RC davri - RC circuit

Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "RC davri"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2018 yil mart) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

A qarshilik - kondansatör davri (RC davri), yoki RC filtri yoki RC tarmog'i, bu elektr davri tarkib topgan rezistorlar va kondansatörler. Buni a boshqarishi mumkin Kuchlanish yoki joriy manba va bu turli xil javoblarni keltirib chiqaradi. Birinchi darajali RC davri bitta qarshilik va bitta kondansatördan iborat va RC sxemasining eng oddiy turi.

RC davrlari ma'lum chastotalarni blokirovka qilish va boshqalaridan o'tish orqali signalni filtrlash uchun ishlatilishi mumkin. Ikkita eng keng tarqalgan RC filtrlari yuqori o'tkazgichli filtrlar va past o'tkazgichli filtrlar; tarmoqli o'tkazgich filtrlari va tarmoqli to'xtash filtrlari odatda talab qiladi RLC filtrlari, ammo xom-ashyoni RC filtrlari yordamida tayyorlash mumkin.

Kirish

Uchta asosiy, chiziqli passiv mavjud birlashtirilgan analog elektron komponentlar: qarshilik (R), kondansatör (C) va induktor (L). Ular RC pallasida birlashtirilishi mumkin RL davri, LC davri, va RLC davri, qaysi tarkibiy qismlardan foydalanilishini ko'rsatadigan qisqartmalar bilan. Ushbu sxemalar, shu jumladan, ko'pchilik uchun muhim bo'lgan juda ko'p sonli xatti-harakat turlarini namoyish etadi analog elektronika. Xususan, ular kabi harakat qilish imkoniyatiga ega passiv filtrlar. Ushbu maqola ikkalasida ham RC sxemasini ko'rib chiqadi seriyali va parallel shakllari, quyidagi diagrammalarda ko'rsatilganidek.

Tabiiy javob

RC davri

Eng oddiy RC davri tashqi kuchlanish manbaisiz bir-biriga ulangan qarshilik va zaryadlangan kondansatkichdan iborat. O'chirish yopilgandan so'ng, kondansatör rezistor orqali saqlangan energiyani chiqarishni boshlaydi. Vaqtga bog'liq bo'lgan kondansatördeki voltaj yordamida topish mumkin Kirxhoffning amaldagi qonuni. Rezistor orqali oqim kattaligi bo'yicha (lekin belgisiga qarama-qarshi) kondensatorda to'plangan zaryadning vaqt hosilasiga teng bo'lishi kerak. Buning natijasi chiziqli differentsial tenglama

${ displaystyle C { frac {dV} {dt}} + { frac {V} {R}} = 0 ,,}$

qayerda C bu kondansatörün sig'imi.

Ushbu tenglamani echish V uchun formulani beradi eksponensial yemirilish:

${ displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ {- { frac {t} {RC}}} ,,}$

qayerda V₀ vaqtdagi kondansatör voltajidir t = 0.

Voltning tushishi uchun zarur bo'lgan vaqt V₀/e deyiladi RC vaqt sobit va tomonidan berilgan,^[1]

${ displaystyle tau = RC ,.}$

Ushbu formulada, τ soniyalar bilan o'lchanadi, R ohm va C faradlarda.

Murakkab impedans

The murakkab impedans, Z_C (ichida.) ohm ) sig'imga ega bo'lgan kondansatör C (ichida.) faradlar )

${ displaystyle Z_ {C} = { frac {1} {sC}}}$

The murakkab chastota s umuman, a murakkab raqam,

${ displaystyle s = sigma + j omega ,,}$

qayerda

• j ifodalaydi xayoliy birlik: j² = −1,
• σ bo'ladi eksponensial yemirilish doimiy (ichida) qarindoshlar soniyada) va
• ω bo'ladi sinusoidal burchak chastotasi (ichida.) soniyada radianlar ).

