Eyler-Maskeroni doimiysi - Euler–Mascheroni constant

Moviy mintaqaning maydoni Eyler-Maskeroni doimiysiga yaqinlashadi.

The Eyler-Maskeroni doimiysi (shuningdek, deyiladi Eyler doimiysi) a matematik doimiy ichida takrorlanadigan tahlil va sonlar nazariyasi, odatda kichik yunoncha harf bilan belgilanadi gamma (γ).

U sifatida belgilanadi cheklash orasidagi farq garmonik qator va tabiiy logaritma:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = lim _ {n to infty} left (- ln n + sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k }} o'ng) [5px] & = int _ {1} ^ { infty} chap (- { frac {1} {x}} + { frac {1} { lfloor x rfloor }} right) , dx. end {hizalangan}}}$

Bu yerda, ${ displaystyle lfloor x rfloor}$ ifodalaydi qavat funktsiyasi.

Eyler-Maskeroni konstantasining sonli qiymati, o'nlik kasrgacha bo'lgan 50 gacha.

0.57721566490153286060651209008240243104215933593992... (ketma-ketlik A001620 ichida OEIS )

Matematikada hal qilinmagan muammo: Eyler doimiy ravishda mantiqsizmi? Agar shunday bo'lsa, bu transandantalmi? (matematikada ko'proq hal qilinmagan muammolar)

Tarix

Doimiy birinchi bo'lib 1734 yilda chop etilgan Shveytsariya matematik Leonhard Eyler, sarlavhali De Progressionibus harmonicis kuzatuvlari (Eneström indeksi 43). Euler yozuvlardan foydalangan C va O doimiy uchun. 1790 yilda, Italyancha matematik Lorenzo Mascheroni yozuvlardan foydalangan A va a doimiy uchun. Notation γ Eyler yoki Maskeroni yozuvlarida hech qaerda uchramaydi va keyinchalik, ehtimol doimiy bilan bog'liqligi sababli tanlangan gamma funktsiyasi.^[1] Masalan, Nemis matematik Karl Anton Bretschneider yozuvidan foydalangan γ 1835 yilda (Bretschneider 1837, "γ = v = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3.."yoqilgan p. 260 ) va Augustus De Morgan uni 1836 yildan 1842 yilgacha qismlarda nashr etilgan darslikda ishlatgan (De Morgan 1836-1842, "γ"yoqilgan p. 578 )

Tashqi ko'rinish

Euler-Mascheroni doimiysi, boshqa joylar qatorida, quyidagi ko'rinishda paydo bo'ladi ('*' bu yozuv aniq tenglamani o'z ichiga olganligini anglatadi):

• Bilan bog'liq iboralar eksponent integral *
• The Laplasning o'zgarishi * ning tabiiy logaritma
• Birinchi davr Loran seriyasi uchun kengayish Riemann zeta funktsiyasi *, bu erda birinchisi Stieltjes konstantalari *
• Ning hisob-kitoblari digamma funktsiyasi
• Uchun mahsulot formulasi gamma funktsiyasi
• Ning asimptotik kengayishi gamma funktsiyasi kichik tortishuvlar uchun.
• Uchun tengsizlik Eylerning totient funktsiyasi
• Ning o'sish sur'ati bo'luvchi funktsiyasi
• Yilda o'lchovli tartibga solish ning Feynman diagrammalari yilda kvant maydon nazariyasi
• Hisoblash Meissel-Mertens doimiysi
• Uchinchisi Mertens teoremalari *
• Ikkinchi turdagi echim Bessel tenglamasi
• Muntazam ravishda /renormalizatsiya ning garmonik qator cheklangan qiymat sifatida
• The anglatadi ning Gumbel tarqatish
• The axborot entropiyasi ning Vaybull va Levi tarqatish va to'g'ridan-to'g'ri kvadratchalar bo'yicha taqsimlash bir yoki ikki daraja erkinlik uchun.
• Ga javob kupon yig'uvchisi muammosi *
• Ning ba'zi bir formulalarida Zipf qonuni
• Ning ta'rifi kosinus integrali *
• A gacha bo'lgan chegaralar asosiy bo'shliq
• Yuqori chegara Shannon entropiyasi yilda kvant axborot nazariyasi (Caves & Fuchs 1996 yil )

Xususiyatlari

Raqam γ isbotlanmagan algebraik yoki transandantal. Aslida, yo'qmi, hatto ma'lum emas γ bu mantiqsiz. A dan foydalanish davom etgan kasr Papanikolau 1997 yilda shuni ko'rsatdiki, agar γ bu oqilona, uning maxraji 10 dan katta bo'lishi kerak²⁴⁴⁶⁶³.^[2][3] Hamma joyda γ quyida keltirilgan ko'plab tenglamalar tomonidan mantiqsizlikni keltirib chiqaradi γ matematikada asosiy ochiq savol. Shuningdek qarang (Sondow 2003a ).

