Asab (toifalar nazariyasi) - Nerve (category theory)

Yilda toifalar nazariyasi, matematika bo'yicha intizom, the asab N(C) ning kichik toifa C a sodda to'plam ning predmetlari va morfizmlaridan tuzilgan C. The geometrik amalga oshirish Ushbu soddalashtirilgan to'plamning a topologik makon, deb nomlangan toifadagi joyni tasniflash C. Ushbu yaqin ob'ektlar ba'zi tanish va foydali toifalar yordamida ma'lumot berishi mumkin algebraik topologiya, ko'pincha homotopiya nazariyasi.

Motivatsiya

Kategoriya nervi ko'pincha topologik versiyalarini yaratish uchun ishlatiladi moduli bo'shliqlari. Agar X ning ob'ekti hisoblanadi C, uning moduli maydoni qandaydir tarzda izomorfik barcha ob'ektlarni kodlashi kerak X va ushbu toifadagi ushbu ob'ektlarning barchasi o'rtasidagi turli xil izomorfizmlarni kuzatib boring. Bu juda murakkablashishi mumkin, ayniqsa ob'ektlarda o'ziga xos bo'lmagan avtomorfizmlar ko'p bo'lsa. Nerv bu ma'lumotlarni tashkil qilishning kombinatorial usulini ta'minlaydi. Soddalashtirilgan to'plamlar yaxshi homotopiya nazariyasiga ega bo'lganligi sababli, har xil homotopiya guruhlarining ma'nosi haqida savollar berish mumkin._n(N(C)). Bunday savollarga javoblar asl toifaga oid qiziqarli ma'lumotlarni beradi deb umid qiladi Cyoki tegishli toifalar haqida.

Nerv tushunchasi klassik tushunchani bevosita umumlashtirishdir bo'shliqni tasniflash diskret guruh; tafsilotlar uchun pastga qarang.

Qurilish

Ruxsat bering C kichik toifaga bo'ling. 0-simpleks mavjud N(C) ning har bir ob'ekti uchun C. Har bir morfizm uchun 1-simpleks mavjud f : x → y yilda C. Endi shunday deb taxmin qiling f: x → y va g : y →  z morfizmlardirC. Keyin bizda ularning tarkibi ham bor gf : x → z.

2-oddiy.

Diagramma bizning harakatlarimizni taklif qiladi: ushbu kommutativ uchburchak uchun 2-simpleks qo'shing. Har bir 2-simpleks N(C) shu tarzda tuziladigan juft morfizmlardan kelib chiqadi. Ushbu 2-soddaliklarning qo'shilishi kompozitsiya natijasida olingan morfizmlarni o'chirmaydi yoki boshqacha tarzda e'tiborsiz qoldirmaydi, shunchaki ular shunday paydo bo'lganligini eslaydi.

Umuman, N(C)_k iborat k-kompozitsiyali morfizmlar

${displaystyle A_ {0} o A_ {1} o A_ {2} o cdots o A_ {k-1} o A_ {k}}$

ning C. Ning ta'rifini bajarish uchun N(C) soddalashtirilgan to'plam sifatida biz yuz va degeneratsiya xaritalarini ham ko'rsatishimiz kerak. Bular bizga tuzilishi bilan ham ta'minlangan C kategoriya sifatida. Yuz xaritalari

${displaystyle d_ {i} ikki nuqta N (C) _ {k} o N (C) _ {k-1}}$

da morfizmlarning tarkibi bilan berilgan menob'ekt (yoki olib tashlash menketma-ketlikdan ob'ekt, qachon men 0 yoki k).^[1] Bu shuni anglatadiki d_men yuboradi k- juftlik

${displaystyle A_ {0} o cdots o A_ {i-1} o A_ {i} o A_ {i + 1} o cdots o A_ {k}}$

uchun (k - 1) - juftlik

${displaystyle A_ {0} o cdots o A_ {i-1} o A_ {i + 1} o cdots o A_ {k}.}$

Ya'ni xarita d_men morfizmlarni tuzadi A_men−1 → A_men va A_men → A_men+1 morfizmga A_men−1 → A_men+1, hosil (k - 1) -tupl k- juftlik.

Xuddi shunday, degeneratsiya xaritalari

${displaystyle s_ {i}: N (C) _ {k} o N (C) _ {k + 1}}$

ob'ektga identifikator morfizmini kiritish orqali beriladi A_men.

Soddalashtirilgan to'plamlar deb ham qaralishi mumkin funktsiyalar Δ^op → O'rnatish, bu erda $ p $ - butunlay tartiblangan cheklangan to'plamlar va tartibni saqlovchi morfizmlar toifasi. Har bir qisman buyurtma qilingan to'plam P (kichik) toifani beradi men(P) elementlari bilan ob'ektlar bilan P va dan noyob morfizm bilan p ga q har doim p ≤ q yilda P. Shunday qilib biz funktsiyani olamiz men Δ toifasidan kichik toifalar toifasiga. Endi toifadagi asabni tasvirlashimiz mumkin C funktsiyasi sifatida Δ^op → O'rnatish

${displaystyle N (C) (?) = mathrm {Fun} (i (?), C).,}$

Nervning bu ta'rifi funktsionallikni shaffof qiladi; masalan, kichik toifalar orasidagi funktsiya C va D. soddalashtirilgan to‘plamlar xaritasini chiqaradi N(C) → N(D.). Bundan tashqari, ikkita bunday funktsiyalar orasidagi tabiiy o'zgarish induktsiya qilingan xaritalar o'rtasida gomotopiyani keltirib chiqaradi. Ushbu kuzatishni quyidagi tamoyillardan birining boshlanishi deb hisoblash mumkin yuqori toifadagi nazariya. Bundan kelib chiqadiki qo'shma funktsiyalar qo'zg'atmoq homotopiya ekvivalentlari. Xususan, agar C bor boshlang'ich yoki yakuniy ob'ekt, uning nervi qisqaradi.

Misollar

Dastlabki misol - diskret guruhning tasniflash maydoni G. Biz hisobga olamiz G endomorfizmlari elementlari bo'lgan bitta ob'ektga ega kategoriya sifatida G. Keyin k-soddalari N(G) adolatli kning elementlari G. Yuz xaritalari ko'paytirish orqali, degeneratsiya xaritalari esa identifikator elementini kiritish orqali harakat qiladi. Agar G - bu ikkita elementli guruh, unda aniq bitta noaniqlik mavjud k- har bir salbiy bo'lmagan butun son uchun oddiy k, noyobga mos keladi k- elementlarning birikmasi G identifikatorlarni o'z ichiga olmaydi. Geometrik amalga oshirishga o'tgandan so'ng, bu k-tuplni noyob bilan aniqlash mumkin k- odatdagidek uyali aloqa CW cheksiz o'lchovli struktura haqiqiy proektsion makon. Ikkinchisi guruhni ikkita element bilan tasniflash uchun eng mashhur modeldir. Qo'shimcha tafsilotlar va yuqorida keltirilganlarning Milnorning qo'shilish qurilishiga aloqasi (Segal 1968) ga qarang BG.

Bo'shliqlarning aksariyati tasniflash joylari

Har bir "oqilona" topologik makon kichik toifadagi tasniflash maydoni uchun gomomorfdir. Bu erda "oqilona" degani, bu bo'shliq soddalashtirilgan to'plamning geometrik amalga oshirilishini anglatadi. Bu shubhasiz zarur shart; bu ham etarli. Haqiqatan ham, ruxsat bering X soddalashtirilgan to'plamning geometrik amalga oshirilishi K. In soddaliklar to'plami K munosabat bilan qisman buyurtma qilingan x ≤ y agar va faqat agar x ning yuzi y. Ushbu qisman buyurtma qilingan to'plamni kategoriya deb hisoblashimiz mumkin. Ushbu toifadagi asab baritsentrik bo'linma ning Kva shu tariqa uni amalga oshirish gomomorfik xususiyatga ega X, chunki X ning amalga oshirilishi K gipoteza va baritsentrik bo'linish bo'yicha amalga oshirishning gomomorfizm turini o'zgartirmaydi.

Ochiq qoplamaning nervi

Agar X ochiq qopqoqli topologik makondir U_men, qopqoqning nervi yuqoridagi ta'riflardan qopqoqni qisman buyurtma qilingan to'plam sifatida to'plamni qo'shilish bilan bog'liqligi bo'yicha olingan toifaga almashtirish orqali olinadi. E'tibor bering, bu asabni amalga oshirish umuman gomomorfik emas X (yoki hatto homotopiya ekvivalenti).

Modulli misol

Nerv qurilishi yordamida xaritalash joylarini tiklash va hatto xaritalar to'g'risida "yuqori homotopik" ma'lumot olish mumkin. Ruxsat bering D. kategoriya bo'ling va ruxsat bering X va Y ob'ektlari bo'lishi D.. Ko'pincha morfizmlar to'plamini hisoblash qiziqtiradi X → Y. Ushbu to'plamni tiklash uchun biz asab tuzilishidan foydalanishimiz mumkin. Ruxsat bering C = C(X,Y) ob'ektlari diagrammalar bo'lgan toifaga bo'ling

${displaystyle Xlongleftarrow Ulongrightarrow Vlongleftarrow Y}$

shundayki, morfizmlar U → X va Y → V izomorfizmlardir D.. Morfizmlar C(X, Y) quyidagi shakldagi diagrammalar:

Bu erda ko'rsatilgan xaritalar izomorfizm yoki identifikator bo'lishi kerak. Asab C(X, Y) bo'ladi moduli maydoni xaritalar X → Y. Tegishli model toifasi Bu modullar maydoni gorotopiyaning zaif morfizmlari to'plamiga teng D. dan X gaY.

Adabiyotlar

• Blanc, D., W. G. Dwyer va P.G. Gollar. "A amalga oshirish maydoni ${displaystyle Pi}$-algebra: algebraik topologiyada modul muammosi. "Topologiya 43 (2004), № 4, 857-892.
• Goerss, P. G. va M. J. Xopkins. "Kommutativ halqa spektrlarining moduli bo'shliqlari." Tuzilgan halqa spektrlari, 151–200, London matematikasi. Soc. Ma'ruza matnlari ser., 315, Kembrij universiteti. Press, Kembrij, 2004 yil.
• Segal, Grem. "Bo'shliqlarni va spektral ketma-ketlikni tasniflash". Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matematika. № 34 (1968) 105-112.
• Asab yilda nLab