Vayl taxminlari - Weil conjectures

Yilda matematika, Vayl taxminlari tomonidan juda ta'sirli takliflar bo'lgan Andr Vayl  (1949 ), bu ularni tasdiqlash uchun muvaffaqiyatli ko'p yillik dasturni olib keldi, unda ko'plab etakchi tadqiqotchilar zamonaviy doirani ishlab chiqdilar algebraik geometriya va sonlar nazariyasi.

Gumonlar bu bilan bog'liq ishlab chiqarish funktsiyalari (nomi bilan tanilgan mahalliy zeta-funktsiyalar ) bo'yicha sonlar sonini hisoblashdan olingan algebraik navlar ustida cheklangan maydonlar. Turli xillik V bilan cheklangan maydon ustida q elementlarning sonli soniga ega ratsional fikrlar (asl maydonda koordinatalar bilan), shuningdek har qanday koordinatali nuqtalar cheklangan kengaytma asl maydon. Yaratuvchi funktsiya raqamlardan olingan koeffitsientlarga ega N_k bilan kengaytma maydonidagi nuqtalar q^k elementlar.

Vayl shunday deb taxmin qildi zeta-funktsiyalar silliq navlar uchun bo'lishi kerak ratsional funktsiyalar, shaklini qondirishi kerak funktsional tenglama va taqiqlangan joylarda ularning nollari bo'lishi kerak. Oxirgi ikki qism ongli ravishda modellashtirilgan Riemann zeta funktsiyasi, funktsional tenglamaga bo'ysunadigan va (taxminiy ravishda) o'z nollarini cheklaydigan asosiy tamsayılar uchun ishlab chiqaruvchi funktsiya turi Riman gipotezasi. Ratsionallik isbotlandi Bernard Dwork  (1960 ), funktsional tenglama Aleksandr Grothendieck  (1965 ), va tomonidan Riman gipotezasining analogi Per Deligne  (1974 ).

Tarix va tarix

Vayl taxminlarining eng qadimgi davri Karl Fridrix Gauss va uning VII qismida ko'rinadi Disquisitiones Arithmeticae (Mazur 1974 yil ) bilan bog'liq birlikning ildizlari va Gauss davrlari. 358-moddada u kvadratik kengaytmalar minoralarini quradigan davrlardan, odatiy ko'pburchaklarni qurish uchun harakat qiladi; va buni taxmin qiladi p shunday oddiy son p − 1 3. ga bo'linadigan bo'lsa, unda a mavjud tsiklik kubik maydoni ning siklotomik maydoni ichida pbirlikning ildizlari va a normal integral asos ushbu maydonning butun sonlari uchun davrlar (. ning misoli Xilbert - Spyzer teoremasi ). Gauss-ga mos keladigan tartib-3 davrlarini tuzadi tsiklik guruh (Z/pZ)^× nolga teng bo'lmagan qoldiqlarning moduli p ko'paytma ostida va uning uchta indeksining o'ziga xos kichik guruhi. Gauss ruxsat beradi ${ displaystyle { mathfrak {R}}}$, ${ displaystyle { mathfrak {R}} '}$va ${ displaystyle { mathfrak {R}} ''}$ uning kosetlari bo'ling. Ushbu kosetlarga mos keladigan davrlarni (birlik ildizlari yig'indisini) olish exp (2πi/p), u ushbu davrlar hisoblash uchun qulay bo'lgan ko'paytma jadvaliga ega ekanligini ta'kidlaydi. Mahsulotlar davrlarning chiziqli birikmalaridir va u koeffitsientlarni aniqlaydi. U o'rnatadi, masalan, ${ displaystyle ({ mathfrak {R}} { mathfrak {R}})}$ ning elementlari soniga teng Z/pZ ichida bo'lganlar ${ displaystyle { mathfrak {R}}}$ va ular bittaga ko'paytirilgandan so'ng, ular ichida ${ displaystyle { mathfrak {R}}}$. U bu raqam va unga bog'liq bo'lganlar davrlar mahsulotining koeffitsienti ekanligini isbotlaydi. Ushbu to'plamlarning Vayl taxminlariga aloqadorligini ko'rish uchun, agar shunday bo'lsa, e'tibor bering a va a + 1 ikkalasi ham ${ displaystyle { mathfrak {R}}}$, keyin mavjud x va y yilda Z/pZ shu kabi x³ = a va y³ = a + 1; binobarin, x³ + 1 = y³. Shuning uchun ${ displaystyle ({ mathfrak {R}} { mathfrak {R}})}$ uchun echimlar soni x³ + 1 = y³ cheklangan maydonda Z/pZ. Boshqa koeffitsientlar o'xshash izohlarga ega. Gaussning davrlar mahsuloti koeffitsientlarini aniqlashi shu sababli ular bo'yicha ballar sonini hisoblaydi elliptik egri chiziqlar va yon mahsulot sifatida u Riman gipotezasining analogini isbotlaydi.

Ning maxsus holatidagi Vayl taxminlari algebraik egri chiziqlar tomonidan taxmin qilingan Emil Artin  (1924 ). Cheklangan maydonlar bo'ylab egri chiziqlar Vayl tomonidan tasdiqlangan va loyihani boshlagan Elliptik egri chiziqlar bo'yicha Xasse teoremasi cheklangan maydonlar ustida. Ularning qiziqishi ichkaridan etarlicha ravshan edi sonlar nazariyasi: ular uchun yuqori chegaralar nazarda tutilgan eksponent summalar, asosiy tashvish analitik sonlar nazariyasi (Moreno 2001 yil ) harv xatosi: maqsad yo'q: CITEREFMoreno2001 (Yordam bering).

