Metrik bo'shliq - Metric space

Yilda matematika, a metrik bo'shliq a o'rnatilgan bilan birga to'plamdagi metrik. Metrik a funktsiya tushunchasini belgilaydigan masofa har qanday ikkitasi o'rtasida a'zolar odatda chaqiriladigan to'plamning ochkolar. Metrik bir nechta oddiy xususiyatlarni qondiradi. Norasmiy:

• dan masofa ${displaystyle A}$ ga ${displaystyle B}$ agar nolga teng bo'lsa va faqat shunday bo'lsa ${displaystyle A}$ va ${displaystyle B}$ bir xil nuqta,
• ikkita aniq nuqta orasidagi masofa ijobiy,
• masofa ${displaystyle A}$ ga ${displaystyle B}$ masofa bilan bir xil ${displaystyle B}$ ga ${displaystyle A}$va
• dan masofa ${displaystyle A}$ ga ${displaystyle B}$ (to'g'ridan-to'g'ri) masofadan kichik yoki unga teng ${displaystyle A}$ ga ${displaystyle B}$ har qanday uchinchi nuqta orqali ${displaystyle C}$.

Fazodagi metrik induktsiya qiladi topologik xususiyatlar kabi ochiq va yopiq to'plamlar, bu esa mavhumroq o'rganishga olib keladi topologik bo'shliqlar.

Eng tanish metrik bo'shliq 3 o'lchovli Evklid fazosi. Darhaqiqat, "metrik" - ning umumlashtirilishi Evklid metrikasi Evklid masofasining to'rtdan beri ma'lum bo'lgan xususiyatlaridan kelib chiqadi. Evklid metrikasi ikki nuqta orasidagi masofani uzunlikning uzunligini aniqlaydi To'g'riga chiziqli segment ularni bog'lash. Boshqa metrik bo'shliqlar, masalan elliptik geometriya va giperbolik geometriya, qaerda a masofa soha burchak bilan o'lchangan metrik, va giperboloid modeli giperbolik geometriya tomonidan ishlatiladi maxsus nisbiylik ning metrik maydoni sifatida tezliklar.

Tarix

Ushbu bo'lim kengayishga muhtoj bilan: Evklid metrikasini umumlashtirish sabablari, o'rganilgan birinchi evklid bo'lmagan o'lchovlar, matematikaning oqibatlari. Siz yordam berishingiz mumkin unga qo'shilish. (2011 yil avgust)

1906 yilda Moris Frechet o'z ishida metrik bo'shliqlarni kiritdi Sur quelques ball du calcul fonctionnel.^[1] Biroq, bu nom tufayli Feliks Xausdorff.

Ta'rif

A metrik bo'shliq bu buyurtma qilingan juftlik ${displaystyle (M, d)}$ qayerda ${displaystyle M}$ to'plam va ${displaystyle d}$ a metrik kuni ${displaystyle M}$, ya'ni a funktsiya

${displaystyle d, yo'g'on ichak M imes M o mathbb {R}}$

har qanday kishi uchun ${displaystyle x, y, zin M}$, quyidagilar mavjud:^[2]

1.	${displaystyle d (x, y) = 0iff x = y}$	tushunarsiz narsalarning identifikatori
2.	${displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$	simmetriya
3.	${displaystyle d (x, z) leq d (x, y) + d (y, z)}$	subadditivlik yoki uchburchak tengsizligi

Yuqoridagi uchta aksiomani hisobga olgan holda, bizda ham bunga ega ${displaystyle d (x, y) geq 0}$ har qanday kishi uchun ${displaystyle x, yin M}$. Bu quyidagicha chiqariladi:

${displaystyle d (x, y) + d (y, x) geq d (x, x)}$	uchburchak tengsizligi bilan
${displaystyle d (x, y) + d (x, y) geq d (x, x)}$	simmetriya bilan
${displaystyle 2d (x, y) geq 0}$	tushunarsiz narsalarning shaxsiyati bo'yicha
${displaystyle d (x, y) geq 0}$	bizda salbiy bo'lmagan narsalar mavjud

Funktsiya ${displaystyle d}$ ham deyiladi masofa funktsiyasi yoki oddiygina masofa. Ko'pincha, ${displaystyle d}$ chiqarib tashlangan va faqat bitta yozadi ${displaystyle M}$ metrik maydon uchun qanday metrik ishlatilganligi kontekstdan aniq bo'lsa.

Matematik tafsilotlarni e'tiborsiz qoldirish, har qanday yo'llar va erlar tizimi uchun ikkita joy orasidagi masofani ushbu joylarni bog'laydigan eng qisqa marshrut uzunligi sifatida aniqlash mumkin. Metrik bo'lish uchun bir tomonlama yo'llar bo'lmasligi kerak. Uchburchak tengsizligi aylanma yo'llarning yorliq emasligini anglatadi. Agar ikkita nuqta orasidagi masofa nolga teng bo'lsa, ikkita nuqta bir-biridan farq qilmaydi. Quyidagi ko'plab misollarni ushbu umumiy g'oyaning aniq versiyasi sifatida ko'rish mumkin.

