar ning ildizlariga to'g'ri keladi polinom f (x) = x³ + bolta + b.

Bundan buyon biz foydalanamiz E_{a, b} Weierstrass shakli bilan elliptik egri chiziqni belgilash uchun y² = x³ + bolta + b.

Agar E_{a, b} shunday kubik polinom x³ + bolta + b uchta aniq ildizga ega K biz yozishimiz mumkin E_{a, b} ichida Legendre normal shakli:

E_{a, b}: y² = x (x + 1) (x + j)

Bu holda bizda ikkita tartibning uchta nuqtasi bor: (0, 0), (–1, 0), (-j, 0). Bunday holda biz yozuvlardan foydalanamiz E [j]. Yozib oling j bilan ifodalanishi mumkin a, b.

Ta'rif: Jakobi chorrahasi

Elliptik egri chiziq P³(K) sifatida ifodalanishi mumkin kesishish ikkitadan to'rtburchak yuzalar:

${ displaystyle Q: {Q_ {1} (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) = 0 } cap {Q_ {2} (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) = 0 }}$

Elliptik egri chiziqning jakobi shaklini ikkita kvadrikaning kesishishi sifatida aniqlash mumkin. Ruxsat bering E_{a, b} Weierstrass shaklida elliptik egri chiziq bo'ling, biz quyidagilarni qo'llaymiz xarita unga:

${ displaystyle Phi: (x, y) mapsto (X, Y, Z, T) = (x, y, 1, x ^ {2})}$

Biz quyidagilarni ko'ramiz tenglamalar tizimi ushlab turadi:

${ displaystyle mathbf {S}: { begin {case} X ^ {2} -TZ = 0 Y ^ {2} -aXZ-bZ ^ {2} -TX = 0 end {case}}}$

Egri chiziq E [j] ning quyidagi kesishuviga to'g'ri keladi yuzalar yilda P³(K):

${ displaystyle mathbf {S} 1: { begin {case} X ^ {2} + Y ^ {2} -T ^ {2} = 0 kX ^ {2} + Z ^ {2} -T ^ {2} = 0 end {case}}}$.

"Maxsus ish", E [0], elliptik egri chiziq ikki barobarga ega va shunday bo'ladi yakka.

S1 ga murojaat qilish orqali olinadi E [j] The transformatsiya:

ψ: E [j] → S1

${ displaystyle (x, y) mapsto (X, Y, Z, T) = (- 2y, x ^ {2} -j, x ^ {2} + 2jx + j, x ^ {2} + 2x + j)}$

${ displaystyle O = (0: 1: 0) mapsto (0,1,1,1)}$

Guruh qonuni

Uchun S1, neytral element guruhning nuqtasi (0, 1, 1, 1), ya'ni O = (0: 1: 0) ψ ostida.

Qo'shish va ikki baravar oshirish

Berilgan P₁ = (X₁, Y₁, Z₁, T₁) va P₂ = (X₂, Y₂, Z₂, T₂), ikkita nuqta S1, koordinatalar nuqta P₃ = P₁ + P₂ ular:

${ displaystyle X_ {3} = T_ {1} Y_ {2} X_ {1} Z_ {2} + Z_ {1} X_ {2} Y_ {1} T_ {2}}$

${ displaystyle Y_ {3} = T_ {1} Y_ {2} Y_ {1} T_ {2} -Z_ {1} X_ {2} X_ {1} Z_ {2}}$

${ displaystyle Z_ {3} = T_ {1} Z_ {1} T_ {2} Z_ {2} -kX_ {1} Y_ {1} X_ {2} Y_ {2}}$

${ displaystyle T_ {3} = (T_ {1} Y_ {2}) ^ {2} + (Z_ {1} X_ {2}) ^ {2}}$

Ushbu formulalar ikki baravar ko'paytirish uchun ham amal qiladi: bu etarli P₁ = P₂. Shunday qilib ballarni qo'shish yoki ikki baravar oshirish S1 ikkalasi ham 16 marta ko'paytirishni va doimiyni bitta ko'paytirishni talab qiladigan operatsiyalar (k).

