Sonli o'lchovli Nichols algebralari ro'yxati - List of finite-dimensional Nichols algebras - Wikipedia

Matematikada a Nichols algebra a Hopf algebra a to'quv toifasi ob'ektga tayinlangan V ushbu toifadagi (masalan, a naqshli vektor maydoni ). Nichols algebra - ning bir qismi tensor algebra ning V ma'lum narsadan zavqlanish universal mulk va odatda cheksiz o'lchovlidir. Nichols algebralari har qanday ishorali Hopf algebrasida tabiiy ravishda uchraydi va muhim holatlarda ularni tasniflashga imkon beradi.^[1] Nichols algebralari uchun eng taniqli misollar bu Borel qismlari ${ displaystyle U_ {q} ({ mathfrak {g}}) ^ {+}}$ cheksiz o'lchovli kvant guruhlari qachon q birlikning ildizi emas va cheklangan o'lchovli Nichol algebralarining birinchi misollari Borel qismlari ${ displaystyle u_ {q} ({ mathfrak {g}}) ^ {+}}$ Frobenius-Lusztig yadrosi (kichik kvant guruhi) qachon q birlikning ildizi.

Quyidagi maqolada ma'lum bo'lgan barcha cheklangan o'lchovli algebralar ro'yxati keltirilgan ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ qayerda ${ displaystyle V}$ a Yetter-Drinfel'd moduli cheklangan guruh ustidan ${ displaystyle G}$, bu erda guruh qo'llab-quvvatlash orqali hosil bo'ladi ${ displaystyle V}$. Nichols algebralari haqida batafsil ma'lumotni qarang Nichols algebra.

• Ikkita asosiy holat mavjud:
  • ${ displaystyle G}$ abeliya, bu shuni anglatadiki ${ displaystyle V}$ diagonal ravishda to'qilgan ${ displaystyle x_ {i} otimes x_ {j} mapsto q_ {ij} x_ {j} otimes x_ {i}}$.
  • ${ displaystyle G}$ nonabelian.
• The daraja qisqartirilmaydigan chaqiriqlar soni ${ displaystyle V = bigoplus _ {i in I} V_ {i}}$ Yarim sodda Yetter-Drinfel'd modulida ${ displaystyle V}$.
• The qisqartirilmaydigan chaqiriqlar ${ displaystyle V_ {i} = { mathcal {O}} _ {[g]} ^ { chi}}$ ularning har biri a bilan bog'langan konjuge sinf ${ displaystyle [g] subset G}$ va qisqartirilmaydigan vakillik ${ displaystyle chi}$ markazlashtiruvchi ${ displaystyle operatorname {Cent} (g)}$.
• Nikollarning har qanday algebrasida mavjud ^[2] biriktirilgan
  • umumlashtirilgan ildiz tizimi va Veyl guruhi. Ular tasniflanadi.^[3]
  • Jumladan bir nechta Dynkin diagrammasi (Veyl kameralarining tengsiz turlari uchun). Har bir Dynkin diagrammasida kamaytirilmaydigan bitta tepalik bor ${ displaystyle V_ {i}}$ va qirralarning ularning Nichols algebraidagi to'qilgan komutatorlariga qarab.
• The Hilbert seriyasi darajalangan algebra ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ berilgan. Kuzatuv shundaki, u har bir holatda ko'pburchaklarga bo'linadi ${ displaystyle (n) _ {t}: = 1 + t + t ^ {2} + cdots + t ^ {n-1}}$. Biz faqat Xilbert seriyasini va Nichols algebrasining o'lchamlarini xarakterli ravishda beramiz ${ displaystyle 0}$.

E'tibor bering, Nikols algebrasi faqat to'qilgan vektor makoniga bog'liq ${ displaystyle V}$ va shuning uchun turli xil guruhlar bo'yicha amalga oshirilishi mumkin. Ba'zida har xil bo'lgan ikki yoki uchta Nichol algebralari mavjud ${ displaystyle V}$ va izomorf bo'lmagan Nichols algebrasi, ular bir-biri bilan chambarchas bog'liq (masalan, bir-birining koksikl burilishlari). Ular bir xil ustundagi turli konjugatsiya sinflari tomonidan berilgan.

