Duffing tenglamasi - Duffing equation

A Puankare bo'limi xaotik xatti-harakatni ko'rsatadigan majburiy Duffing tenglamasi

{ displaystyle ( alfa = 1,}

{ displaystyle beta = 5,}

{ displaystyle delta = 0.02,}

{ displaystyle gamma = 8}

va

{ displaystyle omega = 0.5)}

.

The Duffing tenglamasi (yoki Duffing osilator) nomini olgan Jorj Duffing (1861-1944), a chiziqli emas ikkinchi darajali differentsial tenglama aniq modellashtirish uchun ishlatiladi sönümlü va harakatlanadigan osilatörler. Tenglama tomonidan berilgan

{ displaystyle { ddot {x}} + delta { nuqta {x}} + alfa x + beta x ^ {3} = gamma cos ( omega t) ,}

qaerda (noma'lum) funktsiyasi ${ displaystyle x = x (t)}$ vaqt o'zgarishi ${ displaystyle t,}$ ${ displaystyle { dot {x}}}$ birinchi lotin ning ${ displaystyle x}$ vaqtga nisbatan, ya'ni. tezlik va ${ displaystyle { ddot {x}}}$ ning ikkinchi marta hosilasi ${ displaystyle x,}$ ya'ni tezlashtirish. Raqamlar ${ displaystyle delta,}$ ${ displaystyle alfa,}$ ${ displaystyle beta,}$ ${ displaystyle gamma}$ va ${ displaystyle omega}$ doimiylari berilgan.

Tenglama sönümlü osilatörün yanada murakkab bo'lgan harakatini tasvirlaydi salohiyat ga qaraganda oddiy garmonik harakat (bu ish bilan mos keladi ${ displaystyle beta = delta = 0}$ ); jismoniy ma'noda, masalan, an elastik mayatnik kimning bahori qattiqlik aniq itoat qilmaydi Xuk qonuni.

Duffing tenglamasi namoyish etuvchi dinamik tizimning misoli tartibsiz xatti-harakatlar. Bundan tashqari, Duffing tizimi chastotali javob bir xil chastota bo'lgan sakrash rezonans hodisasi histerez xulq-atvor.

Parametrlar

Yuqoridagi tenglamadagi parametrlar:

${ displaystyle delta}$ miqdorini nazorat qiladi amortizatsiya,
${ displaystyle alpha}$ chiziqli boshqaradi qattiqlik,
${ displaystyle beta}$ tiklovchi kuchdagi chiziqli bo'lmaganlikni nazorat qiladi; agar ${ displaystyle beta = 0,}$ Duffing tenglamasi dampingli va boshqariladigan oddiyni tavsiflaydi harmonik osilator,
${ displaystyle gamma}$ bo'ladi amplituda davriy harakatlantiruvchi kuchning; agar ${ displaystyle gamma = 0}$ tizim harakatlantiruvchi kuchsiz va
${ displaystyle omega}$ bo'ladi burchak chastotasi davriy harakatlantiruvchi kuchning.

Duffing tenglamasini nochiziqli biriktirilgan massaning tebranishini tavsiflovchi sifatida ko'rish mumkin bahor va chiziqli damper. Lineer bo'lmagan buloq tomonidan ta'minlanadigan tiklash kuchi shunda ${ displaystyle alpha x + beta x ^ {3}.}$

Qachon ${ displaystyle alpha> 0}$ va ${ displaystyle beta> 0}$ bahor a qattiqlashadigan bahor. Aksincha, uchun ${ displaystyle beta <0}$ bu a yumshatuvchi bahor (hali ham ${ displaystyle alpha> 0}$ ). Binobarin, sifatlar qotish va yumshatish ning qiymatlariga bog'liq holda umuman Duffing tenglamasiga nisbatan ishlatiladi ${ displaystyle beta}$ (va ${ displaystyle alpha}$ ).^[1]

