Nosimmetrik guruh - Symmetric group

A Keyli grafigi nosimmetrik guruh S₄

Keyli stoli nosimmetrik guruh S₃
(ko'paytirish jadvali ning almashtirish matritsalari )

Oltita matritsaning pozitsiyalari:

Ba'zi matritsalar asosiy diagonalga nosimmetrik tarzda joylashtirilmagan - shuning uchun nosimmetrik guruh abeliya emas.

Algebraik tuzilish → Guruh nazariyasi Guruh nazariyasi
Asosiy tushunchalar Kichik guruh Oddiy kichik guruh Miqdor guruhi (Yarim)to'g'ridan-to'g'ri mahsulot Guruhli gomomorfizmlar yadro rasm to'g'ridan-to'g'ri summa gulchambar mahsuloti oddiy cheklangan cheksiz davomiy multiplikativ qo'shimchalar tsiklik abeliya dihedral nolpotent hal etiladigan Guruhlar nazariyasining lug'ati Guruhlar nazariyasi mavzulari ro'yxati
Cheklangan guruhlar Sonli oddiy guruhlarning tasnifi tsiklik o'zgaruvchan Yolg'on turi vaqti-vaqti bilan Koshi teoremasi Lagranj teoremasi Slow teoremalari Xoll teoremasi p-guruh Boshlang'ich abeliya guruhi Frobenius guruhi Schur multiplikatori Nosimmetrik guruh Sn Klein to'rt guruh V Dihedral guruh D.n Quaternion guruhi Q Ditsiklik guruh Dicn
Alohida guruhlar Panjaralar Butun sonlar (Z) Bepul guruh Modulli guruhlar PSL (2,Z) SL (2,Z) Arifmetik guruh Panjara Giperbolik guruh
Topologik va Yolg'on guruhlar Elektromagnit Doira Umumiy chiziqli GL (n) Maxsus chiziqli SL (n) Ortogonal O (n) Evklid E (n) Maxsus ortogonal SO (n) Unitar U (n) Maxsus unitar SU (n) Simpektik Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorents Puankare Norasmiy Diffeomorfizm Loop Cheksiz o'lchovli yolg'on guruhi O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraik guruhlar Lineer algebraik guruh Reduktiv guruh Abeliya xilma-xilligi Elliptik egri chiziq

Yilda mavhum algebra, nosimmetrik guruh har qanday narsadan aniqlangan o'rnatilgan bo'ladi guruh kimning elementlar hammasi bijections to'plamdan o'ziga va kimniki guruh operatsiyasi bo'ladi funktsiyalar tarkibi. Xususan, cheklangan nosimmetrik guruh ${ displaystyle S_ {n}}$ a orqali aniqlangan cheklangan to'plam ning ${ displaystyle n}$ belgilaridan iborat almashtirishlar bajarilishi mumkin ${ displaystyle n}$ belgilar.^[1] U erda bo'lgani uchun ${ displaystyle n!}$ (${ displaystyle n}$ faktorial ) bunday almashtirish operatsiyalari, buyurtma nosimmetrik guruhning (elementlar soni) ${ displaystyle S_ {n}}$ bu ${ displaystyle n!}$.

Nosimmetrik guruhlarni aniqlash mumkin bo'lsa-da cheksiz to'plamlar, ushbu maqola cheklangan nosimmetrik guruhlarga qaratilgan: ularning ilovalari, elementlari, ularning konjugatsiya darslari, a cheklangan taqdimot, ularning kichik guruhlar, ularning avtomorfizm guruhlari va ularning vakillik nazariya. Ushbu maqolaning qolgan qismida "nosimmetrik guruh" cheklangan to'plamdagi nosimmetrik guruhni anglatadi.

Nosimmetrik guruh matematikaning turli sohalari uchun muhimdir Galua nazariyasi, o'zgarmas nazariya, Yolg'on guruhlarining vakillik nazariyasi va kombinatorika. Keyli teoremasi har bir guruh ${ displaystyle G}$ bu izomorfik a kichik guruh nosimmetrik guruhning (The asosiy to'plam ning) ${ displaystyle G}$.

Ta'rif va birinchi xususiyatlar

Cheklangan to'plamdagi nosimmetrik guruh ${ displaystyle X}$ elementlari barchasi biektivativ funktsiyalar bo'lgan guruhdir ${ displaystyle X}$ ga ${ displaystyle X}$ va kimning guruh operatsiyasi bu funktsiya tarkibi.^[1] Cheklangan to'plamlar uchun "almashtirishlar" va "ikki tomonlama funktsiyalar" bir xil operatsiyani, ya'ni qayta tartibga solishni anglatadi. Ning nosimmetrik guruhi daraja ${ displaystyle n}$ to'plamdagi nosimmetrik guruhdir ${ displaystyle X = {1,2, ldots, n }}$.

To'plamdagi nosimmetrik guruh ${ displaystyle X}$ turli usullar bilan, shu jumladan belgilanadi ${ displaystyle S_ {X}}$, ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {X}}$, ${ displaystyle Sigma _ {X}}$, ${ displaystyle X!}$ va ${ displaystyle operatorname {Sym} (X)}$.^[1] Agar ${ displaystyle X}$ to'plam ${ displaystyle {1,2, ldots, n }}$ keyin ism qisqartirilishi mumkin ${ displaystyle S_ {n}}$, ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {n}}$, ${ displaystyle Sigma _ {n}}$, yoki ${ displaystyle operator nomi {Sym} (n)}$.^[1]

Cheksiz to'plamlardagi nosimmetrik guruhlar cheklangan to'plamlardagi nosimmetrik guruhlardan ancha farq qiladi va (Skot 1987 yil, Ch. 11), (Dikson va Mortimer 1996 yil, Ch. 8), va (Kemeron 1999 yil ).

