Maksvell-Boltsman statistikasi - Maxwell–Boltzmann statistics

Statistik mexanika
Termodinamika Kinetik nazariya
Zarrachalar statistikasi Spin-statistika teoremasi Xuddi shu zarralar Maksvell-Boltsman Bose-Eynshteyn Fermi-Dirak Parastatistika Anyonik statistika Braid statistikasi
Termodinamik ansambllar NVE Mikrokanonik NVT Kanonik TVT Katta kanonik NPH Isoentalpik-izobarik NPT Izotermik-izobarik
Modellar Debye Eynshteyn Ising Potts
Imkoniyatlar Ichki energiya Entalpiya Helmholtsning erkin energiyasi Gibbs bepul energiya Katta potentsial / Landau bepul energiyasi
Olimlar Maksvell Boltsman Gibbs Eynshteyn Erenfest fon Neyman Tolman Debye Fermi Bose

Maksvell-Boltzmann statistikasi quyidagilarni olish uchun ishlatilishi mumkin Maksvell-Boltsmanning tarqalishi zarralar tezligi an ideal gaz. Ko'rsatilgan: zarralar tezligining 10 ga taqsimlanishi⁶ -100, 20 va 600 ° S haroratda kislorod zarralari.

Yilda statistik mexanika, Maksvell-Boltsman statistikasi o'zaro ta'sir qilmaydigan material zarrachalarining turli xil energiya holatlari bo'yicha o'rtacha taqsimlanishini tavsiflaydi issiqlik muvozanati va harorat etarli darajada yuqori bo'lganida yoki zarracha zichligi kvant effektlarini ahamiyatsiz ko'rsatadigan darajada past bo'lganida qo'llaniladi.

Kutilgan zarrachalar soni energiya bilan ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ Maksvell-Boltzmann statistikasi uchun

${ displaystyle langle N_ {i} rangle = { frac {g_ {i}} {e ^ {( varepsilon _ {i} - mu) / kT}}} = { frac {N} {Z }} , g_ {i} e ^ {- varepsilon _ {i} / kT},}$

qaerda:

• ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ ning energiyasi men-chi energiya Daraja,
• ${ displaystyle langle N_ {i} rangle}$ energiyali holatlar to'plamidagi o'rtacha zarrachalar soni ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$,
• ${ displaystyle g_ {i}}$ bo'ladi degeneratsiya energiya darajasi men, ya'ni energiyaga ega bo'lgan davlatlar soni ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ shunga qaramay, ular bir-biridan boshqa vositalar bilan ajralib turishi mumkin,^{[nb 1]}
• m - kimyoviy potentsial,
• k bu Boltsmanning doimiysi,
• T mutlaq harorat,
• N zarrachalarning umumiy soni:

${ displaystyle N = sum _ {i} N_ {i}}$,

• Z bo'ladi bo'lim funktsiyasi:

${ displaystyle Z = sum _ {i} g_ {i} e ^ {- varepsilon _ {i} / kT},}$

• e^(...) bo'ladi eksponent funktsiya.

Teng ravishda, zarrachalar soni ba'zan quyidagicha ifodalanadi

${ displaystyle langle N_ {i} rangle = { frac {1} {e ^ {( varepsilon _ {i} - mu) / kT}}} = { frac {N} {Z}} , e ^ {- varepsilon _ {i} / kT},}$

qaerda indeks men Endi energiyaga ega bo'lgan barcha holatlar to'plamidan ko'ra ma'lum bir holatni belgilaydi ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$va ${ displaystyle Z = sum _ {i} e ^ {- varepsilon _ {i} / kT}}$.

Ilovalar

Maksvell-Boltsman statistikasi ushbu ma'lumotni olish uchun ishlatilishi mumkin Maksvell-Boltsmanning tarqalishi (uch o'lchovli qutidagi klassik zarrachalarning ideal gazi uchun). Biroq, ular boshqa holatlarga ham tegishli. Ushbu taqsimotni boshqacha zarrachalarga etkazish uchun Maksvell-Boltsman statistikasidan foydalanish mumkin energiya va momentum munosabati, masalan, nisbiy zarralar (Maksvell-Jyutner tarqatish ). Bundan tashqari, turli xil o'lchamdagi (to'rt o'lchovli, ikki o'lchovli va boshqalar) qutidagi zarralar kabi faraziy vaziyatlarni ko'rib chiqish mumkin.

Qo'llash chegaralari

Maksvell-Boltsman statistikasi ko'pincha "ajralib turadigan" klassik zarralar statistikasi sifatida tavsiflanadi. Boshqacha qilib aytganda, zarrachaning konfiguratsiyasi A holat 1 va zarrada B holat 2 zarrachaning holatidan farq qiladi B holat 1 va zarrachada bo'ladi A 2-holatda. Ushbu taxmin energetik holatdagi zarrachalarning to'g'ri (Boltsman) statistikasiga olib keladi, ammo entropiya uchun fizik bo'lmagan natijalarni beradi. Gibbs paradoksi.

Shu bilan birga, Maksvell-Boltsman statistikasi talab qiladigan xususiyatlarga ega bo'lgan haqiqiy zarralar mavjud emas. Darhaqiqat, Gibbs paradoksi ma'lum bir turdagi barcha zarralarni (masalan, elektronlar, protonlar va boshqalarni) ajratib bo'lmaydigan deb hisoblasak, hal qilinadi va bu taxmin kvant mexanikasi nuqtai nazaridan oqlanishi mumkin. Ushbu taxmin qilinganidan so'ng, zarrachalar statistikasi o'zgaradi, kvant zarralari esa bozonlardir (buning o'rniga quyidagilar) Bose-Eynshteyn statistikasi ) yoki fermionlar (ga bo'ysunadi Paulini istisno qilish printsipi, o'rniga quyidagi Fermi-Dirak statistikasi ). Ushbu ikkala kvant statistikasi ham Maksvell-Boltsman statistikasiga yuqori harorat va past zarracha zichligi chegarasida yaqinlashadi, hech qanday taxminiy taxminlarga ehtiyoj qolmaydi. Fermi-Dirak va Boz-Eynshteyn statistikasi energiya sathini quyidagicha ko'rsatadi:

${ displaystyle langle N_ {i} rangle = { frac {g_ {i}} {e ^ {( varepsilon _ {i} - mu) / kT} pm 1}}.}$

Ko'rinib turibdiki, Maksvell-Boltsman statistikasi qachon amal qiladi

${ displaystyle e ^ {( varepsilon _ { rm {min}} - mu) / kT} gg 1,}$

qayerda ${ displaystyle varepsilon _ { rm {min}}}$ ning eng past (minimal) qiymati ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$.

• Kam zarracha zichligi chegarasida, ${ displaystyle langle N_ {i} rangle = { frac {1} {e ^ {( varepsilon _ {i} - mu) / k _ { rm {B}} T} pm 1}} ll 1}$, shuning uchun ${ displaystyle e ^ {( varepsilon _ {i} - mu) / k _ { rm {B}} T} pm 1 gg 1}$ yoki unga teng ravishda ${ displaystyle e ^ {( varepsilon _ {i} - mu) / k _ { rm {B}} T} gg 1}$.
• Yuqori harorat chegarasida zarralar katta miqdordagi energiya qiymatlari bo'yicha taqsimlanadi, shuning uchun har bir holatdagi joy yana juda kichik, ${ displaystyle langle N_ {i} rangle = { frac {1} {e ^ {( varepsilon _ {i} - mu) / k _ { rm {B}} T} pm 1}} ll 1}$. Bu yana beradi ${ displaystyle e ^ {( varepsilon _ {i} - mu) / k _ { rm {B}} T} gg 1}$.

Maksvell-Boltsman statistikasi o'rganish uchun ayniqsa foydalidir gazlar juda zich emas. Shunga qaramay, ushbu statistik ma'lumotlarning barchasi zarrachalar o'zaro ta'sir qilmaydi va statik energiya holatiga ega deb taxmin qilishiga e'tibor bering.