Boshqa matematik sohalar nuqtai nazaridan haqiqatan ham ko'zni qamashtiradigan narsa, bu bilan bog'lanish edi algebraik topologiya. Cheklangan maydonlar mavjudligini hisobga olsak diskret tabiatda va topologiya faqat haqida gapiradi davomiy, Vaylning batafsil tuzilishi (ba'zi misollarni ishlab chiqish asosida) ajoyib va ​​yangi edi. Cheklangan maydonlar bo'yicha geometriya, ma'lum bo'lgan naqshlarga mos kelishi kerakligini taklif qildi Betti raqamlari, Lefschetz sobit nuqta teoremasi va hokazo.

Topologiyaga o'xshashlik yangi gomologik nazariyani yaratishni taklif qildi algebraik geometriya. Bu yigirma yil davom etdi (bu ish va maktabning asosiy maqsadi edi) Aleksandr Grothendieck ) ning dastlabki takliflari asosida qurish Serre. Gumonlarning ratsionalligi birinchi bo'lib isbotlandi Bernard Dwork  (1960 ) yordamida p-adik usullari. Grothendieck (1965) va uning hamkorlari ratsionallik gipotezasini, funktsional tenglamani va Betti raqamlariga havolani xususiyatlaridan foydalanib o'rnatdilar. etale kohomologiyasi Grothendieck va Artin tomonidan Vayl taxminlariga hujum qilish uchun ishlab chiqilgan yangi kohomologiya nazariyasi Grothendieck (1960). To'rt gumondan Riman gipotezasining o'xshashini isbotlash qiyin bo'lgan. Ning isboti bilan rag'batlantirildi Serre (1960) uchun Vayl taxminlarining analogini Kähler manifoldlari, Grothendieck unga asoslangan dalilni tasavvur qildi algebraik tsikllar bo'yicha standart taxminlar (Kleyman 1968 yil ). Biroq, Grothendieckning standart taxminlari ochiq bo'lib qolmoqda (bundan mustasno qattiq Lefschetz teoremasi, Deligne Vayl taxminlari bo'yicha o'z ishini kengaytirish orqali buni tasdiqladi) va Riman gipotezasining o'xshashini isbotladi. Deligne  (1974 ), etale kohomologiya nazariyasidan foydalangan holda, ammo aqlli dalil bilan standart taxminlardan foydalanishni chetlab o'tdi.

Deligne (1980) Vey gipotezalarining umumlashmasini topdi va isbotladi.

Vayl taxminlarining bayonoti

Aytaylik X a yagona bo'lmagan n- o'lchovli proektsion algebraik xilma-xillik maydon ustidan F_q bilan q elementlar. The zeta funktsiyasi ζ(X, s) ning X ta'rifi bo'yicha

${ displaystyle zeta (X, s) = exp left ( sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {N_ {m}} {m}} q ^ {- ms} right )}$

qayerda N_m ning nuqtalari soni X daraja bo'yicha aniqlangan m kengaytma F_q^m ning F_q.

Vayl taxminlari:

1. (Ratsionallik) ζ(X, s) a ratsional funktsiya ning T = q^−s. Aniqrog'i, ζ(X, s) cheklangan o'zgaruvchan mahsulot sifatida yozilishi mumkin

   ${ displaystyle prod _ {i = 0} ^ {2n} P_ {i} (q ^ {- s}) ^ {(- 1) ^ {i + 1}} = { frac {P_ {1} ( T) dotsb P_ {2n-1} (T)} {P_ {0} (T) dotsb P_ {2n} (T)}},}$

   har birida P_men(T) ajralmas polinom. Bundan tashqari, P₀(T) = 1 − T, P_2n(T) = 1 − qⁿTva uchun 1 ≤ i ≤ 2n - 1, P_men(T) omillar tugadi C kabi ${ displaystyle textstyle prod _ {j} (1- alfa _ {ij} T)}$ ba'zi raqamlar uchun a_ij.
2. (Funktsional tenglama va Puankare ikkilik) Zeta funktsiyasi qondiradi

   ${ displaystyle zeta (X, n-s) = pm q ^ {{ frac {nE} {2}} - Es} zeta (X, s)}$

   yoki unga teng ravishda

   ${ displaystyle zeta (X, q ^ {- n} T ^ {- 1}) = pm q ^ { frac {nE} {2}} T ^ {E} zeta (X, T)}$

   qayerda E bo'ladi Eyler xarakteristikasi ning X. Xususan, har biri uchun men, raqamlar a_2n−men,1, a_2n−men,2,… Raqamlarga teng qⁿ/a_men,1, qⁿ/a_men,2,… Qandaydir tartibda.
3. (Riman gipotezasi) |a_men,j| = q^men/2 Barcha uchun 1 ≤ men ≤ 2n − 1 va barchasi j. Bu shuni anglatadiki, barcha nollar P_k(T) murakkab sonlarning "tanqidiy chizig'ida" yotish s haqiqiy qismi bilan k/2.
4. (Betti raqamlari) Agar X bu (yaxshi) "kamaytirish rejimi p "a yagona bo'lmagan proektiv xilma Y kompleks sonlar maydoniga kiritilgan sonli maydon, keyin daraja bo'yicha aniqlanadi P_men bo'ladi men^th Betti raqami ning murakkab nuqtalari makonining Y.