To'plamdagi nosimmetrik guruh ${ displaystyle n}$ elementlari bor buyurtma ${ displaystyle n!}$ (the faktorial ning ${ displaystyle n}$).^[2] Bu abeliya agar va faqat agar ${ displaystyle n}$ 2 dan kam yoki unga teng.^[3] Uchun ${ displaystyle n = 0}$ va ${ displaystyle n = 1}$ (the bo'sh to'plam va singleton to'plami ), nosimmetrik guruhlar ahamiyatsiz (ular tartibda ${ displaystyle 0! = 1! = 1}$). S guruhi_n bu hal etiladigan agar va faqat agar ${ displaystyle n leq 4}$. Bu isbotning muhim qismidir Abel-Ruffini teoremasi bu shuni ko'rsatadiki, har bir kishi uchun ${ displaystyle n> 4}$ lar bor polinomlar daraja ${ displaystyle n}$ ularni radikallar tomonidan echib bo'lmaydigan, ya'ni polinom koeffitsientlari bo'yicha sonli sonli qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish va ildiz chiqarish amallarini bajarish bilan ifodalash mumkin emas.

Ilovalar

Hajmi to'plamidagi nosimmetrik guruh n bo'ladi Galois guruhi generalning polinom daraja n va muhim rol o'ynaydi Galua nazariyasi. Yilda o'zgarmas nazariya, nosimmetrik guruh ko'p o'zgaruvchan funktsiyaning o'zgaruvchilariga ta'sir qiladi va o'zgarmas funktsiyalar chap deb ataladi nosimmetrik funktsiyalar. In Yolg'on guruhlarining vakillik nazariyasi, nosimmetrik guruhning vakillik nazariyasi g'oyalari orqali asosiy rol o'ynaydi Schur funktsiyalari. Nazariyasida Kokseter guruhlari, nosimmetrik guruh A tipidagi Kokseter guruhidir_n va kabi sodir bo'ladi Veyl guruhi ning umumiy chiziqli guruh. Yilda kombinatorika, nosimmetrik guruhlar, ularning elementlari (almashtirishlar ) va ularning vakolatxonalar bilan bog'liq muammolarning boy manbasini taqdim etish Yosh stol, plaktik monoidlar, va Bruhat buyurtmasi. Kichik guruhlar nosimmetrik guruhlar deyiladi almashtirish guruhlari va tushunishda muhimligi sababli keng o'rganiladi guruh harakatlari, bir hil bo'shliqlar va avtomorfizm guruhlari ning grafikalar kabi Higman-Sims guruhi va Higman-Sims grafigi.

Elementlar

To'plamdagi nosimmetrik guruh elementlari X ular almashtirishlar ning X.

Ko'paytirish

Nosimmetrik guruhdagi guruh operatsiyasi funktsiya tarkibi, ∘ belgisi bilan yoki oddiygina almashtirishlarni yonma-yon qo'yish bilan belgilanadi. Tarkibi f ∘ g almashtirishlar f va g, talaffuz qilingan "f ning g", har qanday elementni xaritada aks ettiradi x ning X ga f(g(x)). Aniq qilib aytaylik (qarang.) almashtirish yozuvni tushuntirish uchun):

${ displaystyle f = (1 3) (4 5) = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 3 3 & 2 & 1 & 5 & 4 end {pmatrix}}}$

${ displaystyle g = (1 2 5) (3 4) = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 2 & 5 & 4 & 3 & 1 end {pmatrix}}.}$

Qo'llash f keyin g avval 1 dan 2 gacha, so'ngra 2ni o'ziga xaritalar; 2 dan 5 gacha, keyin esa 4 gacha; 3 dan 4 gacha, keyin 5 ga va hokazo. Shunday qilib, bastakorlik f va g beradi

${ displaystyle fg = f circ g = (1 2 4) (3 5) = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 2 4 & 5 & 1 & 3 end {pmatrix}}.}$

A tsikl uzunlik L = k · m, ga olib borilgan k- kuch, parchalanadi k uzunlik tsikllari m: Masalan, (k = 2, m = 3),

${ displaystyle (1 ~ 2 ~ 3 ~ 4 ~ 5 ~ 6) ^ {2} = (1 ~ 3 ~ 5) (2 ~ 4 ~ 6).}$

Guruh aksiomalarini tekshirish

To'plamdagi nosimmetrik guruhni tekshirish uchun X haqiqatan ham a guruh, yopilish, assotsiativlik, identifikatsiya va teskari tomonlarning guruh aksiomalarini tekshirish kerak.^[4]

1. Ning ishlashi funktsiya tarkibi berilgan to'plamning almashtirishlar to'plamida yopiladi X.
2. Funktsiya tarkibi har doim assotsiativ hisoblanadi.
3. Ning har bir elementini tayinlaydigan ahamiyatsiz biektsiya X o'zi uchun guruh uchun o'ziga xoslik bo'lib xizmat qiladi.
4. Har bir bijectionda teskari funktsiya bu o'z harakatini bekor qiladi va shuning uchun nosimmetrik guruhning har bir elementi teskari bo'ladi, bu ham almashtirishdir.

Transpozitsiyalar

A transpozitsiya bu ikkita elementni almashtiradigan va qolganlarning hammasini bir tekis ushlab turadigan almashtirish; masalan (1 3) bu transpozitsiya. Har bir almashtirishni transpozitsiyalar mahsuloti sifatida yozish mumkin; masalan, almashtirish g yuqoridan quyidagicha yozish mumkin g = (1 2) (2 5) (3 4). Beri g toq miqdordagi transpozitsiyalarning hosilasi sifatida yozilishi mumkin, keyin u an deyiladi g'alati almashtirish, aksincha f bu hatto almashtirishdir.

Transpozitsiyalar mahsuloti sifatida permutatsiyaning vakili noyob emas; ammo, ma'lum bir almashtirishni ko'rsatish uchun zarur bo'lgan transpozitsiyalar soni har doim ham juft yoki har doim g'alati bo'ladi. Ushbu almashinish tengligining o'zgarmasligini bir necha qisqa dalillar mavjud.

Ikki juft almashtirishning ko'paytmasi juft, ikkita toq almashtirishning ko'paytmasi juft va qolgan barcha mahsulotlar toqdir. Shunday qilib biz imzo almashtirish:

${ displaystyle operatorname {sgn} f = { begin {case} +1, & { text {if}} f { mbox {even}}} - 1, & { text {if}} f { text {g'alati}}. end {holatlar}}}$

Ushbu ta'rif bilan,

${ displaystyle operatorname {sgn} colon mathrm {S} _ {n} rightarrow {+ 1, -1 } }$

a guruh homomorfizmi ({+1, –1} - ko'paytiriladigan guruh, bu erda +1 - e, the neytral element ). The yadro bu homomorfizmning, ya'ni barcha juft almashtirishlarning to'plami, deyiladi o'zgaruvchan guruh A_n. Bu oddiy kichik guruh S ning_nva uchun n ≥ 2 u bor n!/2 elementlar. S guruhi_n bo'ladi yarim yo'nalishli mahsulot A_n va bitta transpozitsiya natijasida hosil bo'lgan har qanday kichik guruh.

Bundan tashqari, har bir almashtirishni hosilasi sifatida yozish mumkin qo'shni transpozitsiyalar, ya'ni shaklning transpozitsiyalari (a a+1). Masalan, almashtirish g yuqoridan ham shunday yozilishi mumkin g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5). Saralash algoritmi qabariq turi bu faktning qo'llanilishi. Qo'shni transpozitsiyalarning mahsuloti sifatida almashtirishning namoyishi ham o'ziga xos emas.

Velosipedlar

A tsikl ning uzunlik k almashtirish f buning uchun element mavjud x {1, ..., ichida n} shu kabi x, f(x), f²(x), ..., f^k(x) = x ko'chirilgan yagona elementlardir f; bu talab qilinadi k ≥ 2 beri bilan k = 1 element x o'zi ham ko'chirilmaydi. Almashtirish h tomonidan belgilanadi

${ displaystyle h = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 4 4 & 2 & 1 & 3 & 5 end {pmatrix}}}$

beri uch uzunlikdagi tsikl h(1) = 4, h(4) = 3 va h(3) = 1, 2 va 5 ni tegmasdan qoldiring. Bunday tsiklni biz belgilaymiz (1 4 3), lekin u ham xuddi shunday yozilishi mumkin edi (4 3 1) yoki (3 1 4) boshqa nuqtadan boshlash orqali. Tsiklning tartibi uning uzunligiga teng. Ikki uzunlikdagi tsikllar transpozitsiyalardir. Ikki tsikl ajratish agar ular elementlarning ajratilgan kichik to'plamlarini siljitsalar. Ajratilgan tsikllar qatnov: masalan, Sda₆ tenglik mavjud (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3). S ning har bir elementi_n ajratilgan tsikllarning hosilasi sifatida yozilishi mumkin; bu vakillik noyobdir qadar omillar tartibi va uning boshlang'ich nuqtasini tanlab, har bir individual tsiklni ifodalashda mavjud bo'lgan erkinlik.

Tsikllar quyidagi konjugatsiya xususiyatini har qanday almashtirish bilan tan oladi ${ displaystyle sigma}$, bu xususiyat ko'pincha uni olish uchun ishlatiladi generatorlar va munosabatlar.

${ displaystyle sigma { begin {pmatrix} a & b & c & ldots end {pmatrix}} sigma ^ {- 1} = { begin {pmatrix} sigma (a) & sigma (b) & sigma (c) ) & ldots end {pmatrix}}}$

Maxsus elementlar

Nosimmetrik guruhning ba'zi elementlari {1, 2, ..., n} alohida qiziqish uyg'otadi (ularni tartibsiz to'plam uchun emas, balki har qanday cheklangan to'liq to'plamning simmetrik guruhiga umumlashtirish mumkin).

The almashtirishni almashtirishni buyurtma qilish tomonidan berilgan:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 2 & cdots & n n & n-1 & cdots & 1 end {pmatrix}}.}$

Bu ga nisbatan noyob maksimal element Bruhat buyurtmasi vaeng uzun element nosimmetrik guruhda qo'shni transpozitsiyalardan tashkil topgan generatsiya to'plamiga nisbatan (men men+1), 1 ≤ men ≤ n − 1.