Fikrni ikki baravar oshirish uchun quyidagi formulalardan ham foydalanish mumkin P₁ va toping P₃ = [2]P₁:

${ displaystyle X_ {3} = 2Y_ {1} T_ {1} Z_ {1} X_ {1}}$

${ displaystyle Y_ {3} = (T_ {1} Y_ {1}) ^ {2} - (T_ {1} Z_ {1}) ^ {2} + (Z_ {1} Y_ {1}) ^ ^ 2}}$

${ displaystyle Z_ {3} = (T_ {1} Z_ {1}) ^ {2} - (T_ {1} Y_ {1}) ^ {2} + (Z_ {1} Y_ {1}) ^ { 2}}$

${ displaystyle T_ {3} = (T_ {1} Z_ {1}) ^ {2} + (T_ {1} Y_ {1}) ^ {2} - (Z_ {1} Y_ {1}) ^ { 2}}$

Ushbu formulalardan foydalanib, nuqtani ikki baravar oshirish uchun 8 ta ko'paytirish kerak. Shu bilan birga, ikki baravar oshirish uchun yanada samarali "strategiyalar" mavjud bo'lib, ular faqat 7 marta ko'paytirishni talab qiladi.^[2] Shu tarzda 23 ta ko'paytma bilan nuqtani uch baravar oshirish mumkin; haqiqatan ham [3]P₁ qo'shib olish orqali olish mumkin P₁ bilan [2]P₁ [2] uchun 7 marta ko'paytirish qiymati bilanP₁ va 16 uchun P₁ + [2]P₁^[2]

Qo'shish va ko'paytirish misoli

Ruxsat bering K = R yoki C va ishni ko'rib chiqing:

${ displaystyle mathbf {S} 1: { begin {case} X ^ {2} + Y ^ {2} -T ^ {2} = 0 4X ^ {2} + Z ^ {2} -T ^ {2} = 0 end {case}}}$

Fikrlarni ko'rib chiqing ${ displaystyle P_ {1} = (1, { sqrt {3}}, 0,2)}$ va ${ displaystyle P_ {2} = (1,2,1, { sqrt {5}})}$: buni tekshirish oson P₁ va P₂ tegishli S1 (bu nuqtalar ning ikkala tenglamasini ham qondirishini ko'rish kifoya tizim S1).

Ikkala nuqtani qo'shish uchun yuqorida keltirilgan formulalardan foydalanib, uchun koordinatalar P₃, qayerda P₃ = P₁ + P₂ ular:

${ displaystyle X_ {3} = T_ {1} Y_ {2} X_ {1} Z_ {2} + Z_ {1} X_ {2} Y_ {1} T_ {2} = 4}$

${ displaystyle Y_ {3} = T_ {1} Y_ {2} Y_ {1} T_ {2} -Z_ {1} X_ {2} X_ {1} Z_ {2} = 4 { sqrt {15}} }$

${ displaystyle Z_ {3} = T_ {1} Z_ {1} T_ {2} Z_ {2} -kX_ {1} Y_ {1} X_ {2} Y_ {2} = - 8 { sqrt {3} }}$

${ displaystyle T_ {3} = (T_ {1} Y_ {2}) ^ {2} + (Z_ {1} X_ {2}) ^ {2} = 16}$

Olingan nuqta ${ displaystyle P_ {3} = (4,4 { sqrt {15}}, - 8 { sqrt {3}}, 16)}$.