Tasniflash holati

(2015 yil holatiga ko'ra)

O'rnatilgan tasniflash natijalari

• Sonli o'lchovli diagonal Nichols algebralarini kompleks sonlar bo'yicha Gekkenberger tomonidan tasniflangan.^[4] O'zboshimchalik xususiyatiga ega bo'lgan voqea - Vangning Hekkenbergerning doimiy ishi.^[5]
• Yarimo'lamli Yetter-Drinfel'd modullari sonli o'lchovli Nichols algebralari> 1 darajali, cheklangan nonabelian guruhlarga nisbatan (qo'llab-quvvatlash tomonidan yaratilgan) Hekkenberger va Vendramin tomonidan tasniflangan.^[6]

Salbiy mezonlar

Nonabel guruhi bo'yicha 1-darajali ish (qisqartirilmaydigan Yetter-Drinfel'd moduli) hali ham ochiq bo'lib, bir nechta misollar ma'lum emas.

Andruskievits va boshqalar tomonidan cheksiz o'lchovli algebralarga olib keladigan subrakkalarni (masalan, diagonal) topish orqali katta yutuqlarga erishildi. 2015 yildan boshlab ma'lum guruhlar emas cheklangan o'lchovli Nichol algebralarini tan olish ^[7][8]

• uchun o'zgaruvchan guruhlar ${ displaystyle mathbb {A} _ {n geq 5}}$ ^[9]
• uchun nosimmetrik guruhlar ${ displaystyle mathbb {S} _ {n geq 6}}$ misollarning qisqa ro'yxatidan tashqari^[9]
• biroz yolg'on turi guruhi ko'pchilik kabi ${ displaystyle PSL_ {n} ( mathbb {F} _ {q})}$^[10] va unipotent sinflarning aksariyati ${ displaystyle Sp_ {2n} ( mathbb {F} _ {q})}$^[11]
• barchasi sporadik guruhlar imkoniyatlarning qisqa ro'yxati bundan mustasno (ATLAS belgisidagi resp. konjugatsiya sinflari), barchasi haqiqiy yoki j = 3-kvazira:
  • ...uchun Fisher guruhi ${ displaystyle Fi_ {22} ;}$ sinflar ${ displaystyle 22A, 22B ;}$
  • ...uchun bolalar hayvonlar guruhi B sinflar ${ displaystyle 16C, ; 16D, ; 32A, ; 32B, ; 32C, ; 32D, ; 34A, ; 46A, ; 46B ;}$
  • ...uchun hayvonlar guruhi M sinflar ${ displaystyle 32A, ; 32B, ; 46A, ; 46B, ; 92A, ; 92B, ; 94A, ; 94B ;}$

Odatda D tipidagi konjugatsiya sinflarining katta miqdori ("etarli darajada komutativ emas"), boshqalari etarlicha abeliya subkastrlariga egalik qiladi va ularni hisobga olgan holda chiqarib tashlanishi mumkin. Bir nechta holatlar qo'lda bajarilishi kerak. E'tibor bering, ochiq holatlarda juda kichik markazlashtiruvchilar (odatda tsiklik) va χ (odatda 1 o'lchovli belgi vakili) tasvirlari mavjud. Muhim istisnolar - markazlashtiruvchilar sifatida qatnashadigan 16, 32-sonli konjugatsiya sinflari p guruhlari 2048 ta buyurtma bo'yicha. 128 ga teng va hozirda χ uchun cheklovlar yo'q.

Abeliya guruhlari ustidan

Sonli o'lchovli diagonali Nichols algebralari kompleks sonlar bo'yicha Gekkenberger tomonidan tasniflangan ^[4] to'qish matritsasi nuqtai nazaridan ${ displaystyle q_ {ij}}$, aniqrog'i ma'lumotlar ${ displaystyle q_ {ii}, q_ {ij} q_ {ji}}$. Kichik kvant guruhlari ${ displaystyle u_ {q} ({ mathfrak {g}}) ^ {+}}$ bu alohida holat ${ displaystyle q_ {ij} = q ^ {( alfa _ {i}, alfa _ {j})}}$, ammo 2,3,4,5,7 sonlarini o'z ichiga olgan bir nechta istisno misollar mavjud.

So'nggi paytlarda boshqa misollarni cheklangan xarakterdagi istisno Lie algebralari va super Lie algebralari sifatida tushunish rivojlandi.

Nonabelian guruhga nisbatan> 1-daraja

Kokseter guruhlaridan Nichols algebralari

Har bir cheklangan kokseter tizimi uchun ${ displaystyle (W, S)}$ aks ettirishlarning konjugatsiya sinfi (lar) ustidagi Nikols algebrasi o'rganilgan ^[12] (turli uzunlikdagi ildizlarning aksi konjuge emas, to'rtinchi misolga qarang). Ular shu yo'l bilan nonabel guruhlari bo'yicha quyidagi birinchi Nikols algebralarini topdilar:

Ildiz tizimining darajasi, turi ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {2}}$
Ning o'lchami ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 6}$	${ displaystyle 10}$	${ displaystyle 2 + 2}$
Nichols algebra (lar) ning o'lchami	${ displaystyle 12}$	${ displaystyle 576 ; = 24 ^ {2}}$	${ displaystyle 8294400}$	${ displaystyle 64}$
Hilbert seriyasi	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t}}$	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} ^ {2} (4) _ {t} ^ {2}}$	${ displaystyle (4) _ {t} ^ {4} (5) _ {t} ^ {2} (6) _ {t} ^ {4}}$	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {4} (2) _ {t ^ {2}} ^ {2}}$
Eng kichik guruh	Nosimmetrik guruh ${ displaystyle ; mathbb {S} _ {3}}$	Nosimmetrik guruh ${ displaystyle ; mathbb {S} _ {4}}$	Nosimmetrik guruh ${ displaystyle ; mathbb {S} _ {5}}$	Dihedral guruh ${ displaystyle ; mathbb {D} _ {4}}$
... va konjugatsiya darslari	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(1234)} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1}, quad { mathcal {O }} _ {(12)} ^ {- 1 otimes operator nomi {sgn}}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1 otimes operatorname {sgn}}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {b} ^ { epsilon} oplus { mathcal {O}} _ {a ^ {2} b} ^ { epsilon}, quad { mathcal {O }} _ {b} ^ {sgn} oplus { mathcal {O}} _ {a ^ {2} b} ^ {sgn}}$
Manba	[12]	[12][13]	[12][14]	[12]
Izohlar	Kirilov-Fomin algebralari			2-darajadagi ushbu eng kichik nabel bo'lmagan algebra shunday ${ displaystyle Gamma _ {2}}$ tasnifda.[6][15] U cheksiz qatorning eng kichik namunasi sifatida qurilishi mumkin ${ displaystyle A_ {n}}$ dan ${ displaystyle A_ {n} kubok A_ {n}}$, qarang.[16]

Ish ${ displaystyle mathbb {S} _ {2} cong mathbb {Z} _ {2}}$ 1-darajali diagonali Nichols algebra ${ displaystyle u_ {i} (A_ {1}) ^ {+}}$ o'lchov 2.

1-darajali boshqa Nichollar algebralari

Ildiz tizimining darajasi, turi ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$
Ning o'lchami ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 7}$
Nichols algebra (lar) ning o'lchami	${ displaystyle 72}$	${ displaystyle 5,184}$	${ displaystyle 1,280}$	${ displaystyle 326,592}$
Hilbert seriyasi	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} (6) _ {t}}$	${ displaystyle (6) _ {t} ^ {4} (2) _ {t ^ {2}} ^ {2}}$	${ displaystyle (4) _ {t} ^ {4} (5) _ {t}}$	${ displaystyle (6) _ {t} ^ {6} (7) _ {t}}$
Eng kichik guruh	Maxsus chiziqli guruh ${ displaystyle SL_ {2} (3)}$ o'zgaruvchan guruhni kengaytirish ${ displaystyle mathbb {A} _ {4}}$		Affin chiziqli guruh ${ displaystyle mathbb {Z} _ {5} rtimes mathbb {Z} _ {5} ^ { times}}$	Affin chiziqli guruh ${ displaystyle mathbb {Z} _ {7} rtimes mathbb {Z} _ {7} ^ { times}}$
... va konjugatsiya darslari	${ displaystyle { mathcal {O}} _ { begin {pmatrix} -1 & 1 0 & -1 end {pmatrix}} ^ {- 1}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}} ^ { zeta _ {6}}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {i rtimes 2} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {i rtimes 3} ^ {- 1}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {i rtimes 3} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {i rtimes 5} ^ {- 1}}$
Manba	[17]	[18]	[13]
Izohlar	Ushbu Nikols algebrasini o'z ichiga olgan 2-darajali Nikols algebrasi mavjud	Ko'pgina kubik (lekin ko'p bo'lmagan kvadratik) munosabatlarga ega bo'lgan yagona misol.	Affin tokchalari

