Matroid vakili - Matroid representation

Ning matematik nazariyasida matroidlar, a matroid vakili oila vektorlar kimning chiziqli mustaqillik munosabatlar berilgan matroid bilan bir xil. Matroid vakolatxonalari o'xshashdir guruh vakolatxonalari; ikkala turdagi vakillik mavhum algebraik tuzilmalarni (mos ravishda matroidlar va guruhlar) aniq tavsiflari bilan ta'minlaydi chiziqli algebra.

A chiziqli matroid vakili bo'lgan matroid va an F-chiziqli matroid (a. uchun maydon F) a yordamida tasvirlangan matroiddir vektor maydoni ustida F. Matroidni namoyish qilish nazariyasi vakolatxonalar mavjudligini va chiziqli matroidlarning xususiyatlarini o'rganadi.

Ta'riflar

A (cheklangan) matroid bilan belgilanadi cheklangan to'plam (matroid elementlari) va bo'sh bo'lmagan oila ning pastki to'plamlari , matroidning mustaqil to'plamlari deb nomlangan. Mustaqil to'plamning har bir kichik qismining o'zi mustaqil va agar bitta mustaqil to'plam bo'lsa, bu xususiyatlarni qondirish talab qilinadi ikkinchi mustaqil to'plamdan kattaroqdir u holda element mavjud qo'shilishi mumkin kattaroq mustaqil to'plamni shakllantirish uchun. Matroidlarni shakllantirishdagi asosiy turtki beruvchi misollardan biri bu tushunchadir chiziqli mustaqillik a-dagi vektorlarning vektor maydoni: agar sonli to'plam yoki ko'p o'lchovli vektorlar va ning chiziqli mustaqil kichik to'plamlari oilasi , keyin matroiddir.[1][2]

Umuman olganda, agar har qanday matroid, keyin ning vakili funktsiya sifatida aniqlanishi mumkin bu xaritalar vektor maydoniga , subset xususiyatiga ega ning agar va faqat shunday bo'lsa mustaqil chiziqli mustaqil. Tasvirga ega matroid chiziqli matroid deb nomlanadi va agar maydon bo'ylab vektorli bo'shliq F keyin matroid an deb nomlanadi F- chiziqli matroid. Shunday qilib, chiziqli matroidlar aynan shu matroidlardir izomorfik vektorlarning to'plamlari yoki multisetslaridan aniqlangan matroidlarga. Funktsiya bo'ladi bittadan agar faqat asosiy matroid sodda bo'lsa (ikki elementga bog'liq to'plamlar bo'lmasa). Matroid vakolatxonalari yordamida aniqroq tavsiflanishi mumkin matritsalar maydon ustida F, matroid elementiga bitta ustun bilan va matroidda elementlarning to'plami mustaqil bo'lsa, faqatgina mos keladigan matritsa ustunlari to'plami chiziqli ravishda mustaqil bo'lsa. The daraja funktsiyasi chiziqli matroid ning matritsa darajasi Ushbu matritsaning submatrikalari yoki teng ravishda o'lchov ning chiziqli oraliq vektorlarning kichik to'plamlari.[3]

Lineer matroidlarning xarakteristikasi

The Vámos matroid, har qanday maydon ustida chiziqli emas
The Perles konfiguratsiyasi, reallar ustidan chiziqli, ammo mantiqiy emas

Har bir matroid chiziqli emas; sakkiz element Vámos matroid barcha sohalarda namoyish etilmaydigan eng kichik matroidlardan biridir.[4] Agar matroid chiziqli bo'lsa, u ba'zi maydonlarda namoyish etilishi mumkin, ammo hamma maydonlarda emas. Masalan, to'qqiz elementli uchta matroid Perles konfiguratsiyasi orqali ifodalanadi haqiqiy raqamlar lekin ustidan emas ratsional sonlar.

Ikkilik matroidlar orqali ifodalanadigan matroidlardir cheklangan maydon GF (2); ular mavjud bo'lmagan matroidlardir bir xil matroid kabi voyaga etmagan.[5] Unimodular yoki muntazam matroidlar barcha maydonlarda namoyish etilishi mumkin bo'lgan matroidlar;[6] ularni matroidlar deb ta'riflash mumkin , Fano samolyoti (etti elementli ikkilik matroid) yoki er-xotin matroid voyaga etmaganlar sifatida Fano samolyotining.[5][7] Shu bilan bir qatorda, matroid muntazam va agar u a bilan ifodalanadigan bo'lsa umuman bir xil bo'lmagan matritsa.[8]

