Ramanujan-Petersson gumoni - Ramanujan–Petersson conjecture

Yilda matematika, Ramanujan gumoni, sababli Srinivasa Ramanujan  (1916, s.176), deb ta'kidlaydi Ramanujanning tau funktsiyasi tomonidan berilgan Furye koeffitsientlari τ(n) ning shakl Δ (z) vazn 12

${ displaystyle Delta (z) = sum _ {n> 0} tau (n) q ^ {n} = q prod _ {n> 0} chap (1-q ^ {n} o'ng) ^ {24} = q-24q ^ {2} + 252q ^ {3} -1472q ^ {4} + 4830q ^ {5} - cdots,}$

qayerda ${ displaystyle q = e ^ {2 pi iz}}$, qondiradi

${ displaystyle | tau (p) | leq 2p ^ { frac {11} {2}},}$

qachon p a asosiy raqam. The umumiy Ramanujan gumoni yoki Ramanujan-Petersson gumonitomonidan kiritilgan Petersson  (1930 ), boshqa modulli shakllarga yoki avtomorfik shakllarga umumlashtirishdir.

Ramanujan L funktsiyasi

The Riemann zeta funktsiyasi va Dirichlet L-funktsiyasi qondirish Eyler mahsuloti,

${ displaystyle L (s, a) = prod _ {p} left (1 + { frac {a (p)} {p ^ {s}}} + { frac {a (p ^ {2}) )} {p ^ {2s}}} + nuqta o'ng)}$

(1)

va ular tufayli to'liq multiplikativ mulk

${ displaystyle L (s, a) = prod _ {p} left (1 - { frac {a (p)} {p ^ {s}}} right) ^ {- 1}.}$

(2)

Riemann zeta funktsiyasidan va Dirichlet L funktsiyalaridan tashqari yuqoridagi munosabatlarni qondiradigan L funktsiyalari mavjudmi? Haqiqatan ham Avtomorfik shakllarning L-funktsiyalari Eyler mahsulotini qondirish (1), lekin ular (2) qondirishmaydi, chunki ular to'liq multiplikatsion xususiyatga ega emaslar. Biroq, Ramanujan ning L funktsiyasi ekanligini aniqladi modulli diskriminant o'zgartirilgan munosabatni qondiradi

${ displaystyle L (s, tau) = prod _ {p} left (1 - { frac { tau (p)} {p ^ {s}}} + { frac {1} {p ^) {2s-11}}} o'ng) ^ {- 1},}$

(3)

qayerda τ(p) Ramanujanning tau funktsiyasi. Atama

${ displaystyle { frac {1} {p ^ {2s-11}}}}$

butunlay multiplikatsion xususiyatdan farqi sifatida qaraladi. Yuqoridagi L funktsiyasi deyiladi Ramanujanning L funktsiyasi.

Ramanujan gumoni

Ramanujan quyidagilarni taxmin qildi:

1. τ bu multiplikativ,
2. τ to'liq multiplikativ emas, balki asosiy uchun p va j yilda N bizda ... bor: τ(p^j+1) = τ(p)τ(p ^j ) − p¹¹τ(p^j−1 )va
3. |τ(p)| ≤ 2p^11/2.

Ramanujan ning kvadratik tenglamasini kuzatdi siz = p^−s ning RHS maxrajida (3),

${ displaystyle 1- tau (p) u + p ^ {11} u ^ {2}}$

har doim ko'plab misollardan xayoliy ildizlarga ega bo'lar edi. Kvadrat tenglamalarning ildizlari va koeffitsientlari orasidagi bog'liqlik uchinchi munosabatni keltirib chiqaradi Ramanujanning taxminlari. Bundan tashqari, Ramanujan tau funktsiyasi uchun yuqoridagi kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsin a va β, keyin

${ displaystyle { text {Re}} ( alpha) = { text {Re}} ( beta) = p ^ { frac {11} {2}},}$

o'xshaydi Riman gipotezasi. Bu hamma uchun biroz kuchsizroq bo'lgan taxminni nazarda tutadi τ(n), ya'ni har qanday kishi uchun ε > 0:

