Madhava seriyasi - Madhava series

Yilda matematika, a Madhava seriyasi yoki Leybnits seriyasi to'plamdagi har qanday seriyalardan biri cheksiz qator bularning barchasi tomonidan topilgan deb hisoblanadigan iboralar Sangamagramaning Madhavasi (taxminan 1350 - 1425 yillarda), asoschisi Kerala astronomiya va matematika maktabi va keyinchalik Gotfrid Vilgelm Leybnits, Boshqalar orasida. Ushbu iboralar Maklaurin seriyasi trigonometrik kengayishlar sinus, kosinus va arktangens funktsiyalari va arktangens funktsiyasining quvvat seriyali kengayishining maxsus holati, π hisoblash uchun formulani beradi. Sinus va kosinus funktsiyalarining quvvat seriyali kengayishi mos ravishda deyiladi Madxavaning sinuslar seriyasi va Madxavaning kosinus seriyasi. Arktangens funktsiyasining quvvat seriyali kengayishi ba'zan chaqiriladi Madhava - Gregori seriyasi^[1][2] yoki Gregori-Madhava seriyasi. Ushbu quvvat seriyalari birgalikda ham deyiladi Teylor-Madhava seriyasi.^[3] Π formulasi quyidagicha ataladi Madxava–Nyuton seriyali yoki Madxava–Leybnits seriyali yoki Leybnits pi uchun formulasi yoki Leybnits-Gregori-Madhava seriyalari.^[4] Turli seriyalar uchun ushbu keyingi nomlar G'arbiy tegishli seriyalarning kashfiyotchilari yoki ommalashtiruvchilari.

Hosilalar summa, o'zgarish tezligi va interpolatsiya kabi ko'plab hisob-kitoblarga oid tushunchalardan foydalanadilar, bu hind matematiklari Evropada ishlab chiqilishidan ancha oldin chegara tushunchasi va hisoblash asoslarini yaxshi tushunganligini anglatadi. Hind matematikasining shu paytgacha bo'lgan boshqa dalillari, masalan, cheksiz qatorlarga qiziqish va asosiy o'nlik tizimdan foydalanish, shuningdek, hisob-kitoblarning Evropada tanilganidan deyarli 300 yil oldin Hindistonda rivojlanishi mumkin edi.^[5]

Madhavaning saqlanib qolgan biron bir asarida hozirgi paytda Madhava seriyasi deb ataladigan iboralar to'g'risida aniq bayonotlar mavjud emas. Biroq, keyingi a'zolari yozishda Kerala astronomiya va matematika maktabi kabi Nilakantha Somayaji va Jyeshtadeva ushbu ketma-ketliklarning Madhavaga aniq atributlarini topish mumkin. Keyinchalik bu astronomlar va matematiklarning asarlarida ushbu qator kengayishlarning hind dalillarini kuzatish mumkin. Ushbu dalillar Madxavaning ketma-ket kengayishiga erishish uchun qanday yondashganligi to'g'risida etarli ma'lumot beradi.

Oldingi madaniyatlarning ko'pchiligidan farqli o'laroq, abadiylik tushunchasi haqida juda asabiylashgan, Madhava cheksiz, ayniqsa cheksiz seriyalar bilan o'ynashdan juda xursand edi. U qanday qilib 1 raqamini yarim plyusga to'rtdan bir plyusga va sakkizinchi plyusga o'n oltinchi va hokazolarni qo'shish orqali yaqinlashtirish mumkinligini ko'rsatgan bo'lsa ham (qadimgi misrliklar va yunonlar ham bilganidek), aniq 1 ga faqat erishish mumkin cheksiz ko'p fraktsiyalarni qo'shish. Ammo Madhava yana oldinga bordi va cheksiz qator g'oyasini geometriya va trigonometriya bilan bog'ladi. U cheksizlikka har xil toq sonli kasrlarni ketma-ket qo'shish va ayirish orqali aniq formulaga asoslanishini tushundi. pi (bu Leybnits Evropada shunday xulosaga kelishidan ikki asr oldin bo'lgan).^[6]