Bu involution va quyidagilardan iborat ${ displaystyle lfloor n / 2 rfloor}$ (qo'shni bo'lmagan) transpozitsiyalar

${ displaystyle (1 , n) (2 , n-1) cdots, { text {or}} sum _ {k = 1} ^ {n-1} k = { frac {n (n) -1)} {2}} { text {qo'shni transpozitsiyalar:}}}$

${ displaystyle (n , n-1) (n-1 , n-2) cdots (2 , 1) (n-1 , n-2) (n-2 , n-3) cdots,}$

shuning uchun uning belgisi bor:

${ displaystyle mathrm {sgn} ( rho _ {n}) = (- 1) ^ { lfloor n / 2 rfloor} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2} = { begin {case} + 1 & n equiv 0,1 { pmod {4}} - 1 & n equiv 2,3 { pmod {4}} end {case}}}$

bu 4 davriydir n.

Sda_2n, mukammal aralash to'plamni 2 ta qoziqqa bo'linadigan va ularni o'zaro bog'laydigan almashtirish. Uning belgisi ham ${ displaystyle (-1) ^ { lfloor n / 2 rfloor}.}$

Teskari ekanligini unutmang n elementlar va 2-da mukammal aralashn elementlar bir xil belgiga ega; bular tasnifi uchun muhimdir Klifford algebralari, ular 8 davriydir.

Konjugatsiya darslari

The konjugatsiya darslari S ning_n almashtirishlarning tsikli tuzilmalariga mos keladi; ya'ni S ning ikkita elementi_n S.da konjugat mavjud_n va agar ular bir xil uzunlikdagi bir xil miqdordagi ajratilgan tsikllardan iborat bo'lsa. Masalan, S-da₅, (1 2 3) (4 5) va (1 4 3) (2 5) konjugat; (1 2 3) (4 5) va (1 2) (4 5) emas. S ning konjuge elementi_n ikkita konjuge permutatsiyasining "tsikl yozuvlari" ni bir-birining ustiga qo'yish orqali "ikkita chiziqli yozuv" da tuzilishi mumkin. Oldingi misolni davom ettirish:

${ displaystyle k = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 4 & 3 & 2 & 5 end {pmatrix}}}$

tsikllarning hosilasi sifatida yozilishi mumkin, ya'ni: (2 4).

Keyinchalik, bu almashtirish (1 2 3) (4 5) va (1 4 3) (2 5) bilan konjugatsiya orqali bog'liq, ya'ni

${ displaystyle (2 ~ 4) circ (1 ~ 2 ~ 3) (4 ~ 5) circ (2 ~ 4) = (1 ~ 4 ~ 3) (2 ~ 5).}$

Bunday almashinish noyob emasligi aniq.

Past darajadagi guruhlar

Past darajadagi nosimmetrik guruhlar oddiyroq va g'ayrioddiy tuzilishga ega va ko'pincha ularni alohida davolash kerak.

S₀ va S₁

Simmetrik guruhlari bo'sh to'plam va singleton to'plami ahamiyatsiz, bu mos keladi 0! = 1! = 1. Bu holda o'zgaruvchan guruh indeks 2 kichik guruhi bo'lishdan ko'ra, nosimmetrik guruhga rozi bo'ladi va belgilar xaritasi ahamiyatsiz bo'ladi. S holatida₀, uning yagona a'zosi bo'sh funktsiya.

S₂

Ushbu guruh aynan ikkita elementdan iborat: identifikator va ikki nuqtani almashtiradigan almashtirish. Bu tsiklik guruh va shunday abeliya. Yilda Galua nazariyasi, bu haqiqatga to'g'ri keladi kvadratik formula umumiy uchun to'g'ridan-to'g'ri echimini beradi kvadratik polinom faqat bitta ildizni chiqargandan so'ng. Yilda o'zgarmas nazariya, nosimmetrik guruhni ikki nuqtada aks ettirish nazariyasi juda sodda va ikkita o'zgaruvchining funktsiyasini uning nosimmetrik va nosimmetrik qismlarining yig'indisi sifatida yozishda ko'rinadi: f_s(x, y) = f (x, y) + f (y, x)va f_a(x, y) = f(x, y) − f(y, x), biri buni oladi 2⋅f = f_s + f_a. Ushbu jarayon sifatida tanilgan simmetrizatsiya.

S₃

S₃ birinchi nonabelian nosimmetrik guruhdir. Ushbu guruh uchun izomorfik dihedral buyurtma guruhi 6, an ning aks ettirish va aylanish simmetriyalari guruhi teng qirrali uchburchak, chunki bu simmetriyalar uchburchakning uchta tepasini buzadi. Ikki uzunlikdagi tsikllar aks ettirishga to'g'ri keladi va uch uzunlikdagi tsikllar aylanishdir. Galua nazariyasida S dan belgi xaritasi₃ S ga₂ a uchun kvadratik kvadratchaga to'g'ri keladi kubik polinom tomonidan kashf etilgan Gerolamo Kardano, A esa₃ yadrosi foydalanishga mos keladi diskret Furye konvertatsiyasi shaklida 3-tartibli eritma Lagranj eritmalari.^{[iqtibos kerak ]}

S₄

Guruh S₄ qarama-qarshi yuzlar, qarama-qarshi diagonallar va qarama-qarshi qirralarning to'g'ri aylanishi guruhiga izomorfdir, 9, 8 va 6 permutations, ning kub.^[5] Guruhdan tashqari A₄, S₄ bor Klein to'rt guruh V sifatida oddiy kichik guruh, ya'ni hatto transpozitsiyalar {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}, bilan S₃. Yilda Galua nazariyasi, bu xarita rezolyutsiya kubiga a ga to'g'ri keladi kvartik polinom, bu kvartikani belgilanganidek, radikallar tomonidan hal qilishga imkon beradi Lodoviko Ferrari. Klein guruhini Lagranj eritmalari kvartikaning S xaritasi₄ S ga₃ shuningdek, nosimmetrik daraja guruhining kamaytirilmaydigan vakili bo'lgan 2 o'lchovli kamaytirilmaydigan tasvirni beradi n o'lchamlari quyida n − 1, bu faqat uchun sodir bo'ladi n = 4.

