Kvant tomografiyasi - Quantum tomography

Kvant tomografiya yoki kvant holatidagi tomografiya bir xil kvant holatlar ansamblidagi o'lchovlar yordamida kvant holatini tiklash jarayoni.^[1] Ushbu holatlarning manbai kvant holatlarini doimiy ravishda kvantga tayyorlaydigan har qanday qurilma yoki tizim bo'lishi mumkin sof holatlar yoki umuman boshqacha aralashgan davlatlar. Vaziyatni noyob tarzda aniqlay olish uchun o'lchovlar bo'lishi kerak tomografik jihatdan to'liq. Ya'ni o'lchangan operatorlar shakllanishi kerak operator asos ustida Hilbert maydoni davlat haqidagi barcha ma'lumotlarni taqdim etadigan tizim. Bunday kuzatuvlar to'plami ba'zan a deb ham nomlanadi kvorum.

1-rasm: faza fazosida uning impulsi va holati bilan ifodalangan bitta harmonik osilator

Shakl 2: O'zlarining impulslari va pozitsiyalari bilan faza fazosida aks etgan ko'plab bir xil osilatorlar

Yilda kvant jarayoni tomografiyasi boshqa tomondan, ma'lum kvant holatlari jarayonni qanday ta'riflash mumkinligini bilish uchun kvant jarayonini tekshirish uchun ishlatiladi. Xuddi shunday, kvant o'lchov tomografiyasi qanday o'lchov amalga oshirilayotganligini bilish uchun ishlaydi. Holbuki, tasodifiy taqqoslash xatoga moyil bo'lgan fizikaviy kvant jarayoni va uning ideal hamkasbi o'rtasidagi ustma-ustlikning o'lchov ko'rsatkichini miqyosda oladi.

Kvant holati tomografiyasining umumiy printsipi shundan iboratki, bir xil zichlik matritsalari bilan tavsiflangan kvant tizimlarida turli xil o'lchovlarni qayta-qayta bajarish orqali chastotalar sonidan foydalanish mumkin ehtimolliklar, va bu ehtimolliklar birlashtiriladi Bornning qoidasi a ni aniqlash uchun zichlik matritsasi bu kuzatuvlarga eng mos keladi.

Buni klassik o'xshashlik qilish orqali osongina tushunish mumkin. A ni ko'rib chiqing harmonik osilator (masalan, sarkaç). The pozitsiya va momentum osilatorning istalgan nuqtadagi o'lchovini o'lchash mumkin va shuning uchun harakatni to'liq tomonidan tasvirlash mumkin fazaviy bo'shliq. Bu 1-rasmda ko'rsatilgan. Ko'p sonli bir xil osilatorlar uchun ushbu o'lchovni amalga oshirsak, biz ichida taqsimotni olamiz fazaviy bo'shliq (rasm 2). Ushbu taqsimot normallashtirilishi mumkin (ma'lum bir vaqtda osilator bir joyda bo'lishi kerak) va taqsimot salbiy bo'lmasligi kerak. Shunday qilib biz zarrachani berilgan momentum bilan berilgan nuqtada topish imkoniyatining tavsifini beradigan W (x, p) funktsiyasini oldik.

Kvant mexanik zarralari uchun ham xuddi shunday qilish mumkin. Faqatgina farq - Geyzenbergnikidir noaniqlik printsipi buzilmasligi kerak, ya'ni zarrachaning impulsi va holatini bir vaqtning o'zida o'lchay olmaymiz. Zarrachaning impulsi va uning holati kvadraturalar deyiladi (qarang) Optik faza maydoni qo'shimcha ma'lumot olish uchun) kvant bilan bog'liq holatlarda. Ko'p sonli bir xil kvant holatlarining kvadratlaridan birini o'lchash orqali bizga o'sha kvadratga mos keladigan ehtimollik zichligi beriladi. Bunga marginal taqsimot, pr (X) yoki pr (P) (3-rasmga qarang). Keyingi matnda biz ushbu ehtimollik zichligi kvant tomografiyasining butun nuqtasi bo'lgan zarrachaning kvant holatini tavsiflash uchun zarurligini ko'ramiz.

3-rasm: Marginal taqsimot

Kvant holati tomografiyasi nima uchun ishlatiladi

Kvant tomografiyasi tizimning manbaiga qo'llaniladi kvant holati ushbu manbaning chiqishi. Tizimning o'lchovdan keyingi hozirgi holatini aniqlaydigan yagona tizimdagi o'lchovdan farqli o'laroq (umuman olganda, o'lchovni amalga oshirish harakati kvant holatini o'zgartiradi), kvant tomografiyasi o'lchovlar oldidan holat (lar) ni aniqlash uchun ishlaydi.

Kvant tomografiyasi optik signallarni tavsiflash uchun ishlatilishi mumkin, shu jumladan signal kuchayishi va yo'qolishini o'lchash,^[2] kabi kvant hisoblash va kvant axborot nazariyasi ning haqiqiy holatlarini ishonchli aniqlash uchun kubitlar.^[3][4] Bob odam tayyorlagan vaziyatni tasavvur qilish mumkin kvant holatlari va keyin shtatlarni Elisga qarash uchun beradi. Bobning shtatlarni ta'riflashiga ishonmay, Elis shtatlarni o'zi tasniflash uchun kvant tomografiyasini qilishni xohlashi mumkin.

Kvant holati tomografiyasi usullari

Lineer inversiya

Foydalanish Bornning qoidasi, kvant tomografiyasining eng oddiy shaklini olish mumkin. Odatda, sof holatda bo'lish ma'lum emas va holat aralash bo'lishi mumkin. Bunday holda, har xil o'lchovlarni bajarish kerak bo'ladi, ularning har biri bir necha marta. To'liq rekonstruksiya qilish uchun zichlik matritsasi a aralash holat a cheklangan o'lchovli Hilbert maydoni, quyidagi texnikadan foydalanish mumkin.

Bornning qoidasi davlatlar ${ displaystyle mathrm {P} (E_ {i} | rho) = mathrm {Trace} (E_ {i} rho)}$, qayerda ${ displaystyle E_ {i}}$ o'lchovning ma'lum natijasidir proektor va ${ displaystyle rho}$ tizimning zichlik matritsasi gistogramma har bir o'lchov bo'yicha kuzatuvlar, birida taxminiy qiymat mavjud${ displaystyle p_ {i}}$ ga ${ displaystyle mathrm {P} (E_ {i} | rho)}$ har biriga ${ displaystyle E_ {i}}$.

Berilgan chiziqli operatorlar ${ displaystyle S}$ va ${ displaystyle T}$, ichki mahsulotni aniqlang

${ displaystyle S cdot T = mathrm {Tr} [S ^ { xanjar} T] = { vec {S}} ^ { xanjar} { vec {T}}}$

qayerda ${ displaystyle { vec {T}}}$ ning vakili ${ displaystyle T}$ ustunli vektor sifatida operator va ${ displaystyle { vec {S}} ^ { xanjar}}$ qator vektori shunday ${ displaystyle { vec {S}} ^ { xanjar} { vec {T}}}$ ichki mahsulotdir ${ displaystyle mathbb {C} ^ {d}}$ ikkitadan.

Matritsani aniqlang ${ displaystyle A}$ kabi

${ displaystyle A = { begin {pmatrix} { vec {E}} _ {1} ^ { dagger} { vec {E}} _ {2} ^ { dagger} { vec {E}} _ {3} ^ { dagger} vdots end {pmatrix}}}$.

Bu yerda E_men individual o'lchovlarning ba'zi bir qat'iy ro'yxati (ikkilik natijalar bilan) va A bir vaqtning o'zida barcha o'lchovlarni amalga oshiradi.

Keyin buni qo'llash ${ displaystyle { vec { rho}}}$ hosil beradi ehtimolliklar:

${ displaystyle A { vec { rho}} = { begin {pmatrix} { vec {E}} _ {1} ^ { xanjar} { vec { rho}} { vec {E }} _ {2} ^ { dagger} { vec { rho}} { vec {E}} _ {3} ^ { dagger} { vec { rho}} vdots end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} E_ {1} cdot rho E_ {2} cdot rho E_ {3} cdot rho vdots end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} mathrm {P} (E_ {1} | rho) mathrm {P} (E_ {2} | rho) mathrm {P} (E_ {3} | rho) vdots end {pmatrix}} approx { begin {pmatrix} p_ {1} p_ {2} p_ {3} vdots end {pmatrix}} = { vec {p}}}$.

Lineer inversiya ushbu tizimni kuzatilgan nisbiy chastotalar yordamida teskari aylantirishga mos keladi ${ displaystyle { vec {p}}}$ olmoq ${ displaystyle { vec { rho}}}$ (bu izomorfikdir ${ displaystyle displaystyle rho}$).

