Kervaire o'zgarmas - Kervaire invariant

Matematikada Kervaire o'zgarmas ning o'zgarmasidir hoshiyali ${ displaystyle (4k + 2)}$ - o'lchovli ko'p qirrali bu manifold bo'lishi mumkinligini o'lchaydi jarrohlik yo'li bilan sharga aylantirildi. Ushbu o'zgarmas 0, agar kollektorni sharga aylantirish mumkin bo'lsa, aks holda 1 ga teng. Ushbu o'zgarmas nomi bilan nomlangan Mishel Kervayer kimning ishi asosida qurgan Cahit Arf.

Kervaire o'zgarmasligi quyidagicha aniqlanadi Arf o'zgarmas ning qiyshiq-kvadratik shakl o'rta o'lchovli homologiya guruhi. Buni oddiygina bog'langan deb hisoblash mumkin kvadratik L guruhi ${ displaystyle L_ {4k + 2}}$ va shu tariqa L-nazariyasining boshqa invariantlariga o'xshash: the imzo, a ${ displaystyle 4k}$ - o'lchovli o'zgarmas (nosimmetrik yoki kvadratik, ${ displaystyle L ^ {4k} cong L_ {4k}}$ ), va De Rham o'zgarmas, a ${ displaystyle (4k + 1)}$ - o'lchovli nosimmetrik o'zgarmas ${ displaystyle L ^ {4k + 1}}$ .

Har qanday o'lchamda faqat ikkita imkoniyat mavjud: yoki barcha manifoldlarda 0 ga teng Arf-Kervaire o'zgarmas, yoki yarmida Arf-Kervaire o'zgarmas 0, qolgan yarmida Arf-Kervaire invariant 1 mavjud.

The Kervaire o'zgarmas muammosi Kervaire invariantining qaysi o'lchamlarda nolga teng bo'lishi mumkinligini aniqlash muammosi. Uchun farqlanadigan manifoldlar, bu 2, 6, 14, 30, 62 va ehtimol 126 o'lchamlarda bo'lishi mumkin va boshqa o'lchamlarda bo'lmaydi. 126 o'lchamdagi so'nggi ish ochiq qolmoqda.

Ta'rif

Kervaire o'zgarmasdir Arf o'zgarmas ning kvadratik shakl o'rta o'lchamdagi ramka bilan belgilanadi ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ - koeffitsientli gomologiya guruhi

{ displaystyle q ikki nuqta H_ {2m + 1} (M; mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}) to mathbb {Z} / 2 mathbb {Z},}

va shunday qilib ba'zan uni Arf-Kervaire o'zgarmasdir. Kvadratik shakl (to'g'ri, qiyshiq-kvadratik shakl ) a kvadratik takomillashtirish odatdagidan b-nosimmetrik shakli (o'lchovsiz) bir o'lchovli manifoldning o'rta o'lchovli gomologiyasi to'g'risida; ramka kvadratik aniqlikni beradi.

Kvadratik shakl q funktsional yordamida algebraik topologiya bilan aniqlanishi mumkin Steenrod kvadratlari, va geometrik ravishda o'zaro kesishmalar orqali suvga cho'mish ${ displaystyle S ^ {2m + 1}}$ ${ displaystyle to}$ ${ displaystyle M ^ {4m + 2}}$ ramkalash yoki oddiy ichki paketlarning ahamiyatsizligi / ahamiyatsizligi bilan belgilanadi. ${ displaystyle S ^ {2m + 1}}$ ${ displaystyle to}$ ${ displaystyle M ^ {4m + 2}}$ (uchun ${ displaystyle m neq 0,1,3}$ ) va mod 2 Hopf o'zgarmas xaritalar ${ displaystyle S ^ {4m + 2 + k} dan S ^ {2m + 1 + k}} gacha$ (uchun ${ displaystyle m = 0,1,3}$ ).

Tarix

Kervaire invariant - bu ramkalangan sirtning Arf invariantini (ya'ni barqaror o'lchamsiz teginish to'plami bo'lgan 2 o'lchovli manifoldni) umumlashtirish. Lev Pontryagin hisoblash uchun 1950 yilda homotopiya guruhi ${ displaystyle pi _ {n + 2} (S ^ {n}) = mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ xaritalar ${ displaystyle S ^ {n + 2}}$ ${ displaystyle to}$ ${ displaystyle S ^ {n}}$ (uchun ${ displaystyle n geq 2}$ ), bu ichiga kiritilgan sirtlarning kobordizm guruhi ${ displaystyle S ^ {n + 2}}$ ahamiyatsiz oddiy to'plam bilan.