Misollar

Proektiv chiziq

Eng oddiy misol (nuqta tashqari) olishdir X proektsion chiziq bo'lishi. Nuqtalarining soni X maydon bilan q^m elementlar adolatli N_m = q^m + 1 (qaerda "+ 1"keladi"cheksizlikka ishora "Zeta" funktsiyasi shunchaki

1/(1 − q^−s)(1 − q^1−s).

Vayl taxminlarining barcha qismlarini to'g'ridan-to'g'ri tekshirish oson. Masalan, mos keladigan kompleks xilma - Riman shar va uning boshlang'ich Betti raqamlari 1, 0, 1.

Proektiv maydon

Buni qilish juda qiyin emas n- o'lchovli proektsion makon. nuqtalarining soni X maydon bilan q^m elementlar adolatli N_m = 1 + q^m + q^2m + ⋯ + q^nm. Zeta funktsiyasi shunchaki

1/(1 − q^−s)(1 − q^1−s)(1 − q^2−s)⋯(1 − q^n−s).

Vayl taxminlarining barcha qismlarini to'g'ridan-to'g'ri tekshirish oson. (Kompleks proektsion makon javobni deyarli aniqlaydigan tegishli Betti raqamlarini beradi.)

Proektsion chiziq va proektsion bo'shliqdagi nuqtalar sonini hisoblash juda oson, chunki ularni afinaviy bo'shliqlarning sonli sonli nusxalarining birlashtirilgan kasaba uyushmalari sifatida yozish mumkin. Veylning taxminlarini boshqa joylar, masalan, Grassmannians va bayroq navlari kabi bir xil "asfaltlash" xususiyatiga ega ekanligini isbotlash ham oson.

Elliptik egri chiziqlar

Bular Vayl taxminlarining birinchi ahamiyatsiz holatlarini keltirib chiqaradi (Hasse tomonidan isbotlangan) E bilan cheklangan maydon bo'ylab elliptik egri chiziq q elementlari, keyin nuqtalari soni E maydonida belgilangan q^m elementlar 1 − a^m − β^m + q^m, qayerda a va β mutlaq qiymatga ega murakkab konjugatlardir √q.Zeta funktsiyasi

ζ(E, s) = (1 − aq^−s)(1 − .q^−s)/(1 − q^−s)(1 − q^1−s).

Vayl kohomologiyasi

Vayl taxminlar mavjud bo'lganidan kelib chiqishini taxmin qildi "Vayl kohomologiyasi nazariyasi "murakkab maydonlar uchun oqilona koeffitsientlarga ega odatiy kohomologiyaga o'xshash cheklangan dalalar ustidagi navlar uchun. Uning fikri shu edi: F bo'ladi Frobenius avtomorfizmi sonli maydon ustida, keyin navning nuqtalari soni X tartib sohasida q^m ning sobit nuqtalari soni F^m (navning barcha nuqtalarida harakat qilish X algebraik yopilishida aniqlangan). Algebraik topologiyada avtomorfizmning sobit nuqtalari soni yordamida Lefschetz sobit nuqta teoremasi, bo'yicha izlarning o'zgaruvchan yig'indisi sifatida berilgan kohomologiya guruhlari. Shunday qilib, agar cheklangan maydonlar bo'yicha navlar uchun o'xshash kohomologik guruhlar mavjud bo'lsa, unda zeta funktsiyasini ular bo'yicha ifodalash mumkin edi.

Buning birinchi muammosi shundaki, Vayl kohomologiyasi nazariyasi uchun koeffitsient maydoni ratsional sonlar bo'lishi mumkin emas. Buni ko'rish uchun a holatini ko'rib chiqing supersingular elliptik egri chiziq xarakterli sonli maydon ustida p. Buning endomorfizm halqasi a-dagi tartibdir kvaternion algebra mantiqiy asoslar bo'yicha va birinchi kohomologiya guruhida harakat qilishlari kerak, bu koeffitsient maydoni ustida 2 o'lchovli vektor maydoni bo'lishi kerak murakkab elliptik egri holatiga o'xshashlik bilan. Biroq, ratsionalliklar ustidan kvaternion algebra ratsionalliklar ustidan 2 o'lchovli vektor fazosida harakat qila olmaydi. Xuddi shu argument koeffitsient maydonining real yoki the bo'lish ehtimolini yo'q qiladi p-adad sonlar, chunki kvaternion algebra hali ham ushbu maydonlar bo'yicha bo'linish algebrasidir. Ammo bu koeffitsient maydonining maydon bo'lishi ehtimolini yo'qqa chiqarmaydi l- ba'zi bir tub sonlar uchun oddiy raqamlar l ≠ p, chunki bu maydonlar bo'yicha bo'linish algebra bo'linadi va matritsali algebraga aylanadi, u 2 o'lchovli vektor fazasida harakat qila oladi. Grothendieck va Maykl Artin sohasida muvofiq kohomologiya nazariyalarini tuzishga muvaffaq bo'ldi l- har bir tub son uchun oddiy raqamlar l ≠ p, deb nomlangan l-adik kohomologiya.

Grothendiekning to'rtta taxminlardan uchtasini isbotlashi

1964 yil oxiriga kelib Grothendiek Artin va Jan-Lui Verdier (va 1960 yilgi Dworkning ilgari ishi) Vayl gumonlarini yuqoridagi eng qiyin uchinchi taxminlardan tashqari ("Riman gipotezasi" gumoni) isbotladi (Grothendieck 1965). Etale kohomologiyasi haqidagi umumiy teoremalar Grothendiekka Lefschetz sobit nuqta formulasining analogini isbotlashga imkon berdi. l-adik kohomologiya nazariyasi va uni Frobenius avtomorfizmiga tatbiq etish F u zeta funktsiyasi uchun taxmin qilingan formulani isbotlay oldi:

${ displaystyle zeta (s) = { frac {P_ {1} (T) cdots P_ {2n-1} (T)} {P_ {0} (T) P_ {2} (T) cdots P_) {2n} (T)}}}$

bu erda har bir polinom P_men ning determinantidir I - TF ustida l-adik kohomologiya guruhi H^men.

Zeta funktsiyasining ratsionalligi darhol paydo bo'ladi. Zeta funktsiyasining funktsional tenglamasi uchun Poincaré ikkilikdan kelib chiqadi l-adik kohomologiya va ko'tarilishning murakkab Betti raqamlari bilan aloqasi o'rtasidagi taqqoslash teoremasidan kelib chiqadi l- murakkab navlar uchun odatiy va oddiy kohomologiya.

Umuman olganda, Grothendieck zeta funktsiyasi (yoki "umumlashtirilgan L funktsiyasi") uchun o'xshash formulani isbotladi F₀:

${ displaystyle Z (X_ {0}, F_ {0}, t) = prod _ {x in | X_ {0} |} det (1-F_ {x} ^ {*} t ^ { deg (x)} | F_ {0}) ^ {- 1}}$

kohomologiya guruhlari bo'yicha mahsulot sifatida:

${ displaystyle Z (X_ {0}, F_ {0}, t) = prod _ {i} det (1-F ^ {*} t | H_ {c} ^ {i} (F)) ^ { (-1) ^ {i + 1}}}$

Doimiy qoziqning maxsus holati odatdagi zeta funktsiyasini beradi.

Deligne-ning Riman gipotezasi gumonining birinchi isboti

Verdier (1974), Serre (1975), Kats (1976) va Freitag & Kiehl (1988) birinchi dalilning ekspozitsiya hisobotlarini keltirdi Deligne (1974). Fonning katta qismi l-adik kohomologiya (Deligne 1977 yil ).

Qolgan uchinchi Vayl gipotezasini ("Riman gipotezasi gumoni") Deligne tomonidan tasdiqlangan birinchi dalil quyidagi bosqichlarni qo'llagan:

Lefschetz qalamlaridan foydalanish

• Grothendieck zeta funktsiyasini Frobeniusning izi bilan ifoda etdi l-adik kohomologiya guruhlari, shuning uchun a uchun Vayl taxminlari d- o'lchovli xilma-xillik V bilan cheklangan maydon ustida q elementlar o'z qiymatlari ekanligini ko'rsatishga bog'liq a Frobeniusning menth l-adik kohomologiya guruhi H^men(V) ning V mutlaq qiymatlarga ega |a|=q^men/2 (ning algebraik elementlarini joylashtirish uchun Q_l murakkab sonlarga).
• Keyin portlatish V va asosiy maydonni kengaytirib, xilma-xillikni taxmin qilish mumkin V proektsion chiziqqa morfizmga ega P¹, juda yumshoq (kvadratik) o'ziga xosliklarga ega bo'lgan sonli sonli singular tolalar bilan. Monodromiya nazariyasi Lefschetz qalamlari tomonidan murakkab navlar (va oddiy kohomologiya) uchun kiritilgan Lefschetz (1924), va kengaytirilgan Grothendieck (1972) va Deligne & Katz (1973) ga l-adik kohomologiya, ning kohomologiyasini bog'laydi V uning tolasiga. Aloqa bo'shliqqa bog'liq E_x ning yo'qolish davrlari, kohomologiyaning pastki fazosi H^d−1(V_x) singular bo'lmagan tola V_x, singular tolalarda yo'qolib ketadigan sinflar bilan birlashtirilgan.
• The Leray spektral ketma-ketligi ning o'rta kohomologiya guruhiga tegishli V tola va asosning kohomologiyasiga. Muammo qilish qiyin bo'lgan narsa, ozmi ko'pmi guruhdir H¹(P¹, j_*E) = H¹
  _v(U,E), qaerda U singular bo'lmagan tolalar bilan proektsion chiziqning nuqtalari va j ning kiritilishi U proektsion chiziqqa va E bo'shliqlar bo'lgan tolalar E_x g'oyib bo'layotgan tsikllar.