Metrik bo'shliqlarga misollar

• The haqiqiy raqamlar masofa funktsiyasi bilan ${displaystyle d (x, y) = vert y-xvert}$ tomonidan berilgan mutlaq farq va, umuman olganda, Evklid n- bo'shliq bilan Evklid masofasi, bor to'liq metrik bo'shliqlar. The ratsional sonlar bir xil masofa funktsiyasi bilan ham metrik bo'shliqni hosil qiladi, ammo to'liq emas.
• The ijobiy haqiqiy sonlar masofa funktsiyasi bilan ${displaystyle d (x, y) = vert log (y / x) vert}$ to'liq metrik bo'shliqdir.
• Har qanday normalangan vektor maydoni belgilash orqali metrik bo'shliqdir ${displaystyle d (x, y) = lVert y-xVert}$, Shuningdek qarang vektor bo'shliqlari bo'yicha ko'rsatkichlar. (Agar shunday joy bo'lsa to'liq, biz buni a deb ataymiz Banach maydoni.) Misollar:
  • The Manxetten normasi sababini beradi Manhetten masofasi, bu erda har qanday ikki nuqta yoki vektor orasidagi masofa tegishli koordinatalar orasidagi farqlarning yig'indisidir.
  • The maksimal norma sababini beradi Chebyshev masofasi yoki shaxmat taxtasi masofasi, harakatlarning minimal soni a shaxmat qiroli dan sayohat qilish kerak edi ${displaystyle x}$ ga ${displaystyle y}$.
• The British Rail metrik ("pochta aloqasi metrikasi" yoki "SNCF metrik ”) a normalangan vektor maydoni tomonidan berilgan ${displaystyle d (x, y) = lVert xVert + lVert yVert}$ aniq fikrlar uchun ${displaystyle x}$ va ${displaystyle y}$va ${displaystyle d (x, x) = 0}$. Umuman olganda ${displaystyle lVert .Vert}$ funktsiya bilan almashtirilishi mumkin ${displaystyle f}$ o'zboshimchalik bilan to'plamni olish ${displaystyle S}$ salbiy bo'lmagan reallarga va qiymatni qabul qilishga ${displaystyle 0}$ eng ko'pi bilan: keyin metrik aniqlanadi ${displaystyle S}$ tomonidan ${displaystyle d (x, y) = f (x) + f (y)}$ aniq fikrlar uchun ${displaystyle x}$ va ${displaystyle y}$va ${displaystyle d (x, x) = 0}$. Ism temir yo'l qatnovlarining so'nggi manzilidan qat'i nazar, London (yoki Parij) orqali harakatlanish tendentsiyasini anglatadi.
• Agar ${displaystyle (M, d)}$ metrik bo'shliq va ${displaystyle X}$ a kichik to'plam ning ${displaystyle M}$, keyin ${displaystyle (X, d)}$ ning domenini cheklash orqali metrik bo'shliqqa aylanadi ${displaystyle d}$ ga ${displaystyle X imes X}$.
• The diskret metrik, qayerda ${displaystyle d (x, y) = 0}$ agar ${displaystyle x = y}$ va ${displaystyle d (x, y) = 1}$ aks holda bu oddiy, ammo muhim misol bo'lib, barcha to'plamlarga qo'llanilishi mumkin. Bu, xususan, har qanday to'plam uchun har doim unga bog'liq bo'lgan metrik bo'shliq mavjudligini ko'rsatadi. Ushbu metrikadan foydalanib, har qanday nuqta an bo'ladi ochiq to'p va shuning uchun har bir kichik to'plam ochiq va bo'sh joy diskret topologiya.
• Cheklangan metrik faza bu $ a $ bo'lgan metrik bo'shliqdir cheklangan ochkolar soni. Har bir cheklangan metrik bo'shliq bo'lishi mumkin emas izometrik ravishda ichiga o'rnatilgan Evklid fazosi.^[3][4]
• The giperbolik tekislik metrik bo'shliqdir. Umuman olganda:
  • Agar ${displaystyle M}$ har qanday ulangan Riemann manifoldu, keyin biz burilishimiz mumkin ${displaystyle M}$ ikki nuqta masofasini cheksiz yo'llarning uzunligi (doimiy ravishda farqlanishi mumkin) chiziqlar ) ularni bog'lash.
  • Agar ${displaystyle X}$ ba'zi bir to'plam va ${displaystyle M}$ metrik bo'shliq, demak, barchaning to'plamidir cheklangan funktsiyalar ${displaystyle fcolon Xightarrow M}$ (ya'ni tasviri a bo'lgan funktsiyalar cheklangan ichki qism ning ${displaystyle M}$) ni aniqlash orqali metrik bo'shliqqa aylantirish mumkin ${displaystyle d (f, g) = sup _ {xin X} d (f (x), g (x))}$ har qanday ikkita cheklangan funktsiya uchun ${displaystyle f}$ va ${displaystyle g}$ (qayerda ${displaystyle sup}$ bu supremum ).^[5] Ushbu metrikaga deyiladi yagona metrik yoki supremum metrikasi va agar ${displaystyle M}$ to'liq, keyin bu funktsiya maydoni shuningdek to'liq. Agar X shuningdek, topologik bo'shliq, keyin hamma chegaralanganlar to'plamidir davomiy funktsiyalari ${displaystyle X}$ ga ${displaystyle M}$ (bir xil metrik bilan ta'minlangan), shuningdek, agar to'liq metrik bo'ladi M bu.
  • Agar ${displaystyle G}$ bu yo'naltirilmagan ulangan grafik, keyin to'plam ${displaystyle V}$ tepaliklari ${displaystyle G}$ belgilash orqali metrik bo'shliqqa aylantirilishi mumkin ${displaystyle d (x, y)}$ tepaliklarni bog'laydigan eng qisqa yo'lning uzunligi bo'lishi ${displaystyle x}$ va ${displaystyle y}$. Yilda geometrik guruh nazariyasi bu uchun qo'llaniladi Keyli grafigi hosil beradigan guruhning metrik so'z.
• Grafik tahrirlash masofasi bu ikkalasi o'rtasidagi farqning o'lchovidir grafikalar, ning minimal soni sifatida belgilangan grafik tahrirlash operatsiyalari bitta grafikani boshqasiga aylantirish uchun zarur.
• The Levenshteyn masofasi bu ikkalasi o'rtasidagi farqning o'lchovidir torlar ${displaystyle u}$ va ${displaystyle v}$, o'zgartirish uchun zarur bo'lgan belgilarni o'chirish, kiritish yoki almashtirishning minimal soni sifatida aniqlanadi ${displaystyle u}$ ichiga ${displaystyle v}$. Buni grafadagi eng qisqa yo'l metrikasining maxsus holi deb hisoblash mumkin va an ning bir misolidir masofani tahrirlash.
• Metrik bo'shliq berilgan ${displaystyle (X, d)}$ va o'sish konkav funktsiyasi ${displaystyle fcolon [0, noo'rin) qorong'u [0, mahoratli]}$ shu kabi ${displaystyle f (x) = 0}$ agar va faqat agar ${displaystyle x = 0}$, keyin ${displaystyle fcirc d}$ shuningdek, o'lchovdir ${displaystyle X}$.
• Berilgan in'ektsiya funktsiyasi ${displaystyle f}$ har qanday to'plamdan ${displaystyle A}$ metrik bo'shliqqa ${displaystyle (X, d)}$, ${displaystyle d (f (x), f (y))}$ metrikani belgilaydi ${displaystyle A}$.
• Foydalanish T-nazariyasi, qattiq oraliq metrik fazoning metrik fazosi ham. Qattiq oraliq bir necha turdagi tahlillarda foydalidir.
• Hammasi to'plami ${displaystyle m}$ tomonidan ${displaystyle n}$ matritsalar ba'zilari ustidan maydon ga nisbatan metrik bo'shliqdir daraja masofa ${displaystyle d (X, Y) = mathrm {rank} (Y-X)}$.
• The Helli metrikasi ichida ishlatiladi o'yin nazariyasi.