Hosilliklar

Maksvell-Boltsman statistikasi har xil bo'lishi mumkin statistik mexanik termodinamik ansambllar:^[1]

• The katta kanonik ansambl, aniq.
• The kanonik ansambl, lekin faqat termodinamik chegarada.
• The mikrokanonik ansambl, aniq

Har holda, zarrachalar o'zaro ta'sir qilmaydi va bir nechta zarrachalar bir xil holatni egallashi va buni mustaqil ravishda amalga oshirishi mumkin deb taxmin qilish kerak.

Mikrokanonik ansambldan kelib chiqish

Ushbu bo'lim aksariyat o'quvchilar tushunishi uchun juda texnik bo'lishi mumkin. Iltimos uni yaxshilashga yordam bering ga buni mutaxassis bo'lmaganlarga tushunarli qilish, texnik ma'lumotlarni olib tashlamasdan. (2013 yil dekabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Aytaylik, bizda bir xil fizik xususiyatlarga ega bo'lgan (masalan, massa, zaryad va boshqalar) juda kichik zarrachalar bo'lgan idish bor. Keling, buni tizim. Garchi zarrachalar bir xil xususiyatlarga ega bo'lsa-da, ular ajralib turadi. Masalan, har bir zarrachani ularning harakatlanish yo'nalishini doimiy ravishda kuzatib borish yoki har biriga belgi qo'yish orqali aniqlab olishimiz mumkin, masalan, har birida bajarilgani kabi har xil sonni chizishimiz mumkin. lotereya sharlar.

Zarrachalar ushbu konteyner ichida har tomonga katta tezlik bilan harakatlanmoqda. Zarralar atrofida tezlashayotgani uchun ular ozgina quvvatga ega. Maksvell-Boltsman taqsimoti bu matematik funktsiya bo'lib, idishda qancha zarrachaning ma'lum bir energiyaga ega ekanligini tavsiflaydi. Aniqrog'i, Maksvell-Boltsman taqsimoti ma'lum bir energiyaga mos keladigan holatni egallab olishining normallashmagan ehtimolini beradi.

Umuman olganda, bir xil miqdordagi energiyaga ega zarralar ko'p bo'lishi mumkin ${ displaystyle varepsilon}$. Bir xil energiyaga ega zarrachalar soni ${ displaystyle varepsilon _ {1}}$ bo'lishi ${ displaystyle N_ {1}}$, boshqa energiyaga ega bo'lgan zarralar soni ${ displaystyle varepsilon _ {2}}$ bo'lishi ${ displaystyle N_ {2}}$va shunga o'xshash barcha mumkin bo'lgan energiya uchun ${ displaystyle { varepsilon _ {i} mid i = 1,2,3, ldots }.}$ Ushbu holatni tavsiflash uchun biz shunday deymiz ${ displaystyle N_ {i}}$ bo'ladi kasb raqami ning energiya darajasi ${ displaystyle i.}$ Agar biz barcha kasb raqamlarini bilsak ${ displaystyle {N_ {i} mid i = 1,2,3, ldots },}$ u holda biz tizimning umumiy energiyasini bilamiz. Ammo, chunki biz ularni ajrata olamiz qaysi zarralar har bir energiya darajasini egallaydi, ishg'ol raqamlari to'plami ${ displaystyle {N_ {i} mid i = 1,2,3, ldots }}$ tizimning holatini to'liq tavsiflamaydi. Tizimning holatini to'liq tavsiflash uchun yoki mikrostat, biz har bir energiya darajasida qaysi zarrachalarni aniq belgilashimiz kerak. Shunday qilib, tizimning mumkin bo'lgan holatlari sonini hisoblaganimizda, biz ishg'ol qilinadigan raqamlarning to'plamlarini emas, balki har bir mikrostatni hisoblashimiz kerak.