Madhava seriyasi zamonaviy yozuvlarda

Matematiklari va astronomlari asarlarida Kerala maktabi, Madxavaning seriyalari o'sha paytdagi moda terminologiyasida va tushunchalarida tasvirlangan. Ushbu g'oyalarni zamonaviy matematikaning yozuvlari va tushunchalariga aylantirganda, Madxava seriyasining hozirgi ekvivalentlarini olamiz. Madxava tomonidan kashf etilgan cheksiz qatorli ifodalarning hozirgi o'xshashlari quyidagilar:

Madhava seriyasi "Madhavaning o'z so'zlari bilan"

Madhavaning unga tegishli bo'lgan qator iboralarni o'z ichiga olgan biron bir asari saqlanib qolmagan. Ushbu ketma-ket iboralar Madhava izdoshlarining asarlarida uchraydi Kerala maktabi. Ko'p joylarda ushbu mualliflar "Madhava aytganidek" ekanligini aniq ta'kidladilar. Shunday qilib topilgan turli xil seriyalar Tantrasamgraha va uning sharhlarini ishonchli tarzda "Madxavaning so'zlari" bilan taxmin qilish mumkin. Da keltirilgan tegishli oyatlarning tarjimalari Yuktidipika sharhi Tantrasamgraha (shuningdek, nomi bilan tanilgan Tantrasamgraha-vyaxya) tomonidan Sankara Variari (taxminan 1500 - 1560-yillar) quyida keltirilgan. Keyinchalik ular joriy matematik yozuvlarda ko'rsatiladi.^[8][9]

Madxavaning sinuslar seriyasi

Madhavaning o'z so'zlari bilan aytganda

Madhavaning sinuslar seriyasi 2.440 va 2.441 oyatlarida bayon etilgan Yukti-dipika sharh (Tantrasamgraha-vyaxya) tomonidan Sankara Variari. Oyatlarning tarjimasi quyidagicha.

Yoyni yoyning kvadratiga ko'paytiring va takrorlash natijasini oling (istalgan son). (Yuqoridagi raqamlarning har birini) ketma-ket juft sonlarning kvadratlariga bo'linib, shu songa ko'paytirildi va radius kvadratiga ko'paytirildi. Yoyni va natijada olingan natijalarni bir-birining ostiga qo'ying va har birini yuqoridagi qismdan chiqaring. Bular birgalikda "vidvan" va boshqalar bilan boshlangan oyatda to'plangan jiva beradi.

Zamonaviy yozuvlarda taqdim etish

Ruxsat bering r doira radiusini belgilang va s yoy uzunligi.

• Avval quyidagi numeratorlar hosil bo'ladi:

${ displaystyle s cdot s ^ {2}, qquad s cdot s ^ {2} cdot s ^ {2}, qquad s cdot s ^ {2} cdot s ^ {2} cdot s ^ {2}, qquad cdots}$

• Keyin ular oyatda ko'rsatilgan miqdorlarga bo'linadi.

${ displaystyle s cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}}, qquad s cdot { frac {s ^ {2}} { (2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} +4) r ^ {2}}}, qquad s cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} +4) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(6 ^ {2} +6) r ^ {2}}}, qquad cdots}$

• Yoyni va natijada olingan natijalarni bir-birining ostiga qo'ying va har birini yuqoridagi ko'rsatkichdan chiqarib oling jiva:

${ displaystyle { text {jiva}} = s- left [s cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} - left [ s cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} +) 4) r ^ {2}}} - left [s cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} +4) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(6 ^ {2} +6) r ^ {2}} } - cdots right] right] right]}$

Joriy yozuvga o'tish

Yoyi yoyilgan burchak θ bo'lsin s doira markazida. Keyin s = r θ va jiva = r gunoh θ. So'nggi ifodada ularni almashtirish va soddalashtiramiz

${ displaystyle sin theta = theta - { frac { theta ^ {3}} {3!}} + { frac { theta ^ {5}} {5!}} - { frac { teta ^ {7}} {7!}} + quad cdots}$

bu sinus funktsiyasining cheksiz quvvat seriyasining kengayishi.