Duffing tenglamasidagi parametrlar sonini masshtablash yo'li bilan ikkiga kamaytirish mumkin, masalan. ekskursiya ${ displaystyle x}$ va vaqt ${ displaystyle t}$ quyidagicha kattalashtirilishi mumkin:^[2] ${ displaystyle tau = t { sqrt { alpha}}}$ va ${ displaystyle y = x alpha / gamma,}$ taxmin qilish ${ displaystyle alpha}$ ijobiy (parametrlarning har xil diapazonlari yoki o'rganilayotgan muammoga turli xil e'tibor berish uchun boshqa o'lchovlar mumkin). Keyin:^[3]

{ displaystyle { ddot {y}} + 2 eta , { nuqta {y}} + y + varepsilon , y ^ {3} = cos ( sigma tau),}

qayerda

{ displaystyle eta = { frac { delta} {2 { sqrt { alpha}}}},}

{ displaystyle varepsilon = { frac { beta gamma ^ {2}} { alpha ^ {3}}}.}

va

{ displaystyle sigma = { frac { omega} { sqrt { alpha}}}.}

Nuqtalar differentsiatsiyani bildiradi ${ displaystyle y ( tau)}$ munosabat bilan ${ displaystyle tau.}$ Bu shuni ko'rsatadiki, majburiy va o'chirilgan Duffing tenglamasining echimlari uchta parametr bo'yicha tavsiflanishi mumkin ( ${ displaystyle varepsilon,}$ ${ displaystyle eta}$ va ${ displaystyle sigma}$ ) va ikkitasi dastlabki shartlar (ya'ni. uchun ${ displaystyle y (t_ {0})}$ va ${ displaystyle { dot {y}} (t_ {0})}$ ).

Yechish usullari

Umuman olganda, Duffing tenglamasi aniq ramziy echimni tan olmaydi. Biroq, ko'plab taxminiy usullar yaxshi ishlaydi:

Kengayish a Fourier seriyasi o'zboshimchalik aniqligiga harakat tenglamasini taqdim etishi mumkin.
The ${ displaystyle x ^ {3}}$ muddat, shuningdek Duffing muddati, kichik deb taxmin qilish mumkin va tizim a sifatida ko'rib chiqilishi mumkin bezovta oddiy harmonik osilator.
The Frobenius usuli murakkab, ammo amaliy echimni beradi.
Har xil raqamli usullar kabi Eyler usuli va Runge-Kutta foydalanish mumkin.
The homotopiya tahlili usuli (HAM) Duffing tenglamasining taxminiy echimlarini olish uchun, shuningdek kuchli chiziqli bo'lmaganligi uchun ham xabar berilgan.^[4]^[5]

Maxsus holatda kiyimsiz ( ${ displaystyle delta = 0}$ ) va noaniq ( ${ displaystyle gamma = 0}$ ) Duffing tenglamasi yordamida aniq echimni olish mumkin Jakobining elliptik funktsiyalari.^[6]

Majburiy bo'lmagan osilator uchun eritmaning chegarasi

Sönmemiş osilator

Söndürülmemiş va majburlanmagan Duffing tenglamasini ko'paytirish, ${ displaystyle gamma = delta = 0,}$ bilan ${ displaystyle { dot {x}}}$ beradi:^[7]

{ displaystyle { begin {aligned} & { dot {x}} left ({ ddot {x}} + alfa x + beta x ^ {3} right) = 0 & Rightarrow { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} chap [{ tfrac {1} {2}} chap ({ nuqta {x}} o'ng) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alfa x ^ {2} + { tfrac {1} {4}} beta x ^ {4} right] = 0 & Rightarrow { tfrac {1} { 2}} chap ({ nuqta {x}} o'ng) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alfa x ^ {2} + { tfrac {1} {4}} beta x ^ {4} = H, end {hizalangan}}}

bilan H doimiy. Ning qiymati H dastlabki shartlar bilan belgilanadi ${ displaystyle x (0)}$ va ${ displaystyle { dot {x}} (0).}$

O'zgartirish ${ displaystyle y = { nuqta {x}}}$ yilda H tizim ekanligini ko'rsatadi Hamiltoniyalik:

{ displaystyle { nuqta {x}} = + { frac { qisman H} { qisman y}},}

{ displaystyle { nuqta {y}} = - { frac { qisman H} { qisman x}}}

bilan

{ displaystyle quad H = { tfrac {1} {2}} y ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alfa x ^ {2} + { tfrac {1} {4} } beta x ^ {4}.}

Ikkalasi ham ${ displaystyle alpha}$ va ${ displaystyle beta}$ ijobiy, echim cheklangan:^[7]

{ displaystyle | x | leq { sqrt {2H / alfa}}}

va

{ displaystyle | { nuqta {x}} | leq { sqrt {2H}},}

Hamiltoniyalik bilan H ijobiy bo'lish.

Sönümlü osilatör

Xuddi shunday, namlangan osilator uchun ham^[8]

{ displaystyle { begin {aligned} & { dot {x}} left ({ ddot {x}} + delta { dot {x}} + alfa x + beta x ^ {3} right ) = 0 & Rightarrow { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} left [{ tfrac {1} {2}} left ({ dot {x}}) o'ng) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alfa x ^ {2} + { tfrac {1} {4}} beta x ^ {4} right] = - delta , chap ({ nuqta {x}} o'ng) ^ {2} & Rightarrow { frac { mathrm {d} H} { mathrm {d} t}} = - delta , chap ({ nuqta {x}} o'ng) ^ {2} leq 0, end {hizalangan}}}

beri ${ displaystyle delta geq 0}$ amortizatsiya uchun. Sönümlü Duffing osilatorini majbur qilmasdan, uning birida tugaydi barqaror muvozanat nuqtasi (lar). Muvozanat nuqtalari barqaror va beqaror, da ${ displaystyle alfa x + beta x ^ {3} = 0.}$ Agar ${ displaystyle alpha> 0}$ barqaror muvozanat esa ${ displaystyle x = 0.}$ Agar ${ displaystyle alpha <0}$ va ${ displaystyle beta> 0}$ barqaror muvozanat ${ displaystyle x = + { sqrt {- alpha / beta}}}$ va ${ displaystyle x = - { sqrt {- alpha / beta}}.}$

Chastotaga javob

Chastotaga javob

{ displaystyle z / gamma}

funktsiyasi sifatida

{ displaystyle omega / { sqrt { alpha}}}

Duffing tenglamasi uchun, bilan

{ displaystyle alpha = gamma = 1}

va amortizatsiya

{ displaystyle delta = 0.1.}

Chastotali javobning kesilgan qismlari beqaror.^[3]

Kubik chiziqli bo'lmagan majburiy Duffing osilatori quyidagi oddiy differentsial tenglama bilan tavsiflanadi:

{ displaystyle { ddot {x}} + delta { dot {x}} + alfa x + beta x ^ {3} = gamma cos ( omega t).}

The chastotali javob ushbu osilatorning amplituda ${ displaystyle z}$ tenglamaning barqaror holatga javobi (ya'ni. ${ displaystyle x (t)}$ ) berilgan vaqtda chastota hayajonlanish ${ displaystyle omega.}$ Bilan chiziqli osilator uchun ${ displaystyle beta = 0,}$ chastotali javob ham chiziqli. Biroq, nol bo'lmagan kubik koeffitsienti uchun chastota reaktsiyasi chiziqli bo'lmaydi. Notekislik turiga qarab Duffing osilatori qotish, yumshatish yoki aralash qotish-yumshatish chastotasi ta'sirini ko'rsatishi mumkin. Yaxshiyamki homotopiya tahlili usuli yoki harmonik muvozanat, quyidagi shaklda chastota reaktsiyasi tenglamasini olish mumkin:^[9]^[5]

{ displaystyle left [ left ( omega ^ {2} - alpha - { frac {3} {4}} beta z ^ {2} right) ^ {2} + left ( delta omega right) ^ {2} right] , z ^ {2} = gamma ^ {2}.}

Duffing tenglamasining parametrlari uchun yuqoridagi algebraik tenglama quyidagini beradi barqaror holat tebranish amplitudasi ${ displaystyle z}$ ma'lum bir qo'zg'alish chastotasida.

Chastotali javobni keltirib chiqarish

Garmonik muvozanat usuli yordamida Duffing tenglamasining taxminiy echimi quyidagi shaklda izlanadi:^[9]

{ displaystyle x = a , cos ( omega t) + b , sin ( omega t) = z , cos ( omega t- phi),}

bilan

{ displaystyle z ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}

va

{ displaystyle tan phi = { frac {b} {a}}.}

Duffing tenglamasida qo'llash quyidagilarga olib keladi:

{ displaystyle { begin {aligned} & left (- omega ^ {2} , a + omega , delta , b + alpha , a + { tfrac {3} {4}} , beta , a ^ {3} + { tfrac {3} {4}} , beta , a , b ^ {2} - gamma right) , cos left ( omega , t o'ng) & + chap (- omega ^ {2} , b- omega , delta , a + { tfrac {3} {4}} , beta , b ^ { 3} + alfa , b + { tfrac {3} {4}} , beta , a ^ {2} , b right) , sin left ( omega , t right) & + chap ({ tfrac {1} {4}} , beta , a ^ {3} - { tfrac {3} {4}} , beta , a , b ^ {2} o'ng) , cos chap (3 , omega , t o'ng) + chap ({ tfrac {3} {4}} , beta , a ^ {2} , b - { tfrac {1} {4}} , beta , b ^ {3} right) , sin left (3 , omega , t right) = 0. end {moslashtirilgan}}}

Ga beparvolik superharmoniklar da ${ displaystyle 3 omega,}$ oldingi ikki muddat ${ displaystyle cos ( omega t)}$ va ${ displaystyle sin ( omega t)}$ nol bo'lishi kerak. Natijada,

{ displaystyle { begin {aligned} & - omega ^ {2} , a + omega , delta , b + alfa , a + { tfrac {3} {4}} , beta , a ^ {3} + { tfrac {3} {4}} , beta , a , b ^ {2} = gamma qquad { text {and}} & - omega ^ { 2} , b- omega , delta , a + { tfrac {3} {4}} , beta , b ^ {3} + alfa , b + { tfrac {3} {4 }} , beta , a ^ {2} , b = 0. end {hizalangan}}}

Ikkala tenglamani kvadratga solish va qo'shib qo'yish amplituda chastotali javobga olib keladi:

{ displaystyle left [ left ( omega ^ {2} - alpha - { frac {3} {4}} beta z ^ {2} right) ^ {2} + left ( delta omega right) ^ {2} right] , z ^ {2} = gamma ^ {2},}

yuqorida aytib o'tilganidek.

Sakrash

Chastotani ta'sirida sakrash. Parametrlar:

{ displaystyle alpha = gamma = 1,}

,

{ displaystyle beta = 0.04}

va

{ displaystyle delta = 0.1.}

^[9]

Duffing tenglamasidagi parametrlarning ma'lum diapazonlari uchun chastota reaksiyasi endi a bo'lishi mumkin emas bitta qiymatli funktsiya majburiy chastota ${ displaystyle omega.}$ Qattiqlashtiruvchi kamon osilatori uchun ( ${ displaystyle alpha> 0}$ va etarlicha katta ijobiy ${ displaystyle beta> beta _ {c +}> 0}$ ) chastotali javob yuqori chastotali tomonga va yumshatuvchi kamon osilatori uchun past chastotali tomonga ko'tariladi ( ${ displaystyle alpha> 0}$ va ${ displaystyle beta < beta _ {c -} <0}$ ). Pastki osma tomoni beqaror - ya'ni chastota ta'sirining raqamlaridagi chiziqli qismlar - va barqaror vaqt davomida amalga oshirilmaydi. Natijada, sakrash hodisasi quyidagicha namoyon bo'ladi:

qachon burchak chastotasi ${ displaystyle omega}$ asta-sekin oshiriladi (boshqa parametrlar o'rnatilganda), javob amplituda ${ displaystyle z}$ to'satdan A ga B ga tushadi,
agar chastota ${ displaystyle omega}$ sekin kamayadi, keyin C da amplituda D ga sakrab chiqadi, so'ngra chastota reaktsiyasining yuqori tarmog'idan keyin.

A-B va C-D sakrashlari mos kelmaydi, shuning uchun tizim ko'rsatmoqda histerez chastotani tozalash yo'nalishiga qarab.^[9]

Misollar

Vaqt izlari va fazaviy portretlar

davr-1 tebranishi

{ displaystyle gamma = 0.20}

davr-2 tebranishi

{ displaystyle gamma = 0.28}

davr-4 tebranishi

{ displaystyle gamma = 0.29}

davr-5 tebranishi

{ displaystyle gamma = 0.37}

tartibsizlik

{ displaystyle gamma = 0.50}

davr-2 tebranishi

{ displaystyle gamma = 0.65}

Ning ba'zi odatiy misollari vaqt qatorlari va fazaviy portretlar ko'rinishini ko'rsatadigan Duffing tenglamasining subarmonikalar orqali davri ikki baravar ko'payadigan bifurkatsiya - shuningdek tartibsiz xatti-harakatlar - quyidagi rasmlarda ko'rsatilgan. Majburiy amplituda ${ displaystyle gamma = 0.20}$ ga ${ displaystyle gamma = 0.65.}$ Boshqa parametrlar quyidagi qiymatlarga ega: ${ displaystyle alpha = -1,}$ ${ displaystyle beta = + 1,}$ ${ displaystyle delta = 0.3}$ va ${ displaystyle omega = 1.2.}$ Dastlabki shartlar ${ displaystyle x (0) = 1}$ va ${ displaystyle { dot {x}} (0) = 0.}$ Faza portretlaridagi qizil nuqta ba'zida ${ displaystyle t}$ qaysi biri tamsayı ning ko'pi davr ${ displaystyle T = 2 pi / omega.}$ ^[10]

Adabiyotlar

Mos ravishda

^ Tompson, JMT .; Styuart, X.B. (2002). Lineer bo'lmagan dinamikalar va betartiblik. John Wiley & Sons. p. 66. ISBN 9780471876847.
^ Lifshitz, R .; Xoch, M.C. (2008). "Nanomekanik va mikromekanik rezonatorlarning chiziqli bo'lmagan mexanikasi". Shusterda XG (tahrir). Lineer bo'lmagan dinamikasi va murakkabligi sharhlari. Vili. 8-9 betlar. ISBN 9783527407293. LCCN 2008459659.
^ ^a ^b Brennan, M.J .; Kovachich, I .; Karrella, A .; Waters, T.P. (2008). "Duffing osilatorining sakrash va pastga tushirish chastotalarida". Ovoz va tebranish jurnali. 318 (4–5): 1250–1261. doi:10.1016 / j.jsv.2008.04.032.
^ Kovachich va Brennan (2011, 123-127 betlar)
^ ^a ^b Tajaddodianfar, F.; Yazdi, M.R .; Pishkenari, XN (2016). "MEMS / NEMS rezonatorlarining chiziqli bo'lmagan dinamikasi: homotopik tahlil usuli bilan analitik echim". Microsystem Technologies. doi:10.1007 / s00542-016-2947-7.
^ Rand, RH (2012), Lineer bo'lmagan tebranishlar bo'yicha ma'ruza matnlari (PDF), 53, Kornell universiteti, 13-17 betlar
^ ^a ^b Bender & Orszag (1999 y.), p. 546)
^ Takashi Kanamaru (tahrir). "Duffing osilator". Scholarpedia.
^ ^a ^b ^v ^d Jordan va Smit (2007), 223–233 betlar)
^ Ko'rsatilgan misollar asosida Jordan va Smit (2007), 453-462 betlar)

Tarixiy

Duffing, G. (1918), Erzwungene Schwingungen beig verändderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung [O'zgaruvchan tabiiy chastotali majburiy tebranishlar va ularning texnik ahamiyati] (nemis tilida), Heft 41/42, Braunschweig: Vieweg, vi + 134 pp., OCLC 12003652

Boshqalar

Addison, P.S. (1997), Fraktallar va betartiblik: tasvirlangan kurs, CRC Press, 147–148 betlar, ISBN 9780849384431
Bender, CM; Orszag, S.A. (1999), Olimlar va muhandislar uchun ilg'or matematik usullar I: asimptotik usullar va xursandchilik nazariyasi, Springer, 545-551 betlar, ISBN 9780387989310
Iordaniya, D.V .; Smit, P. (2007), Lineer bo'lmagan oddiy differentsial tenglamalar - olimlar va muhandislar uchun kirish (4-nashr), Oksford universiteti matbuoti, ISBN 978-0-19-920824-1
Kovachich, I .; Brennan, MJ, nashr. (2011), Duffing tenglamasi: Lineer bo'lmagan osilatorlar va ularning harakati, Uili, 392 bet, ISBN 978-0-470-71549-9

Tashqi havolalar

Scholarpedia-da duffing osilator
MathWorld sahifasi
Pchelintsev, A.N .; Ahmad, S. (2020). "Duffing tenglamasini kuchning seriyali usuli bilan hal qilish" (PDF). TDTU operatsiyalari. 26 (1): 118–123.CS1 maint: ref = harv (havola)

[1] Tompson, JMT .; Styuart, X.B. (2002). Lineer bo'lmagan dinamikalar va betartiblik. John Wiley & Sons. p. 66. ISBN 9780471876847.

[2] Lifshitz, R .; Xoch, M.C. (2008). "Nanomekanik va mikromekanik rezonatorlarning chiziqli bo'lmagan mexanikasi". Shusterda XG (tahrir). Lineer bo'lmagan dinamikasi va murakkabligi sharhlari. Vili. 8-9 betlar. ISBN 9783527407293. LCCN 2008459659.

[BKCW2008-3] Brennan, M.J .; Kovachich, I .; Karrella, A .; Waters, T.P. (2008). "Duffing osilatorining sakrash va pastga tushirish chastotalarida". Ovoz va tebranish jurnali. 318 (4–5): 1250–1261. doi:10.1016 / j.jsv.2008.04.032.

[4] Kovachich va Brennan (2011, 123-127 betlar)

[ReferenceA-5] Tajaddodianfar, F.; Yazdi, M.R .; Pishkenari, XN (2016). "MEMS / NEMS rezonatorlarining chiziqli bo'lmagan dinamikasi: homotopik tahlil usuli bilan analitik echim". Microsystem Technologies. doi:10.1007 / s00542-016-2947-7.

[6] Rand, RH (2012), Lineer bo'lmagan tebranishlar bo'yicha ma'ruza matnlari (PDF), 53, Kornell universiteti, 13-17 betlar

[BO99-7] Bender & Orszag (1999 y.), p. 546)

[8] Takashi Kanamaru (tahrir). "Duffing osilator". Scholarpedia.

[JordanSmith-9] v ^d Jordan va Smit (2007), 223–233 betlar)

[10] Ko'rsatilgan misollar asosida Jordan va Smit (2007), 453-462 betlar)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]