S₅

S₅ erimaydigan birinchi nosimmetrik guruhdir. Bilan birga maxsus chiziqli guruh SL (2, 5) va ikosahedral guruh A₅ × S₂, S₅ izomorfizmgacha bo'lgan 120-tartibli uchta erimaydigan guruhlardan biridir. S₅ bo'ladi Galois guruhi generalning kvintik tenglama va haqiqatan ham S₅ emas hal etiladigan guruh hal qilish uchun umumiy formulaning mavjud emasligiga aylanadi kvintik polinomlar radikallar tomonidan. Ekzotik inklyuziya xaritasi mavjud S₅ → S.₆ kabi o'tuvchi kichik guruh; aniq kiritish xaritasi S_n → S._n+1 nuqtani tuzatadi va shu bilan o'tkinchi emas. Bu S ning tashqi avtomorfizmini keltirib chiqaradi₆, quyida muhokama qilingan va kvintikaning rezventli sekstikasiga mos keladi.

S₆

Boshqa barcha nosimmetrik guruhlardan farqli o'laroq, S₆, bor tashqi avtomorfizm. Tilidan foydalanish Galua nazariyasi, buni so'zlar nuqtai nazaridan ham tushunish mumkin Lagranj eritmalari. Kvintikaning rezoventsiyasi 6 daraja - bu ekzotik inklyuziya xaritasiga to'g'ri keladi S₅ → S.₆ tranzitiv kichik guruh sifatida (aniq inklyuziya xaritasi S_n → S._n+1 nuqtani tuzatadi va shu bilan o'tuvchi emas) va shu xarita umumiy kvintikani eruvchan qilmasa ham, S ning ekzotik tashqi avtomorfizmini beradi₆- qarang nosimmetrik va o'zgaruvchan guruhlarning avtomorfizmlari tafsilotlar uchun.

E'tibor bering, A₆ va A₇ istisnoga ega Schur multiplikatori (a uch qavatli qopqoq ) va ular S ning uchta qopqog'iga tarqaladi₆ va S₇, bu nosimmetrik guruhning istisno Schur ko'paytirgichlariga mos kelmaydi.

Nosimmetrik guruhlar orasidagi xaritalar

Arzimas xaritadan tashqari S_n → C₁ . S₀ . S₁ va belgilar xaritasi S_n → S.₂, nosimmetrik guruhlar orasidagi eng muhim homomorfizmlar, tartibda nisbiy o'lchov, quyidagilar:

• S₄ → S.₃ favqulodda normal kichik guruhga mos keladi V 4 4;
• S₆ → S.₆ (aniqrog'i, ichki xaritadagi avtomorfizmgacha bo'lgan bunday xaritalar klassi) S ning tashqi avtomorfizmiga mos keladi₆.
• S₅ → S.₆ tranzitiv kichik guruh sifatida S ning tashqi avtomorfizmini beradi₆ yuqorida muhokama qilinganidek.

Boshqa bir qator gomomorfizmlar ham mavjud S_m → S._n qayerda n > m.

O'zgaruvchan guruh bilan munosabat

Uchun n ≥ 5, o'zgaruvchan guruh A_n bu oddiy va induktsiya qilingan ko'rsatkich bu xaritalar xaritasi: A_n → S._n → S.₂ bu ikki elementning transpozitsiyasini olish bilan bo'linadi. Shunday qilib S_n yarim yo'nalishli mahsulotdir A_n . S₂, va boshqa to'g'ri normal kichik guruhlarga ega emas, chunki ular A bilan kesishgan_n yoki identifikatsiyada (va shu bilan o'zlari identifikator yoki normal bo'lmagan 2 elementli guruh bo'lishi mumkin) yoki A da_n (va shuning uchun o'zlari A_n yoki S_n).

S_n uning A kichik guruhida ishlaydi_n konjugatsiya orqali va uchun n ≠ 6, S_n A ning to'liq avtomorfizm guruhidir_n: Avtomatik (A_n) ≅ S_n. Hatto elementlar bilan konjugatsiya ichki avtomorfizmlar A_n esa tashqi avtomorfizm A_n tartibi 2 toq element bilan konjugatsiyaga to'g'ri keladi. Uchun n = 6, bor tashqi tashqi avtomorfizm A_n shuning uchun S_n A ning to'liq avtomorfizm guruhi emas_n.

Aksincha, uchun n ≠ 6, S_n tashqi avtomorfizmga ega emas va uchun n ≠ 2 uning markazi yo'q, shuning uchun n ≠ 2, 6 bu a to'liq guruh, muhokama qilinganidek avtomorfizm guruhi, quyida.

Uchun n ≥ 5, S_n bu deyarli oddiy guruh, chunki bu oddiy A guruhi o'rtasida yotadi_n va uning avtomorfizmlar guruhi.

S_n ichiga joylashtirilishi mumkin_n+2 transpozitsiyani qo'shish orqali (n + 1, n + 2) barcha g'alati almashtirishlarga_n+1 buning iloji yo'q n > 1.

