Proektor vektor maydoni - Projective vector field

A projektor vektor maydoni (loyihaviy) silliqdir vektor maydoni yarimda Riemann manifoldu (p.ex. bo'sh vaqt ) ${ displaystyle M}$ kimning oqim saqlaydi geodezik tuzilishi ${ displaystyle M}$ ni saqlab qolmasdan affine parametri har qanday geodeziya. Keyinchalik intuitiv ravishda proektsion oqim geodeziyani afine parametrini saqlamasdan geodeziyaga silliq ravishda tushiradi.

Parchalanish

Vektorli maydon bilan ishlashda ${ displaystyle X}$ yarimda Riemann manifoldu (p.ex. in.) umumiy nisbiylik ) ni ajratish ko'pincha foydalidir kovariant hosilasi uning nosimmetrik va nosimmetrik qismlariga:

{ displaystyle X_ {a; b} = { frac {1} {2}} h_ {ab} + F_ {ab}}

qayerda

{ displaystyle h_ {ab} = ({ mathcal {L}} _ {X} g) _ {ab} = X_ {a; b} + X_ {b; a}}

va

{ displaystyle F_ {ab} = { frac {1} {2}} (X_ {a; b} -X_ {b; a})}

Yozib oling ${ displaystyle X_ {a}}$ ning kovariant komponentlari hisoblanadi ${ displaystyle X}$ .

Ekvivalent shartlar

Matematik jihatdan, vektor maydoni uchun shart ${ displaystyle X}$ proektsion bo'lish a mavjudligiga tengdir bitta shakl ${ displaystyle psi}$ qoniqarli

{ displaystyle X_ {a; bc} , = R_ {abcd} X ^ {d} + 2g_ {a (b} psi _ {c)}}

ga teng bo'lgan

{ displaystyle h_ {ab; c} , = 2g_ {ab} psi _ {c} + g_ {ac} psi _ {b} + g_ {bc} psi _ {a}}

Bog'langan yoki ixcham manifold ustidagi barcha global proektsion vektor maydonlarining to'plami cheklangan o'lchovli bo'ladi Yolg'on algebra bilan belgilanadi ${ displaystyle P (M)}$ (the proektsion algebra) va ulangan manifoldlar uchun quyidagi shartni qondiradi: ${ displaystyle dim P (M) leq n (n + 2)}$ . Bu erda proektsion vektor maydoni qiymatlarini ko'rsatib noyob tarzda aniqlanadi ${ displaystyle X}$ , ${ displaystyle nabla X}$ va ${ displaystyle nabla nabla X}$ (teng ravishda, belgilash ${ displaystyle X}$ , ${ displaystyle h}$ , ${ displaystyle F}$ va ${ displaystyle psi}$ ) ning har qanday nuqtasida ${ displaystyle M}$ . (Bog'lanmagan kollektorlar uchun har bir ulangan komponent uchun bitta uchta nuqtani belgilashingiz kerak.) Shuningdek, loyihalash xususiyatlarini qondiradi:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} R ^ {a} {} _ {bcd} = delta ^ {a} {} _ {d} psi _ {b; c} - delta ^ {a} {} _ {c} psi _ {b; d}}

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} R_ {ab} = - 3 psi _ {a; b}}

Subalgebralar

Proektorli vektor maydonlarining bir nechta muhim maxsus holatlari paydo bo'lishi mumkin va ular Lie subalgebralarini hosil qiladi ${ displaystyle P (M)}$ . Ushbu subalgebralar, masalan, umumiy nisbiylikdagi kosmik vaqtlarni tasniflashda foydalidir.

Affine algebra

Affin vektorlari maydonlari (affines) qondiradi ${ displaystyle nabla h = 0}$ (teng ravishda, ${ displaystyle psi = 0}$ ) va shuning uchun har bir affine proektivdir. Afinalar yarim Rimning geodezik tuzilishini saqlaydi. affine parametrini saqlab qolish bilan birga manifold (o'qish vaqti). Barcha affiniyalar to'plami ${ displaystyle M}$ shakllantiradi a Yolg'on subalgebra ning ${ displaystyle P (M)}$ bilan belgilanadi ${ displaystyle A (M)}$ (the afine algebra) va ulangan uchun qondiradi M, ${ displaystyle dim A (M) leq n (n + 1)}$ . Afinali vektor vektor maydonining qiymatlarini va uning birinchi kovariant hosilasini (ekvivalent ravishda belgilaydigan) aniqlab aniqlanadi ${ displaystyle X}$ , ${ displaystyle h}$ va ${ displaystyle F}$ ) ning har qanday nuqtasida ${ displaystyle M}$ . Afinalar, shuningdek, Riemann, Ricci va Veyl tenzorlarini saqlaydi, ya'ni.

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} R ^ {a} {} _ {bcd} = 0}

,

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} R_ {ab} = 0}

,

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} C ^ {a} {} _ {bcd} = 0}

Gomotetik algebra

Gometik vektor maydonlari (homotetiya) metrikani doimiy koeffitsientgacha saqlaydi, ya'ni. ${ displaystyle h = { mathcal {L}} _ {X} g = 2cg}$ . Sifatida ${ displaystyle nabla h = 0}$ , har qanday homotetiya - bu affine va barcha gomoteziyalar to'plami ${ displaystyle M}$ ning Lie subalgebrasini hosil qiladi ${ displaystyle A (M)}$ bilan belgilanadi ${ displaystyle H (M)}$ (the homotetik algebra) va ulangan uchun qondiradi M

{ displaystyle dim H (M) leq { frac {1} {2}} n (n + 1) +1}

.

Gometik vektor maydoni vektor maydonining qiymatlarini va uning birinchi kovariant hosilasini (teng ravishda ${ displaystyle X}$ , ${ displaystyle F}$ va ${ displaystyle c}$ ) manifoldning istalgan nuqtasida.

Algebra o'ldirish

Vektorli maydonlarni o'ldirish (Killings) metrikani saqlaydi, ya'ni. ${ displaystyle h = { mathcal {L}} _ {X} g = 0}$ . Qabul qilish ${ displaystyle c = 0}$ homotetiyaning aniqlovchi xususiyatida har bir o'ldirish homotetiya (va shuning uchun afin) va barcha o'ldirish vektor maydonlarining to'plami ekanligi ko'rinib turibdi ${ displaystyle M}$ ning Lie subalgebrasini hosil qiladi ${ displaystyle H (M)}$ bilan belgilanadi ${ displaystyle K (M)}$ (the Algebra o'ldirish) va ulangan uchun qondiradi M

{ displaystyle dim K (M) leq { frac {1} {2}} n (n + 1)}

.

Vektorli maydon o'ldirilishi vektor maydonining qiymatlari va uning birinchi kovariant hosilasi (ekvivalent ravishda belgilanishi) bilan aniqlanadi ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle F}$ ) ning istalgan nuqtasida (har bir bog'langan komponent uchun) ${ displaystyle M}$ .

Ilovalar

Umumiy nisbiylik nuqtai nazaridan ko'pgina fazoviy vaqtlar ma'lum bir simmetriyalarga ega bo'lib, ular fazoviy vaqtdagi vektor maydonlari bilan tavsiflanishi mumkin. Masalan, Minkovskiy maydoni ${ displaystyle { mathbb {M}}}$ maksimal proektsion algebra, ya'ni. ${ displaystyle dim P ({ mathbb {M}}) = 24}$ .

Umumiy nisbiylikdagi simmetriya vektor maydonlarining boshqa ko'plab qo'llanmalarini Hall (2004) da topish mumkin, bu erda keng qamrovli bibliografiya, shu jumladan, ko'plab ilmiy maqolalar mavjud. umumiy nisbiylikdagi simmetriya.

Adabiyotlar

Kambag'al, W. (1981). Differentsial geometrik tuzilmalar. Nyu-York: McGraw Hill. ISBN 0-07-050435-0.
Yano, K. (1970). Riemann geometriyasidagi integral formulalar. Nyu-York: Marsel Dekker. ISBN ???.
Hall, Grem (2004). Umumiy nisbiylikdagi nosimmetrikliklar va egrilik tuzilishi (fizikadan dunyo ilmiy ma'ruzalari). Singapur: World Scientific Pub. ISBN 981-02-1051-5.