Tangens bo'sh joy - Tangent space

Yilda matematika, teginsli bo'shliq a ko'p qirrali dan vektorlarni umumlashtirishni osonlashtiradi affin bo'shliqlari Umumiy manifoldlarga, chunki ikkinchi holatda faqatgina beradigan vektorni olish uchun ikkita nuqtani chiqarib bo'lmaydi ko'chirish bir nuqtaning ikkinchisidan.

Norasmiy tavsif

Bitta nuqtaning tangens fazosini tasviriy tasviri

{displaystyle x}

a soha. Ushbu teginish fazosidagi vektor at mumkin bo'lgan tezlikni ifodalaydi

{displaystyle x}

. Ushbu yo'nalishda yaqin nuqtaga o'tgandan so'ng, tezlikni ushbu nuqtaning teginish fazosidagi vektor - boshqa teginish fazosi ko'rsatilmagan bo'ladi.

Yilda differentsial geometriya, har bir nuqtaga biriktirish mumkin ${displaystyle x}$ a farqlanadigan manifold a teginsli bo'shliq- haqiqiy vektor maydoni bu intuitiv ravishda tanjansiy o'tishi mumkin bo'lgan yo'nalishlarni o'z ichiga oladi ${displaystyle x}$ . Tegensli bo'shliq elementlari ${displaystyle x}$ deyiladi tangens vektorlar da ${displaystyle x}$ . Bu a tushunchasining umumlashtirilishi bog'langan vektor a Evklid fazosi. The o'lchov a nuqtasining har bir nuqtasidagi teginish fazosining ulangan manifold bilan bir xil ko'p qirrali o'zi.

Masalan, agar berilgan manifold a ${displaystyle 2}$ -soha, keyin bir nuqtada joylashgan teginish fazosini shu nuqtada sharga tekkan tekislik sifatida tasavvur qilish mumkin perpendikulyar nuqta orqali shar radiusiga. Umuman olganda, agar berilgan manifold an ko'milgan submanifold ning Evklid fazosi, shunda ushbu so'zma-so'z moda teginadigan joyni tasavvur qilish mumkin. Bu ta'rifga nisbatan an'anaviy yondashuv edi parallel transport. Ko'p mualliflar differentsial geometriya va umumiy nisbiylik buni ishlat. ^[1] ^[2] Aniqrog'i, bu zamonaviy terminologiya tomonidan tavsiflangan teginish vektorlari makonidan ajralib turadigan afinli teginansli makonni belgilaydi.

Yilda algebraik geometriya, aksincha, ning ichki ta'rifi mavjud bir nuqtada teginish maydoni ning algebraik xilma ${displaystyle V}$ bu hech bo'lmaganda o'lchamiga ega bo'lgan vektor maydonini beradi ${displaystyle V}$ o'zi. Ballar ${displaystyle p}$ shunda teginish makonining o'lchami aynan o'sha o'lchovga teng ${displaystyle V}$ deyiladi yagona bo'lmagan ochkolar; boshqalari chaqiriladi yakka ochkolar. Masalan, o'zini kesib o'tgan egri chiziq shu nuqtada o'ziga xos teginish chizig'iga ega emas. Ning yagona nuqtalari ${displaystyle V}$ "manifold bo'lish uchun sinov" muvaffaqiyatsiz bo'lganlar. Qarang Zariski teginish maydoni.

Kollektorning tekstansiyali bo'shliqlari kiritilgandan so'ng, uni aniqlash mumkin vektor maydonlari, bu kosmosda harakatlanadigan zarralarning tezlik maydonining abstraktsiyalari. Vektorli maydon kollektorning har bir nuqtasiga vektorni shu nuqtadagi teginish fazosidan silliq tarzda biriktiradi. Bunday vektor maydoni umumlashtirilganlikni aniqlashga xizmat qiladi oddiy differentsial tenglama manifoldda: Bunday differentsial tenglamaning echimi differentsialdir egri chiziq har qanday nuqtada hosilasi vektor maydoni tomonidan shu nuqtaga biriktirilgan teginuvchi vektorga teng bo'lgan manifoldda.

Kollektorning barcha teginish bo'shliqlari "yopishtirilgan" bo'lishi mumkin, bu asl kollektorning ikki baravar kattaligi bilan farqlanadigan yangi manifold hosil bo'lishi mumkin. teginish to'plami ko'p qirrali.

Rasmiy ta'riflar

Yuqoridagi norasmiy tavsif manifoldning atrof-muhit vektorlari makoniga joylashish qobiliyatiga bog'liq ${displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$ tangensli vektorlar manifolddan atrof-muhit makoniga «chiqib ketishi» mumkin. Biroq, faqat manifoldning o'ziga asoslangan teginish maydoni tushunchasini aniqlash qulayroq.^[3]

Kollektorning teginish bo'shliqlarini aniqlashning turli xil ekvivalent usullari mavjud. Egri chiziqlar tezligi bo'yicha ta'rif intuitiv ravishda eng sodda bo'lsa-da, u bilan ishlash eng noqulay hisoblanadi. Quyida yanada oqlangan va mavhum yondashuvlar tasvirlangan.

Tangens egri chiziqlari orqali ta'rif

O'rnatilgan ko'p qirrali rasmda bir nuqtada teginuvchi vektor ${displaystyle x}$ deb o'ylashadi tezlik a egri chiziq nuqta orqali o'tish ${displaystyle x}$ . Shuning uchun biz teginish vektorini egri chiziqlarning ekvivalentligi sinfi sifatida aniqlashimiz mumkin ${displaystyle x}$ da bir-biriga teginish paytida ${displaystyle x}$ .

Aytaylik ${displaystyle M}$ a ${displaystyle C ^ {k}}$ ko'p qirrali ( ${displaystyle kgeq 1}$ ) va bu ${displaystyle xin M}$ . A ni tanlang koordinata jadvali ${displaystyle varphi: U o mathbb {R} ^ {n}}$ , qayerda ${displaystyle U}$ bu ochiq ichki qism ning ${displaystyle M}$ o'z ichiga olgan ${displaystyle x}$ . Ikkita egri chiziq deylik ${displaystyle gamma _ {1}, gamma _ {2}: (- 1,1) o M}$ bilan ${displaystyle {gamma _ {1}} (0) = x = {gamma _ {2}} (0)}$ ikkalasi ham shunday berilgan ${displaystyle varphi circ gamma _ {1}, varphi circ gamma _ {2}: (- 1,1) o mathbb {R} ^ {n}}$ oddiy ma'noda farqlanadi (biz ularni chaqiramiz da boshlangan differentsial egri chiziqlar ${displaystyle x}$ ). Keyin ${displaystyle gamma _ {1}}$ va ${displaystyle gamma _ {2}}$ deb aytilgan teng da ${displaystyle 0}$ agar va faqat ning hosilalari bo'lsa ${displaystyle varphi circ gamma _ {1}}$ va ${displaystyle varphi circ gamma _ {2}}$ da ${displaystyle 0}$ mos keladi. Bu belgilaydi ekvivalentlik munosabati da boshlangan barcha farqlanadigan egri chiziqlar to'plamida ${displaystyle x}$ va ekvivalentlik darslari kabi egri chiziqlar ma'lum tangens vektorlar ning ${displaystyle M}$ da ${displaystyle x}$ . Har qanday shunday egri chiziqning ekvivalentlik sinfi ${displaystyle gamma}$ bilan belgilanadi ${displaystyle gamma '(0)}$ . The teginsli bo'shliq ning ${displaystyle M}$ da ${displaystyle x}$ , bilan belgilanadi ${displaystyle T_ {x} M}$ , keyin barcha teginuvchi vektorlarning to'plami sifatida aniqlanadi ${displaystyle x}$ ; bu koordinatalar jadvalini tanlashga bog'liq emas ${displaystyle varphi: U o mathbb {R} ^ {n}}$ .

Tegishli bo'shliq

{displaystyle T_ {x} M}

va teginuvchi vektor

{displaystyle vin T_ {x} M}

, bo'ylab harakatlanadigan egri chiziq bo'ylab

{displaystyle xin M}

.

Vektorli-kosmik amallarni aniqlash uchun ${displaystyle T_ {x} M}$ , biz jadvaldan foydalanamiz ${displaystyle varphi: U o mathbb {R} ^ {n}}$ va a ni aniqlang xarita ${displaystyle mathrm {d} {varphi} _ {x}: T_ {x} M o mathbb {R} ^ {n}}$ tomonidan ${displaystyle {mathrm {d} {varphi} _ {x}} (gamma '(0)) ~ {stackrel {ext {df}} {=}} ~ chap. {frac {mathrm {d}} {mathrm {d } {t}}} [(varphi circ gamma) (t)] ight | _ {t = 0},}$ qayerda ${displaystyle gamma in gamma '(0)}$ . Shunga qaramay, ushbu qurilish ma'lum bir jadvalga bog'liq emasligini tekshirish kerak ${displaystyle varphi: U o mathbb {R} ^ {n}}$ va egri ${displaystyle gamma}$ ishlatilmoqda va aslida u bunday emas.

Xarita ${displaystyle mathrm {d} {varphi} _ {x}}$ bo'lib chiqadi ikki tomonlama va vektor-kosmik operatsiyalarni o'tkazish uchun ishlatilishi mumkin ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ ustiga ${displaystyle T_ {x} M}$ , shuning uchun ikkinchisini to'plamga aylantirish ${displaystyle n}$ - o'lchovli haqiqiy vektor maydoni.

Derivatsiyalar orqali ta'rif

Hozir shunday deylik ${displaystyle M}$ a ${displaystyle C ^ {infty}}$ ko'p qirrali. Haqiqiy ahamiyatga ega funktsiya ${displaystyle f: M o mathbb {R}}$ tegishli ekanligi aytilmoqda ${displaystyle {C ^ {infty}} (M)}$ agar va faqat har bir koordinatali jadval uchun bo'lsa ${displaystyle varphi: U o mathbb {R} ^ {n}}$ , xarita ${displaystyle fcirc varphi ^ {- 1}: varphi [U] subseteq mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R}}$ cheksiz farqlanadi. Yozib oling ${displaystyle {C ^ {infty}} (M)}$ haqiqiydir assotsiativ algebra ga nisbatan yo'naltirilgan mahsulot va funktsiyalar yig'indisi va skalar ko'paytmasi.

Nuqtani tanlang ${displaystyle xin M}$ . A hosil qilish da ${displaystyle x}$ a deb belgilanadi chiziqli xarita ${displaystyle D: {C ^ {infty}} (M) o mathbb {R}}$ Leybnitsning o'ziga xosligini qondiradigan narsa

{displaystyle forall f, gin {C ^ {infty}} (M): qquad D (fg) = D (f) cdot g (x) + f (x) cdot D (g),}

bu modellangan mahsulot qoidasi hisob-kitob.

(Har bir xil doimiy funktsiya uchun ${displaystyle f = {ext {const}},}$ bundan kelib chiqadiki ${displaystyle D (f) = 0}$ ).

Agar atamalar to'plamida qo'shish va skalyar ko'paytishni aniqlasak ${displaystyle x}$ tomonidan

${displaystyle (D_ {1} + D_ {2}) (f) ~ {stackrel {ext {df}} {=}} ~ {D} _ {1} (f) + {D} _ {2} (f )}$ va
${displaystyle (lambda cdot D) (f) ~ {stackrel {ext {df}} {=}} ~ lambda cdot D (f)}$ ,

keyin biz haqiqiy vektor maydonini olamiz, uni biz teginish fazosi deb belgilaymiz ${displaystyle T_ {x} M}$ ning ${displaystyle M}$ da ${displaystyle x}$ .

Umumlashtirish

Ushbu ta'rifning umumlashtirilishi, masalan, mumkin murakkab manifoldlar va algebraik navlar. Biroq, hosilalarni o'rganish o'rniga ${displaystyle D}$ funktsiyalarning to'liq algebrasidan buning o'rniga darajasida ishlash kerak mikroblar funktsiyalar. Buning sababi shundaki tuzilish pog'onasi bo'lmasligi mumkin yaxshi bunday tuzilmalar uchun. Masalan, ruxsat bering ${displaystyle X}$ bilan algebraik xilma-xil bo'ling tuzilish pog'onasi ${displaystyle {mathcal {O}} _ {X}}$ . Keyin Zariski teginish maydoni bir nuqtada ${displaystyle pin X}$ barchaning to'plamidir ${displaystyle mathbb {k}}$ - ko'rsatmalar ${displaystyle D: {mathcal {O}} _ {X, p} o mathbb {k}}$ , qayerda ${displaystyle mathbb {k}}$ bo'ladi yer maydoni va ${displaystyle {mathcal {O}} _ {X, p}}$ bo'ladi sopi ning ${displaystyle {mathcal {O}} _ {X}}$ da ${displaystyle p}$ .

Ta'riflarning tengligi

Uchun ${displaystyle xin M}$ va farqlanadigan egri chiziq ${displaystyle gamma: (- 1,1) o M}$ shu kabi ${displaystyle gamma (0) = x,}$ aniqlang ${displaystyle {D_ {gamma}} (f) ~ {stackrel {ext {df}} {=}} ~ (fcirc gamma) '(0)}$ (bu erda lotin odatdagi ma'noda olinadi, chunki ${displaystyle fcirc gamma}$ funktsiyasidir ${displaystyle (-1,1)}$ ga ${displaystyle mathbb {R}}$ ). Bunga amin bo'lish mumkin ${displaystyle D_ {gamma} (f)}$ nuqtada hosila ${displaystyle x,}$ va bu teng egri chiziqlar bir xil hosilaga olib keladi. Shunday qilib, ekvivalentlik sinfi uchun ${displaystyle gamma '(0),}$ biz aniqlay olamiz ${displaystyle {D_ {gamma '(0)}} (f) {stackrel {ext {df}} {=}} (fcirc gamma)' (0),}$ egri qaerda ${displaystyle gamma in gamma '(0)}$ o'zboshimchalik bilan tanlangan. Xarita ${displaystyle gamma '(0) mapsto D_ {gamma' (0)}}$ ekvivalentlik sinflari makoni orasidagi vektor fazoviy izomorfizmdir ${displaystyle gamma '(0)}$ va nuqtadagi hosilalar ${displaystyle x.}$

Kotangens bo'shliqlar orqali ta'rif

Shunga qaramay, biz a bilan boshlaymiz ${displaystyle C ^ {infty}}$ ko'p qirrali ${displaystyle M}$ va nuqta ${displaystyle xin M}$ . Ni ko'rib chiqing ideal ${displaystyle I}$ ning ${displaystyle C ^ {yaroqsiz} (M)}$ bu barcha yumshoq funktsiyalardan iborat ${displaystyle f}$ g'oyib bo'lish ${displaystyle x}$ , ya'ni, ${displaystyle f (x) = 0}$ . Keyin ${displaystyle I}$ va ${displaystyle I ^ {2}}$ haqiqiy vektor bo'shliqlari va ${displaystyle T_ {x} M}$ deb belgilanishi mumkin er-xotin bo'shliq ning bo'sh joy ${displaystyle I / I ^ {2}}$ . Ushbu so'nggi kosmik, shuningdek, sifatida ham tanilgan kotangensli bo'shliq ning ${displaystyle M}$ da ${displaystyle x}$ .

Ushbu ta'rif eng mavhum bo'lsa-da, boshqa sozlamalarga, masalan, ga osonlikcha o'tkaziladigan ta'rifdir navlari ichida ko'rib chiqilgan algebraik geometriya.

Agar ${displaystyle D}$ at hosilasi ${displaystyle x}$ , keyin ${displaystyle D (f) = 0}$ har bir kishi uchun ${displaystyle fin I ^ {2}}$ , bu shuni anglatadiki ${displaystyle D}$ chiziqli xaritani keltirib chiqaradi ${displaystyle I / I ^ {2} o mathbb {R}}$ . Aksincha, agar ${displaystyle r: I / I ^ {2} o mathbb {R}}$ keyin chiziqli xarita ${displaystyle D (f) ~ {stackrel {ext {def}} {=}} ~ rleft ((f-f (x)) + I ^ {2} ight)}$ atamasini aniqlaydi ${displaystyle x}$ . Bu derivatsiyalar orqali aniqlangan tangens bo'shliqlari va kotangens bo'shliqlari orqali aniqlangan tangens bo'shliqlari o'rtasida ekvivalentlikni keltirib chiqaradi.

Xususiyatlari

Agar ${displaystyle M}$ ning ochiq pastki qismi ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , keyin ${displaystyle M}$ a ${displaystyle C ^ {infty}}$ tabiiy usulda manifold (koordinatali jadvallarni oling hisobga olish xaritalari ning ochiq pastki to'plamlarida ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ va teginish bo'shliqlari tabiiy ravishda aniqlanadi ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ .

Tangens vektorlari yo'naltirilgan hosilalar sifatida

Tangens vektorlar haqida o'ylashning yana bir usuli - bu yo'naltirilgan hosilalar. Vektor berilgan ${displaystyle v}$ yilda ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , bittasi mos keladigan yo'naltiruvchi lotinni nuqtada belgilaydi ${displaystyle xin mathbb {R} ^ {n}}$ tomonidan

{displaystyle forall fin {C ^ {infty}} (mathbb {R} ^ {n}): qquad (D_ {v} f) (x) ~ {stackrel {ext {df}} {=}} ~ left. { frac {mathrm {d}} {mathrm {d} {t}}} [f (x + tv)] ight | _ {t = 0} = sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} {frac {qisman f} {qisman x ^ {i}}} (x).}

Ushbu xarita, tabiiy ravishda, atama hisoblanadi ${displaystyle x}$ . Bundan tashqari, bir nuqtada har bir hosil qilish ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ ushbu shaklda. Demak, vektorlar (nuqtada teginuvchi vektorlar deb o'ylangan) va nuqtada hosilalar o'rtasida birma-bir yozishmalar mavjud.

Nuqtadagi umumiy manifoldga teguvchi vektorlarni o'sha nuqtadagi hosilalar deb ta'riflash mumkin, chunki ularni yo'naltirilgan hosilalar deb hisoblash tabiiydir. Xususan, agar ${displaystyle v}$ ga teginuvchi vektor ${displaystyle M}$ bir nuqtada ${displaystyle x}$ (lotin deb o'ylashadi), keyin yo'naltirilgan hosilani aniqlang ${displaystyle D_ {v}}$ yo'nalishda ${displaystyle v}$ tomonidan

{displaystyle forall fin {C ^ {infty}} (M): qquad {D_ {v}} (f) ~ {stackrel {ext {df}} {=}} ~ v (f).}

Agar o'ylab ko'rsak ${displaystyle v}$ farqlanadigan egri chiziqning boshlang'ich tezligi sifatida ${displaystyle gamma}$ da boshlangan ${displaystyle x}$ , ya'ni, ${displaystyle v = gamma '(0)}$ , keyin uning o'rniga aniqlang ${displaystyle D_ {v}}$ tomonidan

{displaystyle forall fin {C ^ {infty}} (M): qquad {D_ {v}} (f) ~ {stackrel {ext {df}} {=}} ~ (fcirc gamma) '(0).}

Tegishli makonning bir nuqtada joylashganligi

Uchun ${displaystyle C ^ {infty}}$ ko'p qirrali ${displaystyle M}$ , agar jadval ${displaystyle varphi = (x ^ {1}, ldots, x ^ {n}): U o mathbb {R} ^ {n}}$ bilan berilgan ${displaystyle pin U}$ , keyin buyurtma qilingan asosni aniqlash mumkin ${displaystyle chap {chap ({frac {qisman} {qisman x ^ {1}}} ight) _ {p}, nuqta, chap ({frac {qisman} {qisman x ^ {n}}} ight) _ {p } kechasi}}$ ning ${displaystyle T_ {p} M}$ tomonidan

{displaystyle forall iin {1, ldots, n}, ~ forall fin {C ^ {infty}} (M): qquad {left ({frac {qismli} {qisman x ^ {i}}} ight) _ {p} } (f) ~ {stackrel {ext {df}} {=}} ~ chap ({frac {kısmi} {qisman x ^ {i}}} {Katta (} fcirc varphi ^ {- 1} {Katta)} kech ) {Katta (} varphi (p) {Katta)}.}

Keyin har bir teginish vektori uchun ${displaystyle vin T_ {p} M}$ , bittasi bor

{displaystyle v = sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} cdot chap ({frac {qismli} {qisman x ^ {i}}} ight) _ {p}.}

Shuning uchun ushbu formulani ifodalaydi ${displaystyle v}$ asosiy tangens vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ${displaystyle chapda ({frac {kısmi} {qisman x ^ {i}}} ight) _ {p} T_ {p} M} da$ koordinata jadvali bilan belgilanadi ${displaystyle varphi: U o mathbb {R} ^ {n}}$ .^[4]

Xaritaning hosilasi

Har bir tekis (yoki farqlanadigan) xarita ${displaystyle varphi: M o N}$ silliq (yoki farqlanadigan) kollektorlar orasida tabiiylikni keltirib chiqaradi chiziqli xaritalar ularning mos teginish bo'shliqlari orasida:

{displaystyle mathrm {d} {varphi} _ {x}: T_ {x} M o T_ {varphi (x)} N.}

Agar tangens bo'shliq differentsial egri chiziqlar orqali aniqlansa, u holda bu xarita quyidagicha aniqlanadi

{displaystyle {mathrm {d} {varphi} _ {x}} (gamma '(0)) ~ {stackrel {ext {df}} {=}} ~ (varphi circ gamma)' (0).}

Agar buning o'rniga teginsli bo'shliq hosilalar orqali aniqlansa, u holda bu xarita quyidagicha aniqlanadi

{displaystyle [mathrm {d} {varphi} _ {x} (D)] (f) ~ {stackrel {ext {df}} {=}} ~ D (fcirc varphi).}

Chiziqli xarita ${displaystyle mathrm {d} {varphi} _ {x}}$ turli xil deb nomlanadi lotin, jami lotin, differentsial, yoki oldinga ning ${displaystyle varphi}$ da ${displaystyle x}$ . U tez-tez turli xil boshqa belgilar yordamida ifodalanadi:

{displaystyle Dvarphi _ {x}, qquad (varphi _ {*}) _ {x}, qquad varphi '(x).}

Muayyan ma'noda, lotin eng yaxshi chiziqli yaqinlashishdir ${displaystyle varphi}$ yaqin ${displaystyle x}$ . Qachon ekanligini unutmang ${displaystyle N = mathbb {R}}$ , keyin xarita ${displaystyle mathrm {d} {varphi} _ {x}: T_ {x} M o mathbb {R}}$ ning odatdagi tushunchasiga to'g'ri keladi differentsial funktsiyasi ${displaystyle varphi}$ . Yilda mahalliy koordinatalar ning hosilasi ${displaystyle varphi}$ tomonidan berilgan Jacobian.

Hosil bo'lgan xaritaga oid muhim natijalar quyidagilar:

Teorema. Agar

{displaystyle varphi: M o N}

a mahalliy diffeomorfizm da

{displaystyle x}

yilda

{displaystyle M}

, keyin

{displaystyle mathrm {d} {varphi} _ {x}: T_ {x} M o T_ {varphi (x)} N}

chiziqli izomorfizm. Aksincha, agar

{displaystyle mathrm {d} {varphi} _ {x}}

izomorfizm bo'lsa, u holda ochiq mahalla

{displaystyle U}

ning

{displaystyle x}

shu kabi

{displaystyle varphi}

xaritalar

{displaystyle U}

diffeomorfik tarzda uning tasviriga.

Bu .ning umumlashtirilishi teskari funktsiya teoremasi manifoldlar orasidagi xaritalarga.

Shuningdek qarang

Izohlar

^ do Carmo, Manfredo P. (1976). Egri chiziqlar va sirtlarning differentsial geometriyasi. Prentice-Hall.:
^ Dirac, Pol A. M. (1996) [1975]. Nisbiylikning umumiy nazariyasi. Prinston universiteti matbuoti. ISBN 0-691-01146-X.
^ Kris J. Isham (2002 yil 1-yanvar). Fiziklar uchun zamonaviy differentsial geometriya. Ittifoqdosh noshirlar. 70-72 betlar. ISBN 978-81-7764-316-9.
^ Lerman, Evgeniya. "Differentsial geometriyaga kirish" (PDF). p. 12.

Adabiyotlar

Li, Jeffri M. (2009), Manifoldlar va differentsial geometriya, Matematika aspiranturasi, 107, Providence: Amerika Matematik Jamiyati.
Michor, Piter V. (2008), Differentsial geometriyadagi mavzular, Matematikadan aspirantura, 93, Providence: Amerika Matematik Jamiyati.
Spivak, Maykl (1965), Manifoldlar bo'yicha hisob-kitob: Kengaytirilgan hisoblashning klassik teoremalariga zamonaviy yondashuv, W. A. Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.

Tashqi havolalar

Tangens samolyotlar MathWorld-da

[1] Carmo, Manfredo P. (1976). Egri chiziqlar va sirtlarning differentsial geometriyasi. Prentice-Hall.:

[2] Dirac, Pol A. M. (1996) [1975]. Nisbiylikning umumiy nazariyasi. Prinston universiteti matbuoti. ISBN 0-691-01146-X.

[Isham2002-3] Kris J. Isham (2002 yil 1-yanvar). Fiziklar uchun zamonaviy differentsial geometriya. Ittifoqdosh noshirlar. 70-72 betlar. ISBN 978-81-7764-316-9.

[4] Lerman, Evgeniya. "Differentsial geometriyaga kirish" (PDF). p. 12.

[1]

[2]

[3]

[4]