Ushbu tizim umuman kvadratik bo'lmaydi, chunki har bir o'lchov uchun odatda bir nechta o'lchov natijalari bo'ladi projektorlar ${ displaystyle E_ {i}}$. Masalan, 2-o'lchovda Hilbert maydoni 3 o'lchov bilan ${ displaystyle sigma _ {x}, sigma _ {y}, sigma _ {z}}$, har bir o'lchov 2 natijaga ega, ularning har biri projektorga ega E_men, 6 proektor uchun, zichlik matritsalari makonining haqiqiy o'lchovi esa (2⋅2)²) / 2 = 4, ketmoq ${ displaystyle A}$ 6 x bo'lishi kerak 4. Tizimni echish uchun chap tomonga ko'paytiring ${ displaystyle A ^ {T}}$:

${ displaystyle A ^ {T} A { vec { rho}} = A ^ {T} { vec {p}}}$.

Endi uchun ${ displaystyle { vec { rho}}}$ hosil beradi pseudoinverse:

${ displaystyle { vec { rho}} = (A ^ {T} A) ^ {- 1} A ^ {T} { vec {p}}}$.

Bu, umuman olganda, faqat o'lchovlar ro'yxati bo'lsa ishlaydi E_men tomografik jihatdan to'liq. Aks holda, matritsa ${ displaystyle A ^ {T} A}$ bo'lmaydi teskari.

Doimiy o'zgaruvchilar va kvant homodin tomografiyasi

Cheksiz o'lchovli Xilbert bo'shliqlari, masalan. pozitsiya kabi doimiy o'zgaruvchilarni o'lchashda metodologiya biroz murakkabroq. Taniqli misollardan biri tomografiya ning yorug'lik, optik sifatida tanilgan gomodin tomografiya. Balansli foydalanish gomodin o'lchovlardan kelib chiqadigan narsa Wigner funktsiyasi va a zichlik matritsasi holati uchun yorug'lik.

Bitta yondashuv turli xil aylantirilgan yo'nalishlar bo'yicha o'lchovlarni o'z ichiga oladi fazaviy bo'shliq. Har bir yo'nalish uchun ${ displaystyle theta}$, topishingiz mumkin a ehtimollik taqsimoti ${ displaystyle w (q, theta)}$ uchun ehtimollik zichligi o'lchovlari ${ displaystyle theta}$ qiymat beradigan fazaviy fazoning yo'nalishi ${ displaystyle q}$. Teskari foydalanish Radon konversiyasi (filtrlangan orqa proektsiya) yoniq ${ displaystyle w (q, theta)}$ ga olib keladi Wigner funktsiyasi, ${ displaystyle mathrm {W} (x, p)}$,^[5] tomonidan o'zgartirilishi mumkin teskari Furye konvertatsiyasi ichiga zichlik matritsasi har qanday asosda davlat uchun.^[4] Shunga o'xshash texnik ko'pincha ishlatiladi tibbiy tomografiya.

Gomodin tomografiyasining misoli.

Yuqori samaradorlikka ega bo'lgan maydon amplitudalarini yoki kvadratlarini o'lchash mumkin fotodetektorlar vaqtinchalik rejim selektivligi bilan birga. Balansli homodin tomografiyasi - bu qayta tiklashning ishonchli texnikasi kvant holatlari optik sohada. Ushbu texnika intensivlikni yoki o'lchashda fotodiodlarning yuqori samaradorligining afzalliklarini birlashtiradi foton raqami yorug'lik, kvant xususiyatlarini o'lchash bilan birga gomodin deb nomlangan aqlli o'rnatish orqali tomografiya detektor. Bu quyidagi misol bilan izohlanadi. A lazer 50-50% ga yo'naltirilgan beamsplitter, lazerni ikkita nurga bo'lish. Ulardan biri sifatida ishlatiladi mahalliy osilator (LO) va boshqasi ma'lum bir narsa bilan fotonlarni yaratish uchun ishlatiladi kvant holati. Kvant holatlarining avlodi amalga oshirilishi mumkin, masalan. lazer nurlarini a orqali yo'naltirish orqali chastotani ikki baravar oshirish kristall ^[6] va keyin a ga parametrli pastga aylantirish kristall. Ushbu kristall ma'lum kvant holatida ikkita foton hosil qiladi. Fotonlardan biri homodin tomografiya detektorining o'qish hodisasini boshlash (boshlash) uchun ishlatiladigan signal signal sifatida ishlatiladi. Boshqa foton kvant holatini tiklash uchun gomodin tomografiya detektoriga yo'naltiriladi. Tetik va signal fotonlari bo'lgani uchun chigal (bu Spontan bilan izohlanadi parametrli pastga aylantirish maqola), buni anglash muhim, bu optik rejim signal holati lokal bo'lmagan holda faqat trigger foton fotodetektorga (trigger hodisasini o'qish moduli) to'sqinlik qilganda hosil bo'ladi va aslida o'lchanadi. Sodda qilib aytganda, trigger fotoni o'lchangandagina signal fotoni homodin detektori bilan o'lchanishi mumkin.

