Mertens teoremalari - Mertens theorems - Wikipedia

Yilda sonlar nazariyasi, Mertens teoremalari ning zichligi bilan bog'liq uchta 1874 natijadir tub sonlar tomonidan isbotlangan Frants Mertens.^[1] "Mertens teoremasi" uning teoremasiga ham murojaat qilishi mumkin tahlil.

Sonlar nazariyasida

Quyidagilarga ruxsat bering ${ displaystyle p leq n}$ barcha asosiy sonlardan oshmaydigan degani n.

Mertensning birinchi teoremasi:

{ displaystyle sum _ {p leq n} { frac { ln p} {p}} - ln n}

hech kim uchun mutlaq qiymatida 2 dan oshmaydi ${ displaystyle n geq 2}$ . (A083343 )

Mertensning ikkinchi teoremasi:

{ displaystyle lim _ {n to infty} chap ( sum _ {p leq n} { frac {1} {p}} - ln ln n-M right) = 0,}

qayerda M bo'ladi Meissel-Mertens doimiysi (A077761 ). Aniqrog'i, Mertens^[1] chegara ostidagi ifoda mutlaq qiymatdan oshmasligini isbotlaydi

{ displaystyle { frac {4} { ln (n + 1)}} + { frac {2} {n ln n}}}

har qanday kishi uchun ${ displaystyle n geq 2}$ .

Mertensning uchinchi teoremasi:

{ displaystyle lim _ {n to infty} ln n prod _ {p leq n} left (1 - { frac {1} {p}} right) = e ^ {- gamma },}

bu erda γ Eyler-Maskeroni doimiysi (A001620 ).

Belgidagi o'zgarishlar

Qog'ozda ^[2] ning o'sish sur'ati to'g'risida bo'linuvchilar yig'indisi 1983 yilda nashr etilgan, Yigit Robin Mertensning 2-teoremasida farqni isbotladi

{ displaystyle sum _ {p leq n} { frac {1} {p}} - ln ln n-M}

o'zgaruvchan belgi cheksiz tez-tez va bu Mertensning 3-teoremasida farq

{ displaystyle ln n prod _ {p leq n} chap (1 - { frac {1} {p}} o'ng) -e ^ {- gamma}}

o'zgaruvchan belgi cheksiz tez-tez. Robinning natijalari o'xshashdir Littlewood "s mashhur teorema bu farq π (x) - li (x) belgini cheksiz tez-tez o'zgartiradi. Ning analogi yo'q Burilish raqami (birinchisining yuqori chegarasi tabiiy son x buning uchun π (x)> li (x)) Mertensning 2 va 3 teoremalari misolida ma'lum.

Mertensning ikkinchi teoremasi va tub sonlar teoremasi

Ushbu asimptotik formula haqida Mertens o'z maqolasida "Legendrening ikkita qiziq formulasi" ga ishora qiladi,^[1] birinchisi - Mertensning ikkinchi teoremasining prototipi (va ikkinchisi - Mertensning uchinchi teoremasining prototipi: qog'ozning birinchi satrlarini ko'ring). U Legendrening "Théorie des nombres" ning uchinchi nashrida (1830; bu aslida 1808 yil ikkinchi nashrida aytib o'tilgan) o'z ichiga olganligini, shuningdek, yanada puxta versiyasi tomonidan isbotlanganligini eslaydi. Chebyshev 1851 yilda.^[3] E'tibor bering, 1737 yilda, Eyler ushbu summaning asimptotik harakatini bilar edi.

Mertens diplomatik tarzda uning dalillarini yanada aniqroq va qat'iyroq deb ta'riflaydi. Darhaqiqat, avvalgi isbotlarning hech biri zamonaviy standartlar bilan qabul qilinmaydi: Eylerning hisob-kitoblari cheksizlikni o'z ichiga oladi (va cheksizlikning giperbolik logarifmi va cheksizlik logarifmi!); Legendrning argumenti evristik; Chebyshevning isboti, garchi mukammal ovozga ega bo'lsa-da, Legendre-Gauss gumonidan foydalanadi, bu 1896 yilgacha isbotlanmagan va ko'proq tanilgan asosiy sonlar teoremasi.