Yuqorida ikki baravar oshirish uchun berilgan formulalar yordamida fikrni topish mumkin P₃ = [2]P₁:

${ displaystyle X_ {3} = 2Y_ {1} T_ {1} Z_ {1} X_ {1} = 0}$

${ displaystyle Y_ {3} = (T_ {1} Y_ {1}) ^ {2} - (T_ {1} Z_ {1}) ^ {2} + (Z_ {1} Y_ {1}) ^ ^ 2} = 12}$

${ displaystyle Z_ {3} = (T_ {1} Z_ {1}) ^ {2} - (T_ {1} Y_ {1}) ^ {2} + (Z_ {1} Y_ {1}) ^ { 2} = - 12}$

${ displaystyle T_ {3} = (T_ {1} Z_ {1}) ^ {2} + (T_ {1} Y_ {1}) ^ {2} - (Z_ {1} Y_ {1}) ^ { 2} = 12}$

Shunday qilib, bu holda P₃ = [2]P₁ = (0, 12, –12, 12).

Salbiy

Fikrni hisobga olgan holda P₁ = (X₁, Y₁, Z₁, T₁) ichida S1, uning inkor bu -P₁ = (−X₁, Y₁, Z₁, T₁)

Afine koordinatalarida qo'shilish va ikki baravar oshirish

Ikki afinali nuqta berilgan P₁ = (x₁, y₁, z₁) va P₂ = (x₂, y₂, z₂), ularning yig'indisi nuqta P₃ koordinatalari bilan:

${ displaystyle x_ {3} = { frac {y_ {2} x_ {1} z_ {2} + z_ {1} x_ {2} y_ {1}} {(y_ {2} ^ {2} + ( z_ {1} x_ {2}) ^ {2})}}}$

${ displaystyle y_ {3} = { frac {y_ {2} y_ {1} -z_ {1} x_ {2} x_ {1} z_ {2}} {(y_ {2} ^ {2} + ( z_ {1} x_ {2}) ^ {2})}}}$

${ displaystyle z_ {3} = { frac {z_ {1} z_ {2} -ax_ {1} y_ {1} x_ {2} y_ {2}} {(y_ {2} ^ {2} + ( z_ {1} x_ {2}) ^ {2})}}}$

Ushbu formulalar shartni ikki baravar oshirish uchun ham amal qiladi P₁ = P₂.

Kengaytirilgan koordinatalar

Yakobi kesishmasidagi nuqta ifodalanadigan boshqa koordinatalar tizimi mavjud. Jakobining kesishish shaklida quyidagi elliptik egri berilgan:

${ displaystyle mathbf {S} 1: { begin {case} x ^ {2} + y ^ {2} = 1 kx ^ {2} + z ^ {2} = 1 end {case}} }$

The kengaytirilgan koordinatalar bir fikrni tasvirlab bering P = (x, y, z) o'zgaruvchilar bilan X, Y, Z, T, XY, ZT, qaerda:

${ displaystyle x = X / T}$

${ displaystyle y = Y / T}$

${ displaystyle z = Z / T}$

${ displaystyle XY = X cdot Y}$

${ displaystyle ZT = Z cdot T}$

Ba'zan ushbu koordinatalardan foydalaniladi, chunki ular ba'zi bir muayyan vaziyatlarda (vaqt narxiga qarab) qulayroqdir. Ushbu koordinatalardan foydalanishga asoslangan operatsiyalar to'g'risida ko'proq ma'lumot olish uchun qarang http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-jintersect-extended.html

Ta'rif: Jacobi kvartikasi

Jacobi kvartikasi tenglama ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {4} -1.9x ^ {2} +1}$

Elliptik egri chiziq Jacobi kvartikasi egri chiziqdan olinishi mumkin E_{a, b} tartibida kamida bitta nuqta bo'lgan Weierstrass shaklida 2. Quyidagilar transformatsiya f ning har bir nuqtasini yuboradi E_{a, b} Jakobi koordinatalaridagi nuqtaga, qaerda (X: Y: Z) = (sX: s²Y: sZ).

