Moduli maydoni - Moduli space

Yilda matematika, jumladan algebraik geometriya, a moduli maydoni geometrik bo'shliq (odatda a sxema yoki an algebraik suyakka ) kimning nuqtalari algebro-geometrik moslamalarni biron bir aniq turini ifodalasa yoki izomorfizm sinflari bunday ob'ektlarning. Bunday joylar tez-tez tasniflash muammolarini hal qilishda paydo bo'ladi: Agar qiziqarli ob'ektlar to'plami (masalan, silliq) ekanligini ko'rsatish mumkin bo'lsa algebraik egri chiziqlar sobit tur ) ga geometrik bo'shliqning tuzilishi berilishi mumkin, so'ngra hosil bo'lgan bo'shliqqa koordinatalarni kiritish orqali bunday ob'ektlarni parametrlash mumkin. Shu nuqtai nazardan, "modul" atamasi "parametr" bilan sinonim sifatida ishlatiladi; moduli bo'shliqlari dastlab ob'ektlarning bo'shliqlari sifatida emas, balki parametrlarning bo'shliqlari sifatida tushunilgan. Modul bo'shliqlarining bir varianti rasmiy modullar.

Motivatsiya

Moduli bo'shliqlari - bu geometrik tasniflash masalalari echimlarining bo'shliqlari. Ya'ni modullar makonining nuqtalari geometrik masalalar echimlariga to'g'ri keladi. Bu erda turli xil echimlar izomorf bo'lsa (ya'ni geometrik jihatdan bir xil bo'lsa) aniqlanadi. Modulli bo'shliqlarni muammo uchun universal parametr maydonini berish deb hisoblash mumkin. Masalan, Evklid tekisligidagi barcha doiralarni muvofiqlikgacha topish muammosini ko'rib chiqing. Har qanday doirani uchta nuqta berish orqali noyob tarzda tavsiflash mumkin, ammo uchta turli xil to'plamlarning to'plamlari bir xil doirani beradi: yozishmalar birma-bir. Biroq, doiralar o'zlarining markazlari va radiuslarini berib noyob parametrlanadi: bu ikkita haqiqiy parametr va bitta ijobiy real parametr. Bizni faqat "muvofiqlikgacha" doiralar qiziqtirganligi sababli, biz turli xil markazlarga ega, ammo radiusi bir xil bo'lgan doiralarni aniqlaymiz va shuning uchun qiziqishlar to'plamini parametrlash uchun faqat radius kifoya qiladi. Modullar maydoni, shuning uchun ijobiy haqiqiy sonlar.

Moduli bo'shliqlari ko'pincha tabiiy geometrik va topologik tuzilmalarni o'z ichiga oladi. Masalan, doiralar misolida modullar maydoni shunchaki mavhum to'plam emas, balki radiuslar farqining mutlaq qiymati a ni aniqlaydi metrik ikki doiraning "yaqin" bo'lishini aniqlash uchun. Modul bo'shliqlarining geometrik tuzilishi bizga geometrik tasniflash masalasining ikkita echimi "yaqin" bo'lganligini aytadi, lekin odatda modul bo'shliqlari ham murakkab global tuzilishga ega.

Qurilish P¹(R) 0 θ θ <π o'zgaruvchan yoki bo'shliqning maydoni sifatida S¹.

Masalan, qatorlar to'plamini qanday tavsiflashni ko'rib chiqing R² kelib chiqishini kesib o'tadigan. Biz har bir satrga tayinlashni xohlaymiz L bu oilani noyob tarzda aniqlay oladigan miqdor - modul. Bunday miqdorning misoli musbat burchakdir θ (L) 0 ≤ θ <π radian bilan. Chiziqlar to'plami L shuning uchun parametrlangan sifatida tanilgan P¹(R) va deyiladi haqiqiy proektsion chiziq.

Shuningdek, biz qatorlar to'plamini tasvirlashimiz mumkin R² topologik qurilish yordamida kelib chiqishini kesib o'tgan. Aql-idrok uchun: o'ylab ko'ring S¹ ⊂ R² va har bir nuqtaga e'tibor bering s ∈ S¹ chiziq beradi L(s) to'plamda (kelib chiqishiga qo'shiladigan va s). Biroq, ushbu xarita ikkitadan bittaga to'g'ri keladi, shuning uchun biz aniqlamoqchimiz s ~ −s hosil bermoq P¹(R) ≅ S¹/ ~ bu joydagi topologiya topologiyasi tomonidan qo'zg'atilgan kvant xaritasi S¹ → P¹(R).

Shunday qilib, qachon ko'rib chiqamiz P¹(R) ning boshini kesib o'tuvchi chiziqlarning moduli maydoni sifatida R², biz doimiy ravishda 0 ≤ lines <π o'zgarishi bilan oila a'zolari (bu holda chiziqlar) modulyatsiya qilish usullarini qo'lga kiritamiz.

Asosiy misollar

Proektsion makon va Grassmannians

The haqiqiy proektsion makon Pⁿ chiziqlar oralig'ini parametrlashtiradigan modulli bo'shliq Rⁿ⁺¹ kelib chiqishi orqali o'tadigan. Xuddi shunday, murakkab proektsion makon barcha murakkab chiziqlarning maydoni Cⁿ⁺¹ kelib chiqishi orqali o'tish.

Umuman olganda, Grassmannian G(k, V) vektor makonining V maydon ustida F barchaning moduli makoni kning o'lchovli chiziqli pastki bo'shliqlari V.

Proektsion makon global miqyosda ishlab chiqarilgan bo'limlari bo'lgan juda keng chiziqli to'plamlarning modullari sifatida

Har doim sxemani joylashtirish mavjud bo'lganda ${ displaystyle X}$ universal proektsion makonga ${ displaystyle mathbf {P} _ { mathbb {Z}} ^ {n}}$^[1][2], ichki chiziq satr to'plami bilan berilgan ${ displaystyle { mathcal {L}} dan X} gacha$ va ${ displaystyle n + 1}$ bo'limlar ${ displaystyle s_ {0}, ldots, s_ {n} in Gamma (X, { mathcal {L}})}$ barchasi bir vaqtning o'zida yo'q bo'lib ketmaydi. Bu shuni anglatadiki, bir nuqta berilgan

${ displaystyle x: { text {Spec}} (R) to X}$

bog'liq nuqta bor

${ displaystyle { hat {x}}: { text {Spec}} (R) to mathbf {P} _ { mathbb {Z}} ^ {n}}$

kompozitsiyalar tomonidan berilgan

${ displaystyle [s_ {0}: cdots: s_ {n}] circ x = [s_ {0} (x): cdots: s_ {n} (x)] in mathbf {P} _ { mathbb {Z}} ^ {n} (R)}$

Keyinchalik, bo'limlari bo'lgan ikkita chiziqli to'plamlar tengdir

${ displaystyle ({ mathcal {L}}, (s_ {0}, ldots, s_ {n})) sim ({ mathcal {L}} ', (s_ {0}', ldots, s_ {n} '))}$

agar izomorfizm bo'lsa ${ displaystyle phi: { mathcal {L}} to { mathcal {L}} '}$ shu kabi ${ displaystyle phi (s_ {i}) = s_ {i} '}$. Bu bog'liq moduli funktsiyasi degan ma'noni anglatadi

${ displaystyle mathbf {P} _ { mathbb {Z}} ^ {n}: { text {Sch}} to { text {Sets}}}$

sxemani yuboradi ${ displaystyle X}$ to'plamga

${ displaystyle mathbf {P} _ { mathbb {Z}} ^ {n} (X) = left {({ mathcal {L}}, s_ {0}, ldots, s_ {n}) : { begin {matrix} { mathcal {L}} to X { text {qatorlar to'plami}} s_ {0}, ldots, s_ {n} in Gamma (X, { mathcal {L}}) { text {global bo'limlarning asosini tashkil etadi}} end {matrix}} right } / sim}$