Nichols 2-darajali algebralar, Gamma-3 turi

Ushbu Nichols algebralari Hekkenberger va Vendramin tasnifi paytida topilgan.^[19]

			faqat xarakterli 2da
Ildiz tizimining darajasi, turi ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle B_ {2}, B_ {2}}$	${ displaystyle B_ {2}, B_ {2}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} 2 & -2 - 2 & 2 end {pmatrix}}}$${ displaystyle { begin {pmatrix} 2 & -2 - 1 & 2 end {pmatrix}}}$${ displaystyle { begin {pmatrix} 2 & -4 - 1 & 2 end {pmatrix}}}$
Ning o'lchami ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 3 + 2}$	${ displaystyle 3 + 1}$ resp. ${ displaystyle 3 + 2}$	${ displaystyle 3 + 1}$ resp. ${ displaystyle 3 + 2}$
Nichols algebra (lar) ning o'lchami	${ displaystyle 2,304}$	${ displaystyle 10,368}$	${ displaystyle 2,239,488}$
Hilbert seriyasi	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} cdot (2) _ {t} ^ {2}}$	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} cdot (6) _ {t}}$${ displaystyle cdot (2) _ {t ^ {2}} ^ {2} (3) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t ^ {3}} (6) _ {t ^ {3}}}$
Eng kichik guruh va konjugatsiya sinfi	${ displaystyle mathbb {S} _ {3} times mathbb {Z} _ {2}}$	${ displaystyle mathbb {S} _ {3} times mathbb {Z} _ {6}}$
... va konjugatsiya darslari	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1,1} oplus { mathcal {O}} _ { {z }} ^ {1, sigma _ {2} }}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1, zeta _ {6}} oplus { mathcal {O}} _ { {z }} ^ {1, zeta _ {6} ^ {- 1}}}$
Manba	[19]	[19]	[19]
Izohlar	Faqatgina 2 o'lchovli qisqartirilmaydigan tasavvurga ega bo'lgan misol ${ displaystyle sigma}$	Ushbu Nikols algebrasini kengaytiradigan 3-darajali Nikols algebrasi mavjud	Faqat xarakteristikada 2. 6 ta ildizi bo'lgan "Lie" bo'lmagan ildiz tizimiga ega.

Gamma-4 turidagi 2-darajali Nichols algebrasi

Ushbu Nikols algebrasi Hekkenberger va Vendramin tasnifi paytida topilgan.^[19]

Ildiz tizimi	${ displaystyle B_ {2}}$
Ning o'lchami ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 2 + 4}$
Nichols algebra o'lchovi	${ displaystyle 262,144 ; = 2 ^ {18}}$
Hilbert seriyasi	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (2) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t} ^ {4} (2) _ {t ^ {2}} ^ {2} cdot (2) _ {t ^ {2}} ^ {4} (2 ^ {2}) _ {t ^ {4}} ^ {2} cdot (2) _ {t ^ {3 }} ^ {2} (2) _ {t ^ {6}}}$
Eng kichik guruh	${ displaystyle { tilde { mathbb {D}}} _ {8}}$ (yarim yarim guruh)
... va konjugatsiya sinfi	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {[h]} ^ {- 1} oplus { mathcal {O}} _ {[g]} ^ { zeta _ {8}}}$
Izohlar	Ushbu Nikols algebrasida joylashgan har ikkala 1-darajali Nikollar algebrasi o'zlarining qo'llab-quvvatlanishiga qarab parchalanadi: Kokseter guruhi ustidagi Nikols algebrasiga chap tugun ${ displaystyle mathbb {D} _ {4}}$, diagonali Nichols algebrasiga to'g'ri tugun ${ displaystyle A_ {2}}$.

T tipidagi 2-darajali Nichols algebra

Ushbu Nikols algebrasi Hekkenberger va Vendramin tasnifi paytida topilgan.^[19]

