Lagueradagi o'zgarishlar - Laguerre transformations

The Lagueradagi o'zgarishlar yoki eksenel homografiya ning analogidir Mobiusning o'zgarishi ustidan juft raqamlar.^[1]^[2]^[3]^[4] Ushbu o'zgarishlarni o'rganayotganda, ikkilik raqamlar ko'pincha yo'naltirilgan yo'naltirilgan deb talqin etiladi chiziqlar samolyotda.^[1] Lagueradagi transformatsiyalar chiziqlar chizig'ini xaritaga tushiradi va xususan barchasini o'z ichiga oladi tekislikning izometriyalari (mumkin bo'lgan yo'nalishni o'zgartirishga e'tibor bermaslik).

Qisqacha aytganda, bu transformatsiyalar ikkilik raqam proektsion chiziq, bu ikkilangan raqamlarga cheksiz nuqtalar to'plamiga qo'shiladi. Topologik nuqtai nazardan, bu proektsion chiziq silindrga teng. Ushbu silindrdagi ochkolar tabiiy holatda birma-bir yozishmalar tekislikda yo'naltirilgan chiziqlar bilan.

Ta'rif

Lagueraning o'zgarishi - bu a chiziqli fraksiyonel transformatsiya ${ displaystyle z mapsto { frac {az + b} {cz + d}}}$ qayerda ${ displaystyle a, b, c, d}$ barchasi ikkitomonlama raqamlar, ${ displaystyle z}$ ikki raqamli proektsion chiziqda yotadi va ${ displaystyle ad-bc}$ emas nol bo'luvchi.

A ikkilik raqam a giperkompleks raqami shaklning ${ displaystyle x + y epsilon}$ qayerda ${ displaystyle epsilon ^ {2} = 0}$ lekin ${ displaystyle epsilon neq 0}$ . Buni bilan taqqoslash mumkin murakkab sonlar shaklga ega bo'lganlar ${ displaystyle x + yi}$ qayerda ${ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ . The ikki raqamli proektsion chiziq ikkilamchi raqamlarga shaklning raqamlar to'plamiga qo'shiladi ${ displaystyle { frac {1} {k epsilon}}}$ har qanday kishi uchun haqiqiy ${ displaystyle k}$ .

Chiziq koordinatalari

Burchak yasaydigan chiziq ${ displaystyle theta}$ x o'qi bilan va kimning x tutib turish bilan belgilanadi ${ displaystyle s}$ , ikkilik raqam bilan ifodalanadi

{ displaystyle z = tan ( theta / 2) (1+ epsilon s).}

Chiziq x o'qiga parallel bo'lganda yuqoridagilar mantiqiy emas. Bunday holda, agar ${ displaystyle theta = pi}$ keyin o'rnatiladi ${ displaystyle z = { frac {-2} { epsilon R}}}$ qayerda ${ displaystyle R}$ bo'ladi y-ushlash chiziqning. Bu yaroqsiz bo'lib tuyulishi mumkin, chunki u nol bo'luvchiga bo'linadi, lekin bu proektsion ikki qatorning to'g'ri nuqtasidir. Agar ${ displaystyle theta = 2 pi}$ keyin o'rnatiladi ${ displaystyle z = { frac {1} {2}} epsilon R}$ .

Va nihoyat, ushbu koordinatalarni ko'rsatishini kuzating yo'naltirilgan chiziqlar. Yo'naltirilgan chiziq - bu ikkita iloji yo'nalishlardan biriga biriktirilgan oddiy chiziq. Buni agar shunday bo'lsa, shundan ko'rish mumkin ${ displaystyle theta}$ tomonidan oshiriladi ${ displaystyle pi}$ keyin hosil bo'lgan ikki raqamli vakil bir xil emas.

Matritsaning namoyishi

Yuqoridagi chiziq koordinatalarini quyidagicha ifodalash mumkin bir hil koordinatalar ${ displaystyle z = [ sin ( theta / 2) + { frac {1} {2}} epsilon R cos ( theta / 2): cos ( theta / 2) - { frac { 1} {2}} epsilon R sin ( theta / 2)]}$ qayerda ${ displaystyle R}$ bo'ladi perpendikulyar masofa chiziqning kelib chiqishi. Ushbu vakolatxonaning ko'pgina afzalliklari bor: bitta afzallik shundaki, parallel va parallel bo'lmagan kabi turli holatlarga o'tishga hojat yo'q. Boshqa afzallik shundaki, bu bir hil koordinatalarni quyidagicha talqin qilish mumkin vektorlar, ularni matritsa bilan ko'paytirishga imkon beradi.

