Li Shanlanning shaxsiyati - Li Shanlan identity

Yilda matematika, yilda kombinatorika, Li Shanlanning shaxsiyati (shuningdek, deyiladi Li Shanlanning yig'indisi formulasi) aniq kombinatorial shaxsiyat XIX asrga tegishli Xitoy matematikasi Li Shanlan.^[1] Li Shanlan Li Renshu nomi bilan ham tanilganligi sababli, bu shaxsiyat deb ham ataladi Li Renshu shaxsi.^[2] Ushbu shaxsiyat uchinchi bobda paydo bo'ladi Duoji bilei (垛 积 比 类 / 垛 積 比 纇, ma'nosi sonli qatorlarni yig'ish), matematik matn Li Shanlan tomonidan yozilgan va 1867 yilda to'plangan asarlari doirasida nashr etilgan. A Chex matematik Jozef Kaukiy 1964 yilda shaxsiyat tarixi bilan birga shaxsiyatning elementar isbotini nashr etdi.^[3] Kakki bu shaxsni ma'lum bir Li Jen-Shu bilan bog'ladi. Shaxsiyat tarixidan kelib chiqib, Li Jen-Shu aslida Li Shanlan ekanligi aniqlandi.^[1] G'arb olimlari tarixiy ahamiyati uchun Xitoy matematikasini o'rganib chiqishgan; ammo bu o'ziga xoslikni XIX asrdagi xitoylik matematikaga bog'lash xitoylik matematiklar asarlarining matematik qiymatini qayta ko'rib chiqishga sabab bo'ldi.^[2]

"G'arbda Li eng yaxshi an'anaviy xitoy matematik usullari yordamida olingan" Li Renshu identifikatori "deb nomlanuvchi kombinatorik formulasi bilan yodda qoldi."^[4]

Shaxsiyat

Li Shanlanning shaxsiyati buni ta'kidlaydi

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {p} {p ni tanlang k} ^ {2} {{n + 2p-k} ni tanlang {2p}} = {{n + p} p ni tanlang ^ {2}}$.

Li Shanlan bu kabi shaxsni taqdim etmadi. U buni an'anaviy xitoycha algoritmik va ritorik usulda taqdim etdi.^[5]

Shaxsiyatni tasdiqlovchi dalillar

Li Shanlan kimligini tasdiqlovchi hujjat bermagan Duoji bilei. Shanlan uchun begona tushunchalar, differentsial tenglamalar va Legendre polinomlaridan foydalangan holda birinchi dalil nashr etildi Pal Turan 1936 yilda va dalil xitoy tilida paydo bo'ldi Yung Chang 1939 yilda nashr etilgan qog'oz.^[2] O'shandan beri kamida o'n besh xil dalil topildi.^[2] Quyidagi eng oddiy dalillardan biri.^[6]

Dalil ifodalashdan boshlanadi ${ displaystyle n q tanlang$ kabi Vandermondening konvolyutsiyasi:

${ displaystyle {n ni tanlang q} = sum _ {k = 0} ^ {q} {{n-p} ni tanlang k} {p ni tanlang {q-k}}}$

Ikkala tomonni oldindan ko'paytirish ${ displaystyle n p ni tanlang$,

${ displaystyle {n tanlang p} {n ni tanlang q} = sum _ {k = 0} ^ {q} {n ni tanlang p} {{np} ni tanlang k} {p ni tanlang {qk}} }$.

Quyidagi munosabatdan foydalanib

${ displaystyle {n p} {{n-p} ni tanlang k} = {{p + k} ni tanlang k} {n ni tanlang {p + k}}}$

yuqoridagi munosabatni aylantirish mumkin

${ displaystyle {n ni tanlang p} {n ni tanlang q} = sum _ {k = 0} ^ {q} {p tanlang {qk}} {{p + k} ni tanlang k} {n ni tanlang {p + k}}}$.

Keyinchalik munosabatlar

${ displaystyle {p ni tanlang {q-k}} {{p + k} ni tanlang {k}} = {q tanlang k} {{p + k} ni tanlang {q}}}$

olish uchun ishlatiladi

${ displaystyle {n ni tanlang p} {n ni tanlang q} = sum _ {k = 0} ^ {q} {q ni tanlang k} {n ni tanlang {p + k}} {{p + k} q}} ni tanlang$.

Vandermondaning konvolyutsiyasini yana bir qo'llaydi

${ displaystyle {{p + k} ni tanlang q} = sum _ {j = 0} ^ {q} {p ni tanlang j} {k ni tanlang {q-j}}}$

va shuning uchun

${ displaystyle {n tanlang p} {n ni tanlang q} = sum _ {k = 0} ^ {q} {q ni tanlang k} {n ni tanlang {p + k}} sum _ {j = 0} ^ {q} {p select j} {k select {qj}}}$

Beri ${ displaystyle p select j}$ dan mustaqildir k, bu shaklga qo'yish mumkin

${ displaystyle {n ni tanlang p} {n ni tanlang q} = sum _ {j = 0} ^ {q} {p ni tanlang j} sum _ {k = 0} ^ {q} {q ni tanlang k} {n select {p + k}} {k select {qj}}}$

Keyingi, natija

${ displaystyle {q ni tanlang k} {k ni tanlang {q-j}} = {q ni tanlang j} {j ni tanlang {q-k}}}$

beradi

${ displaystyle {n ni tanlang p} {n ni tanlang q} = sum _ {j = 0} ^ {q} {p ni tanlang j} sum _ {k = 0} ^ {q} {q ni tanlang j} {j ni tanlang {qk}} {n ni tanlang {p + k}}}$

${ displaystyle = sum _ {j = 0} ^ {q} {p ni tanlang j} {q tanlang j} sum _ {k = 0} ^ {q} {j ni tanlang {qk}} {n tanlang {p + k}}}$

${ displaystyle = sum _ {j = 0} ^ {q} {p ni tanlang j} {q ni tanlang j} {{n + j} ni tanlang {p + q}}}$

O'rnatish p = q va almashtirish j tomonidan k,

${ displaystyle {n p} ^ {2} = sum _ {k = 0} ^ {p} {p select k} ^ {2} {{n + k} select {2p}}}$

Lining shaxsiyati shundan kelib chiqib, almashtirish orqali amalga oshiriladi n tomonidan n + p va natijada paydo bo'lgan iborada atamalarni biroz o'zgartirishni amalga oshirish:

${ displaystyle {{n + p} select p} ^ {2} = sum _ {k = 0} ^ {p} {p select k} ^ {2} {{n + 2p-k} select {2p}}}$

Yoqilgan Duoji bilei

Atama duoji qoziqlar yig'indisini hisoblashning ma'lum an'anaviy xitoy usulini bildiradi. XVI asrdan beri Xitoyda rivojlangan matematikaning aksariyati duoji usul. Li Shanlan ushbu usulning eng katta namoyandalaridan biri edi Duoji bilei uning ushbu uslub bilan bog'liq ekspozitsiyasi. Duoji bilei to'rt bobdan iborat: 1-bobda uchburchak qoziqlar, 2-bobda cheklangan kuchlar qatori, 3-bobda uchburchak o'z-o'zidan ko'payadigan qoziqlar va 4-bobda o'zgartirilgan uchburchak qoziqlar bilan bog'liq.^[7]

Adabiyotlar