${ displaystyle O chap (n ^ {{ frac {11} {2}} + varepsilon} o'ng).}$

1917 yilda, L. Mordell dastlabki ikkita munosabatlarni murakkab tahlil usullaridan foydalangan holda isbotladilar, xususan hozirda qanday ma'lum Hecke operatorlari. Uchinchi bayonot Vayl taxminlari tomonidan Deligne (1974). Buning natijasi ekanligini ko'rsatish uchun zarur bo'lgan formulalar nozik va umuman aniq emas edi. Bu ish edi Michio Kuga tomonidan qo'shilgan hissalar bilan Mikio Sato, Goro Shimura va Yasutaka Ixara, dan so'ng Deligne (1968) harvtxt xatosi: maqsad yo'q: CITEREFDeligne1968 (Yordam bering). Aloqa mavjudligi 1960 yillarning oxirlarida ba'zi chuqur ishlarga ilhom berdi etale kohomologiyasi nazariya ishlab chiqilayotgan edi.

Modulli shakllar uchun Ramanujan-Petersson gumoni

1937 yilda, Erix Xek ishlatilgan Hecke operatorlari Mordellning dastlabki ikkita taxminni isbotlash usulini umumlashtirish avtomorfik L funktsiyasi diskret kichik guruhlarning Γ ning SL (2, Z). Har qanday kishi uchun modulli shakl

${ displaystyle f (z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} q ^ {n} qquad q = e ^ {2 pi iz},}$

shakllanishi mumkin Dirichlet seriyasi

${ displaystyle varphi (s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}.}$

Modulli shakl uchun f (z) vazn k ≥ 2 uchun Γ, φ(s) mutlaqo yaqinlashadi Qayta (s) > k, chunki a_n = O (n^k−1+ε). Beri f og'irlikning modulli shakli k, (s − k)φ(s) bo'lib chiqadi butun va R(s) = (2π)^−sΓ (s)φ(s) qondiradi funktsional tenglama:

${ displaystyle R (k-s) = (- 1) ^ { frac {k} {2}} R (s);}$

Buni 1929 yilda Uilton isbotlagan. Bu o'rtasidagi yozishmalar f va φ bittadan (a₀ = (−1)^k/2 Res_s=k R(s)). Ruxsat bering g(x) = f (ix) −a₀ uchun x > 0, keyin g(x) bilan bog'liq R(s) orqali Mellinning o'zgarishi

${ displaystyle R (s) = int _ {0} ^ { infty} g (x) x ^ {s-1} dx Leftrightarrow g (x) = { frac {1} {2 pi i} } int _ {{ text {Re}} (s) = sigma _ {0}} R (s) x ^ {- s} ds.}$

Ushbu yozishma yuqoridagi funktsional tenglamani qondiradigan Dirichlet seriyasini diskret kichik guruhning avtomorfik shakli bilan bog'laydi. SL (2, Z).

Bunday holda k ≥ 3 Xans Petersson moduli shakllari maydoniga metrikani kiritdi, deb nomlangan Petersson metrikasi (shuningdek qarang Vayl-Petersson metrikasi ). Ushbu taxmin uning nomi bilan atalgan. Petersson metrikasi bo'yicha biz modulli shakllar fazosidagi ortogonallikni shakllari va uning ortogonal maydoni va ular cheklangan o'lchamlarga ega. Bundan tashqari, biz yordamida holomorfik modulli shakllar makonining o'lchamini aniq hisoblashimiz mumkin Riemann-Roch teoremasi (qarang modulli shakllarning o'lchamlari ).

Deligne (1971) ishlatilgan Eyxler – Shimura izomorfizmi Ramanujan gipotezasini Vayl taxminlari keyinchalik buni isbotladi. Umumiyroq Ramanujan-Petersson gumoni uchun elliptik modulli shakllar nazariyasidagi holomorfik kusp shakllari uchun muvofiqlik kichik guruhlari shunga o'xshash formulaga ega, ko'rsatkich bilan (k − 1)/2 qayerda k shaklning og'irligi. Ushbu natijalar quyidagilardan kelib chiqadi Vayl taxminlari, holat bundan mustasno k = 1, natijada qaerda Deligne & Serre (1974).