Asosiy taxmin

Deligne dalilining qalbi shafaq ekanligini ko'rsatishdir E ustida U sof, boshqacha qilib aytganda Frobeniusning asl qiymatlarining mutlaq qiymatlarini uning dastaklaridan topish. Bu juft kuchlarning zeta funktsiyalarini o'rganish orqali amalga oshiriladi E^k ning E va Grothendieck formulasini zeta funktsiyalari uchun kohomologiya guruhlari bo'yicha o'zgaruvchan mahsulotlar sifatida qo'llash. Hatto ko'rib chiqishning hal qiluvchi g'oyasi k vakolatlari E qog'ozdan ilhomlangan Rankin  (1939 bilan o'xshash fikrni ishlatgan k= Ni chegaralash uchun = 2 Ramanujan tau funktsiyasi. Langlendlar (1970), 8-bo'lim) Rankin natijasining yuqori juftliklari uchun umumlashtirilishini ta'kidladi k degan ma'noni anglatadi Ramanujan gumoni va Deligne, navlarning zeta funktsiyalari bilan bog'liq holda, Grothendieckning zeta funktsiyalari nazariyasi ushbu umumlashmaning analogini taqdim etganini tushundi.

• Zeta funktsiyasining qutblari E^k Grotendik formulasi yordamida topiladi

${ displaystyle Z (U, E ^ {k}, T) = { frac { det (1-F ^ {*} T | H_ {c} ^ {1} (E ^ {k}))} { det (1-F ^ {*} T | H_ {c} ^ {0} (E ^ {k})) det (1-F ^ {*} T | H_ {c} ^ {2} (E ^ {k}))}}}$

va maxrajdagi kohomologik guruhlarni aniq hisoblash. The H⁰
_v muddatli odatda atigi 1 ga teng U odatda ixcham emas va H²
_v quyidagicha aniq hisoblash mumkin. Puankare ikkilik bilan bog'liq H²
_v(E^k) ga H⁰
(E^k), bu esa o'z navbatida geometrik fundamental guruh bo'lgan monodromiya guruhining kovariantlar makonidir. U ning tolasiga ta'sir qiladi E^k bir nuqtada. Ning tolasi E tomonidan qo'zg'atilgan bilinear shaklga ega chashka mahsuloti, agar antisimmetrik bo'lsa d teng va qiladi E simpektik makonga. (Bu biroz noto'g'ri: Deligne keyinchalik buni ko'rsatdi E∩E^⊥ Yordamida = 0 qattiq Lefschetz teoremasi, bu Vayl taxminlarini talab qiladi va Vayl taxminlarining isboti haqiqatan ham biroz murakkabroq dalillarni ishlatishi kerak. E/E∩E^⊥ dan ko'ra E.) Kajdan va Margulisning tortishuvlari monodromiya guruhining tasviri harakat qilayotganligini ko'rsatadi Etomonidan berilgan Picard-Lefschetz formulasi, Zariski simpektik guruhda zich va shuning uchun klassik invariant nazariyadan yaxshi ma'lum bo'lgan bir xil invariantlarga ega. Ushbu hisob-kitobda Frobeniusning harakatini kuzatib borish uning o'ziga xos qiymatlari barchasi ekanligini ko'rsatadi q^k(d−1)/2+1, shuning uchun zeta funktsiyasi Z(E^k,T) faqat qutblarga ega T=1/q^k(d−1)/2+1.

• Ning zeta funktsiyasi uchun Eyler mahsuloti E^k bu

${ displaystyle Z (E ^ {k}, T) = prod _ {x} { frac {1} {Z (E_ {x} ^ {k}, T)}}}$

Agar k bu hatto keyin o'ngdagi omillarning barcha koeffitsientlari (in kuch qatorlari sifatida qaraladi T) bor salbiy bo'lmagan; bu yozuv bilan davom etadi

${ displaystyle { frac {1} { det (1-T ^ { deg (x)} F_ {x} | E ^ {k})}} = exp left ( sum _ {n> 0 } { frac {T ^ {n}} {n}} { text {Trace}} (F_ {x} ^ {n} | E) ^ {k} right)}$

va kuchlari izlari mavjudligini ishlatib F oqilona, ​​shuning uchun ularning k kuchlari salbiy emas k hatto. Deligne izlarning ratsionalligini ularni har doim (ratsional) tamsayılar bo'lgan navlarning nuqtalari sonlari bilan bog'lash orqali isbotlaydi.

• Uchun kuchlar seriyasi Z(E^k, T) uchun yaqinlashadi T mutlaq qiymatdan kamroq 1 /q^k(d−1)/2+1 uning yagona qutbidan. Qachon k hatto uning barcha Eyler omillarining koeffitsientlari manfiy emas, shuning uchun Eyler omillarining har biri doimiy koeffitsientlar koeffitsientlari bilan chegaralangan koeffitsientlarga ega. Z(E^k, T) va shuning uchun bir mintaqada birlashadi va bu mintaqada qutblari yo'q. Shunday qilib k hatto polinomlar ham Z(E^k
  _x, T) bu mintaqada nolga ega emas, yoki boshqacha qilib aytganda Frobeniusning poyalaridagi o'zaro qiymatlari E^k maksimal qiymatga ega q^k(d−1)/2+1.
• Ushbu taxmin yordamida har qanday o'ziga xos qiymatning mutlaq qiymatini topish mumkin a Frobeniusning tolasiga E quyidagicha. Har qanday butun son uchun k, a^k sopi ustidagi Frobeniusning o'ziga xos qiymati E^k, qaysi uchun k hatto chegaralangan q^1+k(d−1)/2. Shunday qilib

${ displaystyle | alpha ^ {k} | leq q ^ {k (d-1) / 2 + 1}}$

Bu o'zboshimchalik bilan katta uchun ham amal qiladi k, bu shuni anglatadiki

${ displaystyle | alpha | leq q ^ {(d-1) / 2}.}$

Puankare ikkilik keyin shuni nazarda tutadi

${ displaystyle | alpha | = q ^ {(d-1) / 2}.}$

Dalilni to'ldirish

Riemann gipotezasini ushbu taxmindan chiqarib tashlash asosan standart usullardan juda sodda tarzda foydalanish va quyidagicha amalga oshiriladi.

• Frobeniusning o'ziga xos qiymati H¹
  _v(U,E) endi ular shefa zeta funktsiyasining nollari bo'lgani uchun taxmin qilish mumkin E. Ushbu zeta funktsiyasini zaytun funktsiyalarining Eyler mahsuloti sifatida yozish mumkin E, va bu poyalardagi o'zaro qiymatlar bahosidan foydalanib, ushbu mahsulot | uchun birlashishini ko'rsatadiT|<q^−d/2−1/2, shuning uchun bu mintaqada zeta funktsiyasining nollari yo'q. Bu Frobeniusning o'ziga xos qiymatlari ekanligini anglatadi E ko'pi bilan q^d/2+1/2 mutlaq qiymatda (aslida ular mutlaq qiymatga ega ekanligi tez orada aniqlanadi) q^d/2). Argumentning ushbu bosqichi Riemann zeta funktsiyasining Eyler mahsuloti sifatida yozish orqali uning haqiqiy qismi 1 dan katta bo'lgan nolga ega emasligining odatiy daliliga juda o'xshaydi.
• Xulosa shuki, o'z qiymatlari a turli xil o'lchamdagi Frobeniusning d o'rta kohomologiya guruhida qondirish

${ displaystyle | alpha | leq q ^ {d / 2 + 1/2}}$

Riemann gipotezasini olish uchun ko'rsatkichdan 1/2 qismini olib tashlash kerak. Buni quyidagicha bajarish mumkin. Ushbu taxminni har qanday kuchga qo'llash V^k ning V va yordamida Künnet formulasi Frobeniusning o'ziga xos qiymatlari xilma-xillikning o'rta kohomologiyasida ekanligini ko'rsatadi V har qanday o'lchamdagi d qondirmoq

${ displaystyle | alpha ^ {k} | leq q ^ {kd / 2 + 1/2}}$

Bu o'zboshimchalik bilan katta uchun ham amal qiladi k, bu shuni anglatadiki

${ displaystyle | alpha | leq q ^ {d / 2}}$

Puankare ikkilik keyin shuni nazarda tutadi

${ displaystyle | alpha | = q ^ {d / 2}.}$

• Bu turli xil o'rta kohomologiya uchun Vayl taxminlarini tasdiqlaydi. Vaylning o'rta o'lchov ostidagi kohomologiyasi gumonlari bundan kelib chiqqan holda zaif Lefschetz teoremasi va kohomologiya haqidagi taxminlar o'rta o'lchamdan yuqori bo'lib, keyin Puankare ikkilikidan kelib chiqadi.

Deligne-ning ikkinchi isboti

Deligne (1980) Vay gipotezalarining umumlashtirilishini topdi va iskala oldinga siljish og'irligini chegaraladi. Amalda, asosan Weil gipotezalaridan ko'ra, bu umumlashtirish, asosan qattiq Lefschetz teoremasi. Ikkinchi dalilning aksariyati uning birinchi isboti g'oyalarini qayta tashkil etishdir. Kerak bo'lgan asosiy qo'shimcha g'oya - teoremasi bilan chambarchas bog'liq bo'lgan argument Jak Hadamard va Charlz Jean de la Vallée Pussin, Deligne tomonidan turli xil ekanligini ko'rsatish uchun ishlatilgan L-seriyalarda 1-qism haqiqiy nolga ega emas.

Cheklangan maydon bo'ylab turli xil konstruktsiyali parcha toza vazn deb ataladi β agar barcha fikrlar uchun x Frobenius ning o'ziga xos qiymatlari at x barchasi mutlaq qiymatga ega N(x)^β/2, va og'irlik ≤ aralashmasi deyiladiβ agar uni og'irlikdagi sof gilamchalar bilan takrorlangan kengaytmalar sifatida yozish mumkin bo'lsaβ.

Deligne teoremasida, agar shunday bo'lsa, deyilgan f - bu cheklangan maydon ustidagi sxemalarning morfizmi, keyin R^menf_! og'irlikdagi aralash pog'onalarni oladi ≤β mixed aralash og'irlikdagi gilamchalargaβ+men.

Vaylning asl gumonlari olingan f silliq proektsion xilma-xillikdan nuqtaga morfizm bo'lish va doimiy qavatni hisobga olish Q_l xilma haqida. Bu Frobeniusning o'ziga xos qiymatlarining mutlaq qiymatlariga yuqori chegara beradi va Puanare ikkiligi shundan dalolat beradiki, bu ham quyi chegaradir.

Umuman R^menf_! sof boqqa sof boqqa olib bormaydi Ammo, masalan, agar Poincaré ikkilanishining mos shakli mavjud bo'lsa f silliq va to'g'ri, yoki u bilan ishlaydigan bo'lsa buzuq taroqlar o'rniga emas, balki shamlardan Beylinson, Bernshteyn va Deligne (1982).

Ishidan ilhomlangan Witten (1982) kuni Morse nazariyasi, Laumon (1987) Deligne's-dan foydalanib, yana bir dalil topdi l-addiy Furye konvertatsiyasi Bu unga Deligne dalillarini soddalashtirishga imkon berdi, bu esa Hadamard va de la Vallée Pussin usullaridan foydalanishni rad etdi. Uning isboti ning mutlaq qiymatini klassik hisoblashni umumlashtiradi Gauss summasi Furye konversiyasining normasi asl funktsiya normasiga sodda munosabatda bo'lishidan foydalanadi. Kiehl va Weissauer (2001) Laumon dalillarini Deligne teoremasini namoyish qilish uchun asos sifatida ishlatgan. Kats (2001) Deligne birinchi isboti ruhida monodromiyadan foydalanib, Laumon isbotini yanada soddalashtirdi. Kedlaya (2006) Fourier konvertatsiyasi yordamida etale kohomologiyasini almashtirib, yana bir dalil keltirdi qattiq kohomologiya.

Ilovalar

• Deligne (1980) isbotlay oldi qattiq Lefschetz teoremasi Vayl taxminlarining ikkinchi dalilidan foydalangan holda cheklangan maydonlar ustida.
• Deligne (1971) oldin ko'rsatgan edi Ramanujan-Petersson gumoni Vayl taxminlaridan kelib chiqadi.
• Deligne (1974), 8-qism) Veyl gipotezalaridan foydalanib, eksponent summa uchun taxminlarni isbotladi.
• Nik Kats va Uilyam Messing (1974 ) isbotlay oldilar Künnet tipidagi standart taxmin Vayl taxminlarini Deligne tomonidan tasdiqlangan sonli maydonlar ustida.