Endi gomodin tomografiya 4-rasmda tasvirlangan detektor (rasm yo'qolgan). Signal foton (bu kvant holati biz qayta tiklamoqchimiz) ga xalaqit beradi mahalliy osilator, ular 50-50% ga yo'naltirilganda beamsplitter. Ikkala nur usta deb ataladigan narsadan kelib chiqqanligi sababli lazer, ular bir xil aniqlangan bosqich munosabat. Mahalliy osilator signal bilan taqqoslaganda kuchli bo'lishi kerak, shuning uchun u aniq fazali ma'lumot beradi. Mahalliy osilator shunchalik kuchliki, biz uni klassik tarzda davolashimiz mumkin (a = a) va kvant tebranishlarini e'tiborsiz qoldiramiz. Signal maydoni fazoviy va vaqtincha boshqariladigan shaklga ega bo'lgan mahalliy osilator tomonidan boshqariladi. Mahalliy osilator nolga teng bo'lgan joyda signal rad etiladi. Shuning uchun bizda signalning vaqt-fazoviy rejimi selektivligi mavjud. Yoritgich ikkita nurni ikkita fotodetektorga yo'naltiradi. Fotodetektorlar an hosil qiladi elektr toki ga mutanosib foton raqami. Ikkala detektor oqimlari olib tashlanadi va hosil bo'lgan oqim elektrga mutanosibdir maydon operatori signal rejimida signalning nisbatan optik fazasiga va lokal osilatorga bog'liq.

Mahalliy osilatorning elektr maydon amplitudasi signalga qaraganda ancha yuqori bo'lgani uchun signal maydonining intensivligi yoki tebranishlari ko'rinadi. Gomodin tomografiya tizimi an kuchaytirgich. Tizimni an sifatida ko'rish mumkin interferometr signaldagi bitta foton tomonidan interferentsiyani muvozanatlashtiradigan shunday yuqori intensivlik mos yozuvlar nurlari (mahalliy osilator) bilan. Ushbu kuchaytirish fotodetektorlardan ancha yuqori shovqin qavat.

O'lchov juda ko'p marta takrorlanadi. Keyin boshqasini "skanerlash" uchun signal va mahalliy osilator o'rtasidagi o'zgarishlar farqi o'zgartiriladi burchak ichida fazaviy bo'shliq. Buni 4-rasmdan ko'rish mumkin. O'lchov yana ko'p marta takrorlanadi va a marginal taqsimot joriy farqdan olinadi. The marginal taqsimot ga aylantirilishi mumkin zichlik matritsasi va / yoki Wigner funktsiyasi. Beri zichlik matritsasi va Wigner funktsiyasi haqida ma'lumot bering kvant holati fotondan biz fotonning kvant holatini tikladik.

Ushbu usulning afzalligi shundaki, bu tartib tebranishlarga befarq chastota ning lazer.

Kvadratura komponentini joriy farqdan olish uchun kvant hisoblash quyidagi tarzda amalga oshiriladi.

