Poklik (kvant mexanikasi) - Purity (quantum mechanics) - Wikipedia

Yilda kvant mexanikasi va ayniqsa kvant ma'lumotlari nazariya, tozalik normallashtirilgan kvant holati sifatida belgilangan skalar

${ displaystyle gamma , equiv , { mbox {tr}} ( rho ^ {2}) ,}$

qayerda ${ displaystyle rho ,}$ bo'ladi zichlik matritsasi davlatning. Poklik kvant holatlari bo'yicha o'lchovni belgilaydi, bu davlat qancha ekanligi haqida ma'lumot beradi aralashgan.

Matematik xususiyatlar

Normallashtirilgan kvant holatining sofligi qondiradi ${ displaystyle { frac {1} {d}} leq gamma leq 1 ,}$,^[1] qayerda ${ displaystyle d ,}$ bo'ladi o'lchov ning Hilbert maydoni davlat belgilanadi. Yuqori chegara tomonidan olinadi ${ displaystyle tr ( rho) = 1 ,}$va ${ displaystyle tr ( rho ^ {2}) leq tr ( rho) ,}$(qarang iz ).

Agar ${ displaystyle rho ,}$ bu sof holatni belgilaydigan proektsiyadir, keyin yuqori chegara to'yingan bo'ladi: ${ displaystyle tr ( rho ^ {2}) = tr ( rho) = 1 ,}$ (qarang Proektsiyalar ). Pastki chegara matritsa bilan ifodalangan to'liq aralash holat tomonidan olinadi ${ displaystyle { frac {1} {d}} I_ {d} ,}$.

Kvant holatining tozaligi saqlanib qoladi unitar ga taalluqli transformatsiyalar zichlik matritsasi shaklida ${ displaystyle rho mapsto U rho U ^ { xanjar} ,}$, qayerda U bu unitar matritsa. Xususan, u ostida saqlanadi vaqt evolyutsiyasi operatori ${ displaystyle U (t, t_ {0}) = e ^ {{ frac {-i} { hbar}} H (t-t_ {0})} ,}$, qayerda H bo'ladi Hamiltoniyalik operator.^[1][2]

Jismoniy ma'no

Sof kvant holatini bitta vektor sifatida ko'rsatish mumkin ${ displaystyle | psi rangle}$ Hilbert makonida. Zichlik matritsasini shakllantirishda sof holat matritsa bilan ifodalanadi

${ displaystyle rho _ { mathrm {toza}} = | psi rangle langle psi |}$.

Biroq, aralash holatni bu tarzda ifodalash mumkin emas va uning o'rniga toza holatlarning chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi

${ displaystyle rho _ { mathrm {mixed}} = sum p_ {i} | psi _ {i} rangle langle psi _ {i} |,}$

esa ${ displaystyle sum p_ {i} = 1}$ normalizatsiya uchun. Soflik parametri koeffitsientlar bilan bog'liq: Agar bitta koeffitsient 1 ga teng bo'lsa, holat toza bo'ladi; aks holda poklik ularning qadriyatlari qanchalik o'xshashligini o'lchaydi. Darhaqiqat, poklik 1 / kun davlat butunlay aralashganda, ya'ni.

${ displaystyle rho _ { mathrm {fully mixed}} = { frac {1} {d}} sum _ {i = 1} ^ {d} | psi _ {i} rangle langle psi _ {i} | = { frac {1} {d}} I_ {d},}$

qayerda ${ displaystyle | psi _ {i} rangle}$ bor d Hilbert fazosining asosini tashkil etuvchi ortonormal vektorlar.^[3]

Geometrik tasvir

Ustida Blox shar, sof holatlar shar sirtidagi nuqta bilan, aralash holatlar esa ichki nuqta bilan ifodalanadi. Shunday qilib, holatning tozaligini nuqta sharning yuzasiga yaqinlashishi darajasi sifatida tasavvur qilish mumkin.

Masalan, bitta kubitning butunlay aralashgan holati ${ displaystyle { frac {1} {2}} I_ {2} ,}$simmetriya bilan sharning markazi bilan ifodalanadi.

Tozalikning grafik sezgi zichlik matritsasi va Bloch sferasi o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rib chiqish orqali olinishi mumkin,

${ displaystyle rho = { frac {1} {2}} chap (I + { vec {a}} cdot { vec { sigma}} o'ng),}$

qayerda ${ displaystyle { vec {a}}}$ bu kvant holatini (sharda yoki uning ichida) ifodalaydigan vektor va ${ displaystyle { vec { sigma}} = ( sigma _ {x}, sigma _ {y}, sigma _ {z})}$ ning vektori Pauli matritsalari.

