Ortogonal polinomlar - Orthogonal polynomials

Yilda matematika, an ortogonal polinomlar ketma-ketligi oila polinomlar ketma-ketlikdagi har qanday ikki xil polinom ortogonal kimdir ostida bir-biriga ichki mahsulot.

Eng ko'p ishlatiladigan ortogonal polinomlar bu klassik ortogonal polinomlar dan iborat Hermit polinomlari, Laguer polinomlari va Yakobi polinomlari ularning maxsus holatlari bilan birgalikda Gegenbauer polinomlari, Chebyshev polinomlari, va Legendre polinomlari.

Ortogonal polinomlar sohasi 19-asrning oxirida o'rganilgan davom etgan kasrlar tomonidan P. L. Chebyshev va ta'qib qilingan A. A. Markov va T. J. Stieltjes. Ortogonal polinomlar ustida ishlagan ba'zi matematiklar kiradi Gábor Szegő, Sergey Bernshteyn, Naum Axiezer, Artur Erdélii, Yakov Geronimus, Wolfgang Hahn, Teodor Seyo Chixara, Mourad Ismoil, Valid al-Salam va Richard Askey.

Haqiqiy o'lchov uchun 1 o'zgaruvchan holat uchun ta'rif

Har qanday kamaymaydigan funktsiya berilgan a haqiqiy sonlarda biz Lebesgue-Stieltjes integral

${ displaystyle int f (x) ; d alfa (x)}$

funktsiya f. Agar bu integral barcha polinomlar uchun chekli bo'lsa f, biz ichki ko'plikni polinomlar juftliklari bo'yicha aniqlashimiz mumkin f va g tomonidan

${ displaystyle langle f, g rangle = int f (x) g (x) ; d alfa (x).}$

Ushbu operatsiya ijobiy yarim cheksizdir ichki mahsulot ustida vektor maydoni barcha polinomlarning soni va a funktsiyasi o'sish nuqtalarining cheksiz ko'pligiga ega bo'lsa, ijobiy aniqlanadi. Bu tushunchani keltirib chiqaradi ortogonallik odatdagi usulda, ya'ni ikkita polinom ortogonal, agar ichki hosilasi nolga teng bo'lsa.

Keyin ketma-ketlik (P_n)_n=0^∞ ortogonal polinomlarning munosabatlari bilan aniqlanadi

${ displaystyle deg P_ {n} = n ~, quad langle P_ {m}, , P_ {n} rangle = 0 quad { text {for}} quad m neq n ~.}$

Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlik monomiallar ketma-ketligidan olinadi 1, x, x², ... tomonidan Gram-Shmidt jarayoni ushbu ichki mahsulotga nisbatan.

Odatda ketma-ketlik talab qilinadi ortonormal, ya'ni,

${ displaystyle langle P_ {n}, P_ {n} rangle = 1 ~,}$

ammo, ba'zida boshqa normallashtirishlar qo'llaniladi.

Mutlaqo uzluksiz ish

Ba'zan bizda bor

${ displaystyle d alfa (x) = W (x) , dx}$

qayerda

${ displaystyle W: [x_ {1}, x_ {2}] to mathbb {R}}$

manfiy bo'lmagan funktsiya bo'lib, ba'zi bir oraliqda qo'llab-quvvatlanadi [x₁, x₂] haqiqiy chiziqda (qaerda x₁ = −∞ va x₂ = ∞ ga ruxsat beriladi). Shunaqangi V deyiladi a vazn funktsiyasiKeyin ichki mahsulot tomonidan beriladi

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) g (x) W (x) ; dx.}$

Shu bilan birga, daga o'lchovi bo'lgan ortogonal polinomlarning ko'pgina misollari mavjud.x) nolga teng bo'lmagan o'lchovli nuqtalarga ega, bu erda a funktsiyasi to'xtaydi, shuning uchun uni og'irlik funktsiyasi bilan berish mumkin emas V yuqoridagi kabi.