Kervaire (1960) uchun o'zgarmasligidan foydalangan n Qurish uchun = 10 Kervaire ko'p qirrali, 10 o'lchovli PL ko'p qirrali yo'q bilan farqlanadigan tuzilish, uning o'zgaruvchanligi bu PL manifoldida yo'qolib ketmasligini, balki 10 o'lchamdagi barcha silliq manifoldlarda yo'qolishini ko'rsatib, bunday manifoldning birinchi misoli.

Kervaire va Milnor (1963) guruhini hisoblab chiqadi ekzotik sharlar (o'lchovi 4 dan katta), Kervaire o'zgarmas muammosiga qarab hisoblashda bir qadam. Xususan, ular ekzotik o'lchov sohalari to'plami ekanligini ko'rsatadi n - xususan standartdagi silliq tuzilmalar monoidi n-sfera - guruh uchun izomorfik xususiyatga ega ${ displaystyle Theta _ {n}}$ ning h-kobordizm yo'naltirilgan sinflar homotopiya n-sferalar. Ular buni so'nggi xarita bo'yicha hisoblashadi

{ displaystyle Theta _ {n} / bP_ {n + 1} to pi _ {n} ^ {S} / J, ,}

qayerda ${ displaystyle bP_ {n + 1}}$ ning tsiklik kichik guruhi n- bog'laydigan sohalar parallelizable manifold o'lchov ${ displaystyle n + 1}$ , ${ displaystyle pi _ {n} ^ {S}}$ bo'ladi nth barqaror gomotopiya guruhlari va J ning tasviri J-homomorfizm, bu ham tsiklik guruhdir. Guruhlar ${ displaystyle bP_ {n + 1}}$ va ${ displaystyle J}$ ahamiyatsiz yoki o'lchovdan tashqari ikkita tartibli tsiklik omillarni osonlikcha angladilar ${ displaystyle n = 4k + 3}$ , bu holda ular katta, bilan bog'liq tartib bilan Bernulli raqamlari. Takliflar guruhlarning qiyin qismlari. Ushbu kvantlar guruhlari orasidagi xarita izomorfizm yoki injektsion xarakterga ega va indeks 2 tasviriga ega. Ikkinchisi, agar mavjud bo'lsa n- nolga teng bo'lmagan Kervaire invariantining o'lchovli ramkali manifoldi va shu tariqa ekzotik sferalarning tasnifi Kervaire o'zgarmas muammosiga 2 marta bog'liq.

Misollar

O'rnatilgan standart uchun torus, qiyshiq-nosimmetrik shakl tomonidan berilgan ${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}$ (standartga nisbatan) simpektik asos ) va egri-kvadratik aniqlanish bilan berilgan ${ displaystyle xy}$ shu asosda: ${ displaystyle Q (1,0) = Q (0,1) = 0}$ : asos egri chiziqlari o'z-o'zini bog'lamaydi; va ${ displaystyle Q (1,1) = 1}$ : a (1,1) kabi o'z-o'zini bog'lash Hopf fibratsiyasi. Ushbu shakl shu tarzda mavjud Arf o'zgarmas 0 (uning aksariyat elementlari 0 normaga ega; u shunday izotropiya indeksi 1) va shu bilan standart o'rnatilgan torus Kervaire o'zgarmas 0 ga ega.

Kervaire o'zgarmas muammosi

Qaysi o'lchamlarda degan savol n lar bor nnolga teng bo'lmagan Kervaire invariantining o'lchovli ramkali kollektorlari deyiladi Kervaire o'zgarmas muammosi. Bu faqat agar mumkin bo'lsa n 2 mod 4 ni tashkil qiladi va albatta bo'lishi kerak n shakldadir ${ displaystyle 2 ^ {k} -2}$ (ikkitasi ikki kuchdan kamroq). Savol deyarli to'liq hal qilindi; 2019 yildan boshlab^[yangilash] faqat 126 o'lchov ishi ochiq: 2, 6, 14, 30, 62 o'lchamlarda nolga teng bo'lmagan Kervaire invariantiga ega bo'lgan manifoldlar mavjud, va ehtimol 126 dan boshqa barcha o'lchamlarda yo'q.

Asosiy natijalar Uilyam Brauder (1969 ), muammoni differentsial topologiyadan kamaytirgan barqaror homotopiya nazariyasi va mumkin bo'lgan yagona o'lchovlar ekanligini ko'rsatdi ${ displaystyle 2 ^ {k} -2}$ va Maykl A. Xillnikilar, Maykl J. Xopkins va Duglas C. Ravenel (2016 ) uchun bunday manifoldlar yo'qligini kim ko'rsatdi ${ displaystyle k geq 8}$ ( ${ displaystyle n geq 254}$ ). Pastki o'lchamlar uchun aniq konstruktsiyalar bilan birga (62 gacha), bu faqat 126 o'lchovni qoldiradi.