Pauli matritsalari izsiz bo'lgani uchun, u hali ham buni ushlab turadi tr (r)= 1. Biroq, tufayli

${ displaystyle ({ vec {a}} cdot { vec { sigma}}) ({ vec {b}} cdot { vec { sigma}}) = ({ vec {a}} cdot { vec {b}}) , I + i ({ vec {a}} times { vec {b}}) cdot { vec { sigma}},}$

${ displaystyle rho ^ {2} = { frac {1} {2}} [{ frac {1} {2}} (1+ | a | ^ {2}) I + { vec {a}} cdot { vec { sigma}}],}$

shuning uchun tr${ displaystyle ( rho ^ {2}) = { frac {1} {2}} (1+ | a | ^ {2}),}$bu faqat soha yuzasidagi holatlarning o'zi toza ekanligi bilan rozi (ya'ni. ${ displaystyle | a | = 1}$).

Boshqa tushunchalar bilan bog'liqlik

Lineer entropiya

Poklik trivially bilan bog'liq Lineer entropiya ${ displaystyle S_ {L} ,}$ tomonidan davlatning

${ displaystyle gamma = 1-S_ {L} ,.}$

Chalkashlik

A 2-kubitlar sof holat ${ displaystyle | psi rangle _ {AB} in H_ {A} otimes H_ {B}}$ yozilishi mumkin (yordamida Shmidt parchalanishi ) kabi ${ displaystyle | psi rangle _ {AB} = sum _ {j} lambda _ {j} | j rangle _ {A} | j rangle _ {B}}$, qayerda ${ displaystyle {| j rangle _ {A} }, {| j rangle _ {B} }}$ ning asoslari ${ displaystyle H_ {A}, H_ {B}}$ navbati bilan va ${ displaystyle sum _ {j} lambda _ {j} ^ {2} = 1, lambda _ {j} geq 0}$. Uning zichligi matritsasi ${ displaystyle rho ^ {AB} = sum _ {i, j} lambda _ {i} lambda _ {j} | i rangle _ {A} langle j | _ {A} otimes | i rangle _ {B} langle j | _ {B}}$. Uning chigallik darajasi uning quyi tizimlari holatining tozaligi bilan bog'liq, ${ displaystyle rho ^ {A} = tr_ {B} ( rho _ {AB}) = sum _ {j} lambda _ {j} ^ {2} | j rangle _ {A} langle j | _ {A}}$va shunga o'xshash ${ displaystyle rho ^ {B}}$ (qarang qisman iz ). Agar bu boshlang'ich holatni ajratish mumkin bo'lsa (ya'ni bitta bittasi bo'lsa) ${ displaystyle lambda _ {j} neq 0}$), keyin ${ displaystyle rho ^ {A}, rho ^ {B}}$ ikkalasi ham toza. Aks holda, bu holat chalkashib ketgan va ${ displaystyle rho ^ {A}, rho ^ {B}}$ ikkalasi ham aralashgan. Masalan, agar ${ displaystyle | psi rangle _ {AB} = | Phi ^ {+} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0 rangle _ {A} otimes | 0 rangle _ {B} + | 1 rangle _ {A} otimes | 1 rangle _ {B})}$ bu maksimal darajada chigallashgan holat, keyin ${ displaystyle rho ^ {A}, rho ^ {B}}$ ikkalasi ham to'liq aralashgan.

2-kubit (toza yoki aralash) holatlar uchun Shmidt raqami (Shmidt koeffitsientlari soni) ko'pi bilan 2. Buni va Peres-Horodecki mezonlari (2-kubit uchun), agar u bo'lsa, vaziyat chalkashib ketadi qisman transpozitsiya kamida bitta salbiy o'z qiymatiga ega. Yuqoridan yuqoridagi Shmidt koeffitsientlaridan foydalanib, salbiy o'z qiymatiga ega ${ displaystyle - lambda _ {0} lambda _ {1}}$.^[4] The salbiy ${ displaystyle { mathcal {N}} = - lambda _ {0} lambda _ {1}}$ bu o'ziga xos qiymat chalkashlik o'lchovi sifatida ham qo'llaniladi - bu holat ko'proq chalkashib ketgan, chunki bu o'ziga xos qiymat ko'proq salbiy (gacha) ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$ uchun Bell shtatlari ). Kichik tizim holati uchun ${ displaystyle A}$ (xuddi shunday uchun ${ displaystyle B}$), u quyidagilarni nazarda tutadi:

${ displaystyle rho ^ {A} = tr_ {B} (| psi rangle _ {AB} langle psi | _ {AB}) = lambda _ {0} ^ {2} | 0 rangle _ {A} langle 0 | _ {A} + lambda _ {1} ^ {2} | 1 rangle _ {A} langle 1 | _ {A}}$

Va poklik ${ displaystyle gamma = lambda _ {0} ^ {4} + lambda _ {1} ^ {4} = ( lambda _ {0} ^ {2} + lambda _ {1} ^ {2} ) ^ {2} -2 ( lambda _ {0} lambda _ {1}) ^ {2} = 1-2 { mathcal {N}} ^ {2}}$.

Kompozit holat qanchalik chalkash (ya'ni salbiy) bo'lsa, quyi tizim holati shunchalik toza emasligini ko'rish mumkin.

Teskari ishtirok etish darajasi (IPR)

Lokalizatsiya sharoitida poklik bilan chambarchas bog'liq bo'lgan miqdor, teskari ishtirok etish koeffitsienti (IPR) deb ataladi. Bu ba'zi bir bo'shliqdagi zichlik kvadratiga integral (yoki tizimning cheklangan hajmi uchun yig'indisi) sifatida aniqlanadi, masalan, haqiqiy bo'shliq, impuls maydoni, yoki hatto zichlik haqiqiy maydonning kvadrati bo'lgan fazali bo'shliq to'lqin funktsiyasi ${ displaystyle | psi (x) | ^ {2}}$, impuls fazoviy to'lqin funktsiyasining kvadrati ${ displaystyle | { tilde { psi}} (k) | ^ {2}}$yoki shunga o'xshash fazali bo'shliq zichligi Husimi tarqatish navbati bilan.^[5]

IPRning eng kichik qiymati to'liq delokalizatsiya qilingan holatga to'g'ri keladi, ${ displaystyle psi (x) = 1 / { sqrt {N}}}$ hajmi tizimi uchun ${ displaystyle N}$, bu erda IPR hosil bo'ladi ${ displaystyle sum _ {x} | psi (x) | ^ {4} = N / (N ^ {1/2}) ^ {4} = 1 / N}$. IPRning 1 ga yaqin qiymatlari mahalliylashtirilgan holatlarga mos keladi (o'xshashlikdagi sof holatlar), buni mukammal mahalliylashtirilgan holat bilan ko'rish mumkin ${ displaystyle psi (x) = delta _ {x, x_ {0}}}$, bu erda IPR hosil bo'ladi ${ displaystyle sum _ {x} | psi (x) | ^ {4} = 1}$. Bir o'lchovda IPR lokalizatsiya uzunligining teskari tomoniga, ya'ni shtat lokalizatsiya qilingan hududning o'lchamiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. Doirasida mahalliylashtirilgan va delokalizatsiya qilingan (kengaytirilgan) holatlar quyultirilgan moddalar fizikasi keyin mos keladi izolyatsiya qiluvchi va metall navbati bilan, agar kimdir panjara ustidagi elektronni ichida harakatlana olmayotganligini tasavvur qilsa kristall (mahalliy to'lqin funktsiyasi, IPR biriga yaqin) yoki harakatlana olishi (kengaytirilgan holat, IPR nolga yaqin).

Mahalliylashtirish sharoitida ko'pincha to'lqin funktsiyasini o'zi bilish shart emas; ko'pincha lokalizatsiya xususiyatlarini bilish kifoya. Shuning uchun IPR ushbu kontekstda foydalidir. IPR asosan kvant tizimi to'g'risida to'liq ma'lumotni oladi (to'lqin funktsiyasi; a. Uchun ${ displaystyle N}$- o'lchovli Hilbert maydoni saqlash kerak edi ${ displaystyle N}$ qiymatlari, to'lqin funktsiyasining tarkibiy qismlari) va uni bitta raqamga siqib chiqaradi, so'ngra faqat holatning lokalizatsiya xususiyatlari haqida ba'zi ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Hatto mukammal lokalizatsiya qilingan va mukammal delokalizatsiya qilingan holatning bu ikkita misoli faqat haqiqiy kosmik to'lqin funktsiyasi uchun va shunga mos ravishda IPR haqiqiy fazosi uchun ko'rsatilgan bo'lsa ham, shubhasiz g'oyani impuls fazosiga va hatto fazaviy bo'shliqqa kengaytirish mumkin; keyinchalik IPR ko'rib chiqilayotgan maydonda lokalizatsiya to'g'risida ba'zi ma'lumotlarni beradi, masalan. a tekislik to'lqini haqiqiy makonda kuchli delokalizatsiya qilingan bo'lar edi, lekin uning Furye konvertatsiyasi keyin kuchli lokalizatsiya qilingan, shuning uchun bu erda IPR haqiqiy maydoni nolga yaqin va IPR momentum maydoni birga yaqin bo'ladi.

O'lchovning proektivligi

Kvant o'lchovi uchun proektivlik^[6] uning pokligi oldindan o'lchov holati.Bu oldindan o'lchov holati ning asosiy vositasi retrodiktiv yondashuv kvant fizikasi, unda biz o'lchov natijalariga olib keladigan holatga tayyorgarlik to'g'risida bashorat qilamiz. Bu o'lchov tizimining qaysi holatlarda bunday natijaga erishish uchun tayyorlanganligini aniqlashga imkon beradi.

Adabiyotlar