Rotaning taxminlari har bir cheklangan maydon uchun F, F- chiziqli matroidlar, ikkilik va oddiy matroidlar uchun yuqorida tavsiflangan xarakteristikalarga o'xshash taqiqlangan voyaga etmaganlarning cheklangan to'plami bilan tavsiflanishi mumkin.[9] 2012 yilga kelib, u faqat to'rt yoki undan kam elementli maydonlar uchun tasdiqlangan.[5][10][11][12] Cheksiz maydonlar uchun (masalan. Ning maydoni kabi haqiqiy raqamlar ) bunday tavsiflash mumkin emas.[13]

Ta'rif sohasi

Har bir kishi uchun algebraik sonlar maydoni va har bir cheklangan maydon F matroid mavjud M buning uchun F uning algebraik yopilishining minimal pastki maydoni M vakili mumkin: M 3-darajali bo'lishi mumkin.[14]

Xarakterli to'plam

The xarakterli to'plam chiziqli matroid ning to'plami sifatida aniqlanadi xususiyatlari u chiziqli bo'lgan maydonlardan.[15] Har bir kishi uchun asosiy raqam p xarakterli to'plami singleton to'plami bo'lgan cheksiz ko'p matroidlar mavjud {p},[16] va har bir kishi uchun cheklangan to'plam oddiy sonlar mavjud, matroid mavjud bo'lib, uning xarakteristikasi berilgan sonli to'plamdir.[17]

Agar matroidning xarakterli to'plami cheksiz bo'lsa, unda nol bo'ladi; va agar u nolga teng bo'lsa, unda hamma sonlar, lekin juda ko'p sonlar mavjud.[18] Demak, mumkin bo'lgan yagona xarakterli to'plamlar nolga ega bo'lmagan cheklangan to'plamlar va nolga ega bo'lgan kofinit to'plamlardir.[19] Darhaqiqat, bunday to'plamlarning barchasi sodir bo'ladi.[20]

Matroidlarning tegishli sinflari

A bir xil matroid bor elementlar va uning mustaqil to'plamlari to gacha bo'lgan barcha kichik to'plamlardan iborat elementlarning Yagona matroidlar vektorlar to'plami bilan ifodalanishi mumkin umumiy pozitsiya ichida - o'lchovli vektor maydoni. Vakillik maydoni mavjud bo'lishi uchun etarlicha katta bo'lishi kerak vektorlar ushbu vektor makonida umumiy holatidadir, shuning uchun bir xil matroidlar mavjud F- juda ko'p maydonlar uchun, ammo barchasi uchun chiziqli F.[21] Xuddi shu narsa matroidlar bo'limi, har qanday ikkitaning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi kabi bir xil matroidlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indilari F- chiziqli matroidlar o'zi F- chiziqli.

A grafik matroid ning qirralaridan aniqlangan matroid yo'naltirilmagan grafik agar u tarkibida a mavjud bo'lmasa, mustaqil ravishda qirralarning to'plamini belgilash orqali tsikl. Har qanday grafik matroid muntazam va shunday bo'ladi F- har bir soha uchun chiziqli F.[8]

The qattiqlik matroidlari tasvirlab bering erkinlik darajasi ularning uchlarida egiluvchan menteşelerle bog'langan qattiq panjaralar tomonidan hosil qilingan mexanik bog'lanishlar. Ushbu turdagi bog'lanish grafik sifatida tavsiflanishi mumkin, har bir novda uchun chekka va har bir menteşe uchun tepa, va bir o'lchovli bog'lanishlar uchun qat'iylik matroidlari aynan grafik matroidlardir. Matritsalari yordamida yuqori o'lchovli qat'iylik matroidlari aniqlanishi mumkin haqiqiy raqamlar ga o'xshash tuzilishga ega insidens matritsasi asosiy grafigi va shuning uchun - chiziqli.[22][23]

Bir xil matroidlar va bo'linish matroidlari singari, gammoidlar, matroidlarni ifodalaydi erishish imkoniyati yilda yo'naltirilgan grafikalar, har bir etarlicha katta maydon ustida chiziqli. Aniqrog'i, gammoid elementlar kamida har bir maydonda namoyish etilishi mumkin elementlar.[24]

The algebraik matroidlar a elementlari to'plamidan aniqlangan matroidlar maydonni kengaytirish tushunchasidan foydalangan holda algebraik mustaqillik. Har qanday chiziqli matroid algebraikdir va xarakterli nol maydonlari uchun (masalan, haqiqiy sonlar) chiziqli va algebraik matroidlar mos keladi, ammo boshqa maydonlar uchun chiziqli bo'lmagan algebraik matroidlar mavjud bo'lishi mumkin.[25]