Ramanujan-Petersson gumoni Maass shakllari holomorfik holatda yaxshi ishlaydigan Deligne usuli haqiqiy analitik holatda ishlamaganligi sababli hali ham ochiq (2016 yil holatiga ko'ra).

Ramanujan-Petersson gumoni avtomorf shakllar uchun

Satake (1966) jihatidan Ramanujan-Petersson gumonini qayta tuzdi avtomorfik vakolatxonalar uchun GL (2) avtomorfik tasvirlarning mahalliy tarkibiy qismlari asosiy qatorga kiradi va bu holatni Ramanujan-Petersson gumonining boshqa guruhlardagi avtomorf shakllarga umumlashtirilishi sifatida taklif qildi. Buni aytishning yana bir usuli shundan iboratki, to'shak shakllarining mahalliy tarkibiy qismlari yumshatilishi kerak. Biroq, bir nechta mualliflar qarshi misollarni topdilar anizotropik guruhlar bu erda abadiylikdagi komponent susaytirilmagan. Kurokava (1978) va Xau va Piatetski-Shapiro (1979) gumon, shuningdek, ba'zi kvazi-split va split guruhlar uchun ham yolg'on ekanligini ko'rsatib, unitar guruh U (2, 1) va simpektik guruh Sp (4) deyarli hamma joyda mo''tadil bo'lmagan, vakillik bilan bog'liq bo'lgan θ₁₀.

Qarama-qarshi namunalar topilgandan so'ng, Piatetski-Shapiro (1979) gumonni isloh qilish hali ham davom etishi kerakligini taklif qildi. Ning hozirgi formulasi umumiy Ramanujan gumoni dunyo miqyosidagi umumiy kuspidal uchun avtomorfik vakillik ulangan reduktiv guruh, bu erda umumiy taxmin vakolatxonani tan olganligini anglatadi Whittaker modeli. Unda aytilishicha, bunday vakolatxonaning har bir mahalliy komponenti yumshoq bo'lishi kerak. Bu tufayli kuzatuv Langlendlar deb belgilaydi funktsionallik ning avtomorf tasvirlarining nosimmetrik kuchlari GL (n) Ramanujan-Petersson gumonining isboti bo'ladi.

Ramanujan tomon raqamlar maydonlari bo'yicha chegaralar

Ramanujan gipotezasi bo'yicha raqamlar maydonida eng yaxshi chegaralarni olish ko'plab matematiklarning e'tiborini tortdi. Har bir yaxshilanish zamonaviy dunyoda muhim voqea hisoblanadi Raqamlar nazariyasi. Tushunish uchun Ramanujan chegaralari uchun GL (n), unitar kuspidalni ko'rib chiqing avtomorfik vakillik:

${ displaystyle pi = bigotimes pi _ {v}.}$

The Bernshteyn-Zelevinskiy tasnifi bizga har biri buni aytadi p-adic π_v vakolatxonadan unitar parabolik induksiya orqali olinishi mumkin

${ displaystyle tau _ {1, v} otimes cdots otimes tau _ {d, v}.}$

Bu erda har biri ${ displaystyle tau _ {i, v}}$ ning vakili GL (n_men), joy ustida v, shaklning

${ displaystyle tau _ {i_ {0}, v} otimes | det | _ {v} ^ { sigma _ {i, v}}}$

bilan ${ displaystyle tau _ {i_ {0}, v}}$ temperli. Berilgan n ≥ 2, a Ramanujan bog'langan bu raqam δ ≥ 0 shu kabi

${ displaystyle max _ {i} left | sigma _ {i, v} right | leq delta.}$

Langlandlarning tasnifi uchun ishlatilishi mumkin arximediya joylari. Umumlashtirilgan Ramanujan gipotezasi chegaraga teng δ = 0.

Jaket, Piatetski-Shapiro va Shalika (1981) harvtxt xatosi: maqsad yo'q: CITEREFJacquetPiatetski-ShapiroShalika1981 (Yordam bering) ning birinchi chegarasini oling δ ≤ 1/2 uchun umumiy chiziqli guruh GL (n), ahamiyatsiz chegaralar sifatida tanilgan. Tomonidan muhim yutuq amalga oshirildi Luo, Rudnik va Sarnak (1999), kim hozirda eng yaxshi umumiy chegarani ushlab turadi δ ≡ 1/2 − (n²+1)⁻¹ o'zboshimchalik uchun n va har qanday raqam maydoni. Bo'lgan holatda GL (2), Kim va Sarnak bu boradagi yutuqlarni o'rnatdilar δ = 7/64 raqamlar maydoni maydon bo'lsa ratsional sonlar, ning funktsionallik natijasi natijasida olinadi Kim (2002) orqali olingan nosimmetrik to'rtinchida Langlands-Shahidi usuli. Kim-Sarnak chegaralarini ixtiyoriy sonlar maydoniga umumlashtirish natijalari bo'yicha mumkin Blomer va Brumli (2011).

Uchun reduktiv guruhlar dan boshqa GL (n), umumiy Ramanujan gumoni printsipidan kelib chiqadi Langlandlarning funktsionalligi. Bunga muhim misol klassik guruhlar, qaerda mumkin bo'lgan eng yaxshi chegaralar olingan Cogdell va boshq. (2004) ularning Langlandlari natijasida funktsional ko'tarish.

Ramanujan-Peterssonning global funktsiya maydonlari haqidagi gumoni

Drinfeld's global isboti Langland yozishmalari uchun GL (2) ustidan global funktsiya maydoni Ramanujan-Petersson gumonini isbotlash uchun olib boradi. Lafforgue (2002) muvaffaqiyatli kengaytirildi Drinfeld shtukasi vaziyatga texnikasi GL (n) ijobiy xarakteristikada. Kengaytiradigan boshqa texnika orqali Langlands-Shahidi usuli global funktsiya maydonlarini kiritish, Lomeli (2009) uchun Ramanujan gumonini isbotlaydi klassik guruhlar.

Ilovalar

Ramanujan gumonining qo'llanilishi aniq tuzilishdir Ramanujan grafikalari tomonidan Lyubotskiy, Fillips va Sarnak. Darhaqiqat, "Ramanujan grafigi" nomi shu aloqadan kelib chiqqan. Boshqa bir ilova Ramanujan-Petersson gumonidir umumiy chiziqli guruh GL (n) nazarda tutadi Selbergning taxminlari ba'zi diskret guruhlar uchun laplasianning o'ziga xos qiymatlari haqida.