The foton raqami operator nur splitteridan keyin fotodetektorlarga urilgan nurlar uchun:

${ displaystyle { hat {n}} _ {i} = { hat {a}} _ {i} ^ { xanjar} { hat {a}} _ {i}}$,

bu erda men 1 va 2, mos ravishda bitta va ikkita nurni ajratib turadigan maydonning rejim operatorlari quyidagilarni beradi:

${ displaystyle { hat {a}} _ {1} = 2 ^ {- 1/2} ({ hat {a}} - alfa _ {LO})}$

${ displaystyle { hat {a}} _ {2} = 2 ^ {- 1/2} ({ hat {a}} + alfa _ {LO})}$

The ${ displaystyle { hat {a}}}$ signalning yo'q qilinish operatorini va mahalliy osilatorning alfa kompleks amplitudasini bildiradi. Foton farqi soni oxir-oqibat kvadrati bilan mutanosib va ​​quyidagicha berilgan:

${ displaystyle { hat {n}} _ {21} = { hat {n}} _ {2} - { hat {n}} _ {1} = alfa _ {LO} ^ {*} { hat {a}} + alpha _ {LO} { hat {a}} ^ { xanjar}}$,

Buni quyidagi munosabat bilan yozing:

${ displaystyle { hat {q}} = 2 ^ {- 1/2} ({ hat {a}} ^ { xanjar} + { hat {a}})}$

Quyidagi munosabat natijalari:

${ displaystyle { hat {n}} _ {21} = 2 ^ {1/2} | { hat { alpha}} _ {LO} | { hat {q}} _ { theta}}$,

bu erda biz aniq aloqani ko'ramiz foton raqami farq va kvadratura komponenti ${ displaystyle { hat {q}} _ { theta}}$. Jami oqimini kuzatib borish orqali mahalliy osilatorning intensivligi to'g'risida ma'lumotni tiklash mumkin, chunki bu odatda noma'lum miqdor, ammo kvadratsiya komponentini hisoblash uchun muhim miqdor ${ displaystyle { hat {q}} _ { theta}}$.

Lineer inversiya bilan bog'liq muammolar

Uchun hal qilish uchun chiziqli inversiyani qo'llashning asosiy muammolaridan biri zichlik matritsasi Umuman olganda hisoblangan eritma haqiqiy zichlik matritsasi bo'lmaydi. Masalan, bu salbiy berishi mumkin ehtimolliklar yoki o'lchovning ma'lum natijalariga 1 dan katta ehtimolliklar. Bu, ayniqsa, kamroq o'lchovlar o'tkazilganda muammo hisoblanadi.

Yana bir masala shundaki, bu cheksiz o'lchovli Xilbert bo'shliqlari, o'lchov natijalarining cheksiz ko'pligi talab qilinadi. Tuzilishi haqida taxminlar qilish va cheklangan o'lchov asoslaridan foydalanish fazoviy bo'shliq zichligidagi artefaktlarga olib keladi.^[4]

Ehtimollarni maksimal darajada baholash

Ehtimollarni maksimal darajada baholash (shuningdek, MLE yoki MaxLik nomi bilan ham tanilgan) - chiziqli inversiya muammolarini hal qilishning mashhur uslubi. Domenini cheklash orqali zichlik matritsalari kerakli joyga va zichlikni oshiradigan matritsani qidirishga ehtimollik eksperimental natijalarni berish, bu ma'lumotlarning yaqinligini ta'minlash bilan davlatning nazariy jihatdan haqiqiyligini kafolatlaydi. Holat ehtimoli, agar tizim shu holatda bo'lgan bo'lsa, kuzatilgan natijalarga berilish ehtimoli.

O'lchovlarni tasavvur qiling ${ displaystyle {| y_ {j} rangle langle y_ {j} | }}$ chastotalar bilan kuzatilgan ${ displaystyle f_ {j}}$. Keyin davlat bilan bog'liq ehtimollik ${ displaystyle { hat { rho}}}$ bu

${ displaystyle L ({ hat { rho}}) = prod _ {j} langle y_ {j} | { hat { rho}} | y_ {j} rangle ^ {f_ {j}} }$

qayerda ${ displaystyle langle y_ {j} | { hat { rho}} | y_ {j} rangle}$ natija ehtimoli ${ displaystyle y_ {j}}$ davlat uchun ${ displaystyle { hat { rho}}}$.

Ushbu funktsiyani maksimalini topish ahamiyatsiz emas va odatda takroriy usullarni o'z ichiga oladi.^[7][8] Metodlar tadqiqotning faol mavzusidir.