Ortogonal polinomlarga misollar

Eng ko'p ishlatiladigan ortogonal polinomlar haqiqiy intervalda qo'llab-quvvatlanadigan o'lchov uchun ortogonaldir. Bunga quyidagilar kiradi:

• Klassik ortogonal polinomlar (Yakobi polinomlari, Laguer polinomlari, Hermit polinomlari va ularning alohida holatlari Gegenbauer polinomlari, Chebyshev polinomlari va Legendre polinomlari ).
• The Uilson polinomlari, Jakobi polinomlarini umumlashtiruvchi. Ularga ko'p holatli ko'pburchaklarni maxsus holatlar kiradi, masalan Meixner-Pollaczek polinomlari, uzluksiz Hahn polinomlari, uzluksiz ikkilangan Hahn polinomlari va tomonidan tavsiflangan klassik polinomlar Askey sxemasi
• The Askey-Wilson polinomlari qo'shimcha parametrni kiritish q Uilson polinomlariga.

Diskret ortogonal polinomlar ba'zi bir diskret o'lchovlarga nisbatan ortogonaldir. Ba'zan o'lchov cheklangan qo'llab-quvvatlashga ega, bu holda ortogonal polinomlar oilasi cheksiz ketma-ketlik o'rniga cheklangan bo'ladi. The Racah polinomlari diskret ortogonal polinomlarga misol bo'lib, ularni alohida holatlar qatoriga qo'shadi Hahn polinomlari va ikkilangan Xahn polinomlari, bu o'z navbatida maxsus holatlar qatoriga kiradi Meixner polinomlari, Krawtchouk polinomlari va Avvalgi polinomlar.

Saralangan ortogonal polinomlar kabi elakdan o'tgan ultrasferik polinomlar, elakdan o'tkazilgan Jakobi polinomlari va elakdan o'tgan Pollaczek polinomlari, o'zgartirilgan takrorlanish munosabatlariga ega.

Murakkab tekislikdagi egri chiziq uchun ortogonal polinomlarni ham ko'rib chiqish mumkin. Eng muhim holat (haqiqiy intervallardan tashqari) bu egri birlik aylanasi bo'lganda bo'ladi birlik doirasidagi ortogonal polinomlar kabi Rojers-Szeg polinomlari.

Uchburchaklar yoki disklar kabi tekis mintaqalarda ortogonal bo'lgan ba'zi bir ortogonal polinomlar oilalari mavjud. Ba'zan ularni yakobi polinomlari bo'yicha yozish mumkin. Masalan, Zernike polinomlari birlik diskida ortogonaldir.

Turli xil buyruqlar orasidagi ortogonallikning afzalligi Hermit polinomlari Umumlashtirilgan chastotalarni taqsimlash multiplekslash (GFDM) tuzilishiga qo'llaniladi. Vaqt chastotali panjaraning har bir panjarasida bir nechta belgilar o'tkazilishi mumkin.^[1]

Xususiyatlari

Haqiqiy chiziqdagi salbiy bo'lmagan o'lchov bilan aniqlangan bitta o'zgaruvchining ortogonal polinomlari quyidagi xususiyatlarga ega.

Lahzalar bilan bog'liqlik

Ortogonal polinomlar P_n bilan ifodalanishi mumkin lahzalar

${ displaystyle m_ {n} = int x ^ {n} , d alfa (x)}$

quyidagicha:

${ displaystyle P_ {n} (x) = c_ {n} , det { begin {bmatrix} m_ {0} & m_ {1} & m_ {1} & m_ {2} & cdots & m_ {n} m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} & cdots & m_ {n + 1} && vdots && vdots m_ {n-1} & m_ {n} & m_ {n + 1} & cdots & m_ {2n- 1} 1 & x & x ^ {2} & cdots & x ^ {n} end {bmatrix}} ~,}$

bu erda doimiylar v_n o'zboshimchalik bilan (ning normallashishiga bog'liq P_n).

Takrorlanish munosabati

Polinomlar P_n shaklning takrorlanish munosabatini qondirish

${ displaystyle P_ {n} (x) = (A_ {n} x + B_ {n}) P_ {n-1} (x) + C_ {n} P_ {n-2} (x) ~.}$

Qarang Favard teoremasi teskari natija uchun.

Christoffel – Darboux formulasi

Nol

Agar o'lchov da oralig'ida qo'llab-quvvatlanadi [a, b], barcha nollari P_n kechgacha yotish [a, b]. Bundan tashqari, nollarda quyidagi o'zaro bog'liqlik mavjud: agar m < n, ning nol bor P_n har qanday ikki nol orasidaP_m.

