Gomologiya kamayadi - Reduced homology

Yilda matematika, kamaytirilgan homologiya ga qilingan kichik modifikatsiyadir gomologiya nazariyasi yilda algebraik topologiya, biron bir narsani ta'kidlash uchun mo'ljallangan homologiya guruhlari nol. Ushbu o'zgartirish ba'zi bir qator istisno holatlarsiz bayonotlar berish uchun talab qilinadi (Aleksandr ikkilik namuna bo'lish).

Agar P bu bitta nuqtali bo'shliq, keyin odatdagi ta'riflar bilan integral homologiya guruhi

H₀(P)

izomorfik ${ displaystyle mathbb {Z}}$ (an cheksiz tsiklik guruh ) uchun esa men ≥ 1 bizda

H_men(P) = {0}.

Odatda, agar X a soddalashtirilgan kompleks yoki cheklangan CW kompleksi, keyin guruh H₀(X) bo'ladi bepul abeliya guruhi bilan ulangan komponentlar ning X generator sifatida. Qisqartirilgan gomologiya ushbu guruhni o'rnini egallashi kerak r daraja bo'yicha aytaylik r - Aks holda gomologik guruhlar o'zgarishsiz qolishi kerak. An maxsus Buning usuli 0-chi gomologiya sinfini a deb o'ylash emas rasmiy summa ulangan komponentlarning, lekin koeffitsientlar nolga teng bo'lgan bunday rasmiy yig'indisi sifatida.

Ning odatdagi ta'rifida homologiya bo'shliq X, biz zanjir kompleksini ko'rib chiqamiz

${ displaystyle dotsb { overset { kısalt _ {n + 1}} { longrightarrow ,}} C_ {n} { overset { kısalt _ {n}} { longrightarrow ,}} C_ {n -1} { overset { kısalt _ {n-1}} { longrightarrow ,}} dotsb { overset { kısalt _ {2}} { longrightarrow ,}} C_ {1} { overset { kısalt _ {1}} { longrightarrow ,}} C_ {0} { overset { kısalt _ {0}} { longrightarrow ,}} 0}$

va tomonidan gomologik guruhlarni aniqlang ${ displaystyle H_ {n} (X) = ker ( qismli _ {n}) / mathrm {im} ( qismli _ {n + 1})}$.

Qisqartirilgan homologiyani aniqlash uchun biz bilan boshlaymiz ko'paytirildi zanjirli kompleks

${ displaystyle dotsb { overset { kısalt _ {n + 1}} { longrightarrow ,}} C_ {n} { overset { kısalt _ {n}} { longrightarrow ,}} C_ {n -1} { overset { kısalt _ {n-1}} { longrightarrow ,}} dotsb { overset { kısalt _ {2}} { longrightarrow ,}} C_ {1} { overset { kısalt _ {1}} { longrightarrow ,}} C_ {0} { overset { epsilon} { longrightarrow ,}} mathbb {Z} to 0}$

qayerda ${ displaystyle epsilon chap ( sum _ {i} n_ {i} sigma _ {i} right) = sum _ {i} n_ {i}}$. Endi biz kamaytirilgan homologiya guruhlari tomonidan

${ displaystyle { tilde {H_ {n}}} (X) = ker ( qismli _ {n}) / mathrm {im} ( qismli _ {n + 1})}$ ijobiy uchun n va ${ displaystyle { tilde {H}} _ {0} (X) = ker ( epsilon) / mathrm {im} ( qismli _ {1})}$.

Buni ko'rsatish mumkin ${ displaystyle H_ {0} (X) = { tilde {H}} _ {0} (X) oplus mathbb {Z}}$; aniq ${ displaystyle H_ {n} (X) = { tilde {H}} _ {n} (X)}$ barchasi ijobiy n.

Ushbu o'zgartirilgan kompleks bilan qurollangan holda, gomologiyani koeffitsientlar bilan olishning standart usullari tensor mahsuloti, yoki kamaytirilgan kohomologiya guruhlari dan kokain kompleksi yordamida tuzilgan Uy funktsiyasi, qo'llanilishi mumkin.

Adabiyotlar

• Xetcher, A., (2002) Algebraik topologiya Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  0-521-79540-0. Soddalashtirilgan komplekslar va manifoldlar, singular homologiya va boshqalar uchun homologiya nazariyalarini batafsil muhokama qilish.