Avvalo, degeneratsiya muammosini e'tiborsiz qoldiramiz: qo'yishning bitta usuli bor deb taxmin qiling ${ displaystyle N_ {i}}$ zarralar energiya darajasiga ${ displaystyle i}$ . Keyinchalik, zarrachalar rezervuarini aniq tasvirlashda unchalik katta bo'lmagan kombinatorial fikr yuritishning bir qismi. Masalan, jami bor deylik ${ displaystyle k}$ yorliqli qutilar ${ displaystyle a, b, ldots, k}$. Tushunchasi bilan kombinatsiya, biz tartibga solishning qancha usullarini hisoblashimiz mumkin ${ displaystyle N}$ tegishli to'plar l-bilan quti ${ displaystyle N_ {l}}$ buyruqsiz to'plar. Boshlash uchun biz tanlaymiz ${ displaystyle N_ {a}}$ jami to'plar ${ displaystyle N}$ to'plar, ularni qutiga joylashtiring ${ displaystyle a}$va qolganlardan tashqarida to'p qolmaguncha tanlovni davom ettiring. Tartiblarning umumiy soni

${ displaystyle { begin {aligned} W & = { frac {N!} {N_ {a}! (N-N_ {a})!}} times { frac {(N-N_ {a})! } {N_ {b}! (N-N_ {a} -N_ {b})!}} Times { frac {(N-N_ {a} -N_ {b})!} {N_ {c}! (N-N_ {a} -N_ {b} -N_ {c})!}} Times cdots times { frac {(N- cdots -N _ { ell})!} {N_ {k} ! (N- cdots -N _ { ell} -N_ {k})!}} [8pt] & = { frac {N!} {N_ {a}! N_ {b}! N_ {c} ! cdots N_ {k}! (N- cdots -N _ { ell} -N_ {k})!}} end {aligned}}}$

va hatto bitta to'pni ham qutilar tashqarisida qoldirmaslik kerak (barcha to'plar qutilarga solinishi kerak), bu shartlarning yig'indisi degani ${ displaystyle N_ {a}, N_ {b}, ldots, N_ {k}}$ ga teng bo'lishi kerak ${ displaystyle N}$; Shunday qilib muddat ${ displaystyle (N-N_ {a} -N_ {b} - cdots -N_ {k})!}$ yuqoridagi munosabatlarda 0 ga baho beradi! (0! = 1), va biz munosabatni soddalashtiramiz

${ displaystyle W = N! prod _ { ell = a, b, ldots} ^ {k} { frac {1} {N _ { ell}!}}}$

Bu shunchaki multinomial koeffitsient, tartibga solish usullari soni N ichiga narsalar k qutilar, l- qutichani ushlab turish N_l buyumlar, har bir qutidagi narsalarning almashinuviga e'tibor bermaslik.

Endi zarralar suv omborini tavsiflovchi degeneratsiya muammosiga qaytsak. Agar men- qutidagi "degeneratsiya" mavjud ${ displaystyle g_ {i}}$, ya'ni bor ${ displaystyle g_ {i}}$ to'ldirishning har qanday usuli kabi "pastki qutilar" men- pastki katakchadagi raqam o'zgartirilgan quti to'ldirishning aniq usuli, keyin to'ldirish usullari soni men- quti tarqatish usullari soniga ko'paytirilishi kerak ${ displaystyle N_ {i}}$ ob'ektlar ${ displaystyle g_ {i}}$ "pastki qutilar". Joylashtirish usullari soni ${ displaystyle N_ {i}}$ ajralib turadigan narsalar ${ displaystyle g_ {i}}$ "pastki qutilar" ${ displaystyle g_ {i} ^ {N_ {i}}}$ (birinchi ob'ekt har qanday narsaga kirishi mumkin ${ displaystyle g_ {i}}$ qutilari, ikkinchi ob'ekt ham istalgan narsaga kirishi mumkin ${ displaystyle g_ {i}}$ qutilar va boshqalar). Shunday qilib yo'llarning soni ${ displaystyle W}$ jami ${ displaystyle N}$ zarrachalarni energiyasiga ko'ra energiya darajalariga ajratish mumkin, har bir daraja ${ displaystyle i}$ ega bo'lish ${ displaystyle g_ {i}}$ alohida holatlar shunday men- daraja joylashadi ${ displaystyle N_ {i}}$ zarralar:

${ displaystyle W = N! prod _ {i} { frac {g_ {i} ^ {N_ {i}}} {N_ {i}!}}}$

Bu forma V birinchi tomonidan olingan Boltsman. Boltsmanning asosiy tenglamasi ${ displaystyle S = k , ln W}$ termodinamikani bog'laydi entropiya S mikrostatlar soniga V, qayerda k bo'ladi Boltsman doimiy. Bunga ishora qilingan Gibbs ammo, yuqoridagi ifoda uchun V keng entropiya keltirib chiqarmaydi va shuning uchun ham noto'g'ri. Ushbu muammo sifatida tanilgan Gibbs paradoksi. Muammo shundaki, yuqoridagi tenglama tomonidan ko'rib chiqilgan zarralar emas ajratib bo'lmaydigan. Boshqacha qilib aytganda, ikkita zarracha uchun (A va B) ikkita energetik pastki sathda [A, B] bilan ifodalangan populyatsiya [B, A] populyatsiyasidan farq qiladi, ajratib bo'lmaydigan zarralar uchun esa ular yo'q. Agar biz ajratib bo'lmaydigan zarralar uchun argumentni keltirsak, bizni Bose-Eynshteyn uchun ifoda V:

${ displaystyle W = prod _ {i} { frac {(N_ {i} + g_ {i} -1)!} {N_ {i}! (g_ {i} -1)!}}}$

Maksvell-Baltzman taqsimoti bu Boz-Eynshteyn taqsimotidan mutlaq noldan yuqori haroratlarda kelib chiqadi, demak ${ displaystyle g_ {i} gg 1}$. Maksvell-Boltsman taqsimoti ham past zichlikni talab qiladi, demak ${ displaystyle g_ {i} gg N_ {i}}$. Bunday sharoitda biz foydalanishimiz mumkin Stirlingning taxminiy qiymati faktorial uchun:

${ displaystyle N! taxminan N ^ {N} e ^ {- N},}$

yozmoq:

${ displaystyle W approx prod _ {i} { frac {(N_ {i} + g_ {i}) ^ {N_ {i} + g_ {i}}} {N_ {i} ^ {N_ {i }} g_ {i} ^ {g_ {i}}}} approx prod _ {i} { frac {g_ {i} ^ {N_ {i}} (1 + N_ {i} / g_ {i} ) {{g_ {i}}} {N_ {i} ^ {N_ {i}}}}}$

Haqiqatdan foydalanib ${ displaystyle (1 + N_ {i} / g_ {i}) ^ {g_ {i}} taxminan e ^ {N_ {i}}}$ uchun ${ displaystyle g_ {i} gg N_ {i}}$ biz yozish uchun yana Stirlingning yaqinlashuvidan foydalanishimiz mumkin:

${ displaystyle W approx prod _ {i} { frac {g_ {i} ^ {N_ {i}}} {N_ {i}!}}}$

Bu aslida tomonidan bo'linish N! uchun Boltsmanning asl ifodasi V, va bu tuzatish deb nomlanadi Boltsmanni to'g'ri hisoblash.

Biz topishni xohlaymiz ${ displaystyle N_ {i}}$ buning uchun funktsiya ${ displaystyle W}$ zarrachalarning sobit soni borligi haqidagi cheklovni hisobga olgan holda maksimal darajaga ko'tariladi ${ displaystyle chap (N = textstyle sum N_ {i} o'ng)}$ va doimiy energiya ${ displaystyle chap (E = textstyle sum N_ {i} varepsilon _ {i} right)}$ idishda. Ning maksimallari ${ displaystyle W}$ va ${ displaystyle ln (W)}$ ning bir xil qiymatlari bilan erishiladi ${ displaystyle N_ {i}}$ va matematik tarzda bajarish osonroq bo'lganligi sababli, uning o'rniga oxirgi funktsiyani maksimal darajaga ko'taramiz. Biz o'z echimimizdan foydalanishni cheklaymiz Lagranj multiplikatorlari funktsiyani shakllantirish:

${ displaystyle f (N_ {1}, N_ {2}, ldots, N_ {n}) = ln (W) + alfa (N- sum N_ {i}) + beta (E- sum N_ {i} varepsilon _ {i})}$

${ displaystyle ln W = ln left [ prod limitler _ {i = 1} ^ {n} { frac {g_ {i} ^ {N_ {i}}} {N_ {i}!}} right] approx sum _ {i = 1} ^ {n} chap (N_ {i} ln g_ {i} -N_ {i} ln N_ {i} + N_ {i} o'ng)}$

Va nihoyat

${ displaystyle f (N_ {1}, N_ {2}, ldots, N_ {n}) = alfa N + beta E + sum _ {i = 1} ^ {n} chap (N_ {i} ln g_ {i} -N_ {i} ln N_ {i} + N_ {i} - ( alfa + beta varepsilon _ {i}) N_ {i} o'ng)}$

Yuqoridagi ifodani maksimal darajada oshirish uchun biz murojaat qilamiz Ferma teoremasi (statsionar nuqtalar), unga ko'ra mahalliy ekstremma, agar mavjud bo'lsa, juda muhim nuqtalarda bo'lishi kerak (qisman hosilalar yo'qoladi):

${ displaystyle { frac { kısmi f} { qisman N_ {i}}} = ln g_ {i} - ln N_ {i} - ( alfa + beta varepsilon _ {i}) = 0 }$

Yuqoridagi tenglamalarni echish orqali (${ displaystyle i = 1 ldots n}$) uchun ifodaga kelamiz ${ displaystyle N_ {i}}$:

${ displaystyle N_ {i} = { frac {g_ {i}} {e ^ { alpha + beta varepsilon _ {i}}}}}$

Ushbu iborani o'rniga ${ displaystyle N_ {i}}$ uchun tenglamaga ${ displaystyle ln W}$ va buni taxmin qilish ${ displaystyle N gg 1}$ hosil:

${ displaystyle ln W = ( alfa +1) N + beta E ,}$

yoki qayta tashkil etish:

${ displaystyle E = { frac { ln W} { beta}} - { frac {N} { beta}} - { frac { alfa N} { beta}}}$

Boltzmann bu shunchaki ifodasi ekanligini tushundi Eyler-integral termodinamikaning tenglamasi. Aniqlash E ichki energiya sifatida Eyler bilan birlashtirilgan asosiy tenglama quyidagilarni ta'kidlaydi:

${ displaystyle E = TS-PV + mu N}$

qayerda T bo'ladi harorat, P bosim, V bu hajmi va m - bu kimyoviy potentsial. Boltsmanning mashhur tenglamasi ${ displaystyle S = k , ln W}$ entropiyaning mutanosib ekanligini anglash ${ displaystyle ln W}$ mutanosiblik doimiyligi bilan Boltsmanning doimiysi. Vaziyatning ideal gaz tenglamasidan foydalanish (PV = NkT), Darhol shu narsa kelib chiqadi ${ displaystyle beta = 1 / kT}$ va ${ displaystyle alpha = - mu / kT}$ populyatsiyalar endi yozilishi uchun:

${ displaystyle N_ {i} = { frac {g_ {i}} {e ^ {( varepsilon _ {i} - mu) / (kT)}}}}$

E'tibor bering, yuqoridagi formula ba'zan yoziladi:

${ displaystyle N_ {i} = { frac {g_ {i}} {e ^ { varepsilon _ {i} / kT} / z}}}$

qayerda ${ displaystyle z = exp ( mu / kT)}$ mutlaqdir faoliyat.

Shu bilan bir qatorda, biz haqiqatdan ham foydalanishimiz mumkin

${ displaystyle sum _ {i} N_ {i} = N ,}$

sifatida aholi sonini olish

${ displaystyle N_ {i} = N { frac {g_ {i} e ^ {- varepsilon _ {i} / kT}} {Z}}}$

qayerda Z bo'ladi bo'lim funktsiyasi tomonidan belgilanadi:

${ displaystyle Z = sum _ {i} g_ {i} e ^ {- varepsilon _ {i} / kT}}$

Taxminan qaerda ε_men uzluksiz o'zgaruvchan deb hisoblanadi, Tomas-Fermining taxminiy qiymati mutanosib ravishda degeneratsiyani beradi g ga mutanosib ${ displaystyle { sqrt { varepsilon}}}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida:

${ displaystyle { frac {{ sqrt { varepsilon}} , e ^ {- varepsilon / kT}} { int _ {0} ^ { infty} { sqrt { varepsilon}} , e ^ {- varepsilon / kT}}}}$

bu shunchaki Maksvell-Boltsmanning tarqalishi energiya uchun.

Kanonik ansambldan chiqish

Ushbu bo'lim aksariyat o'quvchilar tushunishi uchun juda texnik bo'lishi mumkin. Iltimos uni yaxshilashga yordam bering ga buni mutaxassis bo'lmaganlarga tushunarli qilish, texnik ma'lumotlarni olib tashlamasdan. (2013 yil dekabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yuqoridagi munozarada Boltzmann tarqatish funktsiyasi to'g'ridan-to'g'ri tizimning ko'pligini tahlil qilish orqali olingan. Shu bilan bir qatorda, dan foydalanish mumkin kanonik ansambl. Kanonik ansamblda tizim suv ombori bilan termal aloqada bo'ladi. Tizim va suv ombori o'rtasida energiya erkin oqishi bilan birga, rezervuar doimiy haroratni ushlab turish uchun cheksiz katta issiqlik quvvatiga ega deb o'ylashadi, T, estrodiol tizim uchun.

Hozirgi sharoitda bizning tizimimiz energiya darajalariga ega deb taxmin qilinadi ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ degeneratiyalar bilan ${ displaystyle g_ {i}}$. Avvalgidek tizimimiz energiyaga ega bo'lish ehtimolini hisoblamoqchimiz ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$.

Agar bizning tizimimiz ahvolda bo'lsa ${ displaystyle ; s_ {1}}$, keyin suv ombori uchun mos keladigan mikrostatlarning soni bo'ladi. Ushbu raqamga qo'ng'iroq qiling ${ displaystyle ; Omega _ {R} (s_ {1})}$. Taxminlarga ko'ra, estrodiol tizim (bizni qiziqtiradigan tizim va suv ombori) ajratilgan, shuning uchun barcha mikrostatlar bir xil ehtimolga ega. Shuning uchun, masalan, agar ${ displaystyle ; Omega _ {R} (s_ {1}) = 2 ; Omega _ {R} (s_ {2})}$, bizning tizimimiz ikki baravar yuqori holatda bo'lishi mumkin degan xulosaga kelishimiz mumkin ${ displaystyle ; s_ {1}}$ dan ${ displaystyle ; s_ {2}}$. Umuman olganda, agar ${ displaystyle ; P (s_ {i})}$ bizning tizimimizning holatga tushish ehtimoli ${ displaystyle ; s_ {i}}$,

${ displaystyle { frac {P (s_ {1})} {P (s_ {2})}} = { frac { Omega _ {R} (s_ {1})} { Omega _ {R} (s_ {2})}}.}$

Beri entropiya suv omborining ${ displaystyle ; S_ {R} = k ln Omega _ {R}}$, yuqoridagi narsa bo'ladi

${ displaystyle { frac {P (s_ {1})} {P (s_ {2})}} = { frac {e ^ {S_ {R} (s_ {1}) / k}} {e ^ {S_ {R} (s_ {2}) / k}}} = e ^ {(S_ {R} (s_ {1}) - S_ {R} (s_ {2})) / k}.}$

Keyinchalik termodinamik identifikatorni eslaymiz ( termodinamikaning birinchi qonuni ):

${ displaystyle dS_ {R} = { frac {1} {T}} (dU_ {R} + P , dV_ {R} - mu , dN_ {R}).}$

Kanonik ansamblda zarrachalar almashinuvi bo'lmaydi, shuning uchun ${ displaystyle dN_ {R}}$ muddat nolga teng. Xuddi shunday, ${ displaystyle dV_ {R} = 0.}$ Bu beradi

${ displaystyle S_ {R} (s_ {1}) - S_ {R} (s_ {2}) = { frac {1} {T}} (U_ {R} (s_ {1}) - U_ {R } (s_ {2})) = - { frac {1} {T}} (E (s_ {1}) - E (s_ {2})),}$

qayerda ${ displaystyle ; U_ {R} (s_ {i})}$ va ${ displaystyle ; E (s_ {i})}$ suv ombori va tizimdagi energiyalarni belgilang ${ displaystyle s_ {i}}$navbati bilan. Ikkinchi tenglik uchun biz energiyani tejashni qo'lladik. Tegishli birinchi tenglamaga almashtirish ${ displaystyle P (s_ {1}), ; P (s_ {2})}$:

${ displaystyle { frac {P (s_ {1})} {P (s_ {2})}} = { frac {e ^ {- E (s_ {1}) / kT}} {e ^ {- E (s_ {2}) / kT}}},}$

shuni anglatadiki, har qanday davlat uchun s tizimning

${ displaystyle P (s) = { frac {1} {Z}} e ^ {- E (s) / kT},}$

qayerda Z umumiy ehtimollikni 1 ga etkazish uchun to'g'ri tanlangan "doimiy" dir. (Z harorat bo'lsa doimiy bo'ladi T o'zgarmasdir.)

${ displaystyle ; Z = sum _ {s} e ^ {- E (s) / kT},}$

qaerda indeks s tizimning barcha mikrostatlari orqali ishlaydi. Z ba'zan uni Boltsman deb atashadi davlatlar bo'yicha yig'indisi (yoki asl nemis tilida "Zustandssumme"). Agar barcha mumkin bo'lgan holatlar o'rniga yig'indini energiya o'ziga xos qiymatlari orqali indekslasak, degeneratsiyani hisobga olish kerak. Bizning tizimimizning energiyaga ega bo'lish ehtimoli ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ shunchaki barcha mos keladigan mikrostatlarning ehtimolliklar yig'indisi:

${ displaystyle P ( varepsilon _ {i}) = { frac {1} {Z}} g_ {i} e ^ {- varepsilon _ {i} / kT}}$

bu erda aniq o'zgartirish bilan,

${ displaystyle Z = sum _ {j} g_ {j} e ^ {- varepsilon _ {j} / kT},}$

bu avvalgidek natija.

Ushbu hosilaga sharhlar:

• E'tibor bering, ushbu formulada dastlabki taxmin "... tizim jami bo'lsa deylik N zarralar... "bilan taqsimlanadi. Darhaqiqat, tizimga ega bo'lgan zarrachalar soni taqsimotga kelishida hech qanday rol o'ynamaydi. Aksincha, qancha zarrachalar energiya holatini egallaydi ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ oson oqibatlarga olib keladi.
• Yuqorida keltirilgan narsa, asosan, kanonik bo'lim funktsiyasining hosilasi. Ta'riflarni taqqoslash orqali ko'rinib turibdiki, Botsmanning holatlar ustidagi yig'indisi kanonik bo'linish funktsiyasiga teng.
• Aynan shu yondashuvdan foydalanish uchun foydalanish mumkin Fermi-Dirak va Bose-Eynshteyn statistika. Biroq, u erda kanonik ansamblni katta kanonik ansambl, chunki tizim va suv ombori o'rtasida zarrachalar almashinuvi mavjud. Shuningdek, ushbu holatlarda bitta zarrachani hisobga oladigan tizim davlat, zarracha emas. (Yuqoridagi bahsda biz sistemamizni bitta atom deb taxmin qilishimiz mumkin edi).

Shuningdek qarang

• Bose-Eynshteyn statistikasi
• Fermi-Dirak statistikasi
• Boltsman omili

Izohlar

Adabiyotlar

Bibliografiya

• Karter, Eshli H., "Klassik va statistik termodinamika", Prentice-Hall, Inc, 2001, Nyu-Jersi.
• Raj Patri, "Statistik mexanika", Butteruort-Xaynemann, 1996 y.