Mittag-Leffler funktsiyasi - Mittag-Leffler function

Mittag-Leffler funktsiyasidan Gauss va Lorentsiya funktsiyalari o'rtasida doimiy ravishda interpolatsiya qilish uchun foydalanish mumkin.

Yilda matematika, Mittag-Leffler funktsiyasi E_a,β a maxsus funktsiya, a murakkab funktsiya bu ikkita murakkab parametrga bog'liq a va β. U quyidagilar bilan belgilanishi mumkin seriyali a ning haqiqiy qismi qat'iy ijobiy bo'lsa:^[1][2]

${ displaystyle E _ { alfa, beta} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} { Gamma ( alfa k + beta)}} .}$

qayerda ${ displaystyle Gamma (x)}$ bo'ladi gamma funktsiyasi. Qachon ${ displaystyle beta = 1}$, u qisqartirilgan ${ displaystyle E _ { alfa} (z) = E _ { alfa, 1} (z)}$.Uchun ${ displaystyle alpha = 0}$, yuqoridagi qator geometrik qatorning Teylor kengayishiga teng keladi va natijada ${ displaystyle E_ {0, beta} (z) = { frac {1} { Gamma ( beta)}} { frac {1} {1-z}}}$.

Bunday holda a va β haqiqiy va ijobiy, ketma-ketlik argumentning barcha qiymatlari uchun yaqinlashadi z, shuning uchun Mittag-Leffler funktsiyasi an butun funktsiya. Ushbu funktsiya nomi berilgan Gösta Mittag-Leffler. Ushbu funktsiya sinfi. Nazariyasida muhim ahamiyatga ega kasrli hisob.

Uchun a > 0, Mittag-Leffler funktsiyasi ${ displaystyle E _ { alfa, 1} (z)}$ bu 1 / buyruqning to'liq funktsiyasia, va ba'zi bir ma'noda uning tartibining eng sodda vazifasidir.

Mittag-Leffler funktsiyasi takrorlanish xususiyatini qondiradi (Teorema 5.1 ning ^[1])

${ displaystyle E _ { alfa, beta} (z) = { frac {1} {z}} E _ { alpha, beta - alpha} (z) - { frac {1} {z Gamma ( beta - alfa),}}}$

shundan Puankare asimptotik kengayish

${ displaystyle E _ { alfa, beta} (z) sim - sum _ {k = 1} { frac {1} {z ^ {k} Gamma ( beta -k alfa)}}}$

quyidagilar, bu to'g'ri ${ displaystyle z to - infty}$.

Maxsus holatlar

Uchun ${ displaystyle alfa = 0,1 / 2,1,2}$ biz topamiz: (2-bo'lim ^[1])

Xato funktsiyasi:

${ displaystyle E _ { frac {1} {2}} (z) = exp (z ^ {2}) operator nomi {erfc} (-z).}$

A yig'indisi geometrik progressiya:

${ displaystyle E_ {0} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} z ^ {k} = { frac {1} {1-z}}, , | z | <1 .}$

Eksponent funktsiya:

${ displaystyle E_ {1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} { Gamma (k + 1)}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} {k!}} = Exp (z).}$

Giperbolik kosinus:

${ displaystyle E_ {2} (z) = cosh ({ sqrt {z}}), { text {and}} E_ {2} (- z ^ {2}) = cos (z).}$

Uchun ${ displaystyle beta = 2}$, bizda ... bor

${ displaystyle E_ {1,2} (z) = { frac {e ^ {z} -1} {z}},}$

${ displaystyle E_ {2,2} (z) = { frac { sinh ({ sqrt {z}})} { sqrt {z}}}.}$

Uchun ${ displaystyle alfa = 0,1,2}$, ajralmas

${ displaystyle int _ {0} ^ {z} E _ { alpha} (- s ^ {2}) , { mathrm {d}} s}$

mos ravishda beradi: ${ displaystyle arctan (z)}$, ${ displaystyle { tfrac { sqrt { pi}} {2}} operatorname {erf} (z)}$, ${ displaystyle sin (z)}$.

Mittag-Lefflerning ajralmas vakili

Mittag-Leffler funktsiyasining ajralmas vakili quyidagicha (6-bo'lim) ^[1])

${ displaystyle E _ { alpha, beta} (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {C} { frac {t ^ { alpha - beta} e ^ { t}} {t ^ { alpha} -z}} , dt, Re ( alpha)> 0, Re ( beta)> 0,}$

kontur qaerda C $ G $ bilan boshlanadi va tugaydi va integralning birliklari va tarmoqlanish nuqtalari atrofida aylana.

Bilan bog'liq Laplasning o'zgarishi va Mittag-Leffler summasi ning ifodasi (tenglama (7.5) ning ^[1], m = 0 bilan)

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- tz} t ^ { beta -1} E _ { alpha, beta} ( pm r , t ^ { alpha}) , dt = { frac {z ^ { alfa - beta}} {z ^ { alpha} mp r}}, Re (z)> 0, Re ( alfa)> 0, Re ( beta)> 0.}$

Shuningdek qarang

• Mittag-Leffler summasi
• Mittag-Leffler tarqatish
• Fox-Rayt funktsiyasi

Izohlar

• R Paket 'MittagLeffleR' Gurtek Gill, Piter Straka tomonidan. Mittag-Leffler funktsiyasini, taqsimlanishini, tasodifiy o'zgaruvchan avlodni yaratishni va baholashni amalga oshiradi.

Adabiyotlar

Ushbu maqolada a foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati, tegishli o'qish yoki tashqi havolalar, ammo uning manbalari noma'lum bo'lib qolmoqda, chunki u etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering takomillashtirish tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2015 yil sentyabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

• Mittag-Leffler, M.G .: Sur la nouvelle fonction E (x). C. R. Akad. Ilmiy ish. Parij 137, 554–558 (1903)
• Mittag-Leffler, M.G .: Sopra la funzione E˛.x /. Rend. R. akk. Lincei, (5-seriya) 13, 3-5 (1904)
• Gorenflo R., Kilbas AA, Mainardi F., Rogosin S.V., Mittag-Leffler funktsiyalari, tegishli mavzular va ilovalar (Springer, Nyu-York, 2014) 443 bet ISBN  978-3-662-43929-6
• Igor Podlubniy (1998). "1-bob". Kesirli differentsial tenglamalar. Fraksiyonel hosilalar, fraksiyonel differentsial tenglamalar, ularni hal qilishning ba'zi usullari va ularning ba'zi qo'llanmalariga kirish. Tabiatshunoslik va muhandislikda matematika. Akademik matbuot. ISBN  0-12-558840-2.
• Kay Diethelm (2010). "4-bob". Kesirli differentsial tenglamalarni tahlil qilish: Kaputo tipidagi differentsial operatorlar yordamida dasturga yo'naltirilgan ekspozitsiya. Matematikadan ma'ruza matnlari. Geydelberg va Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-642-14573-5.

Tashqi havolalar

• Mittag-Leffler funktsiyasi matematik qo'llanma mathHandbook.com
• Mittag-Leffler funktsiyasi: MATLAB kodi
• Mittag-Leffler va barqaror tasodifiy sonlar: uzluksiz tasodifiy yurishlar va kosmik vaqt fraksiyonel diffuziya tenglamalarini stoxastik echimi

Ushbu maqolada Mittag-Leffler funktsiyasidan olingan materiallar mavjud PlanetMath, ostida litsenziyalangan Creative Commons Attribution / Share-Alike litsenziyasi.