Yuzaki (matematik) - Surface (mathematics)

Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "Yuzaki" matematikasi  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2016 yil may) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

A soha qattiq jismning yuzasi to'p, bu erda radius r

Yilda matematika, a sirt a ning umumlashtirilishi samolyot, bu mutlaqo tekis bo'lmasligi kerak - ya'ni egrilik albatta nolga teng emas. Bu o'xshash egri chiziq umumlashtirish a to'g'ri chiziq. Kontekstga va sirtni tahlil qilishda foydalaniladigan matematik vositalarga qarab aniqroq aniqroq ta'riflar mavjud.

Sirtning matematik kontseptsiyasi nimani nazarda tutishini idealizatsiya qilishdir sirt yilda fan, kompyuter grafikasi va umumiy til.

Ta'riflar

Ko'pincha, sirt tomonidan belgilanadi tenglamalar tomonidan qoniqtirilgan koordinatalar uning nuqtalari. Bu holat grafik a doimiy funktsiya ikkita o'zgaruvchidan. To'plami funktsiyaning nollari uchta o'zgaruvchidan sirt, bu an deb nomlanadi yashirin sirt.^[1] Agar uchta o'zgaruvchan funktsiya aniqlanadigan bo'lsa polinom, sirt an algebraik sirt. Masalan, birlik shar algebraik sirtdir, chunki u bilan belgilanishi mumkin yashirin tenglama

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0.}$

Sirt shuningdek sifatida belgilanishi mumkin rasm, ba'zi bo'shliqlarda o'lchov kamida 3, a doimiy funktsiya ikkita o'zgaruvchidan (rasm a emasligini ta'minlash uchun yana bir qancha shartlar talab qilinadi) egri chiziq ). Bunday holda, kimdir a borligini aytadi parametrli sirt, bu parametrlangan deb nomlangan ushbu ikkita o'zgaruvchiga ko'ra parametrlar. Masalan, birlik sferasi parametrlangan bo'lishi mumkin Eylerning burchaklari deb nomlangan uzunlik siz va kenglik v tomonidan

${ displaystyle { begin {aligned} x & = cos (u) cos (v) y & = sin (u) cos (v) z & = sin (v) ,. end { tekislangan}}}$

Sirtlarning parametrli tenglamalari ba'zi nuqtalarda ko'pincha tartibsizdir. Masalan, birlik sferasining ikkala nuqtasidan tashqari barchasi yuqoridagi parametrlash bo'yicha aniq bir juft Eyler burchagi tasviridir (modul 2π). Qolgan ikkita nuqta uchun (the shimoliy va janubiy qutblar ), bittasi bor cos v = 0va uzunlik siz har qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bundan tashqari, butun sirtni qamrab oladigan bitta parametrlash mumkin bo'lmagan sirtlar mavjud. Shuning uchun, ko'pincha bir nechta parametrli tenglamalar bilan parametrlangan sirtlarni ko'rib chiqadi, ularning tasvirlari sirtni qoplaydi. Bu kontseptsiyasi bilan rasmiylashtirildi ko'p qirrali: manifoldlar kontekstida, odatda topologiya va differentsial geometriya, sirt - bu ikki o'lchamdagi manifold; bu sirt a ekanligini anglatadi topologik makon Shunday qilib, har bir nuqta a Turar joy dahasi qaysi gomeomorfik ga ochiq ichki qism ning Evklid samolyoti (qarang Yuzaki (topologiya) va Yuzaki (differentsial geometriya) ). Bu uchdan kattaroq va hatto teng o'lchamdagi bo'shliqlarda sirtlarni aniqlashga imkon beradi mavhum yuzalar, boshqa bo'shliqlarda mavjud emas. Boshqa tomondan, bu yuzalar bundan mustasno o'ziga xoslik, a a vertex kabi konusning yuzasi yoki sirt o'zini kesib o'tadigan joylarni belgilaydi.