Ochiq va yopiq to'plamlar, topologiya va konvergentsiya

Har bir metrik bo'shliq a topologik makon tabiiy ravishda, shuning uchun umumiy topologik bo'shliqlar haqidagi barcha ta'riflar va teoremalar barcha metrik bo'shliqlarga ham tegishli.

Har qanday nuqta haqida ${displaystyle x}$ metrik bo'shliqda ${displaystyle M}$ biz belgilaymiz ochiq to'p radiusning ${displaystyle r> 0}$ (qayerda ${displaystyle r}$ haqida haqiqiy son) ${displaystyle x}$ to'plam sifatida

${displaystyle B (x; r) = {yin M: d (x, y)$

Ushbu ochiq to'plar tayanch topologiya uchun M, buni qilish a topologik makon.

Shubhasiz, kichik to'plam ${displaystyle U}$ ning ${displaystyle M}$ deyiladi ochiq agar har biri uchun bo'lsa ${displaystyle x}$ yilda ${displaystyle U}$ mavjud an ${displaystyle r> 0}$ shu kabi ${displaystyle B (x; r)}$ tarkibida mavjud ${displaystyle U}$. The to'ldiruvchi ochiq to'plam deyiladi yopiq. A Turar joy dahasi nuqta ${displaystyle x}$ ning har qanday kichik qismi ${displaystyle M}$ haqida ochiq to'p mavjud ${displaystyle x}$ kichik to'plam sifatida.

Metrik fazodan shu tarzda paydo bo'lishi mumkin bo'lgan topologik bo'shliq a deb ataladi o'lchovli maydon.

A ketma-ketlik (${displaystyle x_ {n}}$) metrik bo'shliqda ${displaystyle M}$ deyiladi yaqinlashmoq cheklovgacha ${displaystyle xin M}$ agar va faqat agar har bir kishi uchun ${displaystyle varepsilon> 0}$, tabiiy son mavjud N shu kabi ${displaystyle d (x_ {n}, x)$ Barcha uchun ${displaystyle n> N}$. Bunga teng ravishda barcha topologik bo'shliqlarda mavjud bo'lgan konvergentsiyaning umumiy ta'rifidan foydalanish mumkin.

Ichki to‘plam ${displaystyle A}$ metrik bo'shliqning ${displaystyle M}$ agar har bir ketma-ketlik bo'lsa, yopiladi ${displaystyle A}$ bu chegaraga yaqinlashadi ${displaystyle M}$ ning chegarasi bor ${displaystyle A}$.

Metrik bo'shliqlarning turlari

Bo'sh joylar

Metrik bo'shliq ${displaystyle M}$ deb aytilgan to'liq agar har biri bo'lsa Koshi ketma-ketligi yaqinlashadi ${displaystyle M}$. Ya'ni: agar ${displaystyle d (x_ {n}, x_ {m}) o 0}$ ikkalasi kabi ${displaystyle n}$ va ${displaystyle m}$ mustaqil ravishda abadiylikka boring, keyin ba'zi bir narsalar mavjud ${displaystyle yin M}$ bilan ${displaystyle d (x_ {n}, y) o 0}$.

Har bir Evklid fazosi to'liq bo'shliqning har bir yopiq to'plami kabi to'liq. Mutlaq qiymat metrikasidan foydalangan holda ratsional sonlar ${displaystyle d (x, y) = vert x-yvert}$, to'liq emas.

Har bir metrik makon o'ziga xos xususiyatga ega (gacha) izometriya ) tugatish, bu berilgan maydonni a sifatida o'z ichiga olgan to'liq bo'shliq zich kichik to'plam. Masalan, haqiqiy sonlar mantiqiy asoslarning to'ldirilishi.

Agar ${displaystyle X}$ metrik makonining to'liq to'plamidir ${displaystyle M}$, keyin ${displaystyle X}$ yopiq ${displaystyle M}$. Darhaqiqat, bo'shliq, agar u har qanday metrik bo'shliqda yopiq bo'lsa, to'liq bo'ladi.

Har bir to'liq metrik bo'shliq a Baire maydoni.

Chegaralangan va to'liq chegaralangan bo'shliqlar

To'plamning diametri.

Metrik bo'shliq ${displaystyle M}$ deyiladi chegaralangan agar biron bir raqam bo'lsa ${displaystyle r}$, shu kabi ${displaystyle d (x, y) leq r}$ Barcha uchun ${displaystyle x, yin M}$. Mumkin bo'lgan eng kichik narsa ${displaystyle r}$ deyiladi diametri ning ${displaystyle M}$. Bo'sh joy ${displaystyle M}$ deyiladi oldindan aniq yoki to'liq chegaralangan agar har biri uchun bo'lsa ${displaystyle r> 0}$ radiusning juda ko'p ochiq to'plari mavjud ${displaystyle r}$ kimning birlashmasi qamrab oladi ${displaystyle M}$. Ushbu to'plarning markazlari to'plami cheklangan bo'lganligi sababli, u cheklangan diametrga ega bo'lib, undan har qanday to'liq chegaralangan bo'shliq chegaralanganligi (uchburchak tengsizligi yordamida) chiqadi. Buning aksi bo'lmaydi, chunki har qanday cheksiz to'plamga u chegaralangan va hali to'liq chegaralanmagan alohida metrik (yuqoridagi misollardan biri) berilishi mumkin.

Kontekstida ekanligini unutmang intervallar oralig'ida haqiqiy raqamlar va vaqti-vaqti bilan Evklid kosmosidagi mintaqalar ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ cheklangan to'plam "cheklangan interval" yoki "cheklangan mintaqa" deb nomlanadi. Ammo cheklanishni umuman "sonli" bilan aralashtirib yubormaslik kerak, bu elementlarning soniga ishora qiladi, bu to'plam qanchalik uzaytirilishini emas; cheklanganlik chegaralanishni anglatadi, aksincha emas. Ning cheksiz kichik to'plamiga ham e'tibor bering ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ cheklangan bo'lishi mumkin hajmi.

Ixcham joylar

Metrik bo'shliq ${displaystyle M}$ har bir ketma-ketlik bo'lsa, ixchamdir ${displaystyle M}$ bor keyingi bu bir nuqtaga yaqinlashadi ${displaystyle M}$. Bu sifatida tanilgan ketma-ket ixchamlik va metrik bo'shliqlarda (lekin umumiy topologik bo'shliqlarda emas) ning topologik tushunchalariga tengdir hisoblash mumkin bo'lgan ixchamlik va ixchamlik orqali aniqlangan ochiq qopqoqlar.

Yilni metrik bo'shliqlarga misollar yopiq intervalni o'z ichiga oladi ${displaystyle [0,1]}$ absolyut metrik bilan, juda ko'p nuqtalarga ega bo'lgan barcha metrik bo'shliqlar va Kantor o'rnatilgan. Yilni bo'shliqning har bir yopiq kichik qismi o'zi ixchamdir.

Metrik bo'shliq, agar u to'liq va to'liq chegaralangan bo'lsa, ixchamdir. Bu sifatida tanilgan Geyn-Borel teoremasi. Shuni e'tiborga olingki, ixchamlik faqat topologiyaga bog'liq, cheklanganlik esa metrikaga bog'liq.

Lebesgue lemma ixcham metrik maydonning har bir ochiq qopqog'i uchun ${displaystyle M}$, "Lebesgue raqami" mavjud ${displaystyle delta}$ har bir kichik to'plami ${displaystyle M}$ ning diametri ${displaystyle r$ muqovaning ba'zi bir a'zolarida mavjud.

Har qanday ixcham metrik bo'shliq ikkinchi hisoblanadigan,^[6] va ning doimiy tasviridir Kantor o'rnatilgan. (Oxirgi natija tufayli Pavel Aleksandrov va Urysohn.)

Mahalliy ravishda ixcham va to'g'ri joylar

Metrik bo'shliq deyiladi mahalliy ixcham agar har bir nuqtada ixcham mahalla bo'lsa. Evklid bo'shliqlari mahalliy darajada ixcham, ammo cheksiz o'lchovli Banax bo'shliqlari emas.

Bo'sh joy to'g'ri agar har bir yopiq to'p ${displaystyle {y, ikki nuqta (x, y) leq r}}$ ixchamdir. To'g'ri joylar mahalliy darajada ixchamdir, ammo aksincha, umuman to'g'ri emas.

Ulanish

Metrik bo'shliq ${displaystyle M}$ bu ulangan agar ikkala ochiq va yopiq pastki to'plamlar bo'sh to'plam bo'lsa va ${displaystyle M}$ o'zi.

Metrik bo'shliq ${displaystyle M}$ bu yo'l ulangan agar istalgan ikkita ball bo'lsa ${displaystyle x, yin M}$ doimiy xarita mavjud ${displaystyle fcolon [0,1] o M}$ bilan ${displaystyle f (0) = x}$ va ${displaystyle f (1) = y}$.Har bir yo'lga ulangan kosmik bog'langan, ammo aksincha umuman to'g'ri emas.

Ushbu ta'riflarning mahalliy versiyalari ham mavjud: mahalliy bog'langan bo'shliqlar va mahalliy ravishda bog'langan bo'shliqlar.

Shunchaki bog'langan joylar bu ma'lum ma'noda "teshiklari" bo'lmaganlardir.

Ajratiladigan bo'shliqlar

Metrik bo'shliq ajratiladigan joy agar u bo'lsa hisoblanadigan zich kichik to'plam. Odatda, bu haqiqiy sonlar yoki har qanday evklid fazosi. Metrik bo'shliqlar uchun (lekin umumiy topologik bo'shliqlar uchun emas) bo'linish tengdir ikkinchi hisoblash va shuningdek Lindelöf mulk.

Belgilangan metrik bo'shliqlar

Agar ${displaystyle X}$ bo'sh bo'lmagan metrik bo'shliq va ${displaystyle x_ {0} in X}$ keyin ${displaystyle (X, x_ {0})}$ deyiladi a uchli metrik bo'shliqva ${displaystyle x_ {0}}$ deyiladi a taniqli nuqta. Belgilangan metrik bo'shliq shunchaki bo'sh bo'lmagan metrik bo'shliq bo'lib, uning diqqatga sazovor joyiga e'tibor qaratiladi va har qanday bo'sh bo'lmagan metrik maydonni uchli metrik bo'shliq sifatida ko'rish mumkin. Ajratilgan nuqta ba'zan belgilanadi ${displaystyle 0}$ ba'zi bir kontekstlarda nolga o'xshash xatti-harakati tufayli.

