Ko'p o'lchovli tahlil - Multiple-scale analysis

Yilda matematika va fizika, ko'p o'lchovli tahlil (deb ham nomlanadi ko'p tarozi usuli) bir xil kuchga ega bo'lgan qurilish uchun ishlatiladigan texnikani o'z ichiga oladi taxminlar ning echimlariga bezovtalanish muammolari, ning kichik va katta qiymatlari uchun ham mustaqil o'zgaruvchilar. Bu mustaqil o'zgaruvchiga tezkor va sekin o'lchovli o'zgaruvchilarni kiritish orqali amalga oshiriladi va keyinchalik bu o'zgaruvchilarga tez va sekin, go'yo mustaqil kabi muomala qilinadi. Keyinchalik bezovtalanish muammosini hal qilish jarayonida yangi mustaqil o'zgaruvchilar tomonidan kiritilgan qo'shimcha erkinlik (istalmagan) o'chirish uchun ishlatiladi. dunyoviy shartlar. Ikkinchisi chaqirilgan taxminiy echimga cheklovlar qo'yadi eruvchanlik shartlari.

Taxminan 1980-yillarda o'tkazilgan matematik tadqiqotlar shuni ko'rsatadiki, koordinatali transformatsiyalar va o'zgarmas manifoldlar ko'p o'lchovli modellashtirish uchun ishonchli yordam beradi (masalan, qarang markaz kollektori va sekin manifold ).

Masalan: dampingsiz tenglama

Differentsial tenglama va energiyani tejash

Ko'p o'lchovli tahlil usuli uchun namuna sifatida, o'chirilmagan va majburlanmagan holda ko'rib chiqing Duffing tenglamasi:^[1]

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + y + varepsilon y ^ {3} = 0,}

{ displaystyle y (0) = 1, qquad { frac {dy} {dt}} (0) = 0,}

bu ikkinchi tartib oddiy differentsial tenglama tavsiflovchi a chiziqli emas osilator. Yechim y(t) 0 ε ≪ 1. Sönmemiş Duffing tenglamasi a ekanligi ma'lum Gamilton tizimi:

{ displaystyle { frac {dp} {dt}} = - { frac { qisman H} { qisman q}}, qquad { frac {dq} {dt}} = + { frac { qism H} { qisman p}}, quad { matn {bilan}} quad H = { tfrac {1} {2}} p ^ {2} + { tfrac {1} {2}} q ^ {2} + { tfrac {1} {4}} varepsilon q ^ {4},}

bilan q = y(t) va p = dy/dt. Binobarin, Hamiltoniyalik H(p, q) - saqlanadigan miqdor, doimiy, teng H = ½ + ¼ ε berilgan uchun dastlabki shartlar. Bu ikkalasini ham anglatadi y va dy/dt chegaralangan bo'lishi kerak:

{ displaystyle left | y (t) right | leq { sqrt {1 + { tfrac {1} {2}} varepsilon}} quad { text {and}} quad left | { frac {dy} {dt}} right | leq { sqrt {1 + { tfrac {1} {2}} varepsilon}} qquad { text {for all}} t.}

To'g'ridan-to'g'ri bezovtalanish seriyali eritma

Muntazam bezovtalanish seriyali yondashuv muammoga natija beradi:

{ displaystyle y (t) = cos (t) + varepsilon chap [{ tfrac {1} {32}} cos (3t) - { tfrac {1} {32}} cos (t) - underbrace {{ tfrac {3} {8}} , t , sin (t)} _ { text {dunyoviy}} o'ng] + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2 }).}

Kvadrat qavslar orasidagi so'nggi atama dunyoviy: u katta | bilan chegaralanmasdan o'sadit|. Xususan, uchun ${ displaystyle t = O ( epsilon ^ {- 1})}$ bu atama O(1) va etakchi buyurtma muddati bilan bir xil kattalik tartibiga ega. Atamalar tartibsiz bo'lib qolganligi sababli, seriya endi eritmaning asimptotik kengayishi emas.