Sinusoidal barqaror holat

Sinusoidal barqaror holat - bu kirish voltaji toza sinusoiddan iborat bo'lgan (eksponensial parchalanishsiz) alohida holat. Natijada, ${ displaystyle sigma = 0}$ va impedans bo'ladi

${ displaystyle Z_ {C} = - { frac {j} { omega C}} ,.}$

Seriya davri

Seriya RC davri

Sxemani a sifatida ko'rib chiqish orqali kuchlanishni ajratuvchi, Kuchlanish kondansatör bo'ylab:

${ displaystyle V_ {C} (s) = { frac { frac {1} {Cs}} {R + { frac {1} {Cs}}}} V _ { mathrm {in}} (s) = { frac {1} {1 + RCs}} V _ { mathrm {in}} (lar)}$

va qarshilikdagi kuchlanish:

${ displaystyle V_ {R} (s) = { frac {R} {R + { frac {1} {Cs}}}} V _ { mathrm {in}} (s) = { frac {RCs} { 1 + RCs}} V _ { mathrm {in}} (lar) ,.}$

Funksiyalarni uzatish

The uzatish funktsiyasi kirish voltajidan kondansatördeki voltajga qadar

${ displaystyle H_ {C} (s) = { frac {V_ {C} (s)} {V _ { mathrm {in}} (s)}} = { frac {1} {1 + RCs}} ,.}$

Xuddi shunday, kirishdan qarshilikka voltajga uzatish funktsiyasi

${ displaystyle H_ {R} (s) = { frac {V_ {R} (s)} {V _ { rm {in}} (s)}} = { frac {RCs} {1 + RCs}} ,.}$

Qutblar va nollar

Ikkala uzatish funktsiyalari ham bitta qutb joylashgan

${ displaystyle s = - { frac {1} {RC}} ,.}$

Bunga qo'shimcha ravishda, qarshilikdagi kuchlanish uchun uzatish funktsiyasi a ga ega nol da joylashgan kelib chiqishi.

Daromad va faza

Ikkala komponent bo'yicha yutuqlarning kattaligi

${ displaystyle G_ {C} = { big |} H_ {C} (j omega) { big |} = left | { frac {V_ {C} (j omega)} {V _ { mathrm {in}} (j omega)}} o'ng | = { frac {1} { sqrt {1+ chap ( omega RC o'ng) ^ {2}}}}}$

va

${ displaystyle G_ {R} = { big |} H_ {R} (j omega) { big |} = left | { frac {V_ {R} (j omega)} {V _ { mathrm {in}} (j omega)}} o'ng | = { frac { omega RC} { sqrt {1+ chap ( omega RC o'ng) ^ {2}}}} ,,}$

va faza burchaklari

${ displaystyle phi _ {C} = burchak H_ {C} (j omega) = tan ^ {- 1} chap (- omega RC o'ng)}$

va

${ displaystyle phi _ {R} = burchak H_ {R} (j omega) = tan ^ {- 1} chap ({ frac {1} { omega RC}} o'ng) ,. }$

Ushbu iboralar birgalikda odatdagi iboraga almashtirilishi mumkin fazor natijani ifodalovchi:

${ displaystyle { begin {aligned} V_ {C} & = G_ {C} V _ { mathrm {in}} e ^ {j phi _ {C}} V_ {R} & = G_ {R} V _ { mathrm {in}} e ^ {j phi _ {R}} ,. End {hizalangan}}}$

Joriy

O'chirish oqimi hamma joyda bir xil bo'ladi, chunki elektron ketma-ketlikda bo'ladi:

${ displaystyle I (s) = { frac {V _ { mathrm {in}} (s)} {R + { frac {1} {Cs}}}}} = { frac {Cs} {1 + RCs} } V _ { mathrm {in}} (lar) ,.}$

Impulsli javob

The impulsli javob har bir kuchlanish uchun teskari Laplasning o'zgarishi tegishli uzatish funktsiyasining. Bu elektronning impulsdan iborat bo'lgan kirish voltajiga javobini yoki Dirac delta funktsiyasi.

Kondensator voltajining impuls reaktsiyasi

${ displaystyle h_ {C} (t) = { frac {1} {RC}} e ^ {- { frac {t} {RC}}} u (t) = { frac {1} { tau }} e ^ {- { frac {t} { tau}}} u (t) ,,}$

qayerda siz(t) bo'ladi Heaviside qadam funktsiyasi va τ = RC bo'ladi vaqt doimiy.

Xuddi shunday, rezistor kuchlanishi uchun impuls reaktsiyasi ham

${ displaystyle h_ {R} (t) = delta (t) - { frac {1} {RC}} e ^ {- { frac {t} {RC}}} u (t) = delta ( t) - { frac {1} { tau}} e ^ {- { frac {t} { tau}}} u (t) ,,}$

qayerda δ(t) bo'ladi Dirac delta funktsiyasi

Chastotani-domenni hisobga olish

Bular chastota domeni iboralar. Ularni tahlil qilish sxemalarning (yoki filtrlarning) qaysi chastotalarni o'tishini va rad etishlarini ko'rsatadi. Ushbu tahlil ushbu yutuqlarga nima bo'lishini ko'rib chiqishga asoslangan, chunki chastota juda katta va juda kichik bo'ladi.

Sifatida ω → ∞:

${ displaystyle G_ {C} to 0 quad { mbox {va}} quad G_ {R} to 1 ,.}$

Sifatida ω → 0:

${ displaystyle G_ {C} to 1 quad { mbox {va}} quad G_ {R} to 0 ,.}$

Bu shuni ko'rsatadiki, agar chiqish kondansatör bo'ylab olinadigan bo'lsa, yuqori chastotalar susayadi (erga qisqartiriladi) va past chastotalar o'tkaziladi. Shunday qilib, sxema a kabi ishlaydi past o'tkazgichli filtr. Agar qarshilik rezistor bo'ylab chiqarilsa, yuqori chastotalar o'tkaziladi va past chastotalar susayadi (chunki kondansatör signalni uning chastotasi 0 ga yaqinlashganda bloklaydi). Ushbu konfiguratsiyada sxema a kabi ishlaydi yuqori o'tkazgichli filtr.

Filtr o'tkazadigan chastotalar diapazoni uning deyiladi tarmoqli kengligi. Filtr signalni filtrlanmagan quvvatining yarmiga qadar susaytiradigan nuqta uning deb ataladi uzilish chastotasi. Buning uchun kontaktlarning zanglashiga olib tushishi kerak

${ displaystyle G_ {C} = G_ {R} = { frac {1} { sqrt {2}}}}$.

Yuqoridagi tenglamani echish natijasida hosil bo'ladi

${ displaystyle omega _ { mathrm {c}} = { frac {1} {RC}} quad { mbox {or}} quad f _ { mathrm {c}} = { frac {1} {2 pi RC}}}$

bu chastotani filtr asl kuchining yarmiga qadar susaytiradi.

Shubhasiz, fazalar chastotaga ham bog'liq, garchi bu ta'sir odatda daromad farqiga qaraganda unchalik qiziq emas.

Sifatida ω → 0:

${ displaystyle phi _ {C} to 0 quad { mbox {and}} quad phi _ {R} to 90 ^ { circ} = { frac { pi} {2}} { mbox {radians}} ,.}$

Sifatida ω → ∞:

${ displaystyle phi _ {C} to -90 ^ { circ} = - { frac { pi} {2}} { mbox {radians}} quad { mbox {and}} quad phi _ {R} dan 0 ,.}$

Shunday qilib DC (0 Hz ), kondansatör kuchlanishi signal kuchlanishi bilan fazada, qarshilik kuchlanishi esa uni 90 ° ga olib keladi. Chastotani ko'payishi bilan kondansatör zo'riqishida signalga nisbatan 90 ° kechikish paydo bo'ladi va qarshilik kuchlanishi signal bilan fazada bo'ladi.

Vaqt-domenni hisobga olish

Ushbu bo'lim bilimga asoslangan e, tabiiy logaritmik doimiy.

Vaqt domeni xulq-atvorini olishning eng to'g'ri usuli bu Laplas o'zgaradi uchun ifodalarning V_C va V_R yuqorida berilgan. Bu samarali o'zgaradi jω → s. Faraz qilaylik a qadam kiritish (ya'ni V_yilda = 0 oldin t = 0 undan keyin V_yilda = V keyin):

${ displaystyle { begin {aligned} V _ { mathrm {in}} (s) & = V cdot { frac {1} {s}} V_ {C} (s) & = V cdot { frac {1} {1 + sRC}} cdot { frac {1} {s}} V_ {R} (s) & = V cdot { frac {sRC} {1 + sRC}} cdot { frac {1} {s}} ,. end {aligned}}}$

Kondansatör voltajining qadam javobi.

Rezistorli kuchlanishning qadam javobi.

Qisman fraksiyalar kengayish va teskari Laplasning o'zgarishi Yo'l bering:

${ displaystyle { begin {aligned} V_ {C} (t) & = V chap (1-e ^ {- { frac {t} {RC}}} o'ng) V_ {R} (t ) & = Ve ^ {- { frac {t} {RC}}} ,. End {aligned}}}$

Ushbu tenglamalar kondansatör bo'lsa, mos ravishda kondensator va qarshilikdagi kuchlanishni hisoblash uchun zaryadlash; zaryadsizlantirish uchun tenglamalar aksincha. Ushbu tenglamalarni aloqalar yordamida zaryad va oqim nuqtai nazaridan qayta yozish mumkin C = Q/V va V = IQ (qarang Ohm qonuni ).

Shunday qilib, kondansatördeki voltaj sari intiladi V vaqt o'tishi bilan, qarshilikdagi kuchlanish rasmlarda ko'rsatilgandek 0 ga intiladi. Bu vaqt o'tishi bilan kondansatör besleme zo'riqishidan quvvat oladigan va oxir-oqibat to'liq zaryadlanadigan intuitiv nuqtaga mos keladi.

Ushbu tenglamalar shuni ko'rsatadiki, ketma-ket RC sxemasi a ga ega vaqt doimiy, odatda belgilanadi τ = RC tarkibiy qismdagi kuchlanish ko'tarilishi (kondansatör bo'ylab) yoki tushish (qarshilik bo'ylab) ichkariga kirishi kerak bo'lgan vaqt 1/e uning yakuniy qiymati. Anavi, τ bu vaqt talab etadi V_C yetmoq V(1 − 1/e) va V_R yetmoq V(1/e).

O'zgarish darajasi a kasrli 1 − 1/e per τ. Shunday qilib, dan t = Nτ ga t = (N + 1)τ, kuchlanish uning darajasidan taxminan 63,2% ga o'tdi t = Nτ uning yakuniy qiymatiga qarab. Shunday qilib, keyin kondensator taxminan 63,2% quvvatlanadi τ, va deyarli to'liq zaryadlangan (99,3%) 5τ. Kuchlanish manbai qisqa tutashuv bilan almashtirilganda, kondansatör to'liq zaryadlangan bo'lsa, kondansatördeki voltaj uzluksiz pasayadi t dan V 0 ga qarab. Kondensator taxminan 36,8% gacha tushiriladi τ, va deyarli to'liq (0,7%) bo'shatilgan 5τ. Hozirgi, Men, kontaktlarning zanglashiga olish kuchlanishi qarshilik kuchlanishi orqali amalga oshiriladi Ohm qonuni.

Ushbu natijalar -ni echish orqali ham olinishi mumkin differentsial tenglamalar elektronni tavsiflovchi:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {V _ { mathrm {in}} -V_ {C}} {R}} & = C { frac {dV_ {C}} {dt}} V_ {R} & = V _ { mathrm {in}} -V_ {C} ,. End {aligned}}}$

Birinchi tenglama an yordamida echiladi birlashtiruvchi omil ikkinchisi esa osonlikcha ergashadi; echimlar Laplas transformatsiyalari orqali olingan echimlar bilan bir xil.

Integrator

Kondansatör bo'ylab chiqishni ko'rib chiqing yuqori chastota, ya'ni

${ displaystyle omega gg { frac {1} {RC}} ,.}$

Bu shuni anglatadiki, kondansatör zaryadlash uchun etarli vaqtga ega emas va shuning uchun uning kuchlanishi juda kichik. Shunday qilib kirish voltaji qarshilikdagi voltajga teng keladi. Buni ko'rish uchun uchun ifodasini ko'rib chiqing ${ displaystyle I}$ yuqorida berilgan:

${ displaystyle I = { frac {V _ { mathrm {in}}} {R + { frac {1} {j omega C}}}} ,,}$

ammo ta'riflangan chastota holati shuni anglatishini unutmang

${ displaystyle omega C gg { frac {1} {R}} ,,}$

shunday

${ displaystyle I taxminan { frac {V _ { mathrm {in}}} {R}}}$

bu shunchaki Ohm qonuni.

Hozir,

${ displaystyle V_ {C} = { frac {1} {C}} int _ {0} ^ {t} I , dt ,,}$

shunday

${ displaystyle V_ {C} approx { frac {1} {RC}} int _ {0} ^ {t} V _ { mathrm {in}} , dt ,,}$

qaysi bir integrator kondansatör bo'ylab.

Differentsiator

Rezistor bo'ylab chiqishni ko'rib chiqing past chastota, ya'ni

${ displaystyle omega ll { frac {1} {RC}} ,.}$

Bu shuni anglatadiki, kondansatör zo'riqishida uning kuchlanishi deyarli manba voltajiga teng bo'lgunga qadar quvvat oladigan vaqtga ega. Uchun ifodani hisobga olgan holda Men yana, qachon

${ displaystyle R ll { frac {1} { omega C}} ,,}$

shunday

${ displaystyle { begin {aligned} I & approx { frac {V _ { mathrm {in}}} { frac {1} {j omega C}}} V _ { mathrm {in}} & taxminan { frac {I} {j omega C}} = V_ {C} ,. end {aligned}}}$

Hozir,

${ displaystyle { begin {aligned} V_ {R} & = IR = C { frac {dV_ {C}} {dt}} R V_ {R} & taxminan RC { frac {dV_ {in} } {dt}} ,, end {hizalangan}}}$

bu farqlovchi qarshilik bo'ylab.

Aniqroq integratsiya va farqlash rezistorlar va kondansatkichlarni kirishga mos ravishda joylashtirish orqali erishish mumkin mulohaza pastadir operatsion kuchaytirgichlar (qarang operatsion kuchaytirgich integratori va operatsion kuchaytirgich differentsiatori ).

Parallel elektron

Parallel RC davri

Parallel RC davri odatda ketma-ket zanjirga qaraganda kamroq qiziqish uyg'otadi. Buning sababi shundaki, chiqish kuchlanishi V_chiqib kirish voltajiga teng V_yilda - natijada, ushbu kontaktlarning zanglashiga olib kirilmasa, kirish signalida filtr vazifasini o'tamaydi joriy manba.

Murakkab impedanslar bilan:

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {R} & = { frac {V _ { mathrm {in}}} {R}} I_ {C} & = j omega CV _ { mathrm {in} } ,. end {hizalangan}}}$

Bu shuni ko'rsatadiki, kondansatör oqimi qarshilik (va manba) oqimi bilan 90 ° fazadan tashqarida. Shu bilan bir qatorda, boshqaruvchi differentsial tenglamalardan foydalanish mumkin:

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {R} & = { frac {V _ { mathrm {in}}} {R}} I_ {C} & = C { frac {dV _ { mathrm { ichida}}} {dt}} ,. end {aligned}}}$

Oqim manbai bilan oziqlanadigan bo'lsa, parallel RC zanjirining uzatish funktsiyasi:

${ displaystyle { frac {V _ { mathrm {out}}} {I _ { mathrm {in}}}} = { frac {R} {1 + sRC}} ,}$

Sintez

Ba'zan talab qilinadi sintez berilganidan RC davri ratsional funktsiya yilda s. Passiv elementlarda sintezni amalga oshirish uchun funktsiya a bo'lishi kerak ijobiy-real funktsiya. RC davri sifatida sintez qilish uchun barcha muhim chastotalar (qutblar va nollar ) manfiy haqiqiy o'qda bo'lishi kerak va har birining teng soniga ega qutblar va nollar o'rtasida almashinish kerak. Bundan tashqari, kelib chiqishga yaqin kritik chastota qutb bo'lishi kerak, agar ratsional funktsiya ruxsatni emas, balki impedansni anglatadi.

Sintezga o'zgartirish kiritilganda erishish mumkin Foster sintezi yoki Cauer sintezi sintez qilish uchun ishlatiladi LC davrlari. Cauer sintezi holatida, a narvon tarmog'i rezistorlar va kondansatkichlar paydo bo'ladi.^[2]

Shuningdek qarang

• RL davri
• LC davri
• RLC davri
• Elektr tarmog'i
• Elektron mavzular ro'yxati
• Qadam javob

Adabiyotlar

Bibliografiya

• Bakshi, U.A.; Bakshi, A.V., O'chirish tahlili - II, Texnik nashrlar, 2009 y ISBN  9788184315974.
• Horovits, Pol; Tepalik, Uinfild, Elektron san'at (3-nashr), Kembrij universiteti matbuoti, 2015 y ISBN  0521809266.