Kuratovskiy yaqinlashuvi - Kuratowski convergence

Yilda matematika, Kuratovskiy yaqinlashuvi degan tushuncha yaqinlashish uchun ketma-ketliklar (yoki umuman, to'rlar ) ning ixcham pastki to'plamlar ning metrik bo'shliqlar nomi bilan nomlangan Kazimierz Kuratovskiy. Intuitiv ravishda, to'plamlar ketma-ketligining Kuratovskiy chegarasi bu erda to'plamlar "to'plash ".

Ta'riflar

Ruxsat bering (X, d) bo'lishi a metrik bo'shliq, qayerda X to'plam va d ning nuqtalari orasidagi masofaning funktsiyasi X.

Har qanday nuqta uchun x ∈ X va har qanday bo'sh emas ixcham ichki to'plam A ⊆ X, nuqta va ichki to'plam orasidagi masofani aniqlang:

{displaystyle d (x, A) = inf {d (x, a) | ain A}}

.

Bunday kichik to'plamlarning har qanday ketma-ketligi uchun A_n ⊆ X, n ∈ N, Kuratovskiy chegara past (yoki pastki yopiq limit) ning A_n kabi n → ∞ bo'ladi

{displaystyle mathop {mathrm {Li}} _ {n o infty} A_ {n} = left {xin Xleft | limsup _ {n o infty} d (x, A_ {n}) = 0ight.ight}}

{displaystyle = left {xin Xleft | {egin {matrix} {mbox {barcha ochiq mahallalar uchun}} U {mbox {of}} x, Ucap A_ {n} eq emptyset {mbox {etarlicha katta}} nend {matritsa }} tungi.ight};}

The Kuratovskiy chegarasi ustun (yoki yuqori yopiq chegara) ning A_n kabi n → ∞ bo'ladi

{displaystyle mathop {mathrm {Ls}} _ {n o infty} A_ {n} = left {xin Xleft | liminf _ {n o infty} d (x, A_ {n}) = 0ight.ight}}

{displaystyle = left {xin Xleft | {egin {matrix} {mbox {barcha ochiq mahallalar uchun}} U {mbox {of}} x, Ucap A_ {n} eq emptyset {mbox {cheksiz ko'plar uchun}} nend {matritsa }} sakkiz.ight}.}

Agar Kuratovskiy pastki va yuqori chegaralarni qabul qilsa (ya'ni, xuddi shu kichik qism) X), keyin ularning umumiy qiymati deyiladi Kuratovskiy chegarasi to'plamlarning A_n kabi n → ∞ va Lt bilan belgilangan_n→∞A_n.

Ning ixcham pastki to'plamlarining umumiy tarmog'i uchun ta'riflar X o'tmoq mutatis mutandis.

Xususiyatlari

Kuratovskiy chegarasining pastligi masofalarning ustun chegarasini o'z ichiga olishi qarama-qarshi bo'lib tuyulishi mumkin va aksincha, har qanday to'plam ketma-ketligi uchun,

{displaystyle mathop {mathrm {Li}} _ {n o infty} A_ {n} subseteq mathop {mathrm {Ls}} _ {n o infty} A_ {n}.}

Ya'ni. chegara kichikroq to'plam, chegara ustun kattaroqdir.

Yuqori va pastki yopiq limit atamalari Li ning kelib chiqishidan kelib chiqadi_n→∞A_n va Ls_n→∞A_n har doim yopiq to'plamlar metrik topologiyada (X, d).

Bilan bog'liq tushunchalar

Metrik bo'shliqlar uchun X bizda quyidagilar mavjud:

Kuratovskiy yaqinlashuvi in bilan yaqinlashishga to'g'ri keladi Yiqilgan topologiya.
Kuratovskiy konvergentsiyasi invergiyaga qaraganda kuchsizroq Vietoris topologiyasi.
Kuratovskiy konvergentsiyasi invergiyaga qaraganda kuchsizroq Hausdorff metrikasi.
Yilni metrik bo'shliqlar uchun X, Kuratovskiy konvergentsiyasi Hausdorff metrikasida ham, Vietoris topologiyasida ham yaqinlashuvga to'g'ri keladi.
Kuratowksining yaqinlashuvi epigraflar kengaytirilgan real qiymat funktsiyalarining qiymati tengdir ${displaystyle Gamma}$ - yaqinlashish ushbu funktsiyalar.

Misollar

Ruxsat bering A_n gunohning nol to'plami bo'ling (nx) ning funktsiyasi sifatida x dan R o'ziga

{displaystyle A_ {n} = {ig {} xin mathbf {R} {ig |} sin (nx) = 0 {ig}}.}

Keyin A_n Kuratovskiy ma'nosida butun chiziqqa yaqinlashadi R. Bunday holatda buni kuzating A_n ixcham bo'lmasligi kerak.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

Kuratovski, Kazimyerz (1966). Topologiya. I va II jildlar. Yangi nashr, qayta ko'rib chiqilgan va kengaytirilgan. Frantsuz tilidan J. Jaworowski tomonidan tarjima qilingan. Nyu-York: Academic Press. xx + 560. JANOB0217751

Pivo, Jerald (1993). Yopiq va yopiq konveks to'plamlaridagi topologiyalar. Matematika va uning qo'llanilishi. Dordrext: Kluwer Academic Publishers Group. xii + 340-betlar.