Ko'p o'lchov usuli

Bundan tashqari haqiqiy echimni yaratish ${ displaystyle t = O ( epsilon ^ {- 1})}$ , usuli ko'p o'lchovli tahlil ishlatilgan. Sekin o'lchovni kiriting t₁:

{ displaystyle t_ {1} = varepsilon t ,}

va echimni o'z zimmangizga oling y(t) ikkalasiga ham bog'liq bo'lgan bezovtalanish seriyali echimdir t va t₁, quyidagicha muomala qilinadi:

{ displaystyle y (t) = Y_ {0} (t, t_ {1}) + varepsilon Y_ {1} (t, t_ {1}) + cdots.}

Shunday qilib:

{ displaystyle { begin {aligned} { frac {dy} {dt}} & = chap ({ frac { qismli Y_ {0}} { qismli t}} + { frac {dt_ {1} } {dt}} { frac { qisman Y_ {0}} { qisman t_ {1}}} o'ng) + varepsilon chap ({ frac { qisman Y_ {1}} { qisman t} } + { frac {dt_ {1}} {dt}} { frac { qismli Y_ {1}} { qisman t_ {1}}} o'ng) + cdots & = { frac { qisman Y_ {0}} { qisman t}} + varepsilon chap ({ frac { qisman Y_ {0}} { qisman t_ {1}}} + { frac { qisman Y_ {1}} { qismli t}} o'ng) + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}), end {hizalangan}}}

foydalanish dt₁/dt = ε. Xuddi shunday:

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = { frac { qismli ^ {2} Y_ {0}} { qismli t ^ {2}}} + varepsilon chap (2 { frac { qismli ^ {2} Y_ {0}} { qisman t , qismli t_ {1}}} + { frac { qismli ^ {2} Y_ {1}} { qismli t ^ {2}}} o'ng) + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}).}

Keyin Duffing tenglamasi uchun ko'p o'lchovli bezovtalanish seriyasining nolinchi va birinchi darajali muammolari quyidagicha bo'ladi:

{ displaystyle { begin {aligned} { frac { qismli ^ {2} Y_ {0}} { qismli t ^ {2}}} + Y_ {0} & = 0, { frac { qisman ^ {2} Y_ {1}} { qismli t ^ {2}}} + Y_ {1} & = - Y_ {0} ^ {3} -2 , { frac { qismli ^ {2} Y_ {0}} { kısmi t , qisman t_ {1}}}. Oxiri {hizalanmış}}}

Qaror

Nolinchi tartibli muammo umumiy echimga ega:

{ displaystyle Y_ {0} (t, t_ {1}) = A (t_ {1}) , e ^ {+ it} + A ^ { ast} (t_ {1}) , e ^ {- it},}

bilan A(t₁) a kompleks qiymatli amplituda nolinchi tartibli echimga Y₀(t, t₁) va men² = -1. Endi, birinchi darajali muammoda o'ng tomon differentsial tenglamaning

{ displaystyle left [-3 , A ^ {2} , A ^ { ast} -2 , i , { frac {dA} {dt_ {1}}} right] , e ^ {+ it} -A ^ {3} , e ^ {+ 3it} + cc}

qayerda v.c. belgisini bildiradi murakkab konjugat oldingi atamalardan. Vujudga kelishi dunyoviy shartlar hali noma'lum bo'lgan amplituda qo'yish orqali oldini olish mumkin A(t₁) eruvchanlik sharti

{ displaystyle -3 , A ^ {2} , A ^ { ast} -2 , i , { frac {dA} {dt_ {1}}} = 0.}

Boshlang'ich shartlarni qondiradigan, eruvchanlik shartining echimi y(0) = 1 va dy/dt(0) = 0, bu:

{ displaystyle A = { tfrac {1} {2}} , exp left ({ tfrac {3} {8}} , i , t_ {1} right).}

Natijada, ko'p o'lchovli tahlil bo'yicha taxminiy echim

{ displaystyle y (t) = cos chap [ chap (1 + { tfrac {3} {8}} , varepsilon right) t right] + { mathcal {O}} ( varepsilon ),}

foydalanish t₁ = εt va uchun amal qiladi εt = O (1). Bu chiziqli bo'lmaganlarga mos keladi chastota foydalanish orqali topilgan o'zgarishlar Lindstedt-Puankare usuli.

Ushbu yangi echim amal qiladi ${ displaystyle t = O ( epsilon ^ {- 2})}$ . Yuqori darajadagi echimlar - ko'p tarozi usuli yordamida qo'shimcha sekin tarozilar kiritilishini talab qiladi, ya'ni: t₂ = ε² t, t₃ = ε³ tva hokazo. Biroq, bu bezovtalanish seriyali eritmasida mumkin bo'lgan noaniqliklarni keltirib chiqaradi, bu ehtiyotkorlik bilan davolashni talab qiladi (qarang Kevorkian va Koul 1996 yil; Bender & Orszag 1999 yil ).^[2]

Koordinatalarni amplituda / faza o'zgaruvchilariga o'tkazish

Shu bilan bir qatorda, zamonaviy tovush yondashuvlari koordinatali transformatsiyalar yordamida ushbu turdagi modellarni ishlab chiqaradi,^[3] keyingi tasvirlanganidek.

