Kronekker koeffitsienti - Kronecker coefficient - Wikipedia

Matematikada, Kronekker koeffitsientlari g^λ_mkν ning parchalanishini tavsiflang tensor mahsuloti (= Kronecker mahsuloti ) ikkitadan qisqartirilmaydigan vakolatxonalar a nosimmetrik guruh qisqartirilmaydigan vakolatxonalarga. Ular muhim rol o'ynaydi algebraik kombinatorika va geometrik murakkablik nazariyasi. Ular tomonidan tanishtirildi Murnagan 1938 yilda.

Ta'rif

Ning bo'linishi berilgan n, yozing V_λ uchun Specht moduli λ bilan bog'liq. Keyin Kroneker koeffitsientlari g^λ_mkν qoida bo'yicha berilgan

${ displaystyle V _ { mu} otimes V _ { nu} = bigoplus _ { lambda} g _ { mu nu} ^ { lambda} V _ { lambda}.}$

Buni buni darajasida talqin qilish mumkin nosimmetrik funktsiyalar, ikkitadan Kronecker mahsuloti uchun formulani berish Schur polinomlari:

${ displaystyle s _ { mu} star s _ { nu} = sum _ { lambda} g _ { mu nu} ^ { lambda} s _ { lambda}.}$

Bu bilan taqqoslash kerak Littlewood-Richardson koeffitsientlari, bu erda induksiya qilingan vakillikni o'rniga ko'rib chiqiladi

${ displaystyle uparrow _ {S_ {| mu |} marta S_ {| nu |}} ^ {S_ {| lambda |}} chap (V _ { mu} otimes V _ { nu} o'ng) = bigoplus _ { lambda} c _ { mu nu} ^ { lambda} V _ { lambda},}$

va nosimmetrik funktsiyalarning mos keladigan ishlashi odatiy mahsulotdir. Shuningdek, Littlewood-Richardson koeffitsientlari GL vakili uchun Kroneker koeffitsientlarining analogidir._n, ya'ni yozadigan bo'lsak V_λ $ Delta $ ga mos keladigan qisqartirilmaydigan tasvir uchun n qismlar), biri buni oladi

${ displaystyle W _ { mu} otimes W _ { nu} = bigoplus _ { lambda} c _ { mu nu} ^ { lambda} W _ { lambda}.}$

Xususiyatlari

Bürgisser va Ikenmeyer (2008) hisoblash Kronekeri koeffitsientlari ekanligini ko'rsatdi # P-qattiq va tarkibida mavjud GapP. Yaqinda yaratilgan Ikenmeyer, Mulmuley & Walter (2017) berilgan Kroneker koeffitsientining nolga teng emasligini hal qilish nol ekanligini ko'rsatadi Qattiq-qattiq.^[1] So'nggi paytlarda ushbu koeffitsientlarning hisoblash murakkabligiga bo'lgan qiziqish uning dolzarbligidan kelib chiqadi Geometrik murakkablik nazariyasi dastur.

Taqdim etish nazariyasi va kombinatorikada hal qilinmagan asosiy muammo bu Kroneker koeffitsientlarining kombinatorial tavsifini berishdir. U 1938 yildan beri ochilgan Murnagan bunday kombinatorial tavsifni so'radi.^[2] Kombinatorial tavsif ham muammo # ekanligini anglatadi P tugallangan yuqoridagi natija asosida.

Kroneker koeffitsientlarini quyidagicha hisoblash mumkin

${ displaystyle g ( lambda, mu, nu) = { frac {1} {n!}} sum _ { sigma in S_ {n}} chi ^ { lambda} ( sigma) chi ^ { mu} ( sigma) chi ^ { nu} ( sigma),}$

qayerda ${ displaystyle chi ^ { lambda} ( sigma)}$ bo'ladi belgi qiymati ga to'g'ri keladigan qisqartirilmaydigan vakolatxonaning bo'lim ${ displaystyle lambda}$ almashtirish bo'yicha $S_ {n}} da { displaystyle sigma$.

Kroneker koeffitsientlari ham umumiy Koshi identifikatorida ko'rinadi

${ displaystyle sum _ { lambda, mu, nu} g ( lambda, mu, nu) s _ { lambda} (x) s _ { mu} (y) s _ { nu} (z ) = prod _ {i, j, k} { frac {1} {1-x_ {i} y_ {j} z_ {k}}}.}$

Shuningdek qarang

• Littlewood-Richardson koeffitsienti

Adabiyotlar

• Bürgisser, Piter; Ikenmeyer, xristian (2008), "Kroneker koeffitsientlarini hisoblashning murakkabligi", Rasmiy quvvat seriyalari va algebraik kombinatorika bo'yicha 20-yillik xalqaro konferentsiya (FPSAC 2008), Diskret matematika. Nazariya. Hisoblash. Ilmiy ish. Proc., AJ, dos. Diskret matematika. Nazariya. Hisoblash. Ilmiy ishlar, Nensi, 357-368 betlar, JANOB  2721467