Adabiyotlar

  1. ^ Oksli, Jeyms G. (2006), Matroid nazariyasi, Matematikadan Oksford bitiruvchisi matnlari, 3, Oksford universiteti matbuoti, p. 8, ISBN  9780199202508. Daraja funktsiyasi uchun qarang: p. 26.
  2. ^ Uels, D. J. A. (2010), Matroid nazariyasi, Courier Dover nashrlari, p. 10, ISBN  9780486474397.
  3. ^ Oksli (2006), p. 12.
  4. ^ Oksli (2006), 170–172, 196 betlar.
  5. ^ a b v Tutte, V. T. (1958), "Matroidlar uchun homotopiya teoremasi. I, II", Amerika Matematik Jamiyatining operatsiyalari, 88: 144–174, doi:10.2307/1993244, JANOB  0101526.
  6. ^ Oq (1987) p.2
  7. ^ Oq (1987) s.12
  8. ^ a b Tutte, V. T. (1965), "Matroidlar bo'yicha ma'ruzalar", Milliy standartlar byurosining tadqiqotlari jurnali, 69B: 1–47, doi:10.6028 / jres.069b.001, JANOB  0179781.
  9. ^ Rota, Jan-Karlo (1971), "Kombinatoriya nazariyasi, eski va yangi", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nitstsa, 1970), Tome 3, Parij: Gautier-Villars, 229–233 betlar, JANOB  0505646.
  10. ^ Biksi, Robert E. (1979), "Ridning uchlamchi matroidlarni tavsiflash to'g'risida", Kombinatorial nazariya jurnali, B seriyasi, 26 (2): 174–204, doi:10.1016 / 0095-8956 (79) 90056-X, JANOB  0532587.
  11. ^ Seymur, P. D. (1979), "GF (3) bo'yicha matroid vakili", Kombinatorial nazariya jurnali, B seriyasi, 26 (2): 159–173, doi:10.1016/0095-8956(79)90055-8, JANOB  0532586.
  12. ^ Geelen, J. F.; Jerards, A. M. H .; Kapur, A. (2000), "GF (4) vakillik qiladigan matroidlar uchun chiqarib tashlangan voyaga etmaganlar" (PDF), Kombinatorial nazariya jurnali, B seriyasi, 79 (2): 247–299, doi:10.1006 / jctb.2000.1963, JANOB  1769191, dan arxivlangan asl nusxasi (PDF) 2010-09-24 da.
  13. ^ Vámos, P. (1978), "Matroid nazariyasining yo'qolgan aksiomasi abadiy yo'qoladi", London Matematik Jamiyati jurnali, Ikkinchi seriya, 18 (3): 403–408, doi:10.1112 / jlms / s2-18.3.403, JANOB  0518224.
  14. ^ Oq, Nil, tahrir. (1987), Kombinatorial geometriya, Matematika entsiklopediyasi va uning qo'llanilishi, 29, Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti, p.18, ISBN  0-521-33339-3, Zbl  0626.00007
  15. ^ Ingleton, A.V. (1971), "Matroidlarning vakili", Welshda, D.J.A. (tahr.), Kombinatorial matematika va uning qo'llanilishi. Ishlar, Oksford, 1969 yil, Academic Press, 149–167 betlar, ISBN  0-12-743350-3, Zbl  0222.05025
  16. ^ Oksli, Jeyms; Semple, Charlz; Vertigan, Dirk; Whittle, Geoff (2002), "xarakterli to'plamga ega matroidlarning cheksiz antichainlari {p}", Diskret matematika, 242 (1–3): 175–185, doi:10.1016 / S0012-365X (00) 00466-0, hdl:10092/13245, JANOB  1874763.
  17. ^ Kan, Jeff (1982), "Matroidlarning xarakterli to'plamlari", London Matematik Jamiyati jurnali, Ikkinchi seriya, 26 (2): 207–217, doi:10.1112 / jlms / s2-26.2.207, JANOB  0675165, Zbl  0468.05020.
  18. ^ Oksli (2006), p. 225.
  19. ^ Oksli (2006), p. 226.
  20. ^ Oksli (2006), p. 228.
  21. ^ Oksli (2006), p. 100.
  22. ^ Graver, Jek E. (1991), "Rigidity matroids", Diskret matematika bo'yicha SIAM jurnali, 4 (3): 355–368, doi:10.1137/0404032, JANOB  1105942.
  23. ^ Uaytli, Uolter (1996), "Ayrim amaliy geometriyadan ba'zi matroidlar", Matroid nazariyasi (Sietl, VA, 1995), Zamonaviy matematika, 197, Providence, RI: Amerika Matematik Jamiyati, 171–311-betlar, doi:10.1090 / conm / 197/02540, JANOB  1411692.
  24. ^ Lindstrem, Bernt (1973), "Induktsiyalangan matroidlarning vektorli tasvirlari to'g'risida", London Matematik Jamiyatining Axborotnomasi, 5: 85–90, doi:10.1112 / blms / 5.1.85, JANOB  0335313.
  25. ^ Ingleton, A. W. (1971), "Matroidlarning vakili", Kombinatorial matematika va uning qo'llanilishi (Prok. Conf., Oksford, 1969), London: Academic Press, 149–167 betlar, JANOB  0278974.