Oval tasvirlar haqida Nyuton teoremasi - Newtons theorem about ovals - Wikipedia

Matematikada, Nyutonning tasvirlar haqidagi teoremasi tomonidan kesilgan maydon a sekant silliq qavariq oval bir emas algebraik funktsiya sekantning.

Isaak Nyuton buni Nyutonning 1-kitobining VI qismining 28-lemmasi deb ta'kidladi Printsipiya va undan foydalanib, orbitada harakat qilayotgan sayyoramizning holati vaqtning algebraik funktsiyasi emasligini ko'rsatdi. Nyuton oval deganda aynan nimani nazarda tutganini aytmagani uchun ushbu teorema to'g'ri yoki yo'qligi to'g'risida ba'zi tortishuvlar bo'lgan va oval so'zining ba'zi talqinlari uchun teorema to'g'ri, boshqalari uchun bu yolg'ondir. Agar "oval" "uzluksiz konveks egri chizig'i" degan ma'noni anglatsa, u holda uchburchaklar yoki loblarning biri kabi qarshi misollar mavjud Gyuygens lemniscate y2 = x2 − x4, esa Arnold (1989) agar "oval" "cheksiz farqlanadigan konveks egri chizig'ini" anglatsa, Nyutonning da'vosi to'g'ri va uning argumenti qat'iy isbotning muhim bosqichlariga ega.

Vassiliyev (2002) Nyuton teoremasini yuqori o'lchamlarga umumlashtirdi.

Bayonot

Gerono yoki Gyuygens lemnitsati; sekant tomonidan kesilgan maydon algebraik, ammo lemnitsat kelib chiqishi silliq emas

Ingliz tiliga tarjima qilingan Nyutonning asl bayonoti (Nyuton 1966 yil, lemma 28 bo'lim 6 kitob I) bu:

"Muvaffaqiyat bilan to'g'ri chiziqlar bilan kesilgan maydonni istalgan sonli atama va o'lchovlarning tenglamalari yordamida universal ravishda topadigan oval shakl yo'q".

Zamonaviy matematik tilda Nyuton quyidagi teoremani isbotladi:

Maydonning chiziq bilan kesilgani kabi qavariq silliq (cheksiz farqlanadigan ma'noni anglatadi) egri chiziq mavjud emas bolta + tomonidan = v ning algebraik funktsiyasi a, bvav.

Boshqacha qilib aytganda, Nyutonning bayonotidagi "tasvirlar" "qavariq silliq egri chiziq" degan ma'noni anglatishi kerak. Barcha nuqtalarda cheksiz farqlanish zarur: Har qanday musbat butun son uchun n umuman bir tekis va farqlanadigan algebraik egri chiziqlar mavjud n sekant tomonidan kesilgan maydon algebraik bo'lgan qolgan nuqtada marta.

Nyuton shunga o'xshash argument shuni ko'rsatadiki, ikki nuqta orasidagi (silliq qavariq) ovalning uzunligi nuqtalarning algebraik funktsiyasi bilan berilmaydi.

Nyutonning isboti

Agar oval boshida markazlashgan aylana bo'lsa, u holda Nyuton tomonidan qurilgan spiral an bo'ladi Arximed spirali.

Nyuton kelib chiqishini oldi P oval ichida va nuqta spiralini ko'rib chiqdi (r, θ) masofa kimning qutb koordinatalarida r dan P dan chiziqlar bilan kesilgan maydon P 0 va burchaklar bilanθ. So'ngra u bu spiral algebraik bo'lolmasligini, chunki u orqali chiziq bilan cheksiz sonli kesishish mavjudligini kuzatdi P, shuning uchun sekant tomonidan kesilgan maydon sekantning algebraik funktsiyasi bo'lishi mumkin emas.

Ushbu dalil oval va shuning uchun spiralning silliq bo'lishini talab qiladi; aks holda spiral turli algebraik egri chiziqlarning cheksiz birlashmasi bo'lishi mumkin. Bu Nyuton teoremasining silliq bo'lmagan tasvirlar uchun turli xil "qarshi misollarida" sodir bo'ladi.

Adabiyotlar

  • Arnold, V. I. (1989), "Nyuton printsipida abeliya integrallarining transsendensiyasining topologik isboti", Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya (31): 7–17, ISSN  0136-0949, JANOB  0993175
  • Arnold, V. I.; Vasilev, V. A. (1989), "300 yildan keyin Nyuton printsipi o'qildi", Amerika Matematik Jamiyati to'g'risida bildirishnomalar, 36 (9): 1148–1154, ISSN  0002-9920, JANOB  1024727
  • Nyuton, I. (1966), Prinsipiya jildi I Badanlarning harakati, Endryu Motte tomonidan tarjima qilingan (1729), Qayta ko'rib chiqilgan Florian Kajori (1934) (Nyutonning ikkinchi nashri (1713) tahriri asosida), Berkli, KA: Kaliforniya universiteti nashri, ISBN  978-0-520-00928-8 Nyutonning oldingi (2-chi) nashrining muqobil tarjimasi Printsipiya.
  • Pesik, Piter (2001), "Nyuton Lemmasining asosliligi 28", Tarix matematikasi, 28 (3): 215–219, doi:10.1006 / hmat.2001.2321, ISSN  0315-0860, JANOB  1849799
  • Pourciau, Bryus (2001), "Ovallarning yaxlitligi: Nyuton Lemma 28 va unga qarshi misollar", Aniq fanlar tarixi arxivi, 55 (5): 479–499, doi:10.1007 / s004070000034, ISSN  0003-9519, JANOB  1827869
  • Vassiliev, V. A. (2002), Amaliy Pikard-Lefshetz nazariyasi, Matematik tadqiqotlar va monografiyalar, 97, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, doi:10.1090 / surv / 097, ISBN  978-0-8218-2948-6, JANOB  1930577