Yilda klassik geometriya, sirt odatda a sifatida aniqlanadi lokus nuqta yoki chiziq. Masalan, a soha sobit nuqtaning ma'lum masofasida joylashgan, markaz deb ataladigan nuqta joyi; a konusning yuzasi - belgilangan nuqtadan o'tib, a ni kesib o'tgan chiziqning joylashuvi egri chiziq; a inqilob yuzasi chiziq atrofida aylanadigan egri chiziq. A boshqariladigan sirt ba'zi cheklovlarni qondiradigan harakatlanuvchi chiziqning joylashuvi; zamonaviy terminologiyada boshqariladigan sirt - bu sirt, bu a birlashma chiziqlar.

Terminologiya

Ushbu maqolada bir necha turdagi yuzalar ko'rib chiqilgan va taqqoslangan. Shunday qilib ularni ajratish uchun aniq terminologiya zarur. Shuning uchun, biz qo'ng'iroq qilamiz topologik yuzalar yuzalar manifoldlar Ikkinchi o'lchovning o'lchamlari (ko'rib chiqilgan yuzalar Yuzaki (topologiya) ). Biz qo'ng'iroq qilamiz farqlanadigan yuzalar yuzalar farqlanadigan manifoldlar (ko'rib chiqilgan yuzalar Yuzaki (differentsial geometriya) ). Har qanday farqlanadigan sirt topologik sirtdir, ammo aksincha yolg'ondir.

Oddiylik uchun, agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, "sirt" ning ichidagi sirtni bildiradi Evklid fazosi o'lchov 3 yoki in R³. Boshqa bo'shliqqa kiritilishi kerak bo'lmagan sirt an deyiladi mavhum sirt.

Misollar

• The grafik a doimiy funktsiya a bo'yicha aniqlangan ikkita o'zgaruvchidan iborat ulangan ochiq ichki qism ning R² a topologik sirt. Agar funktsiya bo'lsa farqlanadigan, grafik a farqlanadigan sirt.
• A samolyot ikkalasi ham algebraik sirt va farqlanadigan sirt. Bu ham boshqariladigan sirt va a inqilob yuzasi.
• A dumaloq silindr (ya'ni lokus aylanani kesib o'tgan va berilgan yo'nalishga parallel bo'lgan chiziqning) algebraik sirt va differentsiallanadigan sirtdir.
• A dumaloq konus (aylanani kesib o'tgan va belgilangan nuqtadan o'tuvchi chiziqning joylashuvi tepalik, aylana tekisligidan tashqarida joylashgan) - bu algebraik sirt, bu farqlanadigan sirt emas. Agar kimdir tepalikni olib tashlasa, konusning qolgan qismi ikkita farqlanadigan sirtning birlashmasidir.
• A yuzasi ko'pburchak topologik sirt bo'lib, u na differentsiatsiyalanadigan sirt, na algebraik sirtdir.
• A giperbolik paraboloid (funktsiya grafigi z = xy) farqlanadigan sirt va algebraik sirtdir. Bu, shuningdek, boshqariladigan sirtdir va shu sababli ko'pincha ishlatiladi me'morchilik.
• A ikki varaqli giperboloid algebraik sirt va kesishmaydigan ikkita farqlanadigan sirtning birlashishi.

Parametrik sirt

A parametrli sirt ning ochiq pastki qismining tasviri Evklid samolyoti (odatda ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$) tomonidan doimiy funktsiya, a topologik makon, odatda a Evklid fazosi kamida uchta o'lchov. Odatda funktsiya bo'lishi kerak doimiy ravishda farqlanadigan, va bu har doim ham ushbu maqolada bo'ladi.