Biroq, ba'zi bir yutuqlarga erishildi. Kurt Maler bu raqamni 1968 yilda ko'rsatgan ${ displaystyle { frac { pi} {2}} { frac {Y_ {0} (2)} {J_ {0} (2)}} - gamma}$ transandantal (${ displaystyle J _ { alpha} (x)}$ va ${ displaystyle Y _ { alpha} (x)}$ bor Bessel funktsiyalari ).^[4][1] 2009 yilda Aleksandr Aptekarev kamida bitta Eyler-Maskeroni doimiysi ekanligini isbotladi ${ displaystyle gamma}$ va Eyler-Gompertz doimiysi ${ displaystyle delta}$ mantiqsiz.^[5] Ushbu natija 2012 yilda Tanguy Rivoal tomonidan yaxshilandi, u erda ulardan kamida bittasi transandantal ekanligini isbotladi.^[6][1]

2010 yilda M. Ram Murti va N. Saradha o'z ichiga olgan raqamlarning cheksiz ro'yxatini ko'rib chiqdi ${ displaystyle { frac { gamma} {4}}}$ va ularning ko'pchiligidan boshqasi transandantal bo'lishi kerakligini ko'rsatdi.^[7][8]

Gamma funktsiyasi bilan bog'liqlik

γ bilan bog'liq digamma funktsiyasi Ψva shuning uchun lotin ning gamma funktsiyasi Γ, ikkala funktsiya ham 1 ga baholanganda. Shunday qilib:

${ displaystyle - gamma = Gamma '(1) = Psi (1).}$

Bu cheklovlarga teng:

${ displaystyle { begin {aligned} - gamma & = lim _ {z to 0} left ( Gamma (z) - { frac {1} {z}} right) & = lim _ {z to 0} chap ( Psi (z) + { frac {1} {z}} o'ng). end {hizalangan}}}$

Keyingi chegara natijalari (Krämer 2005 yil ):

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {z to 0} { frac {1} {z}} left ({ frac {1} { Gamma (1 + z)}} - { frac {1} { Gamma (1-z)}} right) & = 2 gamma lim _ {z to 0} { frac {1} {z}} chap ({ frac {) 1} { Psi (1-z)}} - { frac {1} { Psi (1 + z)}} right) & = { frac { pi ^ {2}} {3 gamma ^ {2}}}. End {hizalangan}}}$

Bilan bog'liq chegara beta funktsiyasi (bilan ifodalangan gamma funktsiyalari )

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = lim _ {n to infty} chap ({ frac { Gamma left ({ frac {1} {n}} right) Gamma (n + 1) , n ^ {1 + { frac {1} {n}}}} { Gamma chap (2 + n + { frac {1} {n}} o'ng)}} - { frac {n ^ {2}} {n + 1}} right) & = lim limits _ {m to infty} sum _ {k = 1} ^ {m} {m select k} { frac {(-1) ^ {k}} {k}} ln { big (} Gamma (k + 1) { big)}. end {hizalanmış}}}$

Zeta funktsiyasi bilan bog'liqlik

γ sifatida ham ifodalanishi mumkin cheksiz summa uning shartlari Riemann zeta funktsiyasi musbat tamsayılarda baholanadi:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = sum _ {m = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {m} { frac { zeta (m)} {m}} & = ln { frac {4} { pi}} + sum _ {m = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {m} { frac { zeta (m)} {2 ^ {m-1} m}}. end {hizalangan}}}$

Zeta funktsiyasi bilan bog'liq boshqa qatorlarga quyidagilar kiradi:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = { tfrac {3} {2}} - ln 2- sum _ {m = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {m} , { frac {m-1} {m}} { big (} zeta (m) -1 { big)} & = lim _ {n to infty} chap ({ frac {2n-1} {2n}} - ln n + sum _ {k = 2} ^ {n} chap ({ frac {1} {k}} - { frac { zeta (1-k) } {n ^ {k}}} o'ng) o'ng) & = lim _ {n to infty} chap ({ frac {2 ^ {n}} {e ^ {2 ^ {n }}}} sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {2 ^ {mn}} {(m + 1)!}} sum _ {t = 0} ^ {m} { frac {1} {t + 1}} - n ln 2 + O chap ({ frac {1} {2 ^ {n} , e ^ {2 ^ {n}}}} o'ng) o'ng ). end {hizalangan}}}$

Oxirgi tenglamadagi xato atamasi ning tez kamayib boruvchi funktsiyasi n. Natijada, formulalar doimiyni yuqori aniqlikda samarali hisoblash uchun juda mos keladi.

Eyler-Maskeroni konstantasiga teng keladigan boshqa qiziqarli chegaralar antisimetrik chegara hisoblanadi (Sondow 1998 yil ):

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = lim _ {s to 1 ^ {+}} sum _ {n = 1} ^ { infty} chap ({ frac {1} {n ^ {s}}} - { frac {1} {s ^ {n}}} o'ng) & = lim _ {s dan 1} chapgacha ( zeta (s) - { frac { 1} {s-1}} right) & = lim _ {s to 0} { frac { zeta (1 + s) + zeta (1-s)} {2}} end {moslashtirilgan}}}$

va de la Vallée-Poussinniki formula

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} , sum _ {k = 1} ^ {n} left ( left lceil { frac {n} {k}} o'ng rceil - { frac {n} {k}} o'ng)}$

qayerda ${ displaystyle lceil , rceil}$ bor ship qavslar.

Bu bilan chambarchas bog'liq oqilona zeta seriyasi ifoda. Yuqoridagi ketma-ketlikning dastlabki bir nechta shartlarini alohida-alohida olib, klassik qator chegarasini taxmin qilish mumkin:

${ displaystyle gamma = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}} - ln n- sum _ {m = 2} ^ { infty} { frac { zeta (m, n + 1)} {m}},}$

qayerda ζ(s,k) bo'ladi Hurwitz zeta funktsiyasi. Ushbu tenglamadagi yig'indiga quyidagilar kiradi harmonik raqamlar, H_n. Hurwitz zeta funktsiyasidagi ba'zi atamalarni kengaytirish quyidagilarni beradi:

${ displaystyle H_ {n} = ln (n) + gamma + { frac {1} {2n}} - { frac {1} {12n ^ {2}}} + { frac {1} { 120n ^ {4}}} - varepsilon,}$

qayerda 0 < ε < 1/252n⁶.

γ qaerda quyidagicha ham ifodalanishi mumkin A bo'ladi Glayzer - Kinkelin doimiysi:

${ displaystyle gamma = 12 , log (A) - log (2 pi) + { frac {6} { pi ^ {2}}} , zeta '(2)}$

γ ifodalash orqali isbotlanishi mumkin bo'lgan quyidagi tarzda ham ifodalanishi mumkin zeta funktsiyasi kabi Loran seriyasi:

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} { biggl (} -n + zeta { Bigl (} { frac {n + 1} {n}} { Bigr)} { biggr )}}$

Integrallar

γ aniq sonning qiymatiga teng integrallar:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = - int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} ln x , dx & = - int _ {0} ^ { 1} ln chap ( ln { frac {1} {x}} o'ng) dx & = int _ {0} ^ { infty} chap ({ frac {1} {e ^) {x} -1}} - { frac {1} {x cdot e ^ {x}}} o'ng) dx & = int _ {0} ^ {1} chap ({ frac {) 1} { ln x}} + { frac {1} {1-x}} o'ng) dx & = int _ {0} ^ { infty} chap ({ frac {1} {) 1 + x ^ {k}}} - e ^ {- x} o'ng) { frac {dx} {x}}, quad k> 0 & = 2 int _ {0} ^ { infty } { frac {e ^ {- x ^ {2}} - e ^ {- x}} {x}} , dx, & = int _ {0} ^ {1} H_ {x} , dx, end {hizalangan}}}$

qayerda H_x bo'ladi kasrli harmonik son.

Unda aniq integrallar γ quyidagilar kiradi:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} ln x , dx & = - { frac {( gamma +2 ln 2 ) { sqrt { pi}}} {4}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} ln ^ {2} x , dx & = gamma ^ {2} + { frac { pi ^ {2}} {6}}. end {aligned}}}$

Biror kishi ifoda etishi mumkin γ ning maxsus holatidan foydalangan holda Xadjikostas formulasi kabi er-xotin integral (Sondow 2003a ) va (Sondow 2005 yil ) teng qator bilan:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {x-1} {(1-xy) ln xy }} , dx , dy & = sum _ {n = 1} ^ { infty} chap ({ frac {1} {n}} - ln { frac {n + 1} { n}} o'ng). end {hizalangan}}}$

Tomonidan qiziqarli taqqoslashSondow 2005 yil ) juft integral va o'zgaruvchan qator

${ displaystyle { begin {aligned} ln { frac {4} { pi}} & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {x- 1} {(1 + xy) ln xy}} , dx , dy & = sum _ {n = 1} ^ { infty} left ((- 1) ^ {n-1} chapga ({ frac {1} {n}} - ln { frac {n + 1} {n}} o'ng) o'ng). end {hizalangan}}}$

Bu shuni ko'rsatadiki ln 4/π "o'zgaruvchan Eyler doimiysi" deb qaralishi mumkin.

Ikkala konstantalar juftlik qatori bilan ham bog'liq (Sondow 2005a )

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {N_ {1} (n) + N_ {0} (n)} {2n (2n) +1)}} ln { frac {4} { pi}} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {N_ {1} (n) -N_ {0 } (n)} {2n (2n + 1)}}, end {hizalangan}}}$

qayerda N₁(n) va N₀(n) tegishli ravishda 1 va 0 sonlarining soni tayanch 2 kengayishi n.