Metrik bo'shliqlar orasidagi xaritalarning turlari

Aytaylik ${displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ va ${displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ ikkita metrik bo'shliqdir.

Uzluksiz xaritalar

Xarita ${displaystyle f, ikki nuqta M_ {1} o M_ {2}}$ bu davomiy agar u quyidagi teng xususiyatlardan biriga (va shuning uchun hammasiga) ega bo'lsa:

Umumiy topologik uzluksizlik

har bir ochiq to'plam uchun ${displaystyle U}$ yilda ${displaystyle M_ {2}}$, oldindan tasvirlash ${displaystyle f ^ {- 1} [U]}$ ochiq ${displaystyle M_ {1}}$

Bu umumiy ta'rifi topologiyada uzluksizlik.

Ketma-ket davomiylik

agar ${displaystyle (x_ {n})}$ ning ketma-ketligi ${displaystyle M_ {1}}$ ga yaqinlashadi ${displaystyle x}$, keyin ketma-ketlik ${displaystyle (f (x_ {n}))}$ ga yaqinlashadi ${displaystyle f (x)}$ yilda ${displaystyle M_ {2}}$.

Bu ketma-ketlik davomiyligi, sababli Eduard Xayn.

b-δ ta'rifi

har bir kishi uchun ${displaystyle xin M_ {1}}$ va har bir ${displaystyle varepsilon> 0}$ mavjud ${displaystyle delta> 0}$ hamma uchun shunday ${displaystyle y}$ yilda ${displaystyle M_ {1}}$ bizda ... bor

${displaystyle d_ {1} (x, y)$

Bu ishlatadi (ε, δ) - limitning ta'rifi, va tufayli Augustin Lui Koshi.

Bundan tashqari, ${displaystyle f}$ ning har bir ixcham pastki qismida doimiy bo'lsa va faqat shu holda doimiy bo'ladi ${displaystyle M_ {1}}$.

The rasm uzluksiz funktsiya ostidagi har bir ixcham to'plamning ixchamligi va uzluksiz funktsiya ostidagi har bir ulangan to'plamning tasviri bog'langan.

Bir xil doimiy xaritalar

Xarita ${displaystyle f, ikki nuqta M_ {1} o M_ {2}}$ bu bir xilda uzluksiz agar har biri uchun bo'lsa ${displaystyle varepsilon> 0}$ mavjud ${displaystyle delta> 0}$ shu kabi

${displaystyle d_ {1} (x, y)$

Har bir xil doimiy xarita ${displaystyle f, ikki nuqta M_ {1} o M_ {2}}$ uzluksiz. Aksincha, agar shunday bo'lsa ${displaystyle M_ {1}}$ ixcham (Geyn-Kantor teoremasi ).

Bir xil doimiy xaritalar Koshi ketma-ketligini o'zgartiradi ${displaystyle M_ {1}}$ Koshi ketma-ketliklariga ${displaystyle M_ {2}}$. Doimiy xaritalar uchun bu odatda noto'g'ri; Masalan, ochiq intervaldan uzluksiz xarita ${displaystyle (0,1)}$ ustiga haqiqiy chiziq ba'zi Koshi ketma-ketligini cheksiz ketma-ketliklarga aylantiradi.

Lipschits-doimiy xaritalar va qisqarishlar

Haqiqiy raqam berilgan ${displaystyle K> 0}$, xarita ${displaystyle f, ikki nuqta M_ {1} o M_ {2}}$ bu K-Lipschitz uzluksiz agar

${displaystyle d_ {2} (f (x), f (y)) leq Kd_ {1} (x, y) quad {mbox {for all}} quad x, yin M_ {1}.}$

Lipschitz-uzluksiz xarita bir xilda uzluksiz, ammo aksincha umuman to'g'ri emas.

Agar ${displaystyle K <1}$, keyin ${displaystyle f}$ deyiladi a qisqarish. Aytaylik ${displaystyle M_ {2} = M_ {1}}$ va ${displaystyle M_ {1}}$ to'liq. Agar ${displaystyle f}$ bu qisqarish, keyin ${displaystyle f}$ noyob sobit nuqtani tan oladi (Banax sobit nuqta teoremasi ). Agar ${displaystyle M_ {1}}$ ixcham, holat biroz zaiflashishi mumkin: ${displaystyle f}$ noyob sobit nuqtani tan oladi, agar

${displaystyle d (f (x), f (y))$.

Izometriyalar

Xarita ${displaystyle f, ikki nuqta M_ {1} o M_ {2}}$ bu izometriya agar

${displaystyle d_ {2} (f (x), f (y)) = d_ {1} (x, y) quad {mbox {for all}} quad x, yin M_ {1}}$

Izometriyalar har doim in'ektsion; izometriya ostida ixcham yoki to'liq to'plamning tasviri mos ravishda ixcham yoki to'liqdir. Ammo, agar izometriya bo'lmasa shubhali, keyin yopiq (yoki ochiq) to'plamning tasvirini yopish kerak emas (yoki ochiq).

Kvazi-izometriyalar

Xarita ${displaystyle f, ikki nuqta M_ {1} o M_ {2}}$ a kvaziizometriya doimiylar mavjud bo'lsa ${displaystyle Ageq 1}$ va ${displaystyle Bgeq 0}$ shu kabi

${displaystyle {frac {1} {A}} d_ {2} (f (x), f (y)) - Bleq d_ {1} (x, y) leq Ad_ {2} (f (x), f ( y)) + Bquad {ext {for all}} quad x, yin M_ {1}}$

va doimiy ${displaystyle Cgeq 0}$ Shunday qilib, har bir nuqta ${displaystyle M_ {2}}$ eng ko'p masofaga ega ${displaystyle C}$ tasvirning bir nuqtasidan ${displaystyle f (M_ {1})}$.