f: E_{a, b} → J

${ displaystyle (p, 0) mapsto (0: -1: 1)}$

${ displaystyle (x, y) neq (p, 0) mapsto (2 (x-p) :( 2x + p) (x-p) ^ {2} -y ^ {2}: y)}$

${ displaystyle O mapsto (0: 1: 1)}$^[3]

Qo'llash f ga E_{a, b}, biri egri chiziqni oladi J quyidagi shaklda:

${ displaystyle C: Y ^ {2} = eX ^ {4} -2dX ^ {2} Z ^ {2} + Z ^ {4}}$^[3]

qaerda:

${ displaystyle e = { frac {- (3p ^ {2} + 4a)} {16}}, d = { frac {3p} {4}}}$.

elementlari K. C ichida elliptik egri chiziqni ifodalaydi Jacobi kvartikasi Shakobi koordinatalarida.

Afinaviy koordinatalarda Jacobi kvartikasi

Affin koordinatalaridagi Jakobi kvartik egri chizig'ining umumiy shakli:

${ displaystyle y ^ {2} = ex ^ {4} + 2ax ^ {2} +1}$,

qaerda tez-tez e = 1 qabul qilinadi.

Guruh qonuni

Ning guruh qonunining neytral elementi C proektsion nuqta (0: 1: 1).

Afine koordinatalarida qo'shilish va ikki baravar oshirish

Ikki afinali nuqta berilgan ${ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1})}$ va ${ displaystyle P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})}$, ularning yig'indisi nuqta ${ displaystyle P_ {3} = (x_ {3}, y_ {3})}$, shu kabi:

${ displaystyle x_ {3} = { frac {x_ {1} y_ {2} + y_ {1} x_ {2}} {1- (x_ {1} x_ {2}) ^ {2}}}}$

${ displaystyle y_ {3} = { frac {((1+ (x_ {1} x_ {2}) ^ {2}) (y_ {1} y_ {2} + 2ax_ {1} x_ {2}) + 2x_ {1} x_ {2} ({x_ {1}} ^ {2} + {x_ {2}} ^ {2}))} {(1- (x_ {1} x_ {2}) ^ { 2}) ^ {2}}}}$

Jakobi chorrahalarida bo'lgani kabi, bu holda ham ushbu formuladan ikki baravar oshirish uchun foydalanish mumkin.

Proektiv koordinatalarda qo'shish va ikki baravar oshirish

Ikkita nuqta berilgan P₁ = (X₁: Y₁: Z₁) va P₂ = (X₂: Y₂: Z₂) ichida C ′, nuqta uchun koordinatalar P₃ = (X₃: Y₃: Z₃), qaerda P₃ = P₁ + P₂, jihatidan berilgan P₁ va P₂ formulalar bo'yicha:

${ displaystyle X_ {3} = X_ {1} Z_ {1} Y_ {2} + Y_ {1} X_ {2} Z_ {2}}$

${ displaystyle Y_ {3} = chap (Z_ {1} ^ {2} Z_ {2} ^ {2} + eX_ {1} ^ {2} X_ {2} ^ {2} o'ng) chap ( Y_ {1} Y_ {2} -2dX_ {1} X_ {2} Z_ {1} Z_ {2} o'ng) + 2eX_ {1} X_ {2} Z_ {1} Z_ {2} chap ( X_ {1} ^ {2} Z_ {2} ^ {2} + Z_ {1} ^ {2} X_ {2} ^ {2} o'ng)}$

${ displaystyle Z_ {3} = Z_ {1} ^ {2} Z_ {2} ^ {2} -eX_ {1} ^ {2} X_ {2} ^ {2}}$

Ushbu formuladan foydalanish sharti bilan ikki baravar oshirish uchun ham foydalanish mumkin P₂ = P₁: shu tarzda nuqta P₃ = P₁ + P₁ = [2]P₁ olingan.

Ikkala nuqtani qo'shish uchun zarur bo'lgan ko'paytmalar soni 13 ga 3 doimiyni ko'paytirishi: xususan, doimiyning ikkita ko'paytmasi mavjud e va doimiy ravishda d.