Mertensning isboti hech qanday tasdiqlanmagan gipotezaga murojaat qilmaydi (1874 yilda) va faqat elementar real tahlilga murojaat qiladi. Bu asosiy raqamlar teoremasining birinchi dalilidan 22 yil oldin, aksincha, xatti-harakatlarini sinchkovlik bilan tahlil qilishga tayanadi. Riemann zeta funktsiyasi murakkab o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida.Mertensning isboti bu jihatdan ajoyibdir. Darhaqiqat, bilan zamonaviy yozuv u hosil beradi

{ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {1} {p}} = log log x + M + O (1 / log x)}

asosiy sonlar teoremasi (eng sodda ko'rinishida, xatolarni baholamasdan) ga teng bo'lishi mumkin^[4]

{ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {1} {p}} = log log x + M + o (1 / log x).}

1909 yilda Edmund Landau, keyin uning ixtiyorida bo'lgan asosiy sonlar teoremasining eng yaxshi versiyasidan foydalanib isbotlandi^[5] bu

{ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {1} {p}} = log log x + M + O (e ^ {- ( log x) ^ {1/14}}) }

ushlaydi; xususan xato muddati kichikroq ${ displaystyle 1 / ( log x) ^ {k}}$ har qanday sobit butun son uchun k. Oddiy qismlar bo'yicha summa ekspluatatsiya qilish ma'lum bo'lgan eng kuchli shakl Bosh son teoremasi buni yaxshilaydi

{ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {1} {p}} = log log x + M + O (e ^ {- c ( log x) ^ {3/5} ( log log x) ^ {- 1/5}})}

kimdir uchun ${ displaystyle c> 0}$ .

Mertensning uchinchi teoremasi va elak nazariyasi

Ehtimolligini taxmin qilish ${ displaystyle X}$ ( ${ displaystyle X gg n}$ ) hech qanday omilga ega emas ${ displaystyle leq n}$ tomonidan berilgan

{ displaystyle prod _ {p leq n} chap (1 - { frac {1} {p}} o'ng)}

Bu Mertensning uchinchi teoremasi bilan chambarchas bog'liq bo'lib, u assimptotik yaqinlashishni beradi

{ displaystyle P (p nmid X forall p leq n) = { frac {1} {e ^ { gamma} ln n}}}

Summability nazariyasida

Yilda jamlanish nazariyasi, Mertens teoremasi agar haqiqiy yoki murakkab bo'lsa cheksiz qatorlar

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}

yaqinlashadi ga A va boshqasi

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n}}

mutlaqo birlashadi ga B keyin ularning Koshi mahsuloti yaqinlashadi ga AB.

Adabiyotlar

^ ^a ^b ^v F. Mertens. J. reine angew. Matematika. 78 (1874), 46-62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie
^ Robin, G. (1983). "Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs". Séminaire Delange – Pisot – Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Matematikadagi taraqqiyot. 38: 233–244.
^ P.L. Tchebychev. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de St-Petersburg par divers savants, VI 1851, 141-157
^ Garchi bu ekvivalentlik u erda aniq aytilmagan bo'lsa ham, masalan, G. Tenenbaumning I.3-bobidagi materialdan osongina olinishi mumkin. Analitik va ehtimollik sonlari nazariyasiga kirish. Ikkinchi frantsuzcha nashrdan tarjima qilingan (1995) C. B. Tomas. Kengaytirilgan matematikadan Kembrij tadqiqotlari, 46. Kembrij universiteti matbuoti, Kembrij, 1995 y.
^ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leypsig 1909, Repr. Chelsi Nyu-York 1953, § 55, p. 197-203.

Qo'shimcha o'qish

Yaglom va Yaglom Boshlang'ich echimlar bilan matematik muammolarni hal qilish 2-jild, 171, 173, 174-muammolar

Tashqi havolalar

Vayshteyn, Erik V. "Mertens Constant". MathWorld.
Sondov, Jonatan va Vayshteyn, Erik V. "Mertens teoremasi". MathWorld.
Vayshteyn, Erik V. "Mertensning ikkinchi teoremasi". MathWorld.
Varun Rajkumar, π (x) va Eratosfen elagi

[Mertens-1] v F. Mertens. J. reine angew. Matematika. 78 (1874), 46-62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie

[2] Robin, G. (1983). "Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs". Séminaire Delange – Pisot – Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Matematikadagi taraqqiyot. 38: 233–244.

[3] P.L. Tchebychev. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de St-Petersburg par divers savants, VI 1851, 141-157

[4] Garchi bu ekvivalentlik u erda aniq aytilmagan bo'lsa ham, masalan, G. Tenenbaumning I.3-bobidagi materialdan osongina olinishi mumkin. Analitik va ehtimollik sonlari nazariyasiga kirish. Ikkinchi frantsuzcha nashrdan tarjima qilingan (1995) C. B. Tomas. Kengaytirilgan matematikadan Kembrij tadqiqotlari, 46. Kembrij universiteti matbuoti, Kembrij, 1995 y.

[5] Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leypsig 1909, Repr. Chelsi Nyu-York 1953, § 55, p. 197-203.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]