Chiziq koordinatalari - Line coordinates

Yilda geometriya, chiziq koordinatalari a holatini aniqlash uchun ishlatiladi chiziq xuddi nuqta koordinatalari kabi (yoki oddiygina) koordinatalar ) nuqta pozitsiyasini aniqlash uchun ishlatiladi.

Samolyotda chiziqlar

Chiziqning tekislikdagi holatini aniqlashning bir necha usullari mavjud. Oddiy yo'l - bu juftlik (m, b) bu erda chiziqning tenglamasi y = mx + b. Bu yerda m bo'ladi Nishab va b bo'ladi y- to'siq. Ushbu tizim vertikal bo'lmagan barcha chiziqlar uchun koordinatalarni belgilaydi. Ammo koordinatalardan foydalanish algebraik jihatdan keng tarqalgan va sodda (l, m) bu erda chiziqning tenglamasi lx + mening + 1 = 0. Ushbu tizim barcha chiziqlar uchun koordinatalarni belgilaydi, faqat boshidan o'tganlardan tashqari. Ning geometrik talqinlari l va m ning teskari o'zaro aloqalari x va y- to'siq navbati bilan.

Boshidan o'tgan chiziqlarni istisno qilish uchta koordinatalar tizimi yordamida hal qilinishi mumkin (l, m, n) tenglama joylashgan qatorni belgilash uchun, lx + mening + n = 0. Bu erda l va m ikkalasi ham 0 bo'lmasligi mumkin. Ushbu tenglamada faqat orasidagi nisbat l, m va n muhim, boshqacha qilib aytganda, agar koordinatalar nolga teng bo'lmagan skalar bilan ko'paytirilsa, ko'rsatilgan chiziq bir xil bo'ladi. Shunday qilib (l, m, n) tizimidir bir hil koordinatalar chiziq uchun.

Agarda haqiqiy proektsion tekislik bir hil koordinatalar bilan ifodalanadi (x, y, z), chiziqning tenglamasi lx + mening + nz = 0, taqdim etilgan (l, m, n) ≠ (0,0,0) . Xususan, chiziq koordinatasi (0, 0, 1) chiziqni ifodalaydi z = 0, ya'ni cheksiz chiziq ichida proektsion tekislik. Chiziq koordinatalari (0, 1, 0) va (1, 0, 0) vakili x va ymos ravishda soliqlar.

Tangensial tenglamalar

Xuddi shunday f(x, y) = 0 a ni ifodalashi mumkin egri chiziq tekislikdagi nuqtalarning kichik to'plami sifatida, tenglama φ (l, m) = 0 tekislikdagi chiziqlar to'plamini aks ettiradi. Tekislikdagi chiziqlar to'plami mavhum ma'noda proektsion tekislikdagi nuqtalar to'plami, deb o'ylanishi mumkin. ikkilamchi asl tekislikning Equ tenglamal, m) = 0 keyin ikki tekislikdagi egri chiziqni ifodalaydi.

Egri chiziq uchun f(x, y) Tekislikda = 0, tangents egri tomonga egalik qiluvchi fazoda egri hosil qiladi ikki tomonlama egri. Agar φ (l, m) = 0 ikkilangan egri chiziqning tenglamasi, keyin u deyiladi tangensial tenglama, asl egri uchun. Berilgan tenglama φ (l, m) = 0 asl tekislikdagi egri chizig'ini, deb aniqlangan konvert ushbu tenglamani qondiradigan satrlarning. Xuddi shunday, agar φ (l, m, n) a bir hil funktsiya keyin φ (l, m, n) = 0 bir hil koordinatalarda berilgan ikkilangan bo'shliqdagi egri chiziqni ifodalaydi va uni o'ralgan egri chiziqning bir jinsli teginal tenglamasi deb atash mumkin.

Tegensial tenglamalar konvert sifatida belgilangan egri chiziqlarni o'rganishda foydalidir, xuddi dekart tenglamalari lokus sifatida belgilangan egri chiziqlarni o'rganishda foydalidir.

Nuqtaning tangensial tenglamasi

Line koordinatalaridagi chiziqli tenglama shaklga ega al + bm + v = 0, qaerda a, b va v doimiydir. Aytaylik (l, m) bu tenglamani qondiradigan chiziq. Agar v u holda 0 emas lx + mening + 1 = 0, qaerda x = a/v va y = b/v, shuning uchun asl tenglamani qondiradigan har bir satr nuqta orqali o'tadi (x, y). Aksincha, orqali har qanday chiziq (x, y) asl tenglamani qondiradi, shuning uchun al + bm + v = 0 - (orqali chiziqlar to'plamining tenglamasix, y). Berilgan nuqta uchun (x, y) bo'lsa ham, qatorlar to'plamining tenglamasi lx + mening + 1 = 0, shuning uchun bu nuqtaning tangensial tenglamasi sifatida aniqlanishi mumkin. Xuddi shunday, nuqta uchun (x, y, z) bir hil koordinatalarda berilgan bo'lsa, bir hil tangensial koordinatalardagi nuqta tenglamasi lx + mening + nz = 0.

Formulalar

Chiziqlarning kesishishi (l₁, m₁) va (l₂, m₂) chiziqli tenglamalarning echimi

${displaystyle l_ {1} x + m_ {1} y + 1 = 0}$

${displaystyle l_ {2} x + m_ {2} y + 1 = 0.}$

By Kramer qoidasi, hal qilish

${displaystyle x = {frac {m_ {1} -m_ {2}} {l_ {1} m_ {2} -l_ {2} m_ {1}}} ,, y = - {frac {l_ {1} - l_ {2}} {l_ {1} m_ {2} -l_ {2} m_ {1}}}.}$

Chiziqlar (l₁, m₁), (l₂, m₂), va (l₃, m₃) bor bir vaqtda qachon aniqlovchi

${displaystyle {egin {vmatrix} l_ {1} & m_ {1} & 1 l_ {2} & m_ {2} & 1 l_ {3} & m_ {3} & 1end {vmatrix}} = 0.}$

Bir hil koordinatalar uchun chiziqlarning kesishishi (l₁, m₁, n₁) va (l₂, m₂, n₂)

${displaystyle (m_ {1} n_ {2} -m_ {2} n_ {1} ,, l_ {2} n_ {1} -l_ {1} n_ {2} ,, l_ {1} m_ {2} - l_ {2} m_ {1}).}$

Chiziqlar (l₁, m₁, n₁), (l₂, m₂, n₂) va (l₃, m₃, n₃) bor bir vaqtda qachon aniqlovchi

${displaystyle {egin {vmatrix} l_ {1} & m_ {1} & n_ {1} l_ {2} & m_ {2} & n_ {2} l_ {3} & m_ {3} & n_ {3} end {vmatrix}} = 0.}$

Ikkala holda, (x₁, y₁, z₁) va (x₂, y₂, z₂) bor

${displaystyle (y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1} ,, x_ {2} z_ {1} -x_ {1} z_ {2} ,, x_ {1} y_ {2} - x_ {2} y_ {1}).}$

Uch o'lchovli kosmosdagi chiziqlar

Berilgan ikkita nuqta uchun haqiqiy proektsion tekislik, (x₁, y₁, z₁) va (x₂, y₂, z₂), uchta aniqlovchi

${displaystyle y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1} ,, x_ {2} z_ {1} -x_ {1} z_ {2} ,, x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}}$

ni aniqlang proektsion chiziq ularni o'z ichiga olgan.

Xuddi shunday, ikkita nuqta uchun RP³, (x₁, y₁, z₁, w₁) va (x₂, y₂, z₂, w₂), ularni o'z ichiga olgan satr oltita determinant bilan aniqlanadi

${displaystyle x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} ,, x_ {1} z_ {2} -x_ {1} z_ {2} ,, y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1} ,, x_ {1} w_ {2} -x_ {2} w_ {1} ,, y_ {1} w_ {2} -y_ {2} w_ {1} ,, z_ {1 } w_ {2} -z_ {2} w_ {1}.}$

Bu uch o'lchovli kosmosdagi bir hil chiziqli koordinatalar tizimining asosidir Plluker koordinatalari. Koordinatalar to'plamidagi oltita raqam faqat qo'shimcha tenglamani qondirganda chiziqni ifodalaydi. Ushbu tizim uch o'lchovli kosmosdagi chiziqlar makonini xaritaga keltiradi proektsion maydon RP⁵, lekin qo'shimcha talab bilan chiziqlar maydoni mos keladi Klein to'rtburchagi, bu a ko'p qirrali to'rtinchi o'lchov.

Umuman olganda, chiziqlar n-O'lchovli proektsion makon sistemasi tomonidan aniqlanadi n(n - 1) / 2 to'plamini qondiradigan bir hil koordinatalarn − 2)(n - 3) / 2 shartlari, natijada 2 o'lchamdagi manifold paydo bo'ladi (n − 1).

Murakkab raqamlar bilan

Isaak Yaglom ko'rsatdi^[1] Qanaqasiga juft raqamlar Evklid tekisligida yo'naltirilgan chiziqlar uchun koordinatalarni taqdim eting va split-kompleks sonlar uchun chiziq koordinatalarini shakllang giperbolik tekislik. Koordinatalar kelib chiqishi va unga mos yozuvlar chizig'ining mavjudligiga bog'liq. So'ngra, ixtiyoriy chiziq berilganida, uning mos yozuvlar chizig'i bilan kesishgan joyidan uning koordinatalari topiladi. Masofa s boshlanishidan kesishuvgacha va ikkita chiziq orasidagi moyillik burchagi ishlatiladi:

${displaystyle z = (an {frac {heta} {2}}) (1 + sepsilon)}$ ikkilik raqam^[1]:81 evklid chizig'i uchun va

${displaystyle z = (an {frac {heta} {2}}) (cosh s + jsinh s)}$ split-kompleks son^[1]:118 Lobachevski samolyotidagi chiziq uchun.

Lobachevskiy tekisligida mos yozuvlar chizig'iga ultraparallel chiziqlar mavjud bo'lganligi sababli, ularga koordinatalar ham kerak: noyob mavjud umumiy perpendikulyar, demoq s boshidan shu perpendikulyargacha bo'lgan masofa va d - mos yozuvlar va berilgan chiziq orasidagi segment uzunligi.

${displaystyle z = (anh {frac {d} {2}}) (sinh s + jcosh s)}$ ultraparallel chiziqni bildiradi.^[1]:118

Chiziq geometriyasining harakatlari bilan tasvirlangan chiziqli kasrli transformatsiyalar tegishli murakkab samolyotlarda.^[1]:87,123

Shuningdek qarang

• Robototexnika konvensiyalari

Adabiyotlar

• Beyker, Genri Frederik (1923), Geometriya asoslari. Jild 3. Qattiq geometriya. Kvadrikalar, kosmosdagi kubik egri chiziqlar, kubikli yuzalar., Kembrij kutubxonasi to'plami, Kembrij universiteti matbuoti, p. 56, ISBN  978-1-108-01779-4, JANOB  2857520. 2010 yilda qayta nashr etilgan.
• Jons, Alfred Klement (1912). Algebraik geometriyaga kirish. Klarendon. p. 390.