Xususan, parametrik sirt ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ ikkita o'zgaruvchidan iborat uchta funktsiya bilan berilgan siz va v, deb nomlangan parametrlar

${ displaystyle { begin {aligned} x & = f_ {1} (u, v) y & = f_ {2} (u, v) z & = f_ {3} (u, v) ,. oxiri {hizalanmış}}}$

Sifatida bunday funktsiya tasviri a bo'lishi mumkin egri chiziq (masalan, agar uchta funktsiya nisbatan doimiy bo'lsa v), qo'shimcha shart talab qilinadi, odatda, uchun deyarli barchasi parametrlarning qiymatlari, Yakobian matritsasi

${ displaystyle { begin {bmatrix} { dfrac { kısmi f_ {1}} { qisman u}} va { dfrac { qisman f_ {1}} { qisman v}} { dfrac { kısmi f_ {2}} { qisman u}} va { dfrac { qisman f_ {2}} { qisman v}} { dfrac { qisman f_ {3}} { qisman u}} & { dfrac { kısmi f_ {3}} { qisman v}} end {bmatrix}}}$

bor daraja ikkitasi. Bu erda "deyarli barchasi" degan ma'noni anglatadi, bu daraja ikkita bo'lgan parametrlarning qiymatlari a ni o'z ichiga oladi zich ochiq ichki qism parametrlash diapazoni. Katta o'lchovli kosmosdagi sirtlar uchun shart bir xil, faqat Yoqubian matritsasi ustunlari soni bundan mustasno.

Tangens tekisligi va normal vektor

Bir nuqta p bu erda yuqoridagi Jacobian matritsasi ikkinchi darajaga ega deb nomlanadi muntazam, yoki aniqroq, parametrlash deyiladi muntazam da p.

The teginuvchi tekislik muntazam nuqtada p o'tgan noyob samolyot p va ikkalasiga parallel yo'nalishga ega qatorli vektorlar Yoqubian matritsasi. Tegishli tekislik an afin tushunchasi, chunki uning ta'rifi a tanloviga bog'liq emas metrik. Boshqacha qilib aytganda, har qanday afinaning o'zgarishi teginuvchi tekislikni yuzaga tekkan tekislikka nuqta tasviridagi sirt tasviriga xaritalaydi.

The normal chiziqyoki oddiygina normal sirt nuqtasida nuqta orqali o'tuvchi va teginuvchi tekislikka perpendikulyar bo'lgan noyob chiziq. A normal vektor normalga parallel bo'lgan vektor.

Boshqalar uchun differentsial invariantlar qarang Sirtlarning differentsial geometriyasi.

Noto'g'ri nuqta va birlik nuqta

Parametrik sirtning doimiy bo'lmagan nuqtasi tartibsiz. Noqonuniy fikrlarning bir nechta turlari mavjud.

Agar parametrlashni o'zgartirsa, tartibsiz nuqta muntazam bo'lib qolishi mumkin. Bu parametrlashda qutblarga tegishli birlik shar tomonidan Eylerning burchaklari: boshqasining rolini almashtirish kifoya koordinata o'qlari qutblarni almashtirish uchun.

Boshqa tomondan, dumaloq konus parametrik tenglamaning

${ displaystyle { begin {aligned} x & = t cos (u) y & = t sin (u) z & = t ,. end {aligned}}}$

Konusning tepasi kelib chiqishi hisoblanadi (0, 0, 0)va uchun olinadi t = 0. Qaysi parametrizatsiya tanlangan bo'lsa, tartibsiz bo'lib qoladigan tartibsiz nuqta (aks holda, noyob teginish tekisligi mavjud bo'lar edi). Tegishli tekislik aniqlanmagan bunday tartibsiz nuqta aytiladi yakka.

Yagona fikrlarning yana bir turi mavjud. Bor o'z-o'zini kesib o'tish nuqtalari, bu sirtni kesib o'tadigan nuqtalar. Boshqacha qilib aytganda, bu (kamida) parametrlarning ikki xil qiymati uchun olingan nuqtalar.

Ikki tomonlama funktsiya grafigi

Ruxsat bering z = f(x, y) ikkita haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lishi. Bu parametrlangan sirt, sifatida parametrlangan

${ displaystyle { begin {aligned} x & = t y & = u z & = f (t, u) ,. end {aligned}}}$

Ushbu sirtning har bir nuqtasi muntazamdir, chunki Yoqubian matritsasining ikkita birinchi ustuni identifikatsiya matritsasi ikkinchi darajali.

Ratsional sirt

A ratsional sirt parametrlangan bo'lishi mumkin bo'lgan sirtdir ratsional funktsiyalar ikkita o'zgaruvchidan. Ya'ni, agar f_men(t, siz) uchun, uchun men = 0, 1, 2, 3, polinomlar ikkitasida aniqlanmagan, keyin parametrli sirt, tomonidan belgilanadi

${ displaystyle { begin {aligned} x & = { frac {f_ {1} (t, u)} {f_ {0} (t, u)}} y & = { frac {f_ {2} ( t, u)} {f_ {0} (t, u)}} z & = { frac {f_ {3} (t, u)} {f_ {0} (t, u)}} ,, end {hizalangan}}}$

ratsional sirtdir.

Ratsional sirt an algebraik sirt, lekin algebraik sirtlarning aksariyati oqilona emas.

Yashirin sirt

A-da yashirin sirt Evklid fazosi (yoki umuman, an afin maydoni ) 3 o'lchovi - a ning umumiy nollari to'plami farqlanadigan funktsiya uchta o'zgaruvchidan

${ displaystyle f (x, y, z) = 0.}$

Yopiq degani, bu tenglama o'zgaruvchilardan birini boshqa o'zgaruvchilarning funktsiyasi sifatida bilvosita belgilaydi. Bu aniqroq yashirin funktsiya teoremasi: agar f(x₀, y₀, z₀) = 0, va qisman hosilasi z ning f nol emas (x₀, y₀, z₀), keyin farqlanadigan funktsiya mavjud φ(x, y) shu kabi

${ displaystyle f (x, y, varphi (x, y)) = 0}$

a Turar joy dahasi ning (x₀, y₀, z₀). Boshqacha qilib aytganda, yopiq sirt funktsiya grafigi qisman hosilasi bo'lgan sirtning bir nuqtasi yaqinida z nolga teng emas. Shaffof sirt, shu bilan birga, uch qismli hosilalar nolga teng bo'lgan sirt nuqtalaridan tashqari, parametrli ko'rinishga ega.

Muntazam nuqtalar va teginuvchi tekislik

Hech bo'lmaganda bitta qisman hosilasi bo'lgan sirtning bir nuqtasi f nolga teng deyiladi muntazam. Bunday paytda ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$, tangens tekisligi va normalning yo'nalishi yaxshi aniqlangan bo'lib, ularni yuqorida keltirilgan ta'rifdan yopiq funktsiya teoremasi bilan chiqarish mumkin. § Tangens tekisligi va normal vektor. Oddiy yo'nalish bu gradient, bu vektor

${ displaystyle left [{ frac { kısmi f} { qisman x}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), { frac { qisman f} { qisman y} } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), { frac { kısmi f} { qisman z}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) o'ng ].}$

Tangens tekisligi uning yopiq tenglamasi bilan aniqlanadi

${ displaystyle { frac { kısmi f} { qisman x}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + { frac { qisman f} { qisman y}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (y-y_ {0}) + { frac { qisman f} { qisman z}} (x_ {0}) , y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0.}$

Yagona nuqta

A yagona nuqta yashirin sirt (in.) ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$) - yopiq tenglama bajariladigan sirtning nuqtasi va uning aniqlovchi funktsiyasining uchta qisman hosilalari hammasi nolga teng. Shuning uchun birlik sonlar a ning echimlari hisoblanadi tizim uchta aniqlanmagan to'rtta tenglamadan. Bunday tizimlarning ko'pchiligida echim yo'qligi sababli, ko'p sirtlarda birlik nuqtasi yo'q. Yagona nuqtasi bo'lmagan sirt deyiladi muntazam yoki yagona bo'lmagan.

Ularning singular nuqtalari yonidagi sirtlarni o'rganish va singular nuqtalarning tasnifi singularity nazariyasi. Yagona nuqta izolyatsiya qilingan agar uning mahallasida boshqa yagona nuqta bo'lmasa. Aks holda, birlik nuqtalari egri hosil qilishi mumkin. Bu, xususan, o'z-o'zini kesib o'tuvchi yuzalar uchun amal qiladi.

Algebraik sirt

Dastlab, algebraik sirt yopiq tenglama bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan sirt edi

${ displaystyle f (x, y, z) = 0,}$

qayerda f uchlikdagi polinom aniqlanmaydi, haqiqiy koeffitsientlar bilan.

Kontseptsiya sirtlarni o'zboshimchalik bilan aniqlash orqali bir necha yo'nalishda kengaytirildi dalalar va ixtiyoriy o'lchamdagi bo'shliqlarda yoki yuzalarni hisobga olgan holda proektsion bo'shliqlar. Boshqa kosmosga aniq joylashtirilmagan mavhum algebraik yuzalar ham hisobga olinadi.

Ixtiyoriy maydonlar ustidagi yuzalar

Har qanday koeffitsientli polinomlar maydon algebraik sirtni aniqlash uchun qabul qilinadi. Biroq, polinom koeffitsientlari maydoni yaxshi aniqlanmagan, masalan, bilan polinom oqilona koeffitsientlar, shuningdek, bilan polinom sifatida qaralishi mumkin haqiqiy yoki murakkab koeffitsientlar. Shuning uchun nuqta sirt quyidagi tarzda umumlashtirildi:^[2]

Polinom berilgan f(x, y, z), ruxsat bering k koeffitsientlarni o'z ichiga olgan eng kichik maydon bo'lishi va K bo'lish algebraik yopiq kengaytma ning k, cheksiz transsendensiya darajasi.^[3] Keyin a nuqta sirtining elementi K³ bu tenglamaning echimi

${ displaystyle f (x, y, z) = 0.}$

Agar polinom haqiqiy koeffitsientlarga ega bo'lsa, maydon K bo'ladi murakkab maydon, va tegishli bo'lgan sirtning bir nuqtasi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ (odatdagi nuqta) a deb nomlanadi haqiqiy nuqta. Bunga tegishli bo'lgan nuqta k³ deyiladi oqilona k, yoki oddiygina a ratsional nuqta, agar k maydonidir ratsional sonlar.

Proektiv sirt

A proektsion sirt a proektsion maydon Uchinchi o'lchovning nuqtalari to'plami bir hil koordinatalar bitta nol bir hil polinom to'rt o'zgaruvchida. Umuman olganda, proektsion sirt - bu proektsion makonning pastki qismidir, bu a proektiv xilma ning o'lchov ikkitasi.

Proektsion sirtlar affinli yuzalar bilan (ya'ni oddiy algebraik yuzalar) kuchli bog'liqdir. Biri aniqlovchi polinomlarni koordinatali yoki noaniq (birinchisiga) o'rnatib, proektsion sirtdan tegishli affin yuzasiga o'tadi. Aksincha, afin sathidan u bilan bog'langan proektsion sirtga o'tadi (deyiladi loyihaviy yakunlash) tomonidan bir hil aniqlovchi polinom (uch o'lchovli bo'shliqdagi yuzalar bo'lsa) yoki aniqlovchi idealning barcha polinomlarini bir hil holga keltirish orqali (katta o'lchamdagi bo'shliq uchun).

Yuqori o'lchovli bo'shliqlarda

A ning umumiy ta'rifisiz uchdan kattaroq o'lchamdagi maydonda algebraik sirt tushunchasini aniqlab bo'lmaydi algebraik xilma va algebraik xilma-xillikning o'lchami. Aslida algebraik sirt an o'lchovning algebraik xilma-xilligi.