Ballarni qo'shish va ikki baravar oshirish uchun zarur bo'lgan operatsiyalarni qisqartirish bo'yicha ba'zi "strategiyalar" mavjud: ko'paytmalar sonini doimiylarga ko'paytirib, 3 ga ko'paytiradigan 11 ga kamaytirish mumkin (qarang. ^[4] batafsil ma'lumot uchun 3-bo'lim).

Konstantalar ustida ishlash orqali ko'paytmalar sonini kamaytirish mumkin e va d: Jakobi shaklidagi elliptik egri chiziqni qo'shish va ikki baravar ko'paytirish operatsiyalari kamroq bo'lishi uchun o'zgartirish mumkin. Masalan, doimiy bo'lsa d yilda C ko'paytirilishi sezilarli darajada kichik d bekor qilinishi mumkin; ammo eng yaxshi variant bu kamaytirishdir e: agar u kichik bo'lsa, nafaqat bitta, balki ikkita ko'paytma ham e'tiborsiz qoldiriladi.

Qo'shish va ko'paytirish misoli

Elliptik egri chiziqni ko'rib chiqing E_4,0, bu erda bir nuqta bor P 2-tartib: P = (p, 0) = (0, 0). Shuning uchun, a = 4, b = p = 0, shuning uchun bizda e = 1 va d = 1 va unga bog'langan Jacobi kvartik shakli:

${ displaystyle C: Y ^ {2} = X ^ {4} + Z ^ {4}}$

Ikkita fikrni tanlash ${ displaystyle P_ {1} = (1: { sqrt {2}}: 1)}$ va ${ displaystyle P_ {2} = (2: { sqrt {17}}: 1)}$, ularning yig'indisini topish mumkin P₃ = P₁ + P₂ qo'shish uchun formulalardan foydalanib, yuqorida keltirilgan:

${ displaystyle X_ {3} = 1 cdot 1 cdot { sqrt {17}} + { sqrt {2}} cdot 2 cdot 1 = { sqrt {17}} + 2 { sqrt {2 }}}$

${ displaystyle Y_ {3} = chap (1 ^ {2} cdot 1 ^ {2} +1 cdot 1 ^ {2} cdot 2 ^ {2} o'ng) chap ({ sqrt {2) }} cdot { sqrt {17}} - 2 cdot 0 cdot 1 cdot 2 cdot 1 cdot 1 o'ng) +2 cdot 1 cdot 1 cdot 2 cdot 1 cdot 1 chap (1 ^ {2} cdot 1 ^ {2} + 1 ^ {2} cdot 2 ^ {2} right) = 5 { sqrt {34}} + 20}$

${ displaystyle Z_ {3} = 1 ^ {2} cdot 1 ^ {2} -1 cdot 1 ^ {2} cdot 2 ^ {2} = - 3}$.

Shunday qilib

${ displaystyle P_ {3} = ({ sqrt {17}} + 2 { sqrt {2}}: 5 { sqrt {34}} + 20: -3)}$.

Xuddi shu formulalardan foydalanib, nuqta P₄ = [2]P₁ olinadi:

${ displaystyle X_ {3} = 1 cdot 1 cdot { sqrt {2}} + { sqrt {2}} cdot 1 cdot 1 = 2 { sqrt {2}}}$

${ displaystyle Y_ {3} = chap (1 + 1 cdot 1 o'ng) chap ({ sqrt {2}} cdot { sqrt {2}} - 2 cdot 0 cdot 1 cdot 1 cdot 1 cdot 1 o'ng) +2 cdot 1 chap (1 ^ {2} cdot 1 ^ {2} + 1 ^ {2} cdot 1 ^ {2} o'ng) = 8}$

${ displaystyle Z_ {3} = 1 ^ {2} cdot 1 ^ {2} -1 cdot 1 ^ {2} cdot 1 ^ {2} = 0}$

Shunday qilib

${ displaystyle P_ {4} = (2 { sqrt {2}}: 8: 0)}$.