Bu taxmin qilingan Maykl Atiya 126 o'lchovda bunday manifold borligi va nolga teng bo'lmagan Kervaire invariantli yuqori o'lchovli kollektorlar 16, 32, 64 va 128 o'lchamlarda ikki o'lchovdan yuqori bo'lgan taniqli ekzotik manifoldlar bilan bog'liqligi, ya'ni Cayley proektsion samolyoti ${ displaystyle mathbf {O} P ^ {2}}$ (o'lchov 16, oktonion proektsion tekislik) va shunga o'xshash Rozenfeld proektsion samolyotlari (32-o'lchovdagi bi-oktonion proektsion tekislik, kvateroktonion proektsion tekislik 64-o'lchovda va 128-o'lchovdagi okto-oktonion proektsion tekislik), xususan, ushbu proektsion tekisliklarni oladigan va ikkita o'lchamdan pastroqda Kervaire invariantli nolga teng bo'lmagan manifold ishlab chiqaradigan qurilish mavjud.^[1]

Tarix

Kervaire (1960) 10, 18 o'lchamdagi manifoldlar uchun Kervaire o'zgarmasligi nolga teng ekanligini isbotladi
Kervaire va Milnor (1963) Kervaire o'zgarmasligi 6, 14 o'lchovli manifoldlar uchun nolga teng bo'lishi mumkinligini isbotladi
Anderson, Braun va Peterson (1966) Kervaire o'zgarmasligi 8 o'lchovli manifoldlar uchun nolga teng ekanligini isbotladinUchun +2 n>1
Mahovald va Tangora (1967) Kervaire o'zgarmasligi 30 o'lchovli manifoldlar uchun nolga teng bo'lishi mumkinligini isbotladi
Brauzer (1969) o'lchov ko'pligi uchun Kervaire o'zgarmasligi nolga teng ekanligini isbotladi n 2-shakldan emas^k − 2.
Barratt, Jons va Mahovald (1984) Kervaire o'zgarmasligi 62-chi o'lchovli o'lchov uchun nolga teng emasligini ko'rsatdi. Muqobil dalil keyinroq keltirildi Xu (2016).
Hill, Xopkins va Ravenel (2016) Kervaire o'zgarmasligi nolga teng ekanligini ko'rsatdi nuchun o'lchovli ramkali manifoldlar n = 2^k- 2 bilan k ≥ 8. Ular quyidagi xususiyatlarga ega bo'lgan kohomologiya nazariyasini tuzdilar, natijada ularning natijasi darhol chiqadi:
- Co koeffitsient guruhlariⁿ(nuqta) 2-davrga ega⁸ = 256 dyuym n
- Co koeffitsient guruhlariⁿ(nuqta) "bo'shliq" ga ega: ular yo'qoladi n = -1, -2 va -3
- Co koeffitsient guruhlariⁿ(nuqta) yo'q bo'lib ketmaydigan Kervaire invariantlarini aniqlay oladi: aniqrog'i o'lchovning ko'p qirralari uchun Kervaire o'zgarmas bo'lsa n nolga teng bo'lsa, u holda nolga teng tasvir mavjud⁻ⁿ(nuqta)

Kervaire-Milnor o'zgarmasdir

The Kervaire-Milnor invariant - bu 2, 6 yoki 14 o'lchovli ramkali manifoldning ramkali jarrohlik operatsiyalari bilan chambarchas bog'liq, bu 2 va 6 dan izomorfizmlarni beradi. barqaror gomotopiya guruhlari ga ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ , va sharlarning 14-barqaror homotopiya guruhidan gomomorfizm ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ . Uchun n = 2, 6, 14 da aneksotik ramka mavjud ${ displaystyle S ^ {n / 2} marta S ^ {n / 2}}$ Kervaire-Milnor invariant 1 bilan.

Shuningdek qarang

Imzo, a 4k- o'lchovli o'zgarmas
De Rham o'zgarmas, a (4k + 1) o'lchovli o'zgarmas

Adabiyotlar

^ sharh André Henriques tomonidan 2012 yil 1-iyul kuni soat 19:26 da "Kervaire o'zgarmas: Nima uchun o'lchov 126 ayniqsa qiyin? ", MathOverflow