Adabiyotlar

• Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift, 19 (1): 207–246, doi:10.1007 / BF01181075, ISSN  0025-5874
• Beylinson, Aleksandr A.; Bernshteyn, Jozef; Deligne, Per (1982), "Faisceaux buzuqlari", Singular bo'shliqlar bo'yicha tahlil va topologiya, I (Luminy, 1981), Asterisk, 100, Parij: Société Mathématique de France, 5–171 betlar, JANOB  0751966
• Deligne, Per (1971), "Formes modulaires et représentations l-adiques", Séminaire Bourbaki jild. 1968/69 347-363 ekspozitsiyalari, Matematikadan ma'ruza matnlari, 179, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0058801, ISBN  978-3-540-05356-9
• Deligne, Per (1974), "La conjecture de Weil. Men", Mathématiques de l'IHÉS nashrlari, 43 (43): 273–307, doi:10.1007 / BF02684373, ISSN  1618-1913, JANOB  0340258
• Deligne, Per, tahrir. (1977), Séminaire de Géémetrie Algébrique du Bois Mari - Cohomologie etale (SGA 4.5), Matematikadan ma'ruzalar (frantsuz tilida), 569, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0091516, ISBN  978-0-387-08066-6, dan arxivlangan asl nusxasi 2009-05-15, olingan 2010-02-03
• Deligne, Per (1980), "La conjecture de Weil. II", Mathématiques de l'IHÉS nashrlari, 52 (52): 137–252, doi:10.1007 / BF02684780, ISSN  1618-1913, JANOB  0601520
• Deligne, Per; Kats, Nikolay (1973), Monodromie en géométrie algébrique guruhlari. II, Matematikadan ma'ruza matnlari, jild. 340, 340, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0060505, ISBN  978-3-540-06433-6, JANOB  0354657
• Dwork, Bernard (1960), "Algebraik navning zeta funktsiyasining ratsionalligi to'g'risida", Amerika matematika jurnali, Amerika matematik jurnali, jild. 82, № 3, 82 (3): 631–648, doi:10.2307/2372974, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372974, JANOB  0140494
• Freitag, Eberxard; Kihl, Reynxardt (1988), Étale kohomologiyasi va Vayl gumoni, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Matematikaning natijalari va turdosh sohalar (3)], 13, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-02541-3, ISBN  978-3-540-12175-6, JANOB  0926276
• Grothendieck, Aleksandr (1960), "Abstrakt algebraik navlarning kohomologiya nazariyasi", Proc. Internat. Kongress matematikasi. (Edinburg, 1958), Kembrij universiteti matbuoti, 103–118 betlar, JANOB  0130879
• Grothendieck, Aleksandr (1995) [1965], "Formula de Lefschetz et rationalité des fonctions L", Séminaire Bourbaki, 9, Parij: Société Mathématique de France, 41-55 betlar, JANOB  1608788
• Grothendieck, Aleksandr (1972), Monodromie en géométrie algébrique guruhlari. Men, Matematikadan ma'ruza matnlari, jild. 288, 288, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0068688, ISBN  978-3-540-05987-5, JANOB  0354656
• Kats, Nikolas M. (1976), "Deligne tomonidan cheklangan maydonlar bo'yicha navlar uchun Riman gipotezasini isbotlashning umumiy ko'rinishi", Xilbert muammolaridan kelib chiqadigan matematik ishlanmalar, Proc. Simpozlar. Sof matematik., XXVIII, Providence, R. I .: Amerika matematik jamiyati, 275-305 betlar, JANOB  0424822
• Kats, Nikolay (2001), "L-funktsiyalar va monodromiya: Vayl II bo'yicha to'rtta ma'ruza", Adv. Matematika., 160 (1): 81–132, doi:10.1006 / aima.2000.1979, JANOB  1831948
• Kats, Nikolas M.; Messing, Uilyam (1974), "Riman gipotezasining cheklangan dalalardagi navlar uchun ba'zi oqibatlari", Mathematicae ixtirolari, 23: 73–77, Bibcode:1974InMat..23 ... 73K, doi:10.1007 / BF01405203, ISSN  0020-9910, JANOB  0332791
• Kedlaya, Kiran S. (2006), "Furye o'zgarishi va p- odatiy "Vayl II'", Compositio Mathematica, 142 (6): 1426–1450, arXiv:matematika / 0210149, doi:10.1112 / S0010437X06002338, ISSN  0010-437X, JANOB  2278753
• Kihl, Raynxardt; Vaysuayser, Rayner (2001), Vayl gipotezalari, buzilgan chiziqlar va odatiy Furye o'zgarishi, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Qatlam. Matematikadan zamonaviy tadqiqotlar turkumi [Matematikaning natijalari va turdosh sohalar. 3-seriya. Matematikadan zamonaviy tadqiqotlar seriyasi], 42, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-04576-3, ISBN  978-3-540-41457-5, JANOB  1855066
• Kleyman, Stiven L. (1968), "Algebraik tsikllar va Vayl taxminlari", Dix esposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: Shimoliy-Gollandiya, 359–386 betlar, JANOB  0292838
• Langlendlar, Robert P. (1970), "Avtomorf shakllar nazariyasining muammolari", Zamonaviy tahlil va qo'llanmalardagi ma'ruzalar, III, Matematikadan ma'ruzalar, 170, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, 18-61 betlar, doi:10.1007 / BFb0079065, ISBN  978-3-540-05284-5, JANOB  0302614
• Laumon, Jerar (1987), "Transformatsiya de Furye, konstensiyalar fonctionnelles va taxminlar", Mathématiques de l'IHÉS nashrlari, 65 (65): 131–210, doi:10.1007 / BF02698937, ISSN  1618-1913, JANOB  0908218
• Lefschetz, Sulaymon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique, M. Emile Borel (Frantsiya tilida), Monografiyalar to'plami publisée sous la Direction (Parij: Gautier-Villars) Qayta nashr etilgan Lefschetz, Sulaymon (1971), Tanlangan hujjatlar, Nyu-York: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0234-7, JANOB  0299447
• Mazur, Barri (1974), "Frobeniusning cheklangan maydonlar bo'yicha algebraik navlarga ta'sir qiluvchi o'ziga xos qiymatlari", Xartshorn, Robin (tahr.), Algebraik geometriya, Arcata 1974 yil, Sof matematikada simpoziumlar to'plami, 29, ISBN  0-8218-1429-X
• Moreno, O. (2001) [1994], "Bombieri-Vayl bog'langan", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
• Rankin, Robert A.; Xardi, G. H. (1939), "Ramanujan funktsiyasi nazariyasiga hissa qo'shgan τ va shunga o'xshash arifmetik funktsiyalar. II. Integral modulli shakllarning Furye koeffitsientlarining tartibi", Kembrij falsafiy jamiyati materiallari, 35 (3): 357–372, Bibcode:1939PCPS ... 35..357R, doi:10.1017 / S0305004100021101, JANOB  0000411
• Ser, Jan-Per (1960), "Analogues kählériens de certaines conjectures de Weil", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, Matematika yilnomalari, jild. 71, № 2, 71 (2): 392–394, doi:10.2307/1970088, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970088, JANOB  0112163
• Ser, Jan-Per (1975), "Valeurs propers des endomorphismes de Frobenius [d'après P. Deligne]", Séminaire Bourbaki jild. 1973/74 ekspozitsiyalari 436-452, Matematikadan ma'ruza matnlari, 431, 190-204-betlar, doi:10.1007 / BFb0066371, ISBN  978-3-540-07023-8
• Verdier, Jan-Lui (1974), "Indépendance par rapport a ℓ des polynômes caractéristiques des endomorphismes de frobenius de la cohomologie b-adique", Séminaire Bourbaki jild. 1972/73 ekspozitsiyalari 418–435, Matematikadan ma'ruza matnlari, 383, Springer Berlin / Heidelberg, 98–115 betlar, doi:10.1007 / BFb0057304, ISBN  978-3-540-06796-2
• Vayl, Andre (1949), "Cheklangan maydonlarda tenglamalar echimlari soni", Amerika Matematik Jamiyati Axborotnomasi, 55 (5): 497–508, doi:10.1090 / S0002-9904-1949-09219-4, ISSN  0002-9904, JANOB  0029393 Oeuvres Scientifiques-da qayta nashr etilgan / Andre Vayl tomonidan to'plangan hujjatlar ISBN  0-387-90330-5
• Witten, Edvard (1982), "Supersimetriya va Morse nazariyasi", Differentsial geometriya jurnali, 17 (4): 661–692, doi:10.4310 / jdg / 1214437492, ISSN  0022-040X, JANOB  0683171, dan arxivlangan asl nusxasi 2013-04-16

Tashqi havolalar