Jeneratorlar va munosabatlar

Nosimmetrik guruh yoqilgan n harflar qo'shni transpozitsiyalar ${ displaystyle sigma _ {i} = (i, i + 1)}$ bu almashtirish men va men + 1.^[6] To'plam ${ displaystyle sigma _ {1}, ldots, sigma _ {n-1}}$ hosil qiladi S_n quyidagi munosabatlarga bog'liq:^[7]

• ${ displaystyle sigma _ {i} ^ {2} = 1,}$
• ${ displaystyle sigma _ {i} sigma _ {j} = sigma _ {j} sigma _ {i}}$ uchun ${ displaystyle | i-j |> 1}$va
• ${ displaystyle ( sigma _ {i} sigma _ {i + 1}) ^ {3} = 1,}$

bu erda 1 identifikatsiyani almashtirishni anglatadi. Ushbu vakillik nosimmetrik guruhni a tuzilishi bilan ta'minlaydi Kokseter guruhi (va shuning uchun ham a aks ettirish guruhi ).

Boshqa mumkin bo'lgan ishlab chiqaruvchi to'plamlarga almashinadigan transpozitsiyalar to'plami kiradi 1 va men uchun 2 ≤ men ≤ n,^{[iqtibos kerak ]} va har qanday birini o'z ichiga olgan to'plam n- velosiped va a 2-dagi qo'shni elementlarning tsikli n- velosiped.^[8]

Kichik guruh tuzilishi

A kichik guruh nosimmetrik guruh a almashtirish guruhi.

Oddiy kichik guruhlar

The oddiy kichik guruhlar cheklangan nosimmetrik guruhlarning yaxshi tushuniladi. Agar n ≤ 2, S_n eng ko'pi 2 ta elementga ega va shu sababli noan'anaviy tegishli kichik guruhlar mavjud emas. The o'zgaruvchan guruh daraja n har doim normal kichik guruh bo'lib, to'g'ri keladi n ≥ 2 va norivial uchun n ≥ 3; uchun n ≥ 3 aslida S-ning o'ziga xos bo'lmagan yagona normal kichik guruhi_n, bundan mustasno n = 4 uchun izomorf bo'lgan yana bitta shunday normal kichik guruh mavjud bo'lsa Klein to'rt guruh.

Cheksiz to'plamdagi nosimmetrik guruhda, indeks 2 ning kichik guruhi mavjud emas Vitali (1915^[9]) har bir almashtirishni uchta kvadrat hosilasi sifatida yozish mumkinligini isbotladi. Ammo u oddiy kichik guruhni o'z ichiga oladi S Transpozitsiyalar natijasida hosil bo'ladigan, lekin juda ko'p elementlarni tuzatuvchi permutatsiyalar. Ushbu elementlar S transpozitsiyalarning juft sonli mahsuloti bo'lib, indeks 2 ning kichik guruhini tashkil qiladi S, o'zgaruvchan kichik guruh deb nomlangan A. Beri A hatto a xarakterli kichik guruh ning S, bu shuningdek cheksiz to'plamning to'liq nosimmetrik guruhining normal kichik guruhidir. Guruhlar A va S simmetrik guruhning o'ziga xos bo'lmagan yagona normal kichik guruhlari, bu cheksiz to'plamda. Bu birinchi marta isbotlangan Onofri (1929^[10]) va mustaqil ravishda Shrayer -Ulam (1934^[11]). Qo'shimcha ma'lumot uchun (Skot 1987 yil, Ch. 11.3) yoki (Dikson va Mortimer 1996 yil, Ch. 8.1).

Maksimal kichik guruhlar

Ushbu bo'lim kengayishga muhtoj. Siz yordam berishingiz mumkin unga qo'shilish. (2009 yil sentyabr)

The maksimal kichik guruhlar chekli nosimmetrik guruhlarning uchta sinfga bo'linadi: o'tmaydigan, imprimitiv va ibtidoiy. O'tkazilmaydigan maksimal kichik guruhlar aynan shaklga to'g'ri keladi Sym (k) × Sym (n − k) uchun 1 ≤ k < n/2. Ajablanadigan maksimal kichik guruhlar aynan Sym (k) wr Sym (n/k) qayerda 2 ≤ k ≤ n/2 ning to'g'ri bo'luvchisi n va "wr" belgisini bildiradi gulchambar mahsuloti beg'araz harakat qilish. Ibtidoiy maksimal kichik guruhlarni aniqlash qiyinroq, lekin yordamida O'Nan-Skot teoremasi va cheklangan oddiy guruhlarning tasnifi, (Liebeck, Praeger & Saxl 1988 yil ) ga muvofiq ushbu turdagi maksimal kichik guruhlarning etarlicha qoniqarli tavsifini berdi.Dikson va Mortimer 1996 yil, p. 268).

Slow guruhlari

The Slow guruhlari nosimmetrik guruhlarning muhim misollari p-gruplar. Avval ular maxsus holatlarda osonroq tavsiflanadi:

Slow p- nosimmetrik daraja guruhining kichik guruhlari p faqat tomonidan yaratilgan tsiklik kichik guruhlardir p- velosipedlar. Lar bor (p − 1)!/(p − 1) = (p − 2)! shunchaki generatorlarni hisoblash orqali bunday kichik guruhlar. The normalizator shuning uchun tartib bor p·(p − 1) va a sifatida tanilgan Frobenius guruhi F_p(p−1) (ayniqsa uchun p = 5) va affin umumiy chiziqli guruh, AGL (1, p).

Slow p- daraja nosimmetrik guruhining kichik guruhlari p² ular gulchambar mahsuloti tartibning ikki tsiklik guruhidan p. Masalan, qachon p = 3, Sylow 3-kichik guruhi (9) tomonidan yaratilgan a = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9) va elementlar x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9), va Sylow 3 kichik guruhining har bir elementi shaklga ega a^menx^jy^kz^l 0 for uchun men,j,k,l ≤ 2.

Slow p- nosimmetrik daraja guruhining kichik guruhlari pⁿ ba'zan V bilan belgilanadi_p(n) va ushbu yozuvni ishlatganda bunga ega V_p(n + 1) W ning gulchambar mahsulotidir_p(n) va V_p(1).

Umuman olganda, Sylow p- nosimmetrik daraja guruhining kichik guruhlari n ning to'g'ridan-to'g'ri mahsulotidir a_men V nusxalari_p(men), bu erda 0 ≤ a_men ≤ p - 1 va n = a₀ + p·a₁ + ... + p^k·a_k (taglik p kengayishi n).

Masalan, V₂(1) = C₂ va V₂(2) = D₈, dihedral buyurtma guruhi 8 va shuning uchun 7-darajali nosimmetrik guruhning Sylow 2-kichik guruhi hosil bo'ladi { (1,3)(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) } va uchun izomorfikdir D.₈ × C₂.

Ushbu hisob-kitoblarga (Kaloujnine 1948 yil ) va batafsilroq tavsiflangan (Rotman 1995 yil, p. 176) harv xatosi: maqsad yo'q: CITEREFRotman1995 (Yordam bering). Shunga qaramay (Kerber 1971 yil, p. 26) natijani 1844 yilgi ish bilan bog'laydi Koshi va hatto darslik shaklida (Netto 1882 yil, §39–40).

Tranzitiv kichik guruhlar

A o'tuvchi kichik guruh S ning_n bu kichik guruh bo'lib, uning harakati {1, 2,, ...,n} bu o'tish davri. Masalan, Galois guruhi (cheklangan ) Galois kengaytmasi S ning tranzitiv kichik guruhidir_n, ba'zilari uchun n.

Keyli teoremasi

Keyli teoremasi har bir guruh G nosimmetrik guruhning kichik guruhiga izomorfdir. Xususan, elementlari bo'yicha nosimmetrik guruhning kichik guruhini olish mumkin G, chunki har bir guruh (chapga yoki o'ngga) ko'paytirish orqali o'ziga sodiqlik bilan harakat qiladi.

Automorfizm guruhi

Uchun n ≠ 2, 6, S_n a to'liq guruh: uning markaz va tashqi avtomorfizm guruhi ikkalasi ham ahamiyatsiz.

Uchun n = 2, avtomorfizm guruhi ahamiyatsiz, ammo S₂ ahamiyatsiz emas: u C uchun izomorfdir₂, bu abeliya, va shuning uchun markaz butun guruhdir.

Uchun n = 6, u 2-tartibning tashqi avtomorfizmiga ega: Chiqdi (S.₆) = C₂va avtomorfizm guruhi yarim yo'nalishli mahsulotdir Avtomatik (S.₆) = S₆ . C₂.

Aslida, har qanday to'plam uchun X nosimmetrik guruhning har qanday avtomorfizmi 6 dan tashqari kardinallik X ichki, natijada birinchi (Schreier & Ulam 1937 yil ) harv xatosi: maqsad yo'q: CITEREFSchreierUlam1937 (Yordam bering) ga binoan (Dikson va Mortimer 1996 yil, p. 259).

Gomologiya

The guruh homologiyasi S ning_n juda muntazam va barqarorlashadi: birinchi homologiya (aniq qilib aytganda abeliyatsiya ) bu:

${ displaystyle H_ {1} ( mathrm {S} _ {n}, mathbf {Z}) = { begin {case} 0 & n <2 mathbf {Z} / 2 & n geq 2. end { holatlar}}}$

Birinchi gomologik guruh - bu abelianizatsiya va S xaritasiga to'g'ri keladi_n → S.₂ bu abelianizatsiya n ≥ 2; uchun n <2 nosimmetrik guruh ahamiyatsiz. Ushbu gomologiya osongina quyidagicha hisoblanadi: S_n birikmalar tomonidan hosil qilinadi (2-tsikl, ular 2-tartibga ega), shuning uchun yagona ahamiyatsiz xaritalar S_n → C_p S ga tegishli₂ va barcha aloqalar konjugatdir, shuning uchun abelianizatsiyadagi bir xil elementga xarita (chunki konjugatsiya abeliya guruhlarida ahamiyatsiz). Shunday qilib, mumkin bo'lgan yagona xaritalar S_n → S.₂ ≅ {±1} 1 ga (ahamiyatsiz xarita) yoki -1 ga (imo-ishora xaritasi) taklifnoma yuboring. Bundan tashqari, belgilar xaritasi aniq belgilanganligini ko'rsatish kerak, ammo bu S ning birinchi homologiyasini beradi_n.

Ikkinchi homologiya (aniq qilib aytganda Schur multiplikatori ) bu:

${ displaystyle H_ {2} ( mathrm {S} _ {n}, mathbf {Z}) = { begin {case} 0 & n <4 mathbf {Z} / 2 & n geq 4. end { holatlar}}}$

Bu (Schur 1911 yil ) va ga mos keladi nosimmetrik guruhning ikki qavatli qopqog'i, 2 · S_n.