Bizda ham bor Kataloniya ning 1875 integrali (qarang Sondow va Zudilin 2006 yil )

${ displaystyle gamma = int _ {0} ^ {1} left ({ frac {1} {1 + x}} sum _ {n = 1} ^ { infty} x ^ {2 ^ { n} -1} o'ng) , dx.}$

Seriyalarni kengaytirish

Umuman,

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} chap ({ frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3} } + ldots + { frac {1} {n}} - ln (n + alfa) right) equiv lim _ {n to infty} gamma _ {n} ( alfa)}$

har qanday kishi uchun ${ displaystyle alpha> -n}$. Biroq, bu kengayishning yaqinlashish darajasi sezilarli darajada bog'liq ${ displaystyle alpha}$. Jumladan, ${ displaystyle gamma _ {n} (1/2)}$ an'anaviy kengayishdan ancha tezroq yaqinlashishni namoyish etadi ${ displaystyle gamma _ {n} (0)}$ (DeTemple 1993 yil; Havil 2003 yil, 75-78 betlar). Buning sababi

${ displaystyle { frac {1} {2 (n + 1)}} < gamma _ {n} (0) - gamma <{ frac {1} {2n}},}$

esa

${ displaystyle { frac {1} {24 (n + 1) ^ {2}}} < gamma _ {n} (1/2) - gamma <{ frac {1} {24n ^ {2} }}.}$

Shunga qaramay, bundan ham tezroq yaqinlashadigan boshqa qator kengayishlar mavjud; ulardan ba'zilari quyida muhokama qilinadi.

Eyler quyidagilarni ko'rsatdi cheksiz qatorlar yondashuvlar γ:

${ displaystyle gamma = sum _ {k = 1} ^ { infty} chap ({ frac {1} {k}} - ln left (1 + { frac {1} {k}}) o'ng) o'ng).}$

Uchun ketma-ket γ bir qatorga teng Nilsen 1897 yilda topilgan (Krämer 2005 yil, Blagouchin 2016 yil ):

${ displaystyle gamma = 1- sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { left lfloor log _ {2} k right rfloor} { k + 1}}.}$

1910 yilda, Vakka chambarchas bog'liq bo'lgan qatorni topdi (Vakka 1910 yil harvnb xatosi: maqsad yo'q: CITEREFVacca1910 (Yordam bering),^{[iqtibos topilmadi ]} Glaisher 1910 yil, Hardy 1912 yil, Vakka 1925 yil harvnb xatosi: maqsad yo'q: CITEREFVacca1925 (Yordam bering),^{[iqtibos topilmadi ]} Kluyver 1927 yil, Krämer 2005 yil, Blagouchin 2016 yil )

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { left lfloor log _ {2} k o'ng rfloor} {k}} [5pt] & = { tfrac {1} {2}} - { tfrac {1} {3}} + 2 chap ({ tfrac {1} {4}) } - { tfrac {1} {5}} + { tfrac {1} {6}} - { tfrac {1} {7}} o'ng) +3 chap ({ tfrac {1} {8) }} - { tfrac {1} {9}} + { tfrac {1} {10}} - { tfrac {1} {11}} + cdots - { tfrac {1} {15}} o‘ngda) + cdots, end {hizalangan}}}$

qayerda jurnal₂ bo'ladi 2-asosga logaritma va ⌊ ⌋ bo'ladi qavat funktsiyasi.

1926 yilda u ikkinchi seriyani topdi:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma + zeta (2) & = sum _ {k = 2} ^ { infty} left ({ frac {1} { left lfloor { sqrt { k}} right rfloor ^ {2}}} - { frac {1} {k}} right) [5pt] & = sum _ {k = 2} ^ { infty} { frac {k- left lfloor { sqrt {k}} right rfloor ^ {2}} {k left lfloor { sqrt {k}} right rfloor ^ {2}}} [5pt ] & = { frac {1} {2}} + { frac {2} {3}} + { frac {1} {2 ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {2 cdot 2} { frac {k} {k + 2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {3 cdot 2} { frac {k} {k + 3 ^ {2}}} + cdots end {aligned}}}$

Dan Malmsten –Kummer gamma funktsiyasi logaritmasi uchun kengayish (Blagouchine 2014 yil ) olamiz:

${ displaystyle gamma = ln pi -4 ln chap ( Gamma ({ tfrac {3} {4}}) o'ng) + { frac {4} { pi}} sum _ { k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k + 1} { frac { ln (2k + 1)} {2k + 1}}.}$

Eyler doimiysi uchun muhim kengayish bog'liqdir Fontana va Mascheroni

${ displaystyle gamma = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {| G_ {n} |} {n}} = { frac {1} {2}} + { frac { 1} {24}} + { frac {1} {72}} + { frac {19} {2880}} + { frac {3} {800}} + cdots,}$

qayerda G_n bor Gregori koeffitsientlari (Krämer 2005 yil, Blagouchin 2016 yil, Blagouchine 2018 ) Ushbu seriya alohida holat ${ displaystyle k = 1}$ kengayishlarning