Salbiy

Nuqtani inkor etish P₁ = (X₁: Y₁: Z₁) bu: -P₁ = (−X₁: Y₁: Z₁)

Yakobi kvartikasi uchun alternativ koordinatalar

Yakobi kvartikasidagi nuqtani ko'rsatish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan boshqa koordinatalar tizimlari mavjud: ular ma'lum hollarda tezkor hisoblashlarni amalga oshirish uchun ishlatiladi. Ushbu koordinatalar bilan ishlashda zarur bo'lgan vaqt xarajatlari haqida ko'proq ma'lumot olish uchun qarang http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-jquartic.html

Afinaviy Jacobi kvartikasi berilgan

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {4} + 2ax ^ {2} +1}$

The Ikki baravarga yo'naltirilgan XXYZZ koordinatalar qo'shimcha egri parametrini kiritish v qoniqarli a² + v² = 1 va ular bir nuqtani anglatadi (x, y) kabi (X, XX, Y, Z, ZZ, R), shu kabi:

${ displaystyle x = X / Z}$

${ displaystyle y = Y / ZZ}$

${ displaystyle XX = X ^ {2}}$

${ displaystyle ZZ = Z ^ {2}}$

${ displaystyle R = 2 cdot X cdot Z}$

The Ikki baravarga yo'naltirilgan XYZ koordinatalar, xuddi shu qo'shimcha taxmin bilan (a² + v² = 1), nuqtani ifodalaydi (x, y) bilan (X, Y, Z) quyidagi tenglamalarni qondirish:

${ displaystyle x = X / Z}$

${ displaystyle y = Y / Z ^ {2}}$

Dan foydalanish XXYZZ koordinatalar qo'shimcha taxmin yo'q va ular bir nuqtani anglatadi (x, y) kabi (X, XX, Y, Z, ZZ) shu kabi:

${ displaystyle x = X / Z}$

${ displaystyle y = Y / ZZ}$

${ displaystyle XX = X ^ {2}}$

${ displaystyle ZZ = Z ^ {2}}$

esa XXYZZR koordinatalari vakillik qilish (x, y) kabi (X, XX, Y, Z, ZZ, R) shu kabi:

${ displaystyle x = X / Z}$

${ displaystyle y = Y / ZZ}$

${ displaystyle XX = X ^ {2}}$

${ displaystyle ZZ = Z ^ {2}}$

${ displaystyle R = 2 cdot X cdot Z}$

bilan XYZ koordinatalari nuqta (x, y) tomonidan berilgan (X, Y, Z), bilan:

${ displaystyle x = X / Z}$

${ displaystyle y = Y / Z ^ {2}}$.

Shuningdek qarang

Muayyan holatda talab qilinadigan ish vaqti haqida qo'shimcha ma'lumot olish uchun qarang Elliptik egri chiziqlardagi operatsiyalar xarajatlari jadvali.

Izohlar

Adabiyotlar

• Olivier Billet, Marc Joye (2003). "Elliptik egri chiziqli Jacobi modeli va yon kanalli tahlil". Elliptik egri chiziqning Jacobi modeli va yon kanalli tahlil. Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari. 2643. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003. 34-42 betlar. doi:10.1007/3-540-44828-4_5. ISBN  978-3-540-40111-7.
• P.Y. Liardet, N.P. Aqlli (2001). "Jacobi formasi yordamida ECC tizimlarida SPA / DPA ning oldini olish". Kriptografik apparat va ichki tizimlar - CHES 2001 yil. Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari. 2162. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001. 391-401 betlar. doi:10.1007/3-540-44709-1_32. ISBN  978-3-540-42521-2.
• http://hyperelliptic.org/EFD/index.html

Tashqi havolalar

• http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/index.html