Madhavaning raqamli hisoblash uchun qayta tuzilishi

Oyatdagi oxirgi satr ′"vidvan" va boshqalar bilan boshlangan oyatda birgalikda to'plangan.′ - bu Madhava tomonidan kiritilgan qatorni qayta ishlab chiqishga ishora, yoy va radiusning belgilangan qiymatlari uchun oson hisoblash uchun qulay bo'lishi uchun.Bu kabi qayta tuzish uchun Madhava to'rtdan biri 5400 daqiqani tashkil etadigan doirani ko'rib chiqadi. C daqiqa) va oson hisoblash uchun sxemani ishlab chiqadi jivaA shunday aylananing har xil yoylaridan. Ruxsat bering R to'rtdan bir qismi C.Madxava π ning qatorini formulasidan foydalanib π ning qiymatini hisoblagan to'rtburchakning radiusi bo'lsin.^[10] Ushbu value qiymatidan foydalanib, ya'ni 3.1415926535922, radiusi R quyidagicha hisoblanadi: Keyin

R = 2 × 5400 / π = 3437.74677078493925 = 3437 arcminutes 44 ark sekundlari 48 oltmishinchi kamon = 3437′ 44′′ 48′′′.

Madxavaning ifodasi jiva har qanday yoyga mos keladi s radius doirasining R quyidagilarga teng:

${ displaystyle { begin {aligned} { text {jiva}} & = s - { frac {s ^ {3}} {R ^ {2} (2 ^ {2} +2)}} + { frac {s ^ {5}} {R ^ {4} (2 ^ {2} +2) (4 ^ {2} +4)}} - cdots [6pt] & = s- left ({ frac {s} {C}} o'ng) ^ {3} chap [{ frac {R chap ({ frac { pi} {2}} o'ng) ^ {3}} {3!} } - chap ({ frac {s} {C}} o'ng) ^ {2} chap [{ frac {R chap ({ frac { pi} {2}} o'ng) ^ {5 }} {5!}} - chap ({ frac {s} {C}} o'ng) ^ {2} chap [{ frac {R chap ({ frac { pi} {2}} right) ^ {7}} {7!}} - cdots right] right] right]. end {hizalangan}}}$

Endi Madhava quyidagi qiymatlarni hisoblab chiqadi:

The jiva Endi quyidagi sxema yordamida hisoblash mumkin:

jiva = s − (s / C)³ [ (2220′ 39′′ 40′′′) − (s / C)² [ (273′ 57′′ 47′′′) − (s / C)² [ (16′ 05′′ 41′′′) − (s / C)²[ (33′′ 06′′′) − (s / C)² (44′′′ ) ] ] ] ].

Bu taxminan jiva uning 11-tartibli Teylor polinomiga ko'ra. Bu faqat bitta bo'linishni, oltita ko'paytirishni va beshta olib tashlashni o'z ichiga oladi. Madhava ushbu son jihatdan samarali hisoblash sxemasini quyidagi so'zlar bilan belgilaydi (2.437-oyatning tarjimasi.) Yukti-dipika):

vi-dvan, tu-nna-ba-la, ka-vī-cha-ni-ca-ya, sa-rvā-rtha-b-la-sthi-ro, ni-rvi-ddhā-nga-na-rē- ndra-rung. Ushbu beshta sonni navbat bilan to'rtburchak aylanasining to'rtburchagiga (5400 ′) bo'lingan holda navbat bilan ko'paytiring va keyingi sondan chiqaring. (Ushbu jarayonni shunday olingan natija va keyingi raqam bilan davom eting.) Yakuniy natijani yoy kubiga aylananing to'rtdan biriga bo'linib, ko'paytiring va kamondan chiqaring.