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = H_ {k-1} - ln k + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(n-1)! | G_ {n } |} {k (k + 1) cdots (k + n-1)}} && & = H_ {k-1} - ln k + { frac {1} {2k}} + { frac {1} {12k (k + 1)}} + { frac {1} {12k (k + 1) (k + 2)}} + { frac {19} {120k (k + 1) (k +) 2) (k + 3)}} + cdots && end {hizalanmış}}}$

uchun konvergent ${ displaystyle k = 1,2, ldots}$

Ikkinchi turdagi Koshi raqamlari bilan o'xshash seriya C_n bu (Blagouchin 2016 yil; Alabdulmohsin 2018, 147–148 betlar)

${ displaystyle gamma = 1- sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {C_ {n}} {n , (n + 1)!}} = 1 - { frac {1 } {4}} - { frac {5} {72}} - { frac {1} {32}} - { frac {251} {14400}} - { frac {19} {1728}} - ldots}$

Blagouchine (2018) Fontana-Mascheroni seriyasining qiziqarli umumlashtirilishini topdi

${ displaystyle gamma = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {2n}} { Big {} psi _ {n} (a) + psi _ {n} { Big (} - { frac {a} {1 + a}} { Big)} { Big }}, quad a> -1}$

qayerda ψ_n(a) ular Bernulli ikkinchi turdagi polinomlar, ular ishlab chiqarish funktsiyasi bilan belgilanadi

${ displaystyle { frac {z (1 + z) ^ {s}} { ln (1 + z)}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n} psi _ {n} (lar), qquad | z | <1,}$

Har qanday oqilona uchun a ushbu turkumda faqat ratsional atamalar mavjud. Masalan, at a = 1, bo'ladi

${ displaystyle gamma = { frac {3} {4}} - { frac {11} {96}} - { frac {1} {72}} - { frac {311} {46080}} - { frac {5} {1152}} - { frac {7291} {2322432}} - { frac {243} {100352}} - ldots}$

qarang OEIS: A302120 va OEIS: A302121. Xuddi shu polinomlarga ega bo'lgan boshqa qatorlarga quyidagi misollar kiradi:

${ displaystyle gamma = - ln (a + 1) - sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n} (a)} {n}}, qquad Re (a)> - 1}$

va

${ displaystyle gamma = - { frac {2} {1 + 2a}} left { ln Gamma (a + 1) - { frac {1} {2}} ln (2 pi) + { frac {1} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a)} { n}} o'ng }, qquad Re (a)> - 1}$

qayerda Γ (a) bo'ladi gamma funktsiyasi (Blagouchine 2018 ).

Akiyama-Tanigawa algoritmiga oid bir qator

${ displaystyle gamma = ln (2 pi) -2-2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} G_ {n} (2)} {n}} = ln (2 pi) -2 + { frac {2} {3}} + { frac {1} {24}} + { frac {7} {540}} + { frac {17} {2880}} + { frac {41} {12600}} + ldots}$

qayerda G_n(2) ular Gregori koeffitsientlari ikkinchi tartib (Blagouchine 2018 ).

Seriyali tub sonlar:

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} chap ( ln n- sum _ {p leq n} { frac { ln p} {p-1}} o'ng). }$

Asimptotik kengayishlar

γ quyidagi asimptotik formulalarga teng (bu erda H_n bo'ladi nth harmonik raqam ):

${ displaystyle gamma sim H_ {n} - ln n - { frac {1} {2n}} + { frac {1} {12n ^ {2}}} - { frac {1} {120n ^ {4}}} + cdots}$ (Eyler)

${ displaystyle gamma sim H_ {n} - ln chap ({n + { frac {1} {2}} + { frac {1} {24n}} - { frac {1} {48n ^ {3}}} + cdots} o'ng)}$ (Negoy)

${ displaystyle gamma sim H_ {n} - { frac { ln n + ln (n + 1)} {2}} - { frac {1} {6n (n + 1)}} + { frac {1} {30n ^ {2} (n + 1) ^ {2}}} - cdots}$ (Sezaro )

Uchinchi formulaga ham deyiladi Ramanujan kengayish.