Aniqrog'i, o'lchov fazosidagi algebraik sirt n hech bo'lmaganda umumiy nollarning to'plamidir n – 2 polinomlar, ammo bu polinomlar tekshirish uchun darhol bo'lmasligi mumkin bo'lgan qo'shimcha shartlarni qondirishi kerak. Birinchidan, polinomlar turlicha yoki an ni belgilamasligi kerak algebraik to'plam yuqori o'lchovli, odatda polinomlardan biri ning ichida bo'lsa ideal boshqalar tomonidan yaratilgan. Odatda, n – 2 polinomlar ikki yoki undan yuqori o'lchovlarning algebraik to'plamini aniqlaydi. Agar o'lchov ikki bo'lsa, algebraik to'plam bir nechta bo'lishi mumkin kamaytirilmaydigan komponentlar. Agar bitta komponent bo'lsa n – 2 polinomlar sirtni aniqlaydilar, bu a to'liq kesishish. Agar bir nechta komponentlar mavjud bo'lsa, unda ma'lum bir komponentni tanlash uchun qo'shimcha polinomlar kerak.

Ko'pgina mualliflar algebraik sirt sifatida faqat ikki o'lchovli algebraik navlarni ko'rib chiqadilar, ammo ba'zilari, shuningdek, kamaytirilmaydigan tarkibiy qismlari ikki o'lchovga ega bo'lgan barcha algebraik to'plamlarni yuzalar deb hisoblashadi.

Uch o'lchovli bo'shliqda yuzalar bo'lsa, har bir sirt to'liq kesishgan va sirt bitta polinom bilan belgilanadi, bu qisqartirilmaydi yoki yo'q, bu ikki o'lchovning kamaytirilmaydigan algebraik to'plamlari sirt sifatida qabul qilinishiga yoki yo'qligiga bog'liq.

Abstrakt algebraik sirt

Ushbu bo'lim kengayishga muhtoj. Siz yordam berishingiz mumkin unga qo'shilish. (2016 yil may)

Ratsional yuzalar algebraik yuzalardir

Ushbu bo'lim kengayishga muhtoj. Siz yordam berishingiz mumkin unga qo'shilish. (2016 yil may)

Topologik sirt

Yilda topologiya, sirt odatda a sifatida aniqlanadi ko'p qirrali Ikkinchi o'lchov. Bu shuni anglatadiki, topologik sirt a topologik makon har bir nuqtada a bo'lishi kerak Turar joy dahasi anavi gomeomorfik ga ochiq ichki qism a Evklid samolyoti.

Har bir topologik sirt a uchun gomomorfdir ko'p qirrali sirt shunday hamma qirralar bor uchburchaklar. The kombinatorial uchburchaklarning (yoki umuman olganda, yuqori o'lchovli) bunday tartiblarini o'rganish simplekslar ) ning boshlang'ich ob'ekti hisoblanadi algebraik topologiya. Bu sirtlarning xususiyatlarini faqat algebraik jihatdan tavsiflashga imkon beradi invariantlar kabi tur va homologiya guruhlari.

Sirtlarning gomeomorfizm sinflari to'liq tavsiflangan (qarang) Yuzaki (topologiya) ).

Differentsial sirt

Fraktal yuzasi

Ushbu bo'lim kengayishga muhtoj. Siz yordam berishingiz mumkin unga qo'shilish. (2016 yil aprel)

Kompyuter grafikalarida

Ushbu bo'lim kengayishga muhtoj. Siz yordam berishingiz mumkin unga qo'shilish. (2016 yil aprel)

Shuningdek qarang

• Hudud elementi, sirtning differentsial elementi maydoni
• Koordinatali yuzalar
• Perimetri, ikki o'lchovli ekvivalent
• Ko'p yuzli sirt
• Shakl
• Belgilangan masofa funktsiyasi
• Yuzaki maydon
• Yuzaki integral

Izohlar