Madxavaning kosinus seriyasi

Madhavaning o'z so'zlari bilan aytganda

Madhavaning kosinus seriyasi 2.442 va 2.443 oyatlarida bayon etilgan Yukti-dipika sharh (Tantrasamgraha-vyaxya) tomonidan Sankara Variari. Oyatlarning tarjimasi quyidagicha.

Yoyning kvadratini birlikka ko'paytiring (ya'ni radius) va buni takrorlash natijasini oling (istalgan son). (Yuqoridagi raqamlarning har birini) ketma-ket juft sonlar kvadrati bo'yicha bo'linib, shu songa kamaygan va radius kvadratiga ko'paytirilgan. Ammo birinchi atama (hozir) (bo'linadigan) radiusning ikki baravariga bo'lingan. Olingan ketma-ket natijalarni bir-birining ostiga qo'ying va har birini yuqoridagi natijalardan chiqaring. Bular birgalikda stena, stri va boshqalar bilan boshlangan oyatda to'plangan qorani beradi.

Zamonaviy yozuvlarda taqdim etish

Ruxsat bering r doira radiusini belgilang va s yoy uzunligi.

• Avval quyidagi numeratorlar hosil bo'ladi:

${ displaystyle r cdot s ^ {2}, qquad r cdot s ^ {2} cdot s ^ {2}, qquad r cdot s ^ {2} cdot s ^ {2} cdot s ^ {2}, qquad cdots}$

• Keyin ular oyatda ko'rsatilgan miqdorlarga bo'linadi.

${ displaystyle r cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}}, qquad r cdot { frac {s ^ {2}} { (2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} -4) r ^ {2}}}, qquad r cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} -4) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(6 ^ {2} -6) r ^ {2}}}, qquad cdots}$

• Yoyni va natijada olingan natijalarni bir-birining ostiga qo'ying va har birini yuqoridagi ko'rsatkichdan chiqarib oling śara:

${ displaystyle { text {sara}} = r cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} - left [r cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} -4) r ^ { 2}}} - left [r cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} -4) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(6 ^ {2} -6) r ^ {2}}} - cdots o'ng] o'ng]}$

Joriy yozuvga o'tish

Ruxsat bering θ yoy bilan tushirilgan burchak bo'ling s doira markazida. Keyin s = rθ va śara = r(1 - cos θ). So'nggi ifodada bularni almashtirish va soddalashtirish biz olamiz

${ displaystyle 1- cos theta = { frac { theta ^ {2}} {2!}} - { frac { theta ^ {4}} {4!}} + { frac { theta ^ {6}} {6!}} + Quad cdots}$

kosinus funktsiyasining cheksiz quvvat seriyali kengayishini beradi.

Madhavaning raqamli hisoblash uchun qayta tuzilishi

Oyatdagi oxirgi satr ′stena, stri va boshqalar bilan boshlangan oyatda birgalikda to'plangan.′ - bu Madhava tomonidan kiritilgan kamon va radiusning belgilangan qiymatlari uchun qatorlarni oson hisoblash uchun qulay qilish uchun kiritilgan islohotga ishora, sinuslar qatorida bo'lgani kabi Madhava uning to'rtdan bir qismi 5400 daqiqani tashkil etadigan doirani ko'rib chiqadi ( demoq C daqiqa) va oson hisoblash uchun sxemani ishlab chiqadi śaraA shunday aylananing har xil yoylaridan. Ruxsat bering R to'rtdan biri S ga teng bo'lgan doiraning radiusi bo'lib, keyin sinuslar qatorida bo'lgani kabi MadhavaR = 3437′ 44′′ 48′′′.