Alabdulmohsin 2018, 147–148-betlar ushbu yaqinlashishlar xatolarining yig'indisi uchun yopiq shaklda ifodalarni keltirib chiqardi. U buni ko'rsatdi (Teorema A.1):

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} log n + gamma -H_ {n} + { frac {1} {2n}} = { frac { log (2 pi) - 1- gamma} {2}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} log { sqrt {n (n + 1)}} + gamma -H_ {n} = { frac { log (2 pi) -1} {2}} - gamma}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { Big (} log n + gamma -H_ {n} { Big)} = { frac { log pi - gamma} {2}}}$

Eksponent

Doimiy e^γ raqamlar nazariyasida muhim ahamiyatga ega. Ba'zi mualliflar bu miqdorni shunchaki quyidagicha belgilaydilar γ ′. e^γ quyidagilarga teng chegara, qayerda p_n bo'ladi nth asosiy raqam:

${ displaystyle e ^ { gamma} = lim _ {n to infty} { frac {1} { ln p_ {n}}} prod _ {i = 1} ^ {n} { frac {p_ {i}} {p_ {i} -1}}.}$

Bu uchinchi qismni takrorlaydi Mertens teoremalari (Vayshteyn nd. ). Ning raqamli qiymati e^γ bu:

1.78107241799019798523650410310717954916964521430343... OEIS: A073004.

Boshqalar cheksiz mahsulotlar bilan bog'liq e^γ quyidagilarni o'z ichiga oladi:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {e ^ {1 + { frac { gamma} {2}}}} { sqrt {2 pi}}} & = prod _ {n = 1 } ^ { infty} e ^ {- 1 + { frac {1} {2n}}} chap (1 + { frac {1} {n}} o'ng) ^ {n} { frac {e ^ {3 + 2 gamma}} {2 pi}} & = prod _ {n = 1} ^ { infty} e ^ {- 2 + { frac {2} {n}}} chap (1 + { frac {2} {n}} o'ng) ^ {n}. end {hizalangan}}}$

Ushbu mahsulotlar Barns G-funktsiya.

Bunga qo'chimcha,

${ displaystyle e ^ { gamma} = { sqrt { frac {2} {1}}} cdot { sqrt [{3}] { frac {2 ^ {2}} {1 cdot 3} }} cdot { sqrt [{4}] { frac {2 ^ {3} cdot 4} {1 cdot 3 ^ {3}}}} cdot { sqrt [{5}] { frac {2 ^ {4} cdot 4 ^ {4}} {1 cdot 3 ^ {6} cdot 5}}} cdots}$

qaerda nomil - bu (n + 1)ning ildizi

${ displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n} (k + 1) ^ {(- 1) ^ {k + 1} {n k}} ni tanlang.}$

Ser tomonidan birinchi bo'lib 1926 yilda kashf etilgan ushbu cheksiz mahsulot Sondow tomonidan qayta kashf etilgan (Sondow 2003 yil ) foydalanish gipergeometrik funktsiyalar.

Bundan tashqari, buni ushlab turadi^[9]

${ displaystyle { frac {e ^ { frac { pi} {2}} + e ^ {- { frac { pi} {2}}}} { pi e ^ { gamma}}} = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (e ^ {- { frac {1} {n}}} left (1 + { frac {1} {n}} + { frac {1} {2n ^ {2}}} o'ng) o'ng).}$

Davomi kasr

The davom etgan kasr kengayishi γ shakldadir [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] OEIS: A002852, unda yo'q aniq naqsh Doimiy fraktsiya kamida 475,006 so'zga ega ekanligi ma'lum,^[2] va u cheksiz ko'p shartlarga ega agar va faqat agar γ mantiqsiz.

Umumlashtirish

abm (x) = γ_−x

Eylerning umumlashtirilgan konstantalari tomonidan berilgan

${ displaystyle gamma _ { alpha} = lim _ {n to infty} left ( sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ { alpha}} } - int _ {1} ^ {n} { frac {1} {x ^ { alpha}}} , dx right),}$

uchun 0 < a < 1, bilan γ maxsus holat sifatida a = 1 (Havil 2003 yil, 117-118 betlar). Buni yanada umumlashtirish mumkin

${ displaystyle c_ {f} = lim _ {n to infty} left ( sum _ {k = 1} ^ {n} f (k) - int _ {1} ^ {n} f ( x) , dx o'ng)}$

ba'zi bir o'zboshimchalik bilan kamayadigan funktsiya uchun f. Masalan,

${ displaystyle f_ {n} (x) = { frac {( ln x) ^ {n}} {x}}}$

sababini beradi Stieltjes konstantalari va

${ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {- a}}$

beradi

${ displaystyle gamma _ {f_ {a}} = { frac {(a-1) zeta (a) -1} {a-1}}}$

qaerda yana chegara

${ displaystyle gamma = lim _ {a to 1} chap ( zeta (a) - { frac {1} {a-1}} o'ng)}$

paydo bo'ladi.

Ikki o'lchovli chegara umumlashmasi bu Masser - Grameyn doimiysi.