Yechim ${ displaystyle y approx r cos theta}$ yangi koordinatalarda izlanadi ${ displaystyle (r, theta)}$ bu erda amplituda ${ displaystyle r (t)}$ sekin o'zgaradi va faza ${ displaystyle theta (t)}$ deyarli doimiy tezlikda o'zgaradi, ya'ni ${ displaystyle d theta / dt taxminan 1.}$ To'g'ridan-to'g'ri algebra koordinata o'zgarishini topadi^{[iqtibos kerak ]}

{ displaystyle y = r cos theta + { frac {1} {32}} varepsilon r ^ {3} cos 3 theta + { frac {1} {1024}} varepsilon ^ {2} r ^ {5} (- 21 cos 3 theta + cos 5 theta) + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {3})}

Duffing tenglamasini radiusi doimiy juftlikka aylantiradi ${ displaystyle dr / dt = 0}$ va faza shunga qarab rivojlanib boradi

{ displaystyle { frac {d theta} {dt}} = 1 + { frac {3} {8}} varepsilon r ^ {2} - { frac {15} {256}} varepsilon ^ { 2} r ^ {4} + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {3}).}

Ya'ni Duffingning tebranishlari doimiy amplituda ${ displaystyle r}$ lekin turli xil chastotalarga ega ${ displaystyle d theta / dt}$ amplituda qarab.^[4]

Keyinchalik qiyin misollar murakkab eksponentlarni o'z ichiga olgan vaqtga bog'liq koordinatali transformatsiya yordamida yaxshilanadi (avvalgi bir necha vaqt o'lchovli yondashuvda ham aytilgan). Veb-xizmat ko'plab misollar uchun tahlilni amalga oshiradi.^[5]

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Ushbu misol quyidagicha ko'rib chiqiladi: Bender & Orszag (1999) 545-551 betlar.
^ Bender & Orszag (1999) p. 551.
^ Lamarque, C.-H .; Tuze, C .; Tomas, O. (2012), "Normal shakl nazariyasiga asoslangan asimptotik analitik yondashuvlarning amal qilish chegaralarining yuqori chegarasi" (PDF), Lineer bo'lmagan dinamikalar, 70 (3): 1931–1949, doi:10.1007 / s11071-012-0584-y, hdl:10985/7473
^ Roberts, AJ, Murakkab tizimlarda paydo bo'ladigan dinamikani modellashtirish, olingan 2013-10-03
^ Roberts, AJ, Oddiy yoki kechiktirilgan differentsial tenglamalarning markaziy manifoldlarini qurish (avtonom), olingan 2013-10-03

Adabiyotlar

Kevorkyan, J .; Koul, J. D. (1996), Ko'p o'lchovli va singular bezovtalanish usullari, Springer, ISBN 978-0-387-94202-5
Bender, CM; Orszag, S.A. (1999), Olimlar va muhandislar uchun zamonaviy matematik usullar, Springer, bet 544–568, ISBN 978-0-387-98931-0
Nayfe, A.H. (2004), Perturbatsiya usullari, Wiley-VCH Verlag, ISBN 978-0-471-39917-9

Tashqi havolalar

Karson C. Chou (tahrir). "Ko'p o'lchovli tahlil". Scholarpedia.

[1] Ushbu misol quyidagicha ko'rib chiqiladi: Bender & Orszag (1999) 545-551 betlar.

[2] Bender & Orszag (1999) p. 551.

[3] Lamarque, C.-H .; Tuze, C .; Tomas, O. (2012), "Normal shakl nazariyasiga asoslangan asimptotik analitik yondashuvlarning amal qilish chegaralarining yuqori chegarasi" (PDF), Lineer bo'lmagan dinamikalar, 70 (3): 1931–1949, doi:10.1007 / s11071-012-0584-y, hdl:10985/7473

[4] Roberts, AJ, Murakkab tizimlarda paydo bo'ladigan dinamikani modellashtirish, olingan 2013-10-03

[5] Roberts, AJ, Oddiy yoki kechiktirilgan differentsial tenglamalarning markaziy manifoldlarini qurish (avtonom), olingan 2013-10-03

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]