Parthasarathys teoremasi - Parthasarathys theorem - Wikipedia

Yilda matematika - va ayniqsa, kvadrat maydonidagi o'yinlarni o'rganish - Parthateratiya teoremasi ning umumlashtirilishi Fon Neymanning minimaks teoremasi. Unda aytilishicha, o'yinchilarning kamida bittasida a bo'lishi sharti bilan, ma'lum bir sinf o'yinlari aralash qiymatga ega strategiya ga nisbatan mutlaqo uzluksiz tarqatish bilan cheklangan Lebesg o'lchovi (boshqacha qilib aytganda, o'yinchilarning biriga a dan foydalanish taqiqlanadi sof strategiya ).

Teorema ga tegishli Hind matematikasi Thiruvenkatachari Parthasaratiya.

Teorema

Ruxsat bering ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle Y}$ uchun turing birlik oralig'i ${ displaystyle [0,1]}$; ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {X}}$ to'plamini belgilang ehtimollik taqsimoti kuni ${ displaystyle X}$ (bilan ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {Y}}$ shunga o'xshash tarzda belgilanadi); va ${ displaystyle A_ {X}}$ to'plamini belgilang mutlaqo uzluksiz tarqatish to'g'risida ${ displaystyle X}$ (bilan ${ displaystyle A_ {Y}}$ shunga o'xshash tarzda belgilanadi).

Aytaylik ${ displaystyle k (x, y)}$ birlik kvadratiga chegaralangan ${ displaystyle X times Y = {(x, y): 0 leq x, y leq 1 }}$ va bu ${ displaystyle k (x, y)}$ bu davomiy bundan mustasno cheklangan shaklning egri soni ${ displaystyle y = phi _ {k} (x)}$ (bilan ${ displaystyle k = 1,2, ldots, n}$) qaerda ${ displaystyle phi _ {k} (x)}$ doimiy funktsiyalardir. Uchun $M_ {X} da { displaystyle mu , M_ {Y}} da lambda$, aniqlang

${ displaystyle k ( mu, lambda) = int _ {y = 0} ^ {1} int _ {x = 0} ^ {1} k (x, y) , d mu (x) , d lambda (y) = int _ {x = 0} ^ {1} int _ {y = 0} ^ {1} k (x, y) , d lambda (y) , d mu (x).}$

Keyin

${ displaystyle max _ { mu in { mathcal {M}} _ {X}} , inf _ { lambda in A_ {Y}} k ( mu, lambda) = inf _ { lambda in A_ {Y}} , max _ { mu in { mathcal {M}} _ {X}} k ( mu, lambda).}$

Bu o'yinni keltirib chiqargan bayonotga tengdir ${ displaystyle k ( cdot, cdot)}$ qiymatga ega. Bir o'yinchi (WLOG ${ displaystyle Y}$) sof strategiyadan foydalanish taqiqlanadi.

Parthateratiya o'yin namoyish etishda davom etmoqda

${ displaystyle max _ { mu in { mathcal {M}} _ {X}} , inf _ { lambda in { mathcal {M}} _ {Y}} k ( mu, lambda) neq inf _ { lambda in { mathcal {M}} _ {Y}} , max _ { mu in { mathcal {M}} _ {X}} k ( mu, lambda)}$

bu esa hech qanday qiymatga ega emas. Hech qanday qarama-qarshilik yo'q, chunki bu holda ikkala o'yinchi mutlaqo doimiy tarqatish bilan cheklanmaydi (va o'yinning qiymati yo'qligini namoyish qilish ikkala o'yinchi uchun ham toza strategiyalardan foydalanishni talab qiladi).

Adabiyotlar

• T. Parthasaratiya 1970 yil. Birlik maydoni ustidagi o'yinlarda, SIAM, 19-jild, 2-son.

Bu o'yin nazariyasi maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish.