Pushforward (differentsial) - Pushforward (differential)

Agar xarita bo'lsa, φ, ko'p qirrali har bir nuqtani olib yuradi M ko'p qirrali N keyin surish φ teginuvchi fazoda vektorlarni har bir nuqtada olib yuradi M har bir nuqtada teginuvchi bo'shliqqa N.

Yilda differentsial geometriya, oldinga tegang bo'shliqlaridagi tekis xaritalarning chiziqli yaqinlashishi φ : M → N a silliq xarita o'rtasida silliq manifoldlar; keyin differentsial ning φ bir nuqtada x qaysidir ma'noda eng yaxshisidir chiziqli yaqinlashish ning φ yaqin x. Buni umumlashtirish sifatida qaralishi mumkin jami lotin oddiy hisob-kitob. Shubhasiz, bu a chiziqli xarita dan teginsli bo'shliq ning M da x ning teginish maydoniga N da φ(x). Shuning uchun uni ishlatish mumkin Durang tangens vektorlari yoqilgan M oldinga teginuvchi vektorlarga N.Haritaning differentsiali φ shuningdek, turli mualliflar tomonidan lotin yoki jami lotin ning φ.

Motivatsiya

Ruxsat bering φ : U → V bo'lishi a silliq xarita dan ochiq ichki qism U ning R^m ochiq ichki qismga V ning Rⁿ. Har qanday nuqta uchun x yilda U, Jacobian ning φ da x (standart koordinatalarga nisbatan) bu matritsa ning vakili jami lotin ning φ da x, bu a chiziqli xarita

${ displaystyle d varphi _ {x} colon mathbf {R} ^ {m} to mathbf {R} ^ {n} .}$

Biz buni ushbu vaziyatda umumlashtirmoqchimiz φ orasidagi silliq funktsiya har qanday silliq manifoldlar M va N.

Silliq xaritaning differentsiali

Ruxsat bering φ : M → N silliq manifoldlarning silliq xaritasi bo'ling. Ba'zilarini hisobga olgan holda x ∈ M, differentsial ning φ da x chiziqli xarita

${ displaystyle d varphi _ {x}: T_ {x} M dan T _ { varphi (x)} N ,}$

dan teginsli bo'shliq ning M da x ning teginish maydoniga N da φ(x). Ning qo'llanilishi dφ_x teginish vektoriga X ba'zan deb nomlanadi oldinga ning X tomonidan φ. Ushbu surishning aniq ta'rifi tangens vektorlari uchun ishlatiladigan ta'rifga bog'liq (har xil ta'riflar uchun qarang teginsli bo'shliq ).

Agar tangens vektorlarni egri chiziqlarning ekvivalentligi sinflari deb aniqlasa x keyin differentsial tomonidan beriladi

${ displaystyle d varphi _ {x} left ( gamma ^ { prime} (0) right) = ( varphi circ gamma) ^ { prime} (0).}$

Bu yerda γ bu egri chiziq M bilan γ(0) = x. Boshqacha qilib aytganda, teginish vektorining egri chiziqqa surilishi γ 0 da faqat egri chiziqning teginuvchi vektori φ ∘ γ 0 da.

Shu bilan bir qatorda, agar teginish vektorlari sifatida belgilangan bo'lsa hosilalar silliq real qiymatli funktsiyalar bo'yicha harakat qilish, keyin differentsial tomonidan berilgan

${ displaystyle d varphi _ {x} (X) (f) = X (f circ varphi).}$

Bu yerda X ∈ T_xM, shuning uchun X - bu aniqlangan lotin M va f - bu to'g'ri baholangan funktsiya N. Ta'rifga ko'ra X berilganida x yilda M ichida T_φ(x)N va shuning uchun o'zi lotin.

Tanlagandan so'ng grafikalar atrofida x va φ(x), φ silliq xarita bilan mahalliy darajada aniqlanadi

${ displaystyle { widehat { varphi}}: U dan Vgacha$

ning ochiq to'plamlari orasida R^m va Rⁿva dφ_x vakillikka ega (at x)

${ displaystyle d varphi _ {x} chap ({ frac { qismli} { qismli u ^ {a}}} o'ng) = { frac { kısalt { widehat { varphi}} ^ { b}} { qisman u ^ {a}}} { frac { qismli} { qismli v ^ {b}}},}$

ichida Eynshteyn yig'indisi yozuvi, bu erda qisman hosilalar nuqtada baholanadi U ga mos keladi x berilgan jadvalda.

Lineerlik bo'yicha kengaytirish quyidagi matritsani beradi

${ displaystyle chap (d varphi _ {x} o'ng) _ {a} ^ {; b} = { frac { kısalt { widehat { varphi}} ^ {b}} { qisman u ^ {a}}}.}$

Shunday qilib, differentsial - bu tekis xarita bilan bog'liq bo'lgan teginish bo'shliqlari orasidagi chiziqli o'zgarish φ har bir nuqtada. Shuning uchun, ba'zi tanlangan mahalliy koordinatalarda, bilan ifodalanadi Yakobian matritsasi tegishli silliq xaritaning R^m ga Rⁿ. Umuman olganda, differentsial ehtiyojni qaytarib bo'lmaydi. Agar φ a mahalliy diffeomorfizm, keyin itarib yuboring x qaytariladigan va uning teskari qiymati beradi orqaga tortish ning T_φ(x)N.

Diferensial tez-tez turli xil boshqa belgilar yordamida ifodalanadi

${ displaystyle D varphi _ {x}, ; left ( varphi _ {*} right) _ {x}, ; varphi '(x), ; T_ {x} varphi.}$

Ta'rifdan kelib chiqadiki, a ning differentsiali kompozit differentsiallarning kompozitsiyasidir (ya'ni, funktsional xulq-atvor). Bu zanjir qoidasi silliq xaritalar uchun.

Shuningdek, a ning differentsiali mahalliy diffeomorfizm a chiziqli izomorfizm tegang bo'shliqlar.

Tangens to'plamidagi differentsial

Silliq xaritaning differentsiali φ aniq bir tarzda qo'zg'atadi, a to'plam xaritasi (aslida a vektorli to'plam homomorfizmi ) dan teginish to'plami ning M ning tejamkor to'plamiga N, bilan belgilanadi dφ yoki φ_∗, bu quyidagilarga mos keladi komutativ diagramma:

qayerda π_M va π_N ning tangens to'plamlarining to'plam proektsiyalarini belgilang M va N navbati bilan.

${ displaystyle operator nomi {d} ! varphi}$ undaydi a to'plam xaritasi dan TM uchun orqaga tortish to'plami φ^∗TN ustida M orqali

${ displaystyle (m, v_ {m}) mapsto (m, operatorname {d} ! varphi (m, v_ {m})),}$

qayerda ${ displaystyle m in M}$ va ${ displaystyle v_ {m} in T_ {m} M.}$ Oxirgi xaritani o'z navbatida a sifatida ko'rish mumkin Bo'lim ning vektor to'plami Uy (TM, φ^∗TN) ustida M. To'plam xaritasi dφ bilan ham belgilanadi Tφ va chaqirdi teginans xaritasi. Shu tarzda, shu ravishda, shunday qilib, T a funktsiya.

Vektorli maydonlarni oldinga siljitish

Silliq xarita berilgan φ : M → N va a vektor maydoni X kuni M, pushforwardni aniqlash odatda mumkin emas X ba'zi bir vektor maydoni bilan φ tomonidan Y kuni N. Masalan, xarita bo'lsa φ sur'ektiv emas, ning tasviridan tashqarida bunday surilishni aniqlashning tabiiy usuli yo'q φ. Bundan tashqari, agar φ in'ektsion emas, chunki ma'lum bir nuqtada bir nechta surish tanlovi bo'lishi mumkin. Shunga qaramay, xarita bo'ylab vektor maydoni tushunchasidan foydalanib, bu qiyinchilikni aniq qilish mumkin.

A Bo'lim ning φ^∗TN ustida M deyiladi a bo'ylab vektor maydoni φ. Masalan, agar M ning submanifoldidir N va φ qo'shilish, keyin vektor maydoni φ ning tegonli to'plamining faqat bir qismi N birga M; xususan, vektor maydoni M qo'shilishi orqali bunday bo'limni belgilaydi TM ichida TN. Ushbu g'oya o'zboshimchalik bilan tekis xaritalarni umumlashtiradi.

Aytaylik X - bu vektor maydoni M, ya'ni TM. Keyin, ${ displaystyle operatorname {d} ! varphi circ X}$ hosil, yuqoridagi ma'noda, oldinga φ_∗X, bu birga vektor maydoni φ, ya'ni φ^∗TN ustida M.

Har qanday vektor maydoni Y kuni N belgilaydi a orqaga tortish qismi φ^∗Y ning φ^∗TN bilan (φ^∗Y)_x = Y_φ(x). Vektorli maydon X kuni M va vektor maydoni Y kuni N deb aytilgan φ-bog'liq agar φ_∗X = φ^∗Y bo'ylab vektor maydonlari sifatida φ. Boshqacha qilib aytganda, hamma uchun x yilda M, dφ_x(X) = Y_φ(x).

Ba'zi hollarda, a X vektor maydoni yoniq M, noyob vektor maydoni mavjud Y kuni N qaysi φ-bog'liq bo'lgan X. Bu, ayniqsa, qachon to'g'ri keladi φ a diffeomorfizm. Bunday holda, pushforward vektor maydonini belgilaydi Y kuni N, tomonidan berilgan

${ displaystyle Y_ {y} = varphi _ {*} chap (X _ { varphi ^ {- 1} (y)} o'ng).}$

Qachon umumiyroq vaziyat yuzaga keladi φ surjective (masalan, to'plamning proektsiyasi tola to'plami). Keyin vektor maydoni X kuni M deb aytilgan loyihalash mumkin agar hamma uchun bo'lsa y yilda N, dφ_x(X_x) tanlovidan mustaqil x yilda φ⁻¹({y}). Aynan mana shu shart - bu majburiyatni kafolatlaydi X, vektor maydoni sifatida N, aniq belgilangan.

Shuningdek qarang

• Orqaga tortish

Adabiyotlar

• Li, Jon M. (2003). Smooth manifoldlarga kirish. Matematikadan Springer bitiruvchisi matnlari. 218.
• Jost, Yurgen (2002). Riemann geometriyasi va geometrik tahlil. Berlin: Springer-Verlag. ISBN  3-540-42627-2. 1.6 bo'limiga qarang.
• Ibrohim, Ralf; Marsden, Jerrold E. (1978). Mexanika asoslari. London: Benjamin-Kammings. ISBN  0-8053-0102-X. 1.7 va 2.3 bo'limlariga qarang.