E'tibor bering, kvazi-izometriya doimiy bo'lishi shart emas. Kvaziizometriyalar metrik bo'shliqlarning "keng ko'lamli tuzilishini" taqqoslaydi; ular foydalanishni topadilar geometrik guruh nazariyasi ga nisbatan metrik so'z.

Metrik makon ekvivalentligi tushunchalari

Ikkita metrik bo'shliq berilgan ${displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ va ${displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$:

• Ular chaqiriladi gomeomorfik mavjud bo'lsa (topologik jihatdan izomorfik) gomeomorfizm ular orasida (ya'ni, a bijection har ikki yo'nalishda ham doimiy).
• Ular chaqiriladi bir xil mavjud bo'lsa (bir xilda izomorfik) bir xil izomorfizm ular orasida (ya'ni, a bijection har ikki yo'nalishda ham bir xilda uzluksiz).
• Ular chaqiriladi izometrik agar mavjud bo'lsa a ikki tomonlama izometriya ular orasida. Bunday holda, ikkita metrik bo'shliq aslida bir-biriga o'xshashdir.
• Ular chaqiriladi kvaziizometrik agar mavjud bo'lsa a kvaziizometriya ular orasida.

Topologik xususiyatlar

Metrik bo'shliqlar parakompakt^[7] Hausdorff bo'shliqlari^[8] va shuning uchun normal (haqiqatan ham ular juda normal). Buning muhim natijasi shundaki, har bir o'lchov maydoni tan oladi birlik birliklari va metrik bo'shliqning yopiq kichik qismida aniqlangan har bir doimiy qiymatga ega funktsiya butun bo'shliqdagi doimiy xaritaga kengaytirilishi mumkin (Tietze kengayish teoremasi ). Har bir haqiqiy qadrli bo'lganligi ham haqiqat Lipschits uzluksiz Metrik bo'shliqning pastki qismida aniqlangan xarita butun bo'shliqda Lipschits uzluksiz xaritaga kengaytirilishi mumkin.

Metrik bo'shliqlar birinchi hisoblanadigan chunki oqilona radiusli to'plardan mahalla bazasi sifatida foydalanish mumkin.

Metrik bo'shliqdagi metrik topologiya ${displaystyle M}$ eng qo'pol topologiya hisoblanadi ${displaystyle M}$ metrikaga nisbatan ${displaystyle d}$ mahsulotidan uzluksiz xaritadir ${displaystyle M}$ manfiy bo'lmagan haqiqiy sonlarga o'zi bilan.

Ballar va to'plamlar orasidagi masofa; Xausdorff masofasi va Gromov metrikasi

Nuqtani yopiq to'plamdan ajratuvchi funktsiyani tuzishning oddiy usuli (a uchun talab qilinganidek butunlay muntazam bo'shliq) ni hisobga olishdir nuqta va to'plam o'rtasidagi masofa. Agar ${displaystyle (M, d)}$ metrik makon, ${displaystyle S}$ a kichik to'plam ning ${displaystyle M}$ va ${displaystyle x}$ ning nuqtasi ${displaystyle M}$, masofani aniqlaymiz ${displaystyle x}$ ga ${displaystyle S}$ kabi

${displaystyle d (x, S) = inf {d (x, s): sin S}}$ qayerda ${displaystyle inf}$ ifodalaydi cheksiz.

Keyin ${displaystyle d (x, S) = 0}$ agar va faqat agar ${displaystyle x}$ ga tegishli yopilish ning ${displaystyle S}$. Bundan tashqari, biz uchburchak tengsizligini quyidagi umumlashtiramiz:

${displaystyle d (x, S) leq d (x, y) + d (y, S),}$

bu xaritani ko'rsatmoqda ${displaystyle xmapsto d (x, S)}$ uzluksiz.

Ikki kichik to'plam berilgan ${displaystyle S}$ va ${displaystyle T}$ ning ${displaystyle M}$, biz ularni aniqlaymiz Hausdorff masofasi bolmoq

${displaystyle d_ {H} (S, T) = max {sup {d (s, T): sin S}, sup {d (t, S): qalay T}}}$ qayerda ${displaystyle sup}$ ifodalaydi supremum.

Umuman olganda, Hausdorff masofasi ${displaystyle d_ {H} (S, T)}$ cheksiz bo'lishi mumkin. Agar ikkala to'plamning har bir elementi boshqa to'plamning biron bir elementiga yaqin bo'lsa, ikkita to'plam Hausdorff masofasida bir-biriga yaqin.

Hausdorff masofasi ${displaystyle d_ {H}}$ to'plamni aylantiradi ${displaystyle K (M)}$ ning bo'sh bo'lmagan ixcham kichik to'plamlari ${displaystyle M}$ metrik bo'shliqqa. Buni ko'rsatish mumkin ${displaystyle K (M)}$ agar to'liq bo'lsa ${displaystyle M}$ tugallangan. (ixcham pastki to'plamlarning yaqinlashuvining boshqa tushunchasi Kuratovskiy yaqinlashuvi.)

Keyin birini belgilash mumkin Gromov - Xausdorff masofasi ikki bo'shliqning izometrik o'rnatilgan versiyalarining minimal Hausdorff masofasini hisobga olgan holda har qanday ikki metrik bo'shliq o'rtasida. Ushbu masofadan foydalanib, ixcham metrik bo'shliqlarning barchasi (izometriya sinflari) o'z-o'zidan metrik bo'shliqqa aylanadi.