Har bir Lagueraning o'zgarishini 2x2 shaklida ko'rsatish mumkin matritsa ularning yozuvlari ikki raqamli. Bundan tashqari, 2x2 juft raqamli matritsaning determinanti bo'lmaguncha nolpotent, keyin u Lagueraning o'zgarishini anglatadi.

Ballar, yo'naltirilgan chiziqlar va yo'naltirilgan doiralar

Laguer konvertatsiyalari nuqtalarda ishlamaydi. Buning sababi shundaki, agar bitta yo'nalish bo'yicha uchta yo'naltirilgan chiziq o'tib ketsa, ularning Lagueradagi transformatsiyadagi tasvirlari bir nuqtada uchrashishi shart emas.

Laguer konvertatsiyalari yo'naltirilgan chiziqlar bilan bir qatorda yo'naltirilgan doiralarda ham harakat qilish sifatida qaralishi mumkin. Yo'naltirilgan doira - bu ikkalasi ham soat yo'nalishi bo'yicha yoki soat yo'nalishi bo'yicha yo'nalish. Soat yo'nalishi bo'yicha teskari yo'nalish ijobiy, soat yo'nalishi bo'yicha esa salbiy hisoblanadi. Salbiy yo'naltirilgan doiraning radiusi quyidagicha salbiy. Har doim yo'naltirilgan chiziqlar to'plami bir xil yo'naltirilgan doiraga tegib turganda, ularning Lagueradagi transformatsiyasi ostidagi tasvirlari ushbu xususiyatga ega, lekin ehtimol boshqa doiraga tegishli. Yo'naltirilgan chiziq, agar ikkala raqam tegsa va ularning yo'nalishlari mos keladigan bo'lsa, yo'naltirilgan doiraga tegishlidir.

Profil

Eksenel kengayishga uchragan qarama-qarshi yo'nalishlarga ega ikkita doira

1-rasm: Dastlab eksa kengayishiga uchragan qarama-qarshi yo'nalishlarga ega ikkita aylana

Quyidagilarni topish mumkin Isaak Yaglom "s Geometriyadagi murakkab sonlar.^[1]

Shakl xaritalari ${ displaystyle z mapsto { frac {pz-q} {{ bar {q}} z + { bar {p}}}}}$ qattiq tana harakatlarini ifodalash. Ushbu transformatsiyalarning matritsali tasvirlari subalgebra izomorfikaga to'g'ri keladi ikkilamchi kompleks sonlar.

Xaritalash ${ displaystyle z mapsto -z}$ x o'qi haqidagi aksni, so'ngra yo'nalishning teskari tomonini aks ettiradi.

Transformatsiya ${ displaystyle z mapsto 1 / z}$ Y o'qi haqida aks ettiradi, so'ngra yo'nalishni teskari yo'naltiradi.

An eksenel kengayish tomonidan ${ displaystyle t}$ birliklar - bu shaklning o'zgarishi ${ displaystyle { frac {2z + epsilon t} {(- epsilon t) z + 2}}}$ . Tomonidan kengayish ${ displaystyle t}$ birliklari barcha yo'naltirilgan doiralarning radiusini ${ displaystyle t}$ ularning markazlarini saqlab qolish bilan birliklar. Agar aylana manfiy yo'nalishga ega bo'lsa, u holda uning radiusi manfiy hisoblanadi va shuning uchun ba'zi ijobiy qiymatlar uchun ${ displaystyle t}$ aylana aslida qisqaradi. Progressiv kengayish 1-rasmda tasvirlangan bo'lib, unda qarama-qarshi yo'nalishlarning ikkita doirasi bir xil kengayishga uchraydi.

Chiziqlar bo'yicha eksenel kengayish ${ displaystyle t}$ birliklar har qanday chiziqni xaritada aks ettiradi ${ displaystyle z}$ chiziqqa ${ displaystyle z '}$ shu kabi ${ displaystyle z}$ va ${ displaystyle z '}$ parallel va orasidagi perpendikulyar masofa ${ displaystyle z}$ va ${ displaystyle z '}$ bu ${ displaystyle t}$ . Parallel, lekin qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lgan chiziqlar qarama-qarshi yo'nalishda harakatlanadi.