Ildiz tizimi	${ displaystyle G_ {2}}$
Ning o'lchami ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 1 + 4}$
Nichols algebra o'lchovi	${ displaystyle 80,621,568}$
Hilbert seriyasi	${ displaystyle (6) _ {t} cdot (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} (6) _ {t} cdot (2) _ {t ^ {2}} ^ {2} (3) _ {t ^ {2}} (6) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t ^ {3}} ^ {2} (3) _ {t ^ {3}} (6) _ {t ^ {3}} cdot (6) _ {t ^ {4}} cdot (6) _ {t ^ {5}}}$
Eng kichik guruh	${ displaystyle mathbb {Z} _ {6} times SL_ {2} (3)}$
... va konjuge sinf	${ displaystyle { mathcal {O}} _ { {z }} ^ { zeta _ {6}, zeta _ {6} ^ {- 1}} oplus { mathcal {O}} _ { begin {pmatrix} -1 & 1 0 & -1 end {pmatrix}} ^ {1, -1}}$
Izohlar	Ushbu Nichols algebrasida joylashgan 1-darajali Nichols algebra uning qo'llab-quvvatlanishiga qarab kamaytirilmaydi ${ displaystyle SL_ {2} (3)}$ va yuqorida topish mumkin.

Gamma-3 bilan bog'liq 3-darajali Nichols algebra

Ushbu Nikols algebrasi Hekkenberger va Vendramin tasnifi paytida topilgan so'nggi Nikols algebrasi edi.^[6]

Ildiz tizimi	13 darajadan iborat 3-darajali 9-raqam [3]
Ning o'lchami ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 3 + 2 + 1}$ resp. ${ displaystyle 3 + 1 + 1}$
Nichols algebra o'lchovi	${ displaystyle 1,671,768,834,048}$
Hilbert seriyasi	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} cdot (6) _ {t} cdot (6) _ {t} cdot (2) _ {t ^ {2 }} ^ {2} (3) _ {t ^ {2}} cdot (6) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t ^ {3}} (6) _ {t ^ {3}} cdot (2) _ {t ^ {3}} ^ {2} (3) _ {t ^ {3}}}$${ displaystyle cdot (2) _ {t ^ {4}} (6) _ {t ^ {4}} cdot (2) _ {t ^ {5}} (6) _ {t ^ {5} } cdot (2) _ {t ^ {6}} ^ {2} (3) _ {t ^ {6}} cdot (6) _ {t ^ {7}} cdot (6) _ {t ^ {8}} cdot (6) _ {t ^ {9}}}$
Eng kichik guruh	${ displaystyle mathbb {S} _ {3} times mathbb {Z} _ {6} times mathbb {Z} _ {6}}$
... va konjugatsiya sinfi	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1, zeta _ {6}, 1} oplus { mathcal {O}} _ { {z }} ^ {1 , zeta _ {6} ^ {- 1}, 1} oplus { mathcal {O}} _ { {w }} ^ {1, zeta _ {6}, zeta _ {6} ^ {-1}}}$
Izohlar	Ikkala chap tugun tomonidan hosil qilingan 2-darajali Nichols algebra turi ${ displaystyle Gamma _ {3}}$ va yuqorida topish mumkin. Ikki o'ng tugun tomonidan hosil qilingan 2-darajali Nichols algebrasi yoki diagonali ${ displaystyle A_ {2}}$ yoki ${ displaystyle A_ {3}}$.

Diagramma katlamasidan Nichols algebralari

Lentner tomonidan quyidagi Nichols algebralari oilalari diagramma katlama yordamida qurilgan,^[16] faqat xarakterli 3da paydo bo'lgan to'rtinchi misol Hekkenberger va Vendramin tasnifi paytida topilgan.^[6]

Qurilish ma'lum bo'lgan Nichols algebra (bu erda kvant guruhlari bilan bog'liq bo'lgan diagonali) va Dynkin diagrammasining qo'shimcha avtomorfizmi bilan boshlanadi. Shunday qilib, ikkita asosiy holat - bu avtomorfizm ajratilgan ikkita nusxani almashtiradimi yoki bog'langan Dynkin diagrammasining to'g'ri diagrammasi avtomorfizmi. Olingan ildiz tizimi asl ildiz tizimining katlamasi / cheklanishi.^[20] Qurilishi bo'yicha generatorlar va munosabatlar diagonal holatdan ma'lum.

				faqat xarakterli 3
Ildiz tizimining darajasi, turi ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle A_ {n}, ; n geq 2}$	${ displaystyle D_ {n}, ; n geq 4}$	${ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}}$	${ displaystyle B_ {n}, ; n geq 2}$
Ushbu diagonali Nichol algebrasidan tuzilgan ${ displaystyle q_ {ij} = pm 1}$	${ displaystyle A_ {n} marta A_ {n}}$	${ displaystyle D_ {n} marta D_ {n}}$	${ displaystyle E_ {n} marta E_ {n}}$	${ displaystyle B_ {n} marta B_ {n}}$ xarakterli 3.
Ning o'lchami ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$
Nichols algebra (lar) ning o'lchami	${ displaystyle chap (2 ^ {n + 1 tanlang 2} o'ng) ^ {2}}$	${ displaystyle chap (2 ^ {n (n-1)} o'ng) ^ {2}}$	${ displaystyle chap (2 ^ {36} o'ng) ^ {2}, ; chap (2 ^ {63} o'ng) ^ {2}, ; chap (2 ^ {120} o'ng) ^ {2}}$	${ displaystyle chap (3 ^ {n (n-1)} 2 ^ {n} o'ng) ^ {2}}$
Hilbert seriyasi	Tegishli diagonal Nichols algebra bilan bir xil
Eng kichik guruh	Qo'shimcha maxsus guruh (resp. deyarli extraspecial) bilan ${ displaystyle 2 ^ {n + 1}}$ elementlar bundan mustasno ${ displaystyle D_ {n}, ; 2 | n}$ buyurtma markazi kattaroq bo'lgan o'xshash guruhni talab qiladi ${ displaystyle 2 ^ {3}}$.
Manba	[16]			[6]
Izohlar				Taxminlarga ko'ra, diagonali Nichols algebrasining katlamasi ${ displaystyle B_ {n}}$ bilan ${ displaystyle q = pm 1}$ bu 3-xarakteristikada istisno bo'lib ko'rinadi.

Quyidagi ikkitasi bog'langan Dynkin diagrammalarining to'g'ri avtomorfizmlari natijasida olinadi ${ displaystyle {^ {2}} A_ {2n-1}, {^ {2}} E_ {6}}$

Ildiz tizimining darajasi, turi ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle C_ {n}, ; n geq 3}$	${ displaystyle F_ {4}}$
Ushbu diagonali Nichol algebrasidan tuzilgan ${ displaystyle q_ {ij} = pm 1}$	${ displaystyle A_ {2n-1}}$	${ displaystyle E_ {6}}$
Ning o'lchami ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 1 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 1 + 1 + 2 + 2}$
Nichols algebra (lar) ning o'lchami	${ displaystyle 2 ^ {2n ni tanlang 2}}$	${ displaystyle 2 ^ {36} = 68,719,476,736}$
Hilbert seriyasi	Tegishli diagonal Nichols algebra bilan bir xil	Tegishli diagonal Nichols algebra bilan bir xil ${ displaystyle (2) _ {t} ^ {6} (2) _ {t ^ {2}} ^ {5} (2) _ {t ^ {3}} ^ {5} (2) _ {t ^ {4}} ^ {5} (2) _ {t ^ {5}} ^ {4} (2) _ {t ^ {6}} ^ {3}}$${ displaystyle cdot (2) _ {t ^ {7}} ^ {3} (2) _ {t ^ {8}} ^ {2} (2) _ {t ^ {9}} (2) _ {t ^ {10}} (2) _ {t ^ {11}}}$
Eng kichik guruh	Buyurtma guruhi ${ displaystyle 2 ^ {n + 1}}$ tartibning kattaroq markazi bilan ${ displaystyle 2 ^ {2}}$ resp. ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ (uchun ${ displaystyle n}$ hatto resp. g'alati)	Buyurtma guruhi ${ displaystyle 2 ^ {4 + 1}}$ tartibning kattaroq markazi bilan ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ ya'ni ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2} times mathbb {Z} _ {2} times mathbb {D} _ {4}}$
... va konjuge sinf		${ displaystyle { mathcal {O}} _ { {z_ {1} }} oplus { mathcal {O}} _ { {z_ {2} }} oplus { mathcal {O}} _ {[x_ {1}]} oplus { mathcal {O}} _ {[y_ {1}]}}$
Manba	[16]

Kabi yana bir nechta katlama mavjudligini unutmang ${ displaystyle {^ {3}} D_ {4}, {^ {2}} D_ {n}}$ va ba'zilari Lie turiga mansub emas, lekin ular qo'llab-quvvatlash guruhni yaratish shartini buzadi.

Hozirgacha ma'lum bo'lgan barcha Nikols algebralari aks etgan plakat

(Simon Lentner, Gamburg universiteti, iltimos, ushbu masalada sharhlar / tuzatishlar / istaklarni yozing: simon.lentner uni-hamburg.de saytida)

Adabiyotlar