Madxavaning ifodasi śara har qanday yoyga mos keladi s radius doirasining R quyidagilarga teng:

${ displaystyle { begin {aligned} { text {jiva}} & = R cdot { frac {s ^ {2}} {R ^ {2} (2 ^ {2} -2)}} - R cdot { frac {s ^ {4}} {R ^ {4} (2 ^ {2} -2) (4 ^ {2} -4)}} - cdots & = left ({ frac {s} {C}} o'ng) ^ {2} chap [{ frac {R chap ({ frac { pi} {2}} o'ng) ^ {2}} {2!}} - chap ({ frac {s} {C}} o'ng) ^ {2} chap [{ frac {R chap ({ frac { pi} {2}} o'ng) ^ {4} } {4!}} - chap ({ frac {s} {C}} o'ng) ^ {2} chap [{ frac {R chap ({ frac { pi} {2}} ) o'ng) ^ {6}} {6!}} - cdots right] right] right] end {hizalangan}}}$

Endi Madhava quyidagi qiymatlarni hisoblab chiqadi:

The śara Endi quyidagi sxema yordamida hisoblash mumkin:

śara = (s / C)² [ (4241′ 09′′ 00′′′) − (s / C)² [ (872′ 03′′ 05 ′′′) − (s / C)² [ (071′ 43′′ 24′′′) − (s / C)²[ (03′ 09′′ 37′′′) − (s / C)² [(05 ′ ′ 12 ′ ′) - (s / C)² (06′′′) ] ] ] ] ]

Bu taxminan śara 12-darajali Teylor polinomiga ko'ra. Bu shuningdek bitta bo'linishni, oltita ko'paytirishni va faqat beshta olib tashlashni o'z ichiga oladi. Madhava ushbu son jihatdan samarali hisoblash sxemasini quyidagi so'zlar bilan belgilaydi (2.438 oyatning tarjimasi.) Yukti-dipika):

Olti stena, strīpiīuna, sugandhinaganud, bhadrāngabhavyāsana, mīnāngonarasimha, unadhanakrtbhureva. Yoyning kvadratiga aylananing to'rtdan biriga bo'linib, ko'paytiring va keyingi sondan chiqaring. (Natija va keyingi raqam bilan davom eting.) Yakuniy natija bo'ladi utkrama-jya (R belgisi).

Madxavaning arktangent qatori

Madhavaning o'z so'zlari bilan aytganda

Madxavaning arktangent qatori 2.206 - 2.209 oyatlarida bayon etilgan Yukti-dipika sharh (Tantrasamgraha-vyaxya) tomonidan Sankara Variari. Oyatlarning tarjimasi quyida keltirilgan.^[11]Jyesthadeva da ushbu ketma-ketlikning tavsifini berdi Yuktibhasa.^[12][13][14]

Endi xuddi shu dalilga ko'ra, kerakli sinusning yoyi aniqlanishi mumkin (amalga oshiriladi). Bu quyidagicha: Birinchi natija kerakli sinusning hosil bo'lishi va radiusni yoy kosinusiga bo'linadi. Sinus kvadratini ko'paytirgichga va kosinus kvadratini bo'luvchiga aylantirganda, endi natijalar guruhini birinchi (oldingi) natijalardan boshlab aniqlash kerak. Bularni tartibsiz tartibda 1, 3 va hokazo raqamlar bilan taqsimlaganda va toq (bir) ning yig'indisidan juft (- raqamlangan) ning yig'indisini chiqarganda, bu yoy bo'lishi kerak. Bu erda sinus va kosinusning kichikroq qismini kerakli (sinus) deb hisoblash talab qilinadi. Aks holda, takrorlangan (hisoblangan) bo'lsa ham natijalarni bekor qilish bo'lmaydi.

Xuddi shu argument yordamida atrofni boshqa yo'l bilan ham hisoblash mumkin. Ya'ni (quyidagicha): Birinchi natija diametrning kvadratining ildizi o'n ikkiga ko'paytirilishi kerak. Shu vaqtdan boshlab natija har bir ketma-ket (ishda) uchta (in) ga bo'linishi kerak. Bular toq sonlar bo'yicha tartibda bo'linib, 1 dan boshlanganda va toq yig'indisidan (juft) natijalar chiqarilganda, aylana bo'lishi kerak.

Zamonaviy yozuvlarda taqdim etish

Ruxsat bering s kerakli sinusning yoyi bo'ling (jya yoki jiva) y. Ruxsat bering r radiusi va bo'lishi kerak x kosinus bo'ling (kotijya ).