Ko'p o'zgaruvchan ortogonal polinomlar

The Makdonald polinomlari affin ildiz tizimini tanlashiga qarab, bir nechta o'zgaruvchilardan ortogonal polinomlardir. Ularga ko'p holatli ortogonal polinomlarning boshqa ko'plab oilalari alohida holatlar qatoriga kiradi, jumladan Jek polinomlari, Xoll - Littlewood polinomlari, Hekman - Opdam polinomlari, va Koornwinder polinomlari. The Askey-Wilson polinomlari 1 darajali ma'lum bir kamaytirilmagan ildiz tizimi uchun Makdonald polinomlarining maxsus holati.

Shuningdek qarang

• Appell ketma-ketligi
• Askey sxemasi gipergeometrik ortogonal polinomlar
• Favard teoremasi
• Binomial tipdagi polinomlar ketma-ketligi
• Biortogonal polinomlar
• Umumlashtirilgan Fourier seriyasi
• Ikkilamchi o'lchov
• Sheffer ketma-ketligi
• Shturm-Liovil nazariyasi
• Umbral tosh

Adabiyotlar

• Abramovits, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [1964 yil iyun]. "22-bob". Matematik funktsiyalar uchun formulalar, grafikalar va matematik jadvallar bilan qo'llanma. Amaliy matematika seriyasi. 55 (To'qqizinchi o'ninchi asl nashrning tuzatishlar bilan qo'shimcha tuzatishlar bilan qayta nashr etilishi (1972 yil dekabr); birinchi nashr). Vashington Kolumbiyasi; Nyu-York: Amerika Qo'shma Shtatlari Savdo vazirligi, Milliy standartlar byurosi; Dover nashrlari. p. 773. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. JANOB  0167642. LCCN  65-12253.
• Chihara, Teodor Seyo (1978). Ortogonal polinomlarga kirish. Gordon va Breach, Nyu-York. ISBN  0-677-04150-0.
• Chihara, Teodor Seio (2001). "45 yillik ortogonal polinomlar: qanotlardan ko'rinish". Ortogonal polinomlar, maxsus funktsiyalar va ularning qo'llanilishi bo'yicha beshinchi xalqaro simpozium materiallari (Patras, 1999). Hisoblash va amaliy matematika jurnali. 133 (1): 13–21. Bibcode:2001 JCoAM.133 ... 13C. doi:10.1016 / S0377-0427 (00) 00632-4. ISSN  0377-0427. JANOB  1858267.
• Foncannon, J. J .; Foncannon, J. J .; Pekonen, Osmo (2008). "Sharh Bitta o'zgaruvchida klassik va kvant ortogonal polinomlar Mourad Ismoil tomonidan ". Matematik razvedka. Springer Nyu-York. 30: 54–60. doi:10.1007 / BF02985757. ISSN  0343-6993. S2CID  118133026.
• Ismoil, Mourad E. H. (2005). Bitta o'zgaruvchida klassik va kvantli ortogonal polinomlar. Kembrij: Kembrij universiteti. Matbuot. ISBN  0-521-78201-5.
• Jekson, Dunxem (2004) [1941]. Furye qatorlari va ortogonal polinomlar. Nyu-York: Dover. ISBN  0-486-43808-2.
• Koornwinder, Tom X.; Vong, Roderik S. S.; Koekoek, Roelof; Svartov, René F. (2010), "Ortogonal polinomlar", yilda Olver, Frank V. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Klark, Charlz V. (tahr.), NIST Matematik funktsiyalar bo'yicha qo'llanma, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  978-0-521-19225-5, JANOB  2723248
• "Ortogonal polinomlar", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• Cheze, Gábor (1939). Ortogonal polinomlar. Kollokvium nashrlari. XXIII. Amerika matematik jamiyati. ISBN  978-0-8218-1023-1. JANOB  0372517.
• P.Sircar, R.B.Paxori va R.Kumar, ortogonal polinom yaqinlashuvidan foydalangan holda EEG signallari ritmlarini tahlili, ACM konvergentsiya va gibrid axborot texnologiyalari bo'yicha xalqaro konferentsiyasi, 176–180-betlar, 2009 yil 27-29 avgust, Daijon, Janubiy Koreya.
• Totik, Vilmos (2005). "Ortogonal polinomlar". Yaqinlashish nazariyasidagi tadqiqotlar. 1: 70–125. arXiv:matematik.CA/0512424.
• C. Chan, A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, arXiv:1712.03155.