Eyler - Lemmer doimiylari commonmodulo sinfidagi raqamlar teskari yig'indisi bilan berilgan (Ram Murty va Saradha 2010 yil ):

${ displaystyle gamma (a, q) = lim _ {x to infty} chap ( sum _ {0$

Asosiy xususiyatlar

${ displaystyle { begin {aligned} gamma (0, q) & = { frac { gamma - ln q} {q}}, sum _ {a = 0} ^ {q-1} gamma (a, q) & = gamma, q gamma (a, q) & = gamma - sum _ {j = 1} ^ {q-1} e ^ {- { frac {2 pi aij} {q}}} ln chap (1-e ^ { frac {2 pi ij} {q}} o'ng), end {hizalangan}}}$

va agar gcd (a,q) = d keyin

${ displaystyle q gamma (a, q) = { frac {q} {d}} gamma left ({ frac {a} {d}}, { frac {q} {d}} right ) - ln d.}$

Nashr qilingan raqamlar

Dastlab Eyler doimiyning qiymatini 6 kasrgacha hisoblab chiqdi. 1781 yilda u uni o'nlik kasrlar soniga 16 gacha hisoblashdi. Mascheroni doimiylikni 32 kasrgacha hisoblashga urinib ko'rdi, lekin 20-22 va 31-32 kasrlarda xatolarga yo'l qo'ydi; 20-raqamdan boshlab u hisoblab chiqdi ...1811209008239 to'g'ri qiymat ... bo'lganda0651209008240.

Izohlar

Adabiyotlar

• Alabdulmohsin, Ibrohim M. (2018), Summability Calculus. Fraksiyonel cheklangan yig'indilarning keng qamrovli nazariyasi, Springer-Verlag, ISBN  9783319746487
• Blagouchine, Iaroslav V. (2014), "Malmsten integrallarini qayta kashf etish, ularni konturli integratsiya usullari bilan baholash va shu bilan bog'liq ba'zi natijalar", Ramanujan jurnali, 35 (1): 21–110, doi:10.1007 / s11139-013-9528-5, S2CID  120943474
• Blagouchine, Iaroslav V. (2016), "Umumlashtirilgan Eyler konstantalarining ko'pburchaklar qatoriga kengayishi π⁻² va faqat oqilona koeffitsientli rasmiy konvertlar qatoriga ", J. sonlar nazariyasi, 158: 365–396, arXiv:1501.00740, doi:10.1016 / j.jnt.2015.06.012
• Blagouchine, Iaroslav V. (2018), "Zeta-funktsiyalar uchun Ser va Hasse vakolatxonalarida uchta eslatma", INTEGERS: Kombinatorial raqamlar nazariyasining elektron jurnali, 18A (# A3): 1-45, arXiv:1606.02044, Bibcode:2016arXiv160602044B
• Bretschneyder, Karl Anton (1837) [1835 yilda taqdim etilgan]. "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Krelning jurnali (lotin tilida). 17: 257–285.
• G'orlar, Karlton M.; Fuks, Kristofer A. (1996). "Kvant ma'lumotlari: holat vektorida qancha ma'lumot bor?". Eynshteyn, Podolskiy va Rozen dilemmasi - 60 yildan keyin. Isroil jismoniy jamiyati. arXiv:kvant-ph / 9601025. Bibcode:1996 kvant.ph..1025C. ISBN  9780750303941. OCLC  36922834.
• De Morgan, Avgust (1836–1842). Differentsial va integral hisoblash. London: Bolduin va Kreddok.
• DeTemple, Dueyn U. (may 1993). "Eyler Konstantasiga tezroq yaqinlashish". Amerika matematikasi oyligi. 100 (5): 468–470. doi:10.2307/2324300. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324300.
• Gleysher, Jeyms Uitbrid Li (1910). "Doktor Vakkaning seriyali haqida γ". Q. J. Sof Appl. Matematika. 41: 365–368.
• Xavil, Julian (2003). Gamma: Eyler konstantasini o'rganish. Prinston universiteti matbuoti. ISBN  978-0-691-09983-5.
• Hardy, G. H. (1912). "Doktor Vakkaning ketma-ketligi haqida eslatma γ". Q. J. Sof Appl. Matematika. 43: 215–216.
• Kluyver, JC (1927). "Janob Xardining ma'lum bir seriyasida". Q. J. Sof Appl. Matematika. 50: 185–192.
• Krämer, Stefan (2005), Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen, Germaniya: Göttingen universiteti
• Lagarias, Jeffri C. (oktyabr 2013). "Eylerning doimiysi: Eylerning faoliyati va zamonaviy o'zgarishlar". Amerika Matematik Jamiyati Axborotnomasi. 50 (4): 556. arXiv:1303.1856. doi:10.1090 / s0273-0979-2013-01423-x. S2CID  119612431.
• Papanikolaou, T. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorienterert Bibliothek für algoritm Zahlentheorie (Tezis). Saarland universiteti.
• Ram Murti, M.; Saradha, N. (2010). "Eyler-Lemmer konstantalari va Erdosning gumoni". JNT. 130 (12): 2671–2681. doi:10.1016 / j.jnt.2010.07.004.
• Sloan, N. J. A. (tahrir). "A002852 ketma-ketligi (Eyler doimiysi uchun davomiy kasr)". The Butun sonlar ketma-ketligining on-layn ensiklopediyasi. OEIS Foundation.
• Sondow, Jonathan (1998). "Eyler konstantasi uchun antisimetrik formula". Matematika jurnali. 71. 219-220 betlar. Arxivlandi asl nusxasi 2011-06-04 da. Olingan 2006-05-29.
• Sondow, Jonathan (2002). "Eyler doimiysi uchun irratsionallik mezonlariga logarifmlarni o'z ichiga olgan chiziqli shakllar orqali gipergeometrik yondashuv". Matematik Slovaka. 59: 307–314. arXiv:math.NT / 0211075. Bibcode:2002yil ..... 11075S. tomonidan Ilova bilan Sergey Zlobin
• Sondow, Jonathan (2003). "Uchun cheksiz mahsulot e^γ Eyler doimiysi uchun gipergeometrik formulalar orqali, γ". arXiv:matematik.CA/0306008.
• Sondow, Jonathan (2003a), "Eyler konstantasining mantiqsizligi mezonlari", Amerika matematik jamiyati materiallari, 131 (11): 3335–3344, arXiv:math.NT / 0209070, doi:10.1090 / S0002-9939-03-07081-3, S2CID  91176597
• Sondow, Jonathan (2005), "Eyler doimiysi va uchun ikki marta integral ln 4/π va Xadjikostas formulasining analogi ", Amerika matematik oyligi, 112 (1): 61–65, arXiv:matematik.CA/0211148, doi:10.2307/30037385, JSTOR  30037385
• Sondow, Jonathan (2005a), Eylerning doimiy va uning "o'zgaruvchan" analogi uchun yangi Vakka tipidagi ratsional seriyalar ln 4/π, arXiv:math.NT / 0508042
• Sondov, Jonatan; Zudilin, Vadim (2006). "Eyler doimiysi, q- Ramanujan va Gosper formulalari va formulalari ". Ramanujan jurnali. 12 (2): 225–244. arXiv:math.NT / 0304021. doi:10.1007 / s11139-006-0075-1. S2CID  1368088.
• Vayshteyn, Erik V. (nd). "Mertens Constant". mathworld.wolfram.com.