• Birinchi natija ${ displaystyle { tfrac {y cdot r} {x}}}$.
• Ko'paytuvchi va bo'luvchini hosil qiling ${ displaystyle { tfrac {y ^ {2}} {x ^ {2}}}}$.
• Natijalar guruhini tuzing:

${ displaystyle { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}}, qquad { frac {y cdot r} {x }} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}}, qquad cdots}$

• Ular 1, 3 va shunga o'xshash raqamlar bo'yicha tartibda bo'linadi:

${ displaystyle { frac {1} {1}} { frac {y cdot r} {x}}, qquad { frac {1} {3}} { frac {y cdot r} {x }} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}}, qquad { frac {1} {5}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}}, qquad cdots}$

• Toq raqamli natijalar yig'indisi:

${ displaystyle { frac {1} {1}} { frac {y cdot r} {x}} + { frac {1} {5}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + cdots}$

• Yagona raqamli natijalar yig'indisi:

${ displaystyle { frac {1} {3}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + { frac {1} {7}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2 }} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + cdots}$

• Ark endi berilgan

${ displaystyle s = left ({ frac {1} {1}} { frac {y cdot r} {x}} + { frac {1} {5}} { frac {y cdot r } {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + cdots right ) - left ({ frac {1} {3}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + { frac {1} {7}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + cdots right)}$

Joriy yozuvga o'tish

Yoyi yoyilgan burchak θ bo'lsin s doira markazida. Keyin s = rθ, x = kotijya = r cos θ va y = jya = r gunoh θ Keyin y / x = tan θ. So'nggi ifodada ularni almashtirish va soddalashtiramiz

• ${ displaystyle theta = tan theta - { frac { tan ^ {3} theta} {3}} + { frac { tan ^ {5} theta} {5}} - { frac { tan ^ {7} theta} {7}} + quad cdots}$.

Tan θ = ga ruxsat bering q nihoyat bizda

• ${ displaystyle tan ^ {- 1} q = q - { frac {q ^ {3}} {3}} + { frac {q ^ {5}} {5}} - { frac {q ^ {7}} {7}} + quad cdots}$

Aylana aylanasining yana bir formulasi

Iqtibos keltirilgan matnning ikkinchi qismida aylanani hisoblashning yana bir formulasi ko'rsatilgan v diametrga ega bo'lgan doira d. Bu quyidagicha.

${ displaystyle c = { sqrt {12d ^ {2}}} - { frac { sqrt {12d ^ {2}}} {3 cdot 3}} + { frac { sqrt {12d ^ {2 }}} {3 ^ {2} cdot 5}} - { frac { sqrt {12d ^ {2}}} {3 ^ {3} cdot 7}} + quad cdots}$

Beri v = π d π ni quyidagicha hisoblash uchun formula sifatida isloh qilish mumkin.

${ displaystyle pi = { sqrt {12}} chap (1 - { frac {1} {3 cdot 3}} + { frac {1} {3 ^ {2} cdot 5}} - { frac {1} {3 ^ {3} cdot 7}} + quad cdots right)}$

Bu almashtirish orqali olinadi q = ${ displaystyle 1 / { sqrt {3}}}$ (shuning uchun θ Tan uchun quvvat seriyasining kengayishida = the / 6)⁻¹ q yuqorida.

Ikki Madhava seriyasining yaqinlashuvini taqqoslash (bilan birga) √12 to'q ko'k rangda) va uchun bir nechta tarixiy cheksiz seriyalar π. S_n olinganidan keyin taxminiy hisoblanadi n shartlar. Har bir keyingi subplot soyali maydonni gorizontal ravishda 10 marta kattalashtiradi. (batafsil ma'lumot uchun bosing)

Shuningdek qarang

• Sangamagramaning Madhavasi
• Madhavaning sinus stoli
• Padé taxminiy
• Teylor seriyasi
• Loran seriyasi
• Puiseux seriyasi

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish