Lagrangian Grassmannian - Lagrangian Grassmannian

Yilda matematika, Lagrangian Grassmannian bo'ladi silliq manifold ning Lagrangiya pastki bo'shliqlari haqiqiy simpektik vektor maydoni V. Uning o'lchami n (n + 1) / 2 (bu erda o'lchov V bu 2n). Bilan aniqlanishi mumkin bir hil bo'shliq

U(n)/O(n),

qayerda U(n) bo'ladi unitar guruh va O(n) ortogonal guruh. Keyingi Vladimir Arnold u bilan belgilanadi is (n). Lagranjian Grassmannian oddiyning pastki qatlamidir Grassmannian ning V.

A murakkab Lagrangian Grassmannian bo'ladi murakkab bir hil manifold ning Lagrangiya pastki bo'shliqlari kompleksning simpektik vektor maydoni V o'lchov 2n. Bilan aniqlanishi mumkin bir hil bo'shliq murakkab o'lchov n (n + 1) / 2

Sp(n)/U(n),

qayerda Sp(n) bo'ladi ixcham simpektik guruh.

Topologiya

Lagranj Grassmannian va kompleks Lagranj Grassmannianning barqaror topologiyasi to'liq tushuniladi, chunki bu bo'shliqlar Bott davriyligi teoremasi: ${ displaystyle Omega (Sp / U) simeq U / O}$va ${ displaystyle Omega (U / O) simeq Z marta BO}$ - ular aynan shunday barqaror ortogonal guruhning homotopiya guruhlari, indeksatsiya (o'lchov) o'zgarishiga qadar.

Xususan, asosiy guruh ning ${ displaystyle U / O}$ bu cheksiz tsiklik, ning kvadratiga berilgan taniqli generator bilan aniqlovchi a unitar matritsa, uchun xaritalash sifatida birlik doirasi. Birinchisi homologiya guruhi shuning uchun ham birinchi kohomologiya guruhi kabi cheksiz tsiklikdir. Arnold shuni ko'rsatdiki, bu Maslov indeksitomonidan kiritilgan V. P. Maslov.

Uchun Lagrangian submanifold M ning V, aslida xaritalash mavjud

M → Λ (n)

uni tasniflaydigan teginsli bo'shliq har bir nuqtada (qarang. Gauss xaritasi ). Maslov indekslari ushbu xaritalash orqali orqaga qaytish hisoblanadi

H¹(M, Z)

ning taniqli generatorining

H¹(Λ (n), Z).

Maslov indeksi

Yo'l simpektomorfizmlar simpektik vektor makoniga a berilishi mumkin Maslov indeksinomi bilan nomlangan V. P. Maslov; agar yo'l ko'chadan bo'lsa va umuman yarim tamsayı bo'lsa, u butun son bo'ladi.

Agar bu yo'l trivializatsiya qilishdan kelib chiqsa simpektik vektor to'plami a ning davriy orbitasida Hamiltonian vektor maydoni a simpektik manifold yoki Reeb vektor maydoni a aloqa manifoldu, u sifatida tanilgan Conley-Zehnder indeksi. Bu hisoblaydi spektral oqim ning Koshi-Riman paydo bo'lgan turdagi operatorlar Qavat homologiyasi^{[iqtibos kerak ]}.

Bu dastlab o'rganish paytida paydo bo'lgan WKB taxminiyligi va o'rganishda tez-tez paydo bo'ladi kvantlash, kvant betartibligi iz formulalari va simpektik geometriya va topologiya. Uni yuqoridagi kabi chiziqli Lagrangiyalik submanifoldlar uchun Maslov indeksiga qarab ta'riflash mumkin.

Adabiyotlar

• V. I. Arnold, Kvantlash sharoitiga kiradigan xarakterli sinf, Funktsional'nyi Analiz i Ego Prilozheniya, 1967, 1,1, 1-14, doi:10.1007 / BF01075861.
• V. P. Maslov, Théorie des perturbations et méthodes asimptotiques. 1972
• Raniki, Endryu, Maslov indeksining asosiy sahifasi, dan arxivlangan asl nusxasi 2015-12-01 kunlari, olingan 2009-10-23 Maslov indeksiga oid turli xil manbalar.