Qo'shimcha o'qish

• Borwein, Jonathan M.; Devid M. Bredli; Richard E. Crandall (2000). "Riemann Zeta funktsiyasi uchun hisoblash strategiyalari" (PDF). Hisoblash va amaliy matematika jurnali. 121 (1–2): 11. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi:10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8. Qabul qiladi γ Riemann zeta funktsiyalari bo'yicha yig'indisi sifatida.
• Gerst, I. (1969). "Eyler doimiysi uchun ba'zi bir qatorlar". Amer. Matematika. Oylik. 76 (3): 237–275. doi:10.2307/2316370. JSTOR  2316370.
• Gleysher, Jeyms Uitbrid Li (1872). "Eyler doimiysi tarixi to'g'risida". Matematika xabarchisi. 1: 25–30. JFM  03.0130.01.
• Gurdon, Xaver; Sebah, P. (2002). "Eyler doimiysi uchun formulalar to'plami, γ".
• Gurdon, Xaver; Sebah, P. (2004). "Eyler doimiysi: γ".
• Karatsuba, E. A. (1991). "Transandantal funktsiyalarni tezkor baholash". Probl. Inf. Transm. 27 (44): 339–360.
• Karatsuba, E.A. (2000). "Eyler konstantasini hisoblash to'g'risida γ". Raqamli algoritmlar jurnali. 24 (1–2): 83–97. doi:10.1023 / A: 1019137125281. S2CID  21545868.
• Knuth, Donald (1997). Kompyuter dasturlash san'ati, jild. 1 (3-nashr). Addison-Uesli. ISBN  0-201-89683-4.
• Lerch, M. (1897). "Expressions nouvelles de la constante d'Euler". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. 42: 5.
• Mascheroni, Lorenso (1790), Euleri integral echimlari, Eulero proposit qaroriga binoan, null muammolari uchun, Galeati, Ticini
• Lehmer, D. H. (1975). "Arifmetik progressiyalar uchun Eyler konstantalari" (PDF). Acta Arith. 27 (1): 125–142. doi:10.4064 / aa-27-1-125-142.
• Vakka, G. (1926). "Nuova seriyasi per la costante di Eulero, C= 0,577 ... ". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche". Matematiche e Naturali. 6 (3): 19–20.

Tashqi havolalar

• "Eyler doimiysi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• Vayshteyn, Erik V. "Eyler-Maskeroni doimiysi". MathWorld.
• Jonathan Sondow.
• Tez algoritmlar va FEE usuli, E.A. Karatsuba (2005)
• Doimiylikni ishlatadigan boshqa formulalar: Gurdon va Sebax (2004).