Mahsulot metrikasi

Agar ${displaystyle (M_ {1}, d_ {1}), ldots, (M_ {n}, d_ {n})}$ metrik bo'shliqlar va ${displaystyle N}$ bo'ladi Evklid normasi kuni ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, keyin ${displaystyle {Big (} M_ {1} imes ldots imes M_ {n}, N (d_ {1}, ldots, d_ {n}) {Big)}}$ metrik bo'shliq bo'lib, bu erda mahsulot metrikasi bilan belgilanadi

${displaystyle N (d_ {1}, ..., d_ {n}) {Katta (} (x_ {1}, ldots, x_ {n}), (y_ {1}, ldots, y_ {n}) { Katta)} = N {Katta (} d_ {1} (x_ {1}, y_ {1}), ldots, d_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) {Katta)},}$

va induktsiya qilingan topologiya mahsulot topologiyasi. Cheklangan o'lchamdagi me'yorlarning ekvivalenti bilan, agar ekvivalent metrik olinadi ${displaystyle N}$ bo'ladi taksik normasi, a p-norma, maksimal norma yoki musbat koordinatalari sifatida kamaymaydigan har qanday boshqa norma ${displaystyle n}$-tuplalarning ko'payishi (uchburchak tengsizligini keltirib chiqarish).

Xuddi shu tarzda, metrik bo'shliqlarning hisoblanadigan mahsulotini quyidagi o'lchov yordamida olish mumkin

${displaystyle d (x, y) = sum _ {i = 1} ^ {infty} {frac {1} {2 ^ {i}}} {frac {d_ {i} (x_ {i}, y_ {i} )} {1 + d_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}}.}$

Metrik bo'shliqlarning hisoblanmaydigan mahsulotini o'lchash mumkin emas. Masalan, ${displaystyle mathbb {R} ^ {mathbb {R}}}$ emas birinchi hisoblanadigan va shuning uchun o'lchash mumkin emas.

Masofaning uzluksizligi

Bitta bo'shliq bo'lsa ${displaystyle (M, d)}$, masofa xaritasi ${displaystyle dcolon M imes Mightarrow R ^ {+}}$ (dan ta'rifi ) yuqoridagi mahsulot ko'rsatkichlariga nisbatan bir xilda uzluksizdir ${displaystyle N (d, d)}$va xususan mahsulot topologiyasiga nisbatan doimiydir ${displaystyle M imes M}$.

Miqdorli metrik bo'shliqlar

Agar M metrikali metrik bo'shliqdir ${displaystyle d}$va ${displaystyle sim}$ bu ekvivalentlik munosabati kuni ${displaystyle M}$, keyin biz to'plamlar to'plamini taqdim etishimiz mumkin ${displaystyle M /! sim}$ psevdometrik bilan. Ikki ekvivalentlik sinfi berilgan ${displaystyle [x]}$ va ${displaystyle [y]}$, biz aniqlaymiz

${displaystyle d '([x], [y]) = inf {d (p_ {1}, q_ {1}) + d (p_ {2}, q_ {2}) + dotsb + d (p_ {n} , q_ {n})}}$

qaerda cheksiz barcha cheklangan ketma-ketliklar bo'yicha olinadi ${displaystyle (p_ {1}, p_ {2}, nuqtalar, p_ {n})}$ va ${displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, nuqtalar, q_ {n})}$ bilan ${displaystyle [p_ {1}] = [x]}$, ${displaystyle [q_ {n}] = [y]}$, ${displaystyle [q_ {i}] = [p_ {i + 1}], i = 1,2, nuqta, n-1}$. Umuman olganda, bu faqat a ni belgilaydi psevdometrik, ya'ni ${displaystyle d '([x], [y]) = 0}$ albatta buni anglatmaydi ${displaystyle [x] = [y]}$. Biroq, ba'zi bir ekvivalent munosabatlar uchun (masalan, ko'p qirrali yuzlar bo'ylab yopishtirish orqali berilganlar), ${displaystyle d '}$ metrik hisoblanadi.

O'lchov metrikasi ${displaystyle d}$ quyidagilar bilan tavsiflanadi universal mulk. Agar ${displaystyle f, yo'g'on ichak (M, d) o (X, delta)}$ a metrik xarita metrik bo'shliqlar orasidagi (ya'ni, ${displaystyle delta (f (x), f (y)) leq d (x, y)}$ Barcha uchun ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$) qoniqarli ${displaystyle f (x) = f (y)}$ har doim ${displaystyle xsim y,}$ keyin induktsiya qilingan funktsiya ${displaystyle {overline {f}}, ikki nuqta M /! sim o X}$, tomonidan berilgan ${displaystyle {overline {f}} ([x]) = f (x)}$, metrik xaritadir ${displaystyle {overline {f}}, ikki nuqta (M /! sim, d ') o (X, delta).}$

Topologik makon ketma-ket va agar u metrik makonning bir qismi bo'lsa.^[9]

Metrik bo'shliqlarni umumlashtirish

• Har bir metrik bo'shliq a bir xil bo'shliq tabiiy ravishda va har qanday bir xil bo'shliq tabiiy ravishda a topologik makon. Shuning uchun yagona va topologik bo'shliqlarni metrik bo'shliqlarni umumlashtirish deb hisoblash mumkin.
• Agar metrik bo'shliqning birinchi ta'rifini ko'rib chiqsak yuqorida berilgan va ikkinchi talabni bo'shating, biz a tushunchalariga erishamiz psevdometrik bo'shliq yoki ajratilgan metrik bo'shliq.^[10] Agar biz uchinchi yoki to'rtinchisini olib tashlasak, biz a ga etib boramiz kvazimetrik bo'shliq yoki a semimetrik bo'shliq.
• Agar masofa funktsiyasi qiymatlarni qabul qilsa kengaytirilgan haqiqiy raqam liniyasi ${displaystyle mathbb {R} stakan {+ infty}}$, lekin aks holda to'rt shartni ham qondiradi, keyin u an deyiladi kengaytirilgan metrik va mos keladigan bo'shliq an deyiladi ${displaystyle infty}$-metrik bo'shliq. Agar masofa funktsiyasi ba'zi bir (mos) tartiblangan to'plamdagi qiymatlarni qabul qilsa (va uchburchak tengsizligi shunga moslashtirilsa), biz tushunchaga kelamiz umumlashtirilgan ultrametrik.^[10]
• Bo'sh joylarga yaqinlashish metrik bo'shliqlarni umumlashtirish bo'lib, nuqta-masofa o'rniga, belgilangan masofaga asoslangan.
• A uzluksizlik maydoni metrik bo'shliqlarni umumlashtirish va posets, bu metrik bo'shliqlar tushunchalarini birlashtirish uchun ishlatilishi mumkin domenlar.
• Qisman metrik bo'shliq metrik bo'shliq tushunchasining eng kam umumlashtirilishi bo'lib, har bir nuqtaning o'zidan uzoqligi endi nolga teng bo'lmaydi.^[11]

Metrik bo'shliqlar boyitilgan toifalar sifatida

Buyurtma qilingan to'plam ${displaystyle (mathbb {R}, geq)}$ sifatida ko'rish mumkin toifasi aniq birini so'rab morfizm ${displaystyle a o b}$ agar ${displaystyle ageq b}$ va boshqasi yo'q. Foydalanish orqali ${displaystyle +}$ sifatida tensor mahsuloti va ${displaystyle 0}$ sifatida shaxsiyat, u a bo'ladi monoidal kategoriya ${displaystyle R ^ {*}}$.Har bir metrik bo'shliq ${displaystyle (M, d)}$ endi kategoriya sifatida ko'rish mumkin ${displaystyle M ^ {*}}$ boyitilgan ustida ${displaystyle R ^ {*}}$:

• O'rnatish ${displaystyle operator nomi {Ob} (M ^ {*}): = M}$
• Har biriga ${displaystyle X, Yin M}$ o'rnatilgan ${displaystyle operator nomi {Hom} (X, Y): = d (X, Y) operator nomida {Ob} (R ^ {*})}$
• Tarkibi morfizmi ${displaystyle operator nomi {Hom} (Y, Z) otimes operator nomi {Hom} (X, Y) o operator nomi {Hom} (X, Z)}$ noyob morfizm bo'ladi ${displaystyle R ^ {*}}$ uchburchak tengsizligidan berilgan ${displaystyle d (y, z) + d (x, y) geq d (x, z)}$
• Identifikatsiya morfizmi ${displaystyle 0 o operator nomi {Hom} (X, X)}$ aslida berilgan noyob morfizm bo'ladi ${displaystyle 0geq d (X, X)}$.
• Beri ${displaystyle R ^ {*}}$ poset, barchasi diagrammalar avtomatik ravishda boyitilgan toifadagi qatnov uchun zarur bo'lgan.

Quyida keltirilgan F.V.Loveverning maqolasiga qarang.

Shuningdek qarang

• Aleksandrov-Rassiya muammosi
• Metrik bo'shliqlar toifasi
• Klassik Wiener maydoni
• Shartnomani xaritalash - Barcha nuqtalar orasidagi masofani kamaytirish funktsiyasi
• Riemann va metrik geometriya lug'ati - Matematika lug'ati
• Hilbert maydoni - metrlik jihatdan yakunlangan ichki mahsulot maydoni; banax maydoni, uning me'yori ichki mahsulotni keltirib chiqaradi (norma parallelogram identifikatsiyasini qondiradi)
• Hilbertning to'rtinchi muammosi
• Izometriya
• Lipschitsning uzluksizligi - bir xil davomiylikning kuchli shakli
• O'lchov (matematika) - uzunlik, maydon, hajm va integralni umumlashtirish
• Metrik (matematika) - masofani aniqlovchi matematik funktsiya
• Metrik xarita
• Metrik imzo
• Metrik tensor
• Metrik daraxt
• Norm (matematika) - Vektorli bo'shliqdagi uzunlik
• Normlangan vektor maydoni - masofa aniqlangan vektor maydoni
• Mahsulot metrikasi
• Fazo (matematika) - tuzilishi qo'shilgan matematik to'plam
• Uchburchak tengsizligi - geometrik xususiyat, shuningdek metrik bo'shliqlarda "masofa" tushunchasini umumlashtirish uchun ishlatiladi
• Ultrametrik bo'shliq - Uchburchaklar tengsizligi o'rnida max ning qo'shilishi o'rniga kuchliroq tengsizlik almashtiriladigan metrik bo'shliq turi

Izohlar

Adabiyotlar

• Viktor Brayant, Metrik bo'shliqlar: takrorlash va qo'llash, Kembrij universiteti matbuoti, 1985, ISBN  0-521-31897-1.
• Dmitriy Burago, Yu D Burago, Sergey Ivanov, Metrik geometriya kursi, Amerika matematik jamiyati, 2001 yil ISBN  0-8218-2129-6.
• Athanase Papadopulos, Metrik bo'shliqlar, konveksiya va ijobiy bo'lmagan egrilik, Evropa matematik jamiyati, 2004 yil birinchi nashr, ISBN  978-3-03719-010-4. Ikkinchi nashr 2014, ISBN  978-3-03719-132-3.
• Mícheál Ó Searcoid, Metrik bo'shliqlar, Springer bakalavriat matematika seriyasi, 2006, ISBN  1-84628-369-8.
• Lawvere, F. Uilyam, "Metrik bo'shliqlar, umumlashtirilgan mantiq va yopiq toifalar", [Rend. Sem. Mat Fis. Milano 43 (1973), 135—166 (1974); (Italiya xulosasi)

Bu (muallif izohi bilan) qayta nashr etilgan Kategoriyalar nazariyasi va qo'llanmalarida qayta nashr etish Shuningdek (muallifning izohi bilan) geometriya va tahlil mantig'idagi boyitilgan toifalarda. Repr. Nazariya dasturi. Kategoriya. № 1 (2002), 1-37.

• Vayshteyn, Erik V. "Mahsulot metrikasi". MathWorld.

Tashqi havolalar

• "Metrik bo'shliq", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• Uzoq va yaqin - masofaviy funktsiyalarning bir nechta namunalari da tugun.