E'tibor bering ajoyib o'zgaruvchan guruhning past o'lchovli homologiyasi (${ displaystyle H_ {1} ( mathrm {A} _ {3}) cong H_ {1} ( mathrm {A} _ {4}) cong mathrm {C} _ {3},}$ ahamiyatsiz abelianizatsiyaga mos keladi va ${ displaystyle H_ {2} ( mathrm {A} _ {6}) cong H_ {2} ( mathrm {A} _ {7}) cong mathrm {C} _ {6},}$ istisno 3 qavatli qopqoq tufayli) nosimmetrik guruhning homologiyasini o'zgartirmaydi; o'zgaruvchan guruh hodisalari nosimmetrik guruh hodisalarini beradi - xarita ${ displaystyle mathrm {A} _ {4} twoheadrightarrow mathrm {C} _ {3}}$ ga cho'ziladi ${ displaystyle mathrm {S} _ {4} twoheadrightrightrow mathrm {S} _ {3},}$ va A ning uchta qopqog'i₆ va A₇ S ning uch qavatli qopqog'iga cho'zing₆ va S₇ - lekin bu emas homologik - xarita ${ displaystyle mathrm {S} _ {4} twoheadrightarrow mathrm {S} _ {3}}$ S ning abelizatsiyasini o'zgartirmaydi₄va uchta qopqoq ham homologiyaga mos kelmaydi.

Gomologiya ma'nosida "barqarorlashadi" barqaror homotopiya nazariya: inklyuziya xaritasi mavjud S_n → S._n+1va belgilangan uchun k, homologiya bo'yicha induktsiya qilingan xarita H_k(S_n) → H_k(S_n+1) izomorfizm etarli darajada yuqori n. Bu oilalarning homologiyasiga o'xshaydi Yolg'on guruhlar barqarorlashtiruvchi.

Cheksiz nosimmetrik guruhning homologiyasi (Nakaoka 1961 yil ), kohomologik algebra bilan shakllanadigan a Hopf algebra.

Vakillik nazariyasi

The nosimmetrik guruhning vakillik nazariyasi ning alohida holatidir cheklangan guruhlarning vakillik nazariyasi, buning uchun aniq va batafsil nazariyani olish mumkin. Bu potentsial dasturlarning katta maydoniga ega, dan nosimmetrik funktsiya muammolariga nazariya kvant mexanikasi bir qator uchun bir xil zarralar.

Nosimmetrik guruh S_n tartib bor n!. Uning konjugatsiya darslari tomonidan belgilanadi bo'limlar ningn. Shuning uchun, cheklangan guruhning vakillik nazariyasiga ko'ra, tengsiz son qisqartirilmaydigan vakolatxonalar, ustidan murakkab sonlar, bo'limlari soniga tengn. Cheklangan guruhlar uchun umumiy vaziyatdan farqli o'laroq, aslida konjugatatsiya sinflarini, ya'ni bo'limlari bilan parametrlashtiradigan bir xil to'plam orqali qisqartirilmaydigan vakillikni parametrlashning tabiiy usuli mavjud. n yoki unga teng ravishda Yosh diagrammalar hajmin.

Har bir bunday kamaytirilmaydigan tasavvur butun sonlar (butun koeffitsientli matritsa bilan ishlaydigan har bir almashtirish) bo'yicha amalga oshirilishi mumkin; uni hisoblash yo'li bilan aniq qurish mumkin Yosh nosimmetriklar tomonidan hosil qilingan bo'shliqda harakat qilish Yosh stol Young diagrammasi bilan berilgan shakl.

Boshqalar ustidan dalalar vaziyat ancha murakkablashishi mumkin. Agar maydon bo'lsa K bor xarakterli nolga teng yoki undan katta n keyin tomonidan Maskke teoremasi The guruh algebra KS_n yarim sodda. Bunday hollarda, butun sonlar bo'yicha aniqlangan qisqartirilmaydigan tasavvurlar to'liq qisqartirilmaydigan tasavvurlarning to'liq to'plamini beradi (agar kerak bo'lsa, modulni kamaytirgandan so'ng).

Biroq, nosimmetrik guruhning qisqartirilmaydigan tasvirlari o'zboshimchalik xarakteristikasida ma'lum emas. Shu ma'noda ning tilidan foydalanish odatiy holdir modullar vakolatxonalardan ko'ra. Modulni qisqartirish yo'li bilan butun sonlar bo'yicha aniqlangan kamaytirilmaydigan tasvirdan olingan tasvir umuman kamaytirilmaydi. Shunday qilib qurilgan modullar deyiladi Specht modullari va har qanday kamaytirilmaydigan narsa bunday modul ichida paydo bo'ladi. Hozir kamaytirilmaydigan narsalar kam bo'lib, ularni tasniflash mumkin bo'lsa-da, ular juda kam tushuniladi. Masalan, hatto ularning ham o'lchamlari umuman ma'lum emas.

Ixtiyoriy maydon bo'yicha nosimmetrik guruh uchun kamaytirilmaydigan modullarni aniqlash keng vakolat nazariyasining eng muhim ochiq muammolaridan biri sifatida qaraladi.

Shuningdek qarang

• Braid guruhi
• Guruhlar nazariyasi tarixi
• Imzolangan nosimmetrik guruh va Umumiy nosimmetrik guruh
• Kvant mexanikasidagi simmetriya § Almashish simmetriyasi yoki permutatsion simmetriya
• Nosimmetrik teskari yarim guruh
• Nosimmetrik quvvat

Izohlar

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• "Simmetrik guruh", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• Vayshteyn, Erik V. "Simmetrik guruh". MathWorld.
• Vayshteyn, Erik V. "Simmetrik guruh grafigi". MathWorld.
• Markus du Sautoy: Simmetriya, haqiqat jumbog'i (nutq videosi)
• OEIS Symmetric Group bilan aloqador yozuvlar