Barratt, Maykl G.; Jons, J. D. S .; Mahovald, Mark E. (1984). "62-o'lchovdagi Toda qavslari va Kervaire o'zgarmasligi o'rtasidagi munosabatlar". London Matematik Jamiyati jurnali. 2. 30 (3): 533–550. CiteSeerX 10.1.1.212.1163. doi:10.1112 / jlms / s2-30.3.533. JANOB 0810962.CS1 maint: ref = harv (havola)
Brauder, Uilyam (1969). "Kervayer ramkali ko'p qirrali invariant va uni umumlashtirish". Matematika yilnomalari. 90 (1): 157–186. doi:10.2307/1970686. JSTOR 1970686.CS1 maint: ref = harv (havola)
Brauder, Uilyam (1972), Sodda bog'langan manifoldlarda operatsiya, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 65, Nyu-York-Heidelberg: Springer, ix + 132-bet, ISBN 978-0-387-05629-6, JANOB 0358813
Chernavskiy, A.V. (2001) [1994], "Arf o'zgarmas", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
Xill, Maykl A.; Xopkins, Maykl J.; Ravenel, Duglas S. (2016). "Kervaire o'zgarmas elementlarining yo'qligi to'g'risida". Matematika yilnomalari. 184 (1): 1–262. arXiv:0908.3724. doi:10.4007 / annals.2016.184.1.1.CS1 maint: ref = harv (havola)
Kervaire, Mishel A. (1960). "Hech qanday farqlanadigan tuzilmani qabul qilmaydigan manifold". Matematik Helvetici sharhi. 34: 257–270. doi:10.1007 / bf02565940. JANOB 0139172.CS1 maint: ref = harv (havola)
Kervaire, Mishel A.; Milnor, Jon V. (1963). "Gomotopiya sohalari guruhlari: I" (PDF). Matematika yilnomalari. 77 (3): 504–537. doi:10.2307/1970128. JSTOR 1970128. JANOB 0148075.CS1 maint: ref = harv (havola)
Mahovald, Mark; Tangora, Martin (1967). "Adams spektral ketma-ketligidagi ba'zi differentsiallar". Topologiya. 6 (3): 349–369. doi:10.1016/0040-9383(67)90023-7. JANOB 0214072.CS1 maint: ref = harv (havola)
Miller, Xeyns (2012) [2011], Kervaire Invariant One (M. A. Xill, M. J. Xopkins va D. C. Raveneldan keyin), Seminaire Bourbaki, arXiv:1104.4523, Bibcode:2011arXiv1104.4523M
Milnor, Jon V. (2011), "Qirq olti yildan so'ng differentsial topologiya" (PDF), Amerika Matematik Jamiyati to'g'risida bildirishnomalar, 58 (6): 804–809
Rurk, Kolin P.; Sallivan, Dennis P. (1971), "Kervaire obstruktsiyasi to'g'risida", Matematika yilnomalari, (2), 94 (3): 397–413, doi:10.2307/1970764, JSTOR 1970764
Shtan'ko, M.A. (2001) [1994], "Kervaire o'zgarmas", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
Shtan'ko, M.A. (2001) [1994], "Kervaire-Milnor o'zgarmas", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
Snayt, Viktor P. (2009), Arf-Kervaire o'zgarmas atrofida barqaror homotopiya, Matematikadagi taraqqiyot, 273, Birkhäuser Verlag, doi:10.1007/978-3-7643-9904-7, ISBN 978-3-7643-9903-0, JANOB 2498881
Snayt, Viktor P. (2010), Arf-Kervaire o'zgarmas ramkali manifoldlar, arXiv:1001.4751, Bibcode:2010arXiv1001.4751S
Xu, Zhouli (2016), "62-o'lchovdagi kuchli Kervaire o'zgarmas muammosi", Geometriya va topologiya, 20, arXiv:1410.6199, doi:10.2140 / gt.2016.20.1611, JANOB 3523064

Tashqi havolalar

Hopkinsning Edinburgdagi ma'ruzasi slaydlari va videosi, 21.04.2009 y
Dag Ravenelning Arf-Kervaire uy sahifasi
Garvard-MIT-ning Kervaire o'zgarmasligi bo'yicha yozgi seminari
"Kervaire o'zgarmas bitta muammo" hal qilindi, 2009 yil 23 aprel, Jon Baezning blogdagi posti va munozarasi, n-toifadagi kafe
Ekzotik sferalar ko'p qirrali atlasda

Ommabop yangiliklar

Giperfera Ekzotika: Kervaire o'zgarmas muammosining echimi bor! O'lchovli sohalar bo'yicha 45 yillik muammo hal qilindi, ehtimol, Davide Castelvecchi tomonidan, 2009 yil avgust Ilmiy Amerika
Ball, Filipp (2009). "Shakllarning yashirin jumbog'i hal qilindi". Tabiat. doi:10.1038 / yangiliklar.2009.427.
Matematiklar 45 yoshli Kervayerning o'zgarmas jumboqini echishadi, Erika Klarreich, 2009 yil 20-iyul

[1] sharh André Henriques tomonidan 2012 yil 1-iyul kuni soat 19:26 da "Kervaire o'zgarmas: Nima uchun o'lchov 126 ayniqsa qiyin? ", MathOverflow

[1]