Bernulli lemnitsati - Lemniscate of Bernoulli

Bernulli va uning ikkita o'chog'i lemnitsati F₁ va F₂

Bernulli lemniscate bu pedal egri to'rtburchaklar giperbola

Sinusoidal spirallar: teng tomonli giperbola (

n = -2

), chiziq (

n = -1

), parabola (

n = - 1 / 2

), kardioid (

n = 1 / 2

), doira (

n = 1

) va Bernulli lemnitsati (

n = 2

), qaerda

r n = -1 n cos nθ

yilda qutb koordinatalari va ularning ekvivalentlari to'rtburchaklar koordinatalari.

Yilda geometriya, Bernulli lemnitsati a tekislik egri chizig'i berilgan ikkita nuqtadan aniqlanadi F₁ va F₂sifatida tanilgan fokuslar, 2 masofadav nuqtalarning joylashuvi sifatida bir-biridan P Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida PF₁·PF₂ = v². Egri chiziq 8 raqamiga va ga o'xshash shaklga ega ∞ belgi. Uning nomi lemniscatus, bu Lotin "osilgan lentalar bilan bezatilgan" uchun. Bu alohida holat Kassini oval va oqilona algebraik egri chiziq 4 daraja.

Bu lemnitsate birinchi marta 1694 yilda tasvirlangan Yakob Bernulli ning modifikatsiyasi sifatida ellips, bu lokus ning yig'indisi bo'lgan ballar masofalar ikkitasining har biriga diqqat markazlari a doimiy. A Kassini oval, aksincha, uchun nuqta joylashuvi mahsulot bu masofalar doimiydir. Egri chiziq fokuslar o'rtasida joylashgan nuqtadan o'tib ketadigan bo'lsa, oval Bernulli lemnitsati hisoblanadi.

Ushbu egri chiziqni quyidagicha olish mumkin teskari konvertatsiya a giperbola, inversiya bilan doira giperbolaning markazida joylashgan (uning ikkita fokusining bissektrisasi). Bundan tashqari, a tomonidan chizilgan bo'lishi mumkin mexanik bog'lanish shaklida Vattning aloqasi, bog'lashning uchta novdasining uzunligi va uning so'nggi nuqtalari orasidagi masofa a hosil qilish uchun tanlangan kesilgan parallelogram.^[1]

Tenglamalar

Tenglamalarni fokus masofasi bilan ifodalash mumkin v yoki yarim enli a lemniscate.Bu parametrlar quyidagicha bog'liq ${ displaystyle a = c { sqrt {2}}}$

Uning Kartezyen tenglama (tarjima va rotatsiyaga qadar):
${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = a ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2}) ,}$
${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = 2c ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2}) ,}$
Kabi parametrik tenglama:
${ displaystyle x = { frac {a cos (t)} {1+ sin ^ {2} (t)}}; qquad y = { frac {a sin (t) cos (t) } {1+ sin ^ {2} (t)}}}$
Yilda qutb koordinatalari:
${ displaystyle r ^ {2} = a ^ {2} cos 2 theta ,}$
Uning tenglamasi murakkab tekislik^[2] bu:
${ displaystyle | z-a || z-a | = a ^ {2} ,}$
Yilda ikki markazli bipolyar koordinatalar:
${ displaystyle rr '= a ^ {2} ,}$
Yilda ratsional qutb koordinatalari:
${ displaystyle Q = 2s-1 ,}$

Yoy uzunligi va elliptik funktsiyalar

Ning belgilanishi yoy uzunligi lemnitsat yoylariga olib keladi elliptik integrallar, o'n sakkizinchi asrda kashf etilganidek. Taxminan 1800 yilda elliptik funktsiyalar o'sha integrallarni teskari tomonga o'zgartirish C. F. Gauss (o'sha paytda asosan nashr etilmagan, ammo uning eslatmalaridagi ishora Disquisitiones Arithmeticae ). The davr panjaralari ga mutanosib ravishda juda maxsus shaklga ega Gauss butun sonlari. Shu sababli elliptik funktsiyalarning holati murakkab ko'paytirish tomonidan √−1 deyiladi lemniscatic case ba'zi manbalarda.

Elliptik integraldan foydalanish

{ displaystyle F (x) { stackrel { text {def}} {{} = {}}} int _ {0} ^ {x} { frac {dt} { sqrt {1-t ^ { 4}}}}}

yoy uzunligining formulasi ${ displaystyle L}$ kabi berilishi mumkin

{ displaystyle L = 2 { sqrt {2}} c int _ {- 1} ^ {1} { frac {dt} { sqrt {1-t ^ {4}}}} = 4 { sqrt {2}} cF (1) = { frac { Gamma (1/4) ^ {2}} { sqrt { pi}}} c taxminan 7 {.} 416 cdot c}

.

Burchaklar

Bernulli lemnissatidagi burchaklar orasidagi bog'liqlik

Lemnitsatda yuzaga keladigan burchaklar haqidagi quyidagi teorema nemis matematikasiga asoslanadi Gerxard Kristof Hermann Vechtmann, buni 1843 yil lemniscates haqidagi dissertatsiyasida tasvirlab bergan.^[3]

F₁ va F₂ lemnitsatning o'choqlari, O chiziq segmentining o'rta nuqtasi F₁F₂ va P lemniscate ustida birlashtiruvchi chiziq tashqarisidagi har qanday nuqta F₁ va F₂. Oddiy n lemniscate in P tutashtiruvchi chiziqni kesib o'tadi F₁ va F₂ yilda R. Endi uchburchakning ichki burchagi OPR O da uchburchakning tashqi burchagi uchdan biriga teng R. Bunga qo'shimcha ravishda ichki burchak P ichki burchakdan ikki baravar yuqori O.

Boshqa xususiyatlar

Giperbola inversiyasi lemnitsat hosil qiladi

Lemnitsat uning fokuslarini bog'laydigan chiziqqa nosimmetrikdir F₁ va F₂ va shuningdek, chiziq segmentining perpendikulyar bissektrisasiga F₁F₂.
Lemnitsat chiziq segmentining o'rta nuqtasiga nosimmetrikdir F₁F₂.
Lemnitsat bilan yopilgan maydon 2 ga tenga².
Lemnitsat bu aylana inversiyasi a giperbola va aksincha.
O'rtacha O nuqtadagi ikkita tegins ortogonaldir va ularning har biri burchak burchagi hosil qiladi ${ displaystyle { tfrac { pi} {4}}}$ chiziqli ulanish bilan F₁ va F₂.
Uning ichki ekvatoriga tegadigan standart torusning tekislikdagi kesmasi lemnitsatdir.