Adabiyotlar

• Blomer, V .; Brumli, F. (2011), "Ramanujan gipotezasi bo'yicha raqam maydonlari to'g'risida", Matematika yilnomalari, 174: 581–605, arXiv:1003.0559, doi:10.4007 / annals.2011.174.1.18, JANOB  2811610
• Kogdell, J. V.; Kim, H. H .; Piatetski-Shapiro, I. Men.; Shohidi, F. (2004), "Klassik guruhlar uchun funktsionallik", Mathématiques de l'IHÉS nashrlari, 99: 163–233, CiteSeerX  10.1.1.495.6662, doi:10.1007 / s10240-004-0020-z
• Deligne, Per (1971), "Formes modulaires et représentations l-adiques", Séminaire Bourbaki jild. 1968/69 ekspozitsiyalari 347-363, Matematikadan ma'ruza matnlari, 179, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0058801, ISBN  978-3-540-05356-9
• Deligne, Per (1974), "La conjecture de Weil. I.", Mathématiques de l'IHÉS nashrlari, 43: 273–307, doi:10.1007 / BF02684373, ISSN  1618-1913, JANOB  0340258
• Deligne, Per; Serre, Jan-Per (1974), "Formes modulaires de poids 1", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Seriya 4, 7 (4): 507–530, doi:10.24033 / asens.1277, ISSN  0012-9593, JANOB  0379379
• Xau, Rojer; Piatetski-Shapiro, I. I. (1979), "(kvazi-) bo'lingan guruhlar uchun" umumiy Ramanujan gipotezasi "ga qarshi misol", Borel, Armand; Kasselman, V. (tahr.), Automorfik shakllar, vakolatxonalar va L funktsiyalari (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), 1 qism, Proc. Simpozlar. Sof matematik., XXXIII, Providence, R.I., 315–322-betlar, ISBN  978-0-8218-1435-2, JANOB  0546605
• Jak, X .; Piatetski-Shapiro, I. Men.; Shalika, J. A. (1983), "Rankin-Selberg kontsertlari", Amer. J. Matematik., 105 (2): 367–464, doi:10.2307/2374264, JSTOR  2374264
• Kim, H. H. (2002), "GL (4) tashqi kvadrati va GL (2) ning nosimmetrik to'rtinchisi uchun funktsionallik", AMS jurnali, 16: 139–183
• Kurokava, Nobushige (1978), "Ikkinchi darajadagi Siegel kuspasi shakllari bo'yicha Hekke operatorlarining o'ziga xos qiymatlariga misollar", Mathematicae ixtirolari, 49 (2): 149–165, Bibcode:1978InMat..49..149K, doi:10.1007 / BF01403084, ISSN  0020-9910, JANOB  0511188
• Langlendlar, R. P. (1970), "Avtomorf shakllar nazariyasining muammolari", Zamonaviy tahlil va qo'llanmalardagi ma'ruzalar, III, Matematikadan ma'ruzalar, 170, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, 18-61 betlar, doi:10.1007 / BFb0079065, ISBN  978-3-540-05284-5, JANOB  0302614
• Lomeli, L. (2009), "Klassik guruhlar uchun funktsiya maydonlari bo'yicha funktsionallik", Xalqaro matematikani izlash: 4271–4335, doi:10.1093 / imrn / rnp089, JANOB  2552304
• Luo, V.; Rudnik, Z .; Sarnak, P. (1999), "GL (n) uchun umumiy Ramanujan gipotezasi to'g'risida", Proc. Simpozlar. Sof matematik., Sof matematikadan simpoziumlar to'plami, 66: 301–310, doi:10.1090 / pspum / 066.2 / 1703764, ISBN  9780821810514
• Petersson, H. (1930), "Theorie der automorphen Formen beliebiger reeller Dimension und ihre Darstellung durch eine neue Art Poincaréscher Reihen.", Matematik Annalen (nemis tilida), 103 (1): 369–436, doi:10.1007 / BF01455702, ISSN  0025-5831
• Piatetski-Shapiro, I. I. (1979), "Ko'plik bitta teoremalar", yilda Borel, Armand; Kasselman., V. (tahr.), Automorfik shakllar, vakolatxonalar va L funktsiyalari (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), 1 qism, Proc. Simpozlar. Sof matematik., XXXIII, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, 209–212 betlar, ISBN  978-0-8218-1435-2, JANOB  0546599
• Ramanujan, Srinivasa (1916), "Ba'zi arifmetik funktsiyalar to'g'risida", Kembrij Falsafiy Jamiyatining operatsiyalari, XXII (9): 159–184 Qayta nashr etilgan Ramanujan, Srinivasa (2000), "18-qog'oz", Srinivasa Ramanujanning yig'ilgan hujjatlari, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 136–162 betlar, ISBN  978-0-8218-2076-6, JANOB  2280843
• Sarnak, Piter (2005), "Ramanujanning umumiy gumonlari to'g'risida eslatmalar" (PDF), Arturda, Jeyms; Ellvud, Devid; Kottvits, Robert (tahr.), Harmonik tahlil, iz formulasi va Shimura navlari, Gil matematikasi. Proc., 4, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, 659-685 betlar, ISBN  978-0-8218-3844-0, JANOB  2192019
• Satake, Ichiro (1966), "Sferik funktsiyalar va Ramanujan gipotezasi", yilda Borel, Armand; Mostow, Jorj D. (tahr.), Algebraik guruhlar va uzluksiz kichik guruhlar (Boulder, Kolo., 1965), Proc. Simpozlar. Sof matematik., IX, Providence, R.I., 258-264 betlar, ISBN  978-0-8218-3213-4, JANOB  0211955