Shakl 2: o'tayotgan chiziqlar panjarasi

{ displaystyle z mapsto kz}

uchun

{ displaystyle k}

o'rtasida o'zgarib turadi

{ displaystyle 1}

va

{ displaystyle 10}

.

3-rasm: Dastlab farq qiladigan ikkita aylana faqat transformatsiyaga uchragan yo'nalishda

{ displaystyle z mapsto kz}

uchun

{ displaystyle k}

dan farq qiladi

{ displaystyle 1}

va

{ displaystyle 10}

.

Transformatsiya ${ displaystyle z mapsto kz}$ qiymati uchun ${ displaystyle k}$ bu chiziqning x o'qini saqlab qoladi va uning burchagini x o'qiga o'zgartiradi. Chiziqlar panjarasiga (o'rtada x o'qi ham kiradi) ta'sirini kuzatish uchun 2-rasmga qarang va dastlab faqat yo'nalishda farq qiladigan ikkita doiraga (natija yo'nalishga sezgir ekanligini ko'rish uchun) 3-rasmga qarang.

Lagueradagi barcha o'zgarishlar:

To'g'ridan-to'g'ri evklid izometriyalari keyin eksenel kengayish kuzatiladi.
Bilvosita evklid izometriyalari, so'ngra eksenel kengayish, so'ngra yo'nalishni o'zgartirish.
Bilvosita evklid izometriyalari, so'ngra shaklning o'zgarishi ${ displaystyle z mapsto kz}$ uchun ${ displaystyle k}$ haqiqiy son, so'ngra yo'nalishni o'zgartirish.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b ^v "Geometriyadagi murakkab sonlar | ScienceDirect". www.scainedirect.com. Olingan 2020-06-12.
^ Bolt, Maykl; Ferdinandlar, Timoti; Kavli, Landon (2009). "Parabolalarni parabolalarga xaritada aks ettiradigan eng umumiy planar transformatsiyalar". Ishtirok eting: Matematika jurnali. 2 (1): 79–88. doi:10.2140 / jalb qilish.2009.2.79. ISSN 1944-4176.
^ Fillmor, Jey P.; Springer, Artur (1995-03-01). "Laguer transformatsiyalaridan foydalangan holda yangi evklid teoremalari - Minkovskiyning ba'zi geometriyasi (2 + 1) - bo'shliq". Geometriya jurnali. 52 (1): 74–90. doi:10.1007 / BF01406828. ISSN 1420-8997. S2CID 122511184.
^ Barrett, Devid E .; Bolt, Maykl (2010 yil iyun). "Masofadagi funktsiyalardan kamonning uzunligi". Osiyo matematik jurnali. 14 (2): 213–234. doi:10.4310 / AJM.2010.v14.n2.a3. ISSN 1093-6106.

[:0-1] v "Geometriyadagi murakkab sonlar | ScienceDirect". www.scainedirect.com. Olingan 2020-06-12.

[2] Bolt, Maykl; Ferdinandlar, Timoti; Kavli, Landon (2009). "Parabolalarni parabolalarga xaritada aks ettiradigan eng umumiy planar transformatsiyalar". Ishtirok eting: Matematika jurnali. 2 (1): 79–88. doi:10.2140 / jalb qilish.2009.2.79. ISSN 1944-4176.

[3] Fillmor, Jey P.; Springer, Artur (1995-03-01). "Laguer transformatsiyalaridan foydalangan holda yangi evklid teoremalari - Minkovskiyning ba'zi geometriyasi (2 + 1) - bo'shliq". Geometriya jurnali. 52 (1): 74–90. doi:10.1007 / BF01406828. ISSN 1420-8997. S2CID 122511184.

[4] Barrett, Devid E .; Bolt, Maykl (2010 yil iyun). "Masofadagi funktsiyalardan kamonning uzunligi". Osiyo matematik jurnali. 14 (2): 213–234. doi:10.4310 / AJM.2010.v14.n2.a3. ISSN 1093-6106.

[1]

[2]

[3]

[4]