Nilpotent orbitasi - Nilpotent orbit

Matematikada, nilpotent orbitalar ning umumlashtirilishi nolpotent matritsalar muhim rol o'ynaydigan vakillik nazariyasi haqiqiy va murakkab semisimple Yolg'on guruhlari va semisimple Yolg'on algebralari.

Ta'rif

Element X a yarim semple Lie algebra g deyiladi nolpotent agar u bo'lsa qo'shma endomorfizm

reklama X: g → g,   reklama X(Y) = [X,Y]

nilpotent, ya'ni (reklama X)ⁿ Etarli darajada katta bo'lsa = 0 n. Teng ravishda, X agar u nolpotent bo'lsa xarakterli polinom p_{reklama X}(t) ga teng t^{xira g}.

Yarim oddiy Yolg'on guruh yoki algebraik guruh G orqali Lie algebrasiga ta'sir qiladi qo'shma vakillik, va bu harakat ostida nilpotent bo'lish xususiyati o'zgarmasdir. A nilpotent orbit qo'shilgan harakatning orbitasi bo'lib, uning har qanday elementi (teng ravishda, barchasi) nolpotentga teng bo'ladi.

Misollar

Nilpotent ${displaystyle n imes n}$ murakkab yozuvlar bilan matritsalar kompleksga mos keladigan umumiy nazariya uchun asosiy turtki beradi umumiy chiziqli guruh. Dan Iordaniya normal shakli matritsalardan bilamizki, har bir nilpotentli matritsa Iordaniya kattaligi bloklari bilan noyob matritsaga birikadi ${displaystyle lambda _ {1} geq lambda _ {2} geq ldots geq lambda _ {r},}$ qayerda ${displaystyle lambda}$ a bo'lim ning n. Shunday qilib, ishda n= 2 ikkita nilpotentli orbitalar mavjud nol orbitasi dan iborat nol matritsa va bo'limga mos keladigan (1,1) va asosiy orbit nolga teng bo'lmagan barcha matritsalardan iborat A nol iz va determinant bilan,

${displaystyle A = {egin {bmatrix} x & y z & -xend {bmatrix}}, to'rtburchaklar (x, y, z) tenglik (0,0,0) to'rtlik {;}}$ bilan ${displaystyle x ^ {2} + yz = 0,}$

bo'limga mos keladigan (2). Geometrik nuqtai nazardan, bu orbit ikki o'lchovli kompleks kvadratikdir konus ning to'rt o'lchovli vektor makonida ${displaystyle 2 imes 2}$ matritsalar uning tepasini olib tashlaydi.

Kompleks maxsus chiziqli guruh bir xil nilpotentli orbitalari bo'lgan umumiy chiziqli guruhning kichik guruhidir. Ammo, biz o'rnini bosadigan bo'lsak murakkab bilan maxsus chiziqli guruh haqiqiy maxsus chiziqli guruh, yangi nilpotent orbitalar paydo bo'lishi mumkin. Xususan, uchun n= 2 endi uchta nilpotent orbitalar mavjud: nol orbitasi va ikkita haqiqiy yarim konus (tepasiz), ijobiy va salbiy qiymatlariga mos keladi ${displaystyle y-z}$ yuqoridagi parametrlashda.

Xususiyatlari

• Nilpotent orbitalar qo'shma harakatning orbitalari sifatida tavsiflanishi mumkin Zariski yopilishi 0 ni o'z ichiga oladi.
• Nilpotent orbitalar son jihatdan cheklangan.
• Nilpotent orbitaning Zariski bilan yopilishi - bu nilpotent orbitalarning birlashishi.
• Yakobson-Morozov teoremasi: maydonidan xarakterli nol, har qanday nilpotent element e ga qo'shilishi mumkin sl₂- uch {e,h,f} va shunga o'xshash barcha uchliklar konjuge qilingan Z_G(e), the markazlashtiruvchi ning e yilda G. Ning vakillik nazariyasi bilan birgalikda sl₂, bu nilpotentli orbitalarni cheklangan kombinatorial ma'lumotlar bilan belgilashga imkon beradi va natijada Dynkin-Kostant tasnifi nilpotent orbitalar.

Poset tuzilishi

Nilpotent orbitalar a hosil qiladi qisman buyurtma qilingan to'plam: ikkita nilpotent orbitasi berilgan, O₁ dan kam yoki tengdir O₂ agar O₁ ning Zariski yopilishida mavjud O₂. Ushbu poset noyob minimal elementga, nol orbitaga va noyob maksimal elementga ega muntazam nilpotent orbitasi, lekin umuman olganda, bu emas darajali poset. Agar er maydoni bo'lsa algebraik yopiq u holda nol orbitasi bo'ladi yopiq deb nomlangan noyob orbitada minimal orbit, va muntazam orbit noyob deb nomlangan orbitani qamrab oladi subregular orbit.

Taqdirda maxsus chiziqli guruh SL_n, nilpotent orbitalar tomonidan parametrlangan bo'limlar ning n. Teoremasi bo'yicha Gerstenhaber, orbitalarni tartibga solish, ga mos keladi hukmronlik tartibi bo'limlari bo'yicha n. Bundan tashqari, agar G bu bilayner shaklning izometriya guruhi, ya'ni ortogonal yoki simpektik kichik guruh SL_n, keyin uning nilpotent orbitalari bo'limlari bilan parametrlanadi n ma'lum bir parite shartini qondirish va mos keladigan poset tuzilishi barcha bo'limlarda ustunlik tartibiga asoslanadi (bu Gerstenhaber va Gesselink tufayli norivial teorema).

Shuningdek qarang

• Qo'shma vakillik

Adabiyotlar

• Devid Kollingvud va Uilyam Makgovern. Yarim oddiy Lie algebralarida nilpotentli orbitalar. Van Nostran Raynxold matematikasi seriyasi. Van Nostrand Reinhold Co., Nyu-York, 1993 y. ISBN  0-534-18834-6
• Burbaki, Nikolas (2005), "VIII: Split Yarim sodda yolg'on algebralari", Matematika elementlari: yolg'on guruhlar va yolg'on algebralar: 7-9 boblar
• Erdmann, Karin; Wildon, Mark (2006), Yolg'on algebralariga kirish (1-nashr), Springer, ISBN  1-84628-040-0.
• Hamfreyz, Jeyms E. (1972), Yolg'on algebralari va vakillik nazariyasiga kirish, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90053-7.
• Varadarajan, V. S. (2004), Yolg'on guruhlari, yolg'on algebralar va ularning vakolatxonalari (1-nashr), Springer, ISBN  0-387-90969-9.