Ehtimollarni maksimal darajada baholash bilan bog'liq muammolar

Maksimal ehtimollik darajasi chiziqli inversiyaga qaraganda unchalik aniq bo'lmagan muammolarga duch keladi. Muammolardan biri shundaki, u ma'lumotlar bilan asoslanib bo'lmaydigan ehtimolliklar to'g'risida bashorat qiladi. Buni nol muammosiga qarab eng oson ko'rish mumkin o'zgacha qiymatlar. MLE yordamida hisoblangan eritma ko'pincha o'z ichiga oladi o'zgacha qiymatlar 0 ga teng, ya'ni bu shunday daraja etishmasligi. Bunday hollarda, echim keyin yotadi chegara n o'lchovli Blox shar. Buni amaldagi bo'shliqdan tashqarida joylashgan (Bloch shar) chiziqli inversiya holatlari bilan bog'liq deb ko'rish mumkin. Ushbu holatlarda MLE yaqin bo'lgan nuqtani tanlaydi va u eng yaqin nuqtalar odatda chegarada bo'ladi.^[3]

Bu jismonan muammo emas, haqiqiy holat nolga teng bo'lishi mumkin o'zgacha qiymatlar. Biroq, hech qanday qiymat 0 dan kam bo'lmasligi mumkinligi sababli, o'z qiymatini 0 ga baholash, taxmin qiluvchining qiymati 0 ga ishonch hosil qilishini anglatadi, aks holda ular ba'zi birlarini taxmin qilishgan ${ displaystyle epsilon}$ kichik darajasi bilan 0 dan katta noaniqlik eng yaxshi taxmin sifatida. Mana shu erda muammo paydo bo'ladi, chunki o'lchovlarning cheklangan sonidan so'ng har qanday o'ziga xos qiymat (ya'ni, ma'lum bir natijaning paydo bo'lish ehtimoli) 0 ga teng ekanligi haqida mutlaqo aniqlik bilan xulosa qilish mantiqan to'g'ri kelmaydi. marta va har safar boshlar kuzatilgan bo'lsa, bu dumlarni olish ehtimoli eng yuqori bo'lishiga qaramay 0 degani emas ehtimol tanga tavsifi.^[3]

Bayes usullari

Bayesiyalik o'rtacha baho (BME) - bu nisbatan yangi yondashuv ehtimollarni maksimal darajada baholash muammolari. U shuningdek optimal echimlarni topishga qaratilgan halol chunki ular smeta tarkibiga xato satrlarini kiritishadi. Umumiy fikr: a bilan boshlanadi ehtimollik funktsiyasi va eksperimentatorning oldingi bilimlarini tavsiflovchi funktsiya (bu doimiy funktsiya bo'lishi mumkin), keyin hosil bo'lgan mahsulot yordamida barcha zichlik matritsalari bo'yicha birlashtiriladi. ehtimollik funktsiyasi va oldingi bilim og'irlik vazifasini bajaradi.

Oldindan oqilona bilimga ega bo'lgan funktsiyani hisobga olgan holda, BME qat'iy ravishda n-o'lchovli holatga ega bo'ladi blok sohasi. Yuqorida tavsiflangan N boshni olish uchun N marta aylantirilgan tanga bo'lsa, doimo oldingi bilim funktsiyasiga ega bo'lgan BME tayinlaydi ${ displaystyle scriptstyle { frac {1} {N + 2}}}$ dumlar uchun ehtimollik sifatida.^[3]

BME yuqori darajadagi aniqlikni ta'minlaydi, chunki u minimallashtiradi operatsion kelishmovchiliklar haqiqiy holatdan bahoning.^[3]

To'liq bo'lmagan ma'lumotlar uchun usullar

Ko'p zarrachali tizim uchun to'liq kvant holati tomografiyasi uchun zarur bo'lgan o'lchovlar soni zarralar soniga nisbatan eksponentsial ravishda kattalashadi, bu esa tizimni oddiy o'lchamlari uchun ham imkonsiz qiladi. Demak, kvant tomografiyasini kamroq o'lchov bilan amalga oshirishning bir qancha usullari ishlab chiqilgan.

Tushunchasi matritsani yakunlash va siqilgan sezgi to'liq bo'lmagan o'lchovlar to'plamidan (ya'ni kvorum bo'lmagan o'lchovlar to'plamidan) zichlik matritsalarini tiklash uchun qo'llanilgan. Umuman olganda, bu mumkin emas, ammo taxminlarga ko'ra (masalan, zichlik matritsasi sof holat bo'lsa yoki faqat bir nechta toza holatlarning kombinatsiyasi bo'lsa), unda zichlik matritsasi kamroq erkinlik darajasiga ega va uni qayta qurish mumkin bo'lishi mumkin to'liq bo'lmagan o'lchovlardan davlat.^[9]