Buning to'g'riligini bir qator tautologiyalar orqali bajarish mumkin: har qanday proektsion ko'mish ${ displaystyle i: X to mathbb {P} _ { mathbb {Z}} ^ {n}}$ dunyo miqyosida hosil bo'lgan pog'onani beradi ${ displaystyle i ^ {*} { mathcal {O}} _ { mathbf {P} _ { mathbb {Z}} ^ {n}} (1)}$ bo'limlari bilan ${ displaystyle i ^ {*} x_ {0}, ldots, i ^ {*} x_ {n}}$. Aksincha, keng chiziqli to'plam berilgan ${ displaystyle { mathcal {L}} dan X} gacha$ tomonidan global ishlab chiqarilgan ${ displaystyle n + 1}$ bo'limlari yuqoridagi singari joylashishni beradi.

Chow xilma-xilligi

The Chow xilma-xilligi Chow(d,P³) darajani parametrlashtiradigan proektsion algebraik xilma d egri chiziqlar P³. U quyidagicha qurilgan. Ruxsat bering C daraja egri bo'lishi d yilda P³, keyin barcha satrlarni ko'rib chiqing P³ egri chiziqni kesib o'tgan C. Bu daraja d bo'luvchi D._C yilda G(2, 4), chiziqlarning Grassmannian P³. Qachon C assotsiatsiya orqali farq qiladi C ga D._C, biz daraja parametr maydonini olamiz d egri chiziqlar daraja maydonining kichik to'plami sifatida d Grassmannianning bo'linuvchilari: Chow(d,P³).

Hilbert sxemasi

The Hilbert sxemasi Xilb(X) modullar sxemasi. Ning har bir yopiq nuqtasi Xilb(X) sobit sxemaning yopiq subshemiga mos keladi X, va har bir yopiq pastki qism shunday nuqta bilan ifodalanadi.

Ta'riflar

Modulli bo'shliq deb atashimiz mumkin bo'lgan narsalarning bir nechta o'xshash tushunchalari mavjud. Ushbu ta'riflarning har biri kosmik nuqtalar uchun nimani anglatishi to'g'risida turli xil tushunchalarni rasmiylashtiradi M geometrik moslamalarni aks ettirish.

Nozik modulli bo'shliqlar

Bu standart tushuncha. Evristik jihatdan, agar bizda bo'sh joy bo'lsa M buning uchun har bir nuqta m ∊ M algebro-geometrik ob'ektga mos keladi U_m, keyin biz ushbu moslamalarni a ga yig'ishimiz mumkin tavtologik oila U ustida M. (Masalan, Grassmannian G(k, V) unvonga ega k har qanday nuqtada tolaning to'plami [L] ∊ G(k, V) shunchaki chiziqli pastki bo'shliqdir L ⊂ V.) M deyiladi a asosiy bo'shliq oilaning U. Biz buni aytamiz bunday oila bu universal agar algebro-geometrik narsalarning biron bir oilasi bo'lsa T har qanday asosiy bo'shliq ustida B bo'ladi orqaga tortish ning U noyob xarita bo'ylab B → M. Yaxshi modulli bo'shliq - bu bo'shliq M bu universal oilaning asosidir.

Aniqroq aytaylik, bizda funktsiya mavjud F sxemalardan to'plamlarga, bu sxemani belgilaydigan B bazaga ega bo'lgan barcha mos keladigan oilalar to'plami B. Bo'sh joy M a nozik modullar maydoni funktsiya uchun F agar M ifodalaydi F, ya'ni tabiiy izomorfizm mavjud: F → Uy(−, M), qaerda Uy(−, M) nuqtalarning funktsiyasi. Bu shuni anglatadiki M universal oilani olib yuradi; bu oila - oila M hisobga olish xaritasiga mos keladigan 1_M ∊ Uy(M, M).

Qattiq modulli bo'shliqlar

Nozik modul bo'shliqlari maqbuldir, lekin ular har doim ham mavjud emas va ularni qurish ko'pincha qiyin, shuning uchun matematiklar ba'zan zaifroq tushunchani, qo'pol modullar makoni g'oyasini qo'llaydilar. Bo'sh joy M a qo'pol modullar maydoni funktsiya uchun F agar tabiiy o'zgarish mavjud bo'lsa: F → Uy(−, M) va τ bunday tabiiy o'zgarishlarning orasida universaldir. Aniqroq aytganda, M uchun qo'pol modul maydoni F agar biron bir oila bo'lsa T taglik ustida B xaritani keltirib chiqaradi φ_T : B → M va har qanday ikkita ob'ekt V va V (bir nuqtada oilalar sifatida qaraladi) xuddi shu nuqtaga to'g'ri keladi M agar va faqat agar V va V izomorfikdir. Shunday qilib, M - bu oilada paydo bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday ob'ekt uchun nuqta bo'lgan va geometriya ob'ektlarning turlicha bo'lishini aks ettiradigan bo'shliq. Ammo shuni yodda tutingki, qo'pol modulli kosmosda, albatta, har qanday mos ob'ektlar oilasi, umuman olganda, umuman bo'lmaydi.

Boshqacha qilib aytganda, nozik modullar maydoni o'z ichiga oladi ikkalasi ham asosiy bo'shliq M va universal oila U → M, qo'pol modulli bo'shliqda faqat asosiy bo'shliq mavjud M.

Moduli to'plamlari

Qiziqarli geometrik ob'ektlar ko'plab tabiiy narsalar bilan jihozlanganligi tez-tez uchraydi avtomorfizmlar. Bu, ayniqsa, nozik modullar makonining mavjudligini imkonsiz qiladi (intuitiv ravishda, agar shunday bo'lsa, degan fikr L ba'zi bir geometrik ob'ekt, ahamiyatsiz oila L × [0,1] aylanada o'ralgan oilaga aylanishi mumkin S¹ aniqlash orqali L × {0} bilan L × {1} nontrivial avtomorfizm orqali. Endi yaxshi modulli joy bo'lsa X mavjud edi, xarita S¹ → X doimiy bo'lmasligi kerak, ammo ahamiyatsizlik bilan belgilanadigan har qanday to'g'ri to'plamda doimiy bo'lishi kerak), ba'zida hali ham qo'pol modulli bo'shliqni olish mumkin. Biroq, bu yondashuv ideal emas, chunki bunday bo'shliqlar mavjud bo'lishiga kafolat berilmaydi, ular mavjud bo'lganda ular tez-tez singular bo'ladi va ular tasniflagan ba'zi bir ahamiyatsiz oilalar haqida batafsil ma'lumotni sog'inishadi.

Izomorfizmlarni eslab, tasnifni boyitish yanada murakkab yondashuvdir. Aniqrog'i, har qanday asosda B oilalar toifasini ko'rib chiqish mumkin B morfizm sifatida qabul qilingan oilalar orasidagi faqat izomorfizmlar bilan. Ulardan biri tolali toifa har qanday bo'shliqni belgilaydi B oilalar guruhi B. Ulardan foydalanish gruppaoidlarda tolalangan toifalar moduli muammosini tavsiflash Grothendieck (1960/61) ga qaytadi. Umuman olganda, ularni sxemalar yoki hatto ifodalash mumkin emas algebraik bo'shliqlar, lekin ko'p hollarda ular an ning tabiiy tuzilishiga ega algebraik suyakka.

Algebraik to'plamlar va ulardan modul muammolarini tahlil qilishda foydalanish (qo'pol) ning kamayib ketmasligini isbotlovchi vosita sifatida Deligne-Mumford (1969) da paydo bo'ldi. egri chiziqlar moduli ma'lum bir turdagi. Algebraik steklarning tili asosan modullar muammosini tashkil etuvchi tolali toifani "bo'shliq", va moduli to'plami Ko'pgina moduli muammolari mos keladigan qo'pol modullar maydoniga qaraganda yaxshiroq (masalan, silliq).

Boshqa misollar

Egri chiziqlar moduli

Modullar to'plami ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g}}$ jinslarning tekis proektsiyali egri chiziqlari oilalarini tasniflaydi g, ularning izomorfizmlari bilan birgalikda. Qachon g > 1 bo'lsa, bu stack barqaror tugun egri chiziqlariga (ularning izomorfizmlari bilan birgalikda) to'g'ri keladigan yangi "chegara" nuqtalarini qo'shish orqali ixchamlashtirilishi mumkin. Egri chiziqli, agar u faqat cheklangan avtomorfizmlar guruhiga ega bo'lsa. Olingan stek belgilanadi ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g}}$. Ikkala modulli stack ham universal egri chiziqlarni o'z ichiga oladi. Bundan tashqari, silliq yoki barqaror egri chiziqlarning izomorfizm sinflarini ifodalovchi qo'pol modulli bo'shliqlarni aniqlash mumkin. Ushbu qo'pol modul bo'shliqlari aslida modullar to'plami tushunchasi ixtiro qilinishidan oldin o'rganilgan. Darhaqiqat, modullar to'plami g'oyasi Deligne va Mumford tomonidan qo'pol modulli bo'shliqlarning proektivligini isbotlash uchun ixtiro qilingan. So'nggi yillarda egri chiziqlar to'plami aslida eng asosiy ob'ekt ekanligi aniq bo'ldi.

Yuqoridagi ikkala to'plamda ham 3 o'lchov mavjudg−3; shuning uchun barqaror tugun egri chizig'i 3 qiymatlarini tanlash bilan to'liq aniqlanishi mumking−3 parametr, qachon g > 1. Quyi turkumda ularning sonini chiqarib, silliq avtomorfizmlar oilalari mavjudligini hisobga olish kerak. Nolning aynan bitta murakkab egri chizig'i, Riemann shari va uning izomorfizmlar guruhi PGL (2). Demak, ning o'lchamlari ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {0}}$ bu

xira (turdagi nol egri chiziqlar maydoni) - xira (avtomorfizmlar guruhi) = 0 - xira (PGL (2)) = -3.

Xuddi shunday, 1-jinsda ham bir o'lchovli egri chiziqlar maydoni mavjud, ammo har bir bunday egri chiziqda bir o'lchovli avtomorfizmlar guruhi mavjud. Shunday qilib, stack ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1}}$ 0 o'lchamiga ega. Qalin modulli bo'shliqlar 3 o'lchovga egag−3 qachon stack sifatida g > 1, chunki g> 1 jinsli egri chiziqlar uning avtomorfizmi sifatida faqat cheklangan guruhga ega, ya'ni dim (avtomorfizmlar guruhi) = 0. Oxir oqibat, nol jinsida qo'pol modullar maydoni nol o'lchovga ega, va bitta jinsda u o'lchov bir.

Shuningdek, modullar turkumini ko'rib chiqish orqali muammoni boyitish mumkin g tugun egri chiziqlari bilan n belgilangan ballar. Belgilangan nuqtalarni tuzatuvchi egri avtomorfizmlar kichik guruhi cheklangan bo'lsa, bunday belgilangan egri chiziqlar barqaror deyiladi. Natijada silliq (yoki barqaror) turdagi modullar to'plamlari g egri chiziqlar n- belgilangan punktlar belgilanadi ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g, n}}$ (yoki ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n}}$) va 3-o'lchovga egag − 3 + n.

Modullar to'plami alohida qiziqish uyg'otadi ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {1,1}}$ bitta egri chiziqli 1 egri chiziq. Bu stack elliptik egri chiziqlar va bu juda ko'p o'rganilganlarning tabiiy uyidir modulli shakllar, bu to'plamdagi meromorfik qismlar.

Turlarning modullari

Yuqori o'lchamlarda algebraik navlarning modullarini qurish va o'rganish qiyinroq. Masalan, yuqorida ko'rib chiqilgan elliptik egri chiziqlar moduli makonining yuqori o'lchovli analogi abeliya navlarining moduli makoni, masalan Siegel modulli xilma-xilligi. Aynan shu muammo Siegel modulli shakli nazariya. Shuningdek qarang Shimura navi.

Vektorli to'plamlarning modullari

Modullarning yana bir muhim masalasi - Vect modullar to'plamining geometriyasini (turli xil to'plamlari) tushunishdir_n(X) daraja n vektorli to'plamlar sobit bo'yicha algebraik xilma X. Ushbu stack qachon eng ko'p o'rganilgan X bir o'lchovli va ayniqsa, n birga teng bo'lganda. Bunday holda, qo'pol modullar maydoni Picard sxemasi, egri chiziqlar moduli fazosi singari, stacklar ixtiro qilinishidan oldin o'rganilgan. To'plamlar 1 darajaga va nol darajaga ega bo'lganda, qo'pol modullar makonini o'rganish bu Jacobian xilma-xilligi.

Ilovalarda fizika, vektor to'plamlari modullari soni va modullari sonining chambarchas bog'liq muammosi asosiy G to'plamlari da muhim ekanligi aniqlandi o'lchov nazariyasi.^{[iqtibos kerak ]}

Modullar maydoni hajmi

Oddiy geodeziya va Vayl-Petersson bo'shliqlar hajmlari chegaralangan Riemann sirtlari.

Modulli bo'shliqlarni qurish usullari

Modullar muammolarining zamonaviy formulasi va modul funktsiyalari (yoki umuman olganda) nuqtai nazaridan modul bo'shliqlarini aniqlash toifalari tolali yilda guruhlar ) va ularni aks ettiradigan bo'shliqlar (deyarli) Grothendieck (1960/61) dan boshlangan bo'lib, unda u umumiy asoslarni, yondashuvlarni va asosiy muammolarni tasvirlab bergan Teichmuller bo'shliqlari misol sifatida murakkab analitik geometriyada. Muzokaralarda, birinchi navbatda, modul bo'shliqlarini qurishning umumiy usuli tasvirlangan qat'iylashtiruvchi ko'rib chiqilayotgan modullar muammosi.

Aniqrog'i, tasniflanayotgan ob'ektlarning ahamiyatsiz bo'lmagan avtomorfizmlari mavjudligi nozik modullar makoniga ega bo'lishni imkonsiz qiladi. Shu bilan birga, ko'pincha asl ob'ektlarni tasniflashning modifikatsiyalangan muammolarini qo'shimcha ma'lumotlar bilan birga ko'rib chiqish mumkin, chunki tanilganlik qo'shimcha ma'lumotlarga nisbatan yagona avtomorfizm bo'lishi kerak. Qattiqlashtiruvchi ma'lumotlarning mos tanlovi bilan o'zgartirilgan modullar muammosi (nozik) modullar maydoniga ega bo'ladi T, ko'pincha mos keladigan subsheme sifatida tavsiflanadi Hilbert sxemasi yoki Kotirovka sxemasi. Qattiqlashtiruvchi ma'lumotlar algebraik tuzilish guruhiga ega bo'lgan asosiy to'plamga mos keladigan tarzda tanlangan. G. Shunday qilib, qattiqlashib ketgan muammodan asl nusxasiga o'tish orqali harakatni taklif qilish orqali o'tish mumkin Gva modullar makonini qurish muammosi (mos ravishda kuchli ma'noda) sxema (yoki undan ko'p umumiy makon) ni topishga aylanadi. T/G ning T harakati bilan G. Oxirgi muammo, umuman olganda, echimni tan olmaydi; ammo, bu poydevor qo'yish bilan hal qilinadi geometrik o'zgarmas nazariya (GIT), tomonidan ishlab chiqilgan Devid Mumford 1965 yilda, bu tegishli sharoitlarda bu haqiqatan ham mavjudligini ko'rsatadi.

Buning qanday ishlashini ko'rish uchun, jinsning tekis egri chiziqlarini parametrlash muammosini ko'rib chiqing g > 2. a bilan birgalikda silliq egri chiziq to'liq chiziqli tizim daraja d > 2g proektsion fazoning yopiq bir o'lchovli subsektsiyasiga tengdir P^{d g}. Binobarin, silliq egri chiziqlar va chiziqli tizimlarning modulli maydoni (ma'lum mezonlarga javob beradigan) etarli darajada yuqori proektsion fazaning Hilbert sxemasiga kiritilishi mumkin. Bu joy H Hilbert sxemasida PGL (n) chiziqli tizim elementlarini aralashtiradigan; Binobarin, silliq egri chiziqlarning moduli maydoni keyin hosil bo'lgan qism sifatida tiklanadi H proektsion umumiy chiziqli guruh tomonidan.

Boshqa umumiy yondashuv birinchi navbatda bog'liqdir Maykl Artin. Bu erda g'oyani tasniflanadigan turdagi ob'ektdan boshlash va uni o'rganish kerak deformatsiya nazariyasi. Bu birinchi qurilish degan ma'noni anglatadi cheksiz deformatsiyalar, keyin murojaat qilish oldindan taqdim etilishi ularni bir-biriga mos keladigan teoremalar rasmiy tayanch. Keyingi, murojaat Grotendikning rasmiy mavjudlik teoremasi to'liq mahalliy halqa bo'lgan tayanch orqali kerakli turdagi ob'ektni taqdim etadi. Ushbu ob'ektni taxminan orqali taxmin qilish mumkin Artinning taxminiy teoremasi cheklangan hosil qilingan halqa ustida aniqlangan ob'ekt tomonidan. The spektr Ushbu so'nggi halqani keyin kerakli modullar maydonida bir xil koordinatalar diagrammasi berish sifatida ko'rish mumkin. Ushbu jadvallarni etarlicha yopishtirib, biz bo'shliqni qoplashimiz mumkin, ammo spektrlarning birlashuvidan modullar makonigacha bo'lgan xarita, umuman olganda, bittaga ko'p bo'ladi. Shuning uchun biz ekvivalentlik munosabati birinchisida; mohiyatan, har biridagi ob'ektlar izomorf bo'lsa, ikkita nuqta tengdir. Bu sxema va ekvivalentlik munosabatini beradi, bu an ni aniqlash uchun etarli algebraik bo'shliq (aslida algebraik suyakka agar biz ehtiyot bo'lsak) har doim ham sxema bo'lmasa.

Fizikada

Ba'zan modullar makoni atamasi ishlatiladi fizika ning moduli maydoniga maxsus murojaat qilish vakuum kutish qiymatlari to'plamining skalar maydonlari, yoki mumkin bo'lgan modul maydoniga mag'lubiyat fonlari.

Modulli bo'shliqlar fizikada ham paydo bo'ladi topologik maydon nazariyasi, qaerdan foydalanish mumkin Feynman yo'lining integrallari hisoblash kesishish raqamlari turli algebraik modul bo'shliqlari.

Shuningdek qarang

Qurilish vositalari

• Hilbert sxemasi
• Kotirovka sxemasi
• Deformatsiya nazariyasi
• GIT miqdori
• Artin mezonlari, modulli bo'shliqlarni modul funktsiyalaridan algebraik to'plamlar sifatida qurish uchun umumiy mezon

Moduli bo'shliqlari

• Algebraik egri chiziqlar moduli
• Elliptik egri chiziqlarning moduli to'plami
• Modul egri
• Picard funktsiyasi
• Egri chiziqdagi semistable o'ralgan modullar
• Kontsevich moduli maydoni
• Yarim yaroqli qistirmalar moduli

Adabiyotlar

• Grothendieck, Aleksandr (1960–1961). "Construction en géométrie analytique. I. Ta'rif axiomatique de l'espace de Teichmüller et de ses variantes" (PDF). Séminaire Henri Cartan 13 № 1, № 7 va 8 ekspozitsiyalar. Parij.

• Mumford, Devid, Geometrik o'zgarmas nazariya. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Neue Folge, Band 34 Springer-Verlag, Berlin-Nyu-York 1965 vi + 145 pp JANOB0214602
• Mumford, Devid; Fogarti, J .; Kirvan, F. Geometrik o'zgarmas nazariya. Uchinchi nashr. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Matematikaning natijalari va turdosh sohalar (2)), 34. Springer-Verlag, Berlin, 1994. xiv + 292 pp. JANOB1304906 ISBN  3-540-56963-4
• Papadopulos, Afanaz, ed. (2007), Teichmuller nazariyasining qo'llanmasi. Vol. I, IRMA Matematika va nazariy fizika bo'yicha ma'ruzalar, 11, Evropa Matematik Jamiyati (EMS), Tsyurix, doi:10.4171/029, ISBN  978-3-03719-029-6, JANOB2284826
• Papadopulos, Afanaz, ed. (2009), Teichmuller nazariyasining qo'llanmasi. Vol. II, IRMA Matematika va nazariy fizika bo'yicha ma'ruzalar, 13, Evropa Matematik Jamiyati (EMS), Tsyurix, doi:10.4171/055, ISBN  978-3-03719-055-5, JANOB2524085
• Papadopulos, Afanaz, ed. (2012), Teichmuller nazariyasining qo'llanmasi. Vol. III, IRMA Matematika va nazariy fizika bo'yicha ma'ruzalar, 17, Evropa Matematik Jamiyati (EMS), Tsyurix, doi:10.4171/103, ISBN  978-3-03719-103-3.
• Deligne, Per; Mumford, Devid (1969). "Berilgan tur egri chiziqlari makonining qisqartirilmasligi" (PDF). Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 36: 75–109. CiteSeerX  10.1.1.589.288. doi:10.1007 / bf02684599.

• Xarris, Jou; Morrison, Yan (1998). Egri chiziqlar moduli. Matematikadan aspirantura matnlari. 187. Nyu York: Springer Verlag. doi:10.1007 / b98867. ISBN  978-0-387-98429-2. JANOB  1631825.

• Kats, Nikolay M; Mazur, Barri (1985). Elliptik egri chiziqlarning arifmetik moduli. Matematik tadqiqotlar yilnomalari. 108. Prinston universiteti matbuoti. ISBN  978-0-691-08352-0. JANOB  0772569.

• Faltings, Gerd; Chai, Ching-Li (1990). Abeliya navlarining degeneratsiyasi. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 22. Devid Mumford tomonidan ilova qilingan. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02632-8. ISBN  978-3-540-52015-3. JANOB  1083353.

• Viexveg, Ekart (1995). Polarizatsiyalangan manifoldlar uchun kvaziy proyektiv moduli (PDF). Springer Verlag. ISBN  978-3-540-59255-6.

• Simpson, Karlos (1994). "I tekis proektsion navning asosiy guruhi vakillik modullari" (PDF). Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 79: 47–129. doi:10.1007 / bf02698887.
• Maryam Mirzaxani (2007) "Oddiy geodeziya va Vayl-Piterssonning hajmi bilan chegaralangan Riemann sirtlari moduli bo'shliqlari" Matematika ixtirolari

Tashqi havolalar

• Luri, J. (2011). "Ring spektrlari uchun moduli muammolari". Xalqaro Matematiklar Kongressi materiallari (ICM 2010). 1099–1125-betlar. doi:10.1142/9789814324359_0088.