O'zgarmas kvant tomografiyasi^[10]asosan eksperimental simmetrik bo'lishga yaqin bo'lgan davlatlar uchun ishlab chiqilgan protsedura bo'lib, bu hozirgi tajribalarda odatiy holdir. Ikki holatli zarralar uchun o'lchovlar soni faqat kvadratchalar zarrachalar soniga teng.^[11]Oddiy o'lchov harakatlaridan tashqari, o'lchangan ma'lumotni qayta ishlash ham samarali tarzda amalga oshirilishi mumkin: o'lchangan ma'lumotlarga hatto katta tizimlar uchun ham jismoniy zichlik matritsasini o'rnatishni amalga oshirish mumkin.^[12]Oltita kubitfotonik tajribada Permutatsion o'zgarmas kvant tomografiya siqilgan sezgirlik bilan birlashtirilgan.^[13]

Kvant o'lchovli tomografiya

Kvant tizimlarida qandaydir o'lchovni amalga oshiradigan va qanday aniq o'lchov kerakligini aniqlaydigan vaziyatni tasavvur qilish mumkin. Strategiya turli xil ma'lum bo'lgan davlatlarning tizimlarini yuborish va ushbu holatlardan noma'lum o'lchov natijalarini baholash uchun foydalanishdir. Shuningdek, "kvant baholash" deb nomlanuvchi tomografiya texnikasi, shu jumladan kvant o'lchovi tomografiyasi va shunga o'xshash kvant holati tomografiyasi uchun tobora muhim ahamiyat kasb etmoqda. Chunki o'lchov har doim ham bir qator bilan tavsiflanishi mumkin POVM Maqsad xarakteristikani qayta tiklashdir POVM "s ${ displaystyle Pi _ {l}}$. Oddiy yondashuv - bu chiziqli teskari burilish. Kvant holatini kuzatishda bo'lgani kabi, foydalaning

${ displaystyle displaystyle mathrm {Tr} [ Pi _ {l} rho _ {m}] = mathrm {P} (l | rho _ {m})}$.

Yuqoridagi kabi lineerlikdan foydalanib, buni teskari tomonga qaytarish mumkin ${ displaystyle Pi _ {l}}$.

Buning ajablanarli joyi yo'q, bu kvant holati tomografiyasidagi kabi tuzoqlardan aziyat chekmoqda: jismoniy bo'lmagan natijalar, xususan salbiy ehtimolliklar. Mana ${ displaystyle Pi _ {l}}$ haqiqiy bo'lmaydi POVM chunki ular ijobiy bo'lmaydi. Bayes usullari, shuningdek Ehtimollarni maksimal darajada baholash ning zichlik matritsasi operatorlarni haqiqiy jismoniy natijalar bilan cheklash uchun ishlatilishi mumkin.^[14]

Kvant jarayoni tomografiyasi

Kvant jarayoni tomografiyasi (QPT) noma'lum kvant dinamik jarayonini aniqlash bilan shug'ullanadi. 1996 yilda kiritilgan va ba'zan ma'lum bo'lgan birinchi yondashuv standart kvant jarayoni tomografiyasi (SQPT) kvant holatlari ansamblini tayyorlash va ularni jarayon orqali yuborishni o'z ichiga oladi, so'ngra kvant holatini aniqlash uchun kvant holati tomografiyasidan foydalanadi.^[15] Boshqa texnikalar kiradi yordamchi jarayon tomografiyasi (AAPT) va chigallik yordamida jarayon tomografiyasi (EAPT), bu tizimning qo'shimcha nusxasini talab qiladi.^[16]

Yuqorida sanab o'tilgan usullarning har biri ma'lum bilvosita usullar kvant dinamikasini tavsiflash uchun, chunki ular jarayonni qayta qurish uchun kvant holati tomografiyasidan foydalanishni talab qiladi. Aksincha, mavjud to'g'ridan-to'g'ri usullar kabi kvant dinamikasining bevosita tavsifi (DCQD), bu hech qanday davlat tomografisiz kvant tizimlarining to'liq tavsifini beradi.^[17]

To'liq kvantli jarayon tomografiyasi uchun zarur bo'lgan eksperimental konfiguratsiyalar soni (holatni tayyorlash va o'lchovlar) tizimning tarkibiy qismlari soniga qarab keskin o'sib boradi. Binobarin, umuman olganda, QPT keng ko'lamli kvant tizimlari uchun imkonsiz vazifadir. Biroq, zaif dekoherentsiya taxminiga ko'ra, kvant dinamik xaritasi siyrak ko'rinishni topishi mumkin. Usuli siqilgan kvant jarayoni tomografiyasi (CQPT) dan foydalanadi siqilgan sezgi to'liq bo'lmagan o'lchovlar to'plamidan yoki sinov holatidagi preparatlardan kvant dinamik xaritasini tiklash uchun tejamkorlik taxminini qo'llaydi.^[18]

Kvant dinamik xaritalar

Kvant dinamik xaritasi deb ham ataladigan kvant jarayoni, ${ displaystyle { mathcal {E}} ( rho)}$, a bilan tavsiflanishi mumkin to'liq ijobiy xarita

${ displaystyle { mathcal {E}} ( rho) = sum _ {i} A_ {i} rho A_ {i} ^ { xanjar}}$,

qayerda ${ displaystyle rho in { mathcal {B (H)}}}$, chegaralangan operatorlar Hilbert maydoni; bilan operatsiya elementlari ${ displaystyle displaystyle A_ {i}}$ qoniqarli ${ displaystyle textstyle sum _ {i} A_ {i} ^ { xanjar} A_ {i} leq I}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle mathrm {Tr} [{ mathcal {E}} ( rho)] leq 1}$.

Ruxsat bering ${ displaystyle displaystyle {E_ {i} }}$ uchun ortogonal asos bo'ling ${ displaystyle { mathcal {B (H)}}}$. Yozing ${ displaystyle displaystyle A_ {i}}$ operatorlari shu asosda

${ displaystyle displaystyle A_ {i} = sum _ {m} a_ {im} E_ {m}}$.

Bu olib keladi

${ displaystyle { mathcal {E}} ( rho) = sum _ {m, n} chi _ {mn} E_ {m} rho E_ {n} ^ { xanjar}}$,

qayerda ${ displaystyle chi _ {mn} = sum _ {i} a_ {mi} a_ {ni} ^ {*}}$.

Maqsad keyin hal qilishdir ${ displaystyle displaystyle chi}$, bu ijobiy superoperator va to'liq tavsiflaydi ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ ga nisbatan ${ displaystyle displaystyle {E_ {i} }}$ asos.^[16][17]

Standart kvant jarayoni tomografiyasi

SQPT yordamida bunga yaqinlashadi ${ displaystyle d ^ {2}}$ chiziqli mustaqil kirish ${ displaystyle rho _ {j}}$, qayerda ${ displaystyle d}$ bu Hilbert fazosining o'lchamidir ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Ushbu kirish holatlarining har biri uchun ${ displaystyle rho _ {j}}$, uni jarayon orqali yuborish chiqish holatini beradi ${ displaystyle { mathcal {E}} ( rho)}$ ning chiziqli birikmasi sifatida yozilishi mumkin ${ displaystyle rho _ {k}}$, ya'ni ${ displaystyle textstyle { mathcal {E}} ( rho _ {j}) = sum _ {k} c_ {jk} rho _ {k}}$. Har birini yuborish orqali ${ displaystyle rho _ {j}}$ ko'p marta kvant holati tomografiyasi yordamida koeffitsientlarni aniqlash mumkin ${ displaystyle c_ {jk}}$ eksperimental ravishda.

Yozing

${ displaystyle E_ {m} rho _ {j} E_ {n} ^ { xanjar} = sum _ {k} B_ {m, n, j, k} rho _ {k}}$,

qayerda ${ displaystyle B}$ bu koeffitsientlarning matritsasi

${ displaystyle sum _ {k} c_ {jk} rho _ {k} = { mathcal {E}} ( rho _ {j}) = sum _ {m, n} chi _ {m, n} E_ {m} rho _ {j} E_ {n} ^ { xanjar} = sum _ {m, n} sum _ {k} chi _ {m, n} B_ {m, n, j, k} rho _ {k}}$.

Beri ${ displaystyle rho _ {k}}$ chiziqli mustaqil asosni tashkil etadi,

${ displaystyle displaystyle c_ {jk} = sum _ {m, n} chi _ {m, n} B_ {m, n, j, k}}$.

Inverting ${ displaystyle B}$ beradi ${ displaystyle chi}$:

${ displaystyle chi _ {m, n} = sum _ {j, k} B_ {m, n, j, k} ^ {- 1} c_ {jk}}$.

Adabiyotlar