Riemann - Roch tipidagi teorema - Riemann–Roch-type theorem

Algebraik geometriyada ning turli xil umumlashmalari mavjud Riman-Rox teoremasi; eng mashhurlari orasida Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi, bu Fulton va boshq.

Baum, Fulton va MacPherson tufayli formulalar

Ruxsat bering ${ displaystyle G _ {*}}$ va ${ displaystyle A _ {*}}$ toifadagi funktsiyalar C ajratilgan va asosiy maydon bo'yicha cheklangan turdagi mahalliy sxemalar k bilan tegishli morfizmlar shu kabi

${ displaystyle G _ {*} (X)}$ bo'ladi Grothendieck guruhi ning izchil qirg'oqlar kuni X,
${ displaystyle A _ {*} (X)}$ ratsionaldir Chow guruhi ningX,
har bir to'g'ri morfizm uchun f, ${ displaystyle G _ {*} (f), A _ {*} (f)}$ to'g'ridan-to'g'ri tasvirlar (yoki oldinga surish) f.

Bundan tashqari, agar ${ displaystyle f: X to Y}$ bu (global) mahalliy to'liq kesishma morfizmi; ya'ni, bu yopiq odatiy joylashish omilidir ${ displaystyle X hookrightarrow P}$ silliq sxemaga P keyin silliq morfizm ${ displaystyle P to Y}$ , keyin ruxsat bering

{ displaystyle T_ {f} = [T_ {P / Y} | _ {X}] - [N_ {X / P}]}

Grothendieck vektor to'plamlari guruhiga kiring X; u faktorizatsiyaga bog'liq emas va virtual teginish to'plami ningf.

Keyin Riemann-Roch teoremasi noyob konstruktsiyani tashkil etadi tabiiy o'zgarish:^[1]

{ displaystyle tau: G _ {*} dan A _ {*}} gacha

har bir sxema uchun ikkita funktsiya o'rtasida X yilda C, homomorfizm ${ displaystyle tau _ {X}: G (X) dan A (X)} gacha$ qondiradi: mahalliy to'liq kesishma morfizmi uchun ${ displaystyle f: X to Y}$ , yopiq ko'milgan joylar mavjud bo'lganda ${ displaystyle X subset M, Y subset P}$ silliq sxemalarga,

{ displaystyle tau _ {X} f ^ {*} = operator nomi {td} (T_ {f}) cdot f ^ {*} tau _ {Y}}

qayerda ${ displaystyle operator nomi {td}}$ ga ishora qiladi Todd sinfi.

Bundan tashqari, u quyidagi xususiyatlarga ega:

${ displaystyle tau _ {X} ( beta otimes alpha) = operator nomi {ch} ( beta) tau ( alfa)}$ har biriga ${_ displaystyle alpha in G _ {*} (X)}$ va Chern sinfi ${ displaystyle operatorname {ch} ( beta)}$ (yoki uning harakati) ning ${ displaystyle beta}$ Grothendieck vektor to'plamlari guruhida X.
u X silliq sxemaning yopiq pastki chizig'idir M, keyin teorema (taxminan) teoremaning silliq holatda cheklanishi bo'lib, a nuqtai nazaridan yozilishi mumkin mahalliylashtirilgan Chern sinfi.

Ekvariant Riman-Rox teoremasi

Murakkab sonlar ustida teorema .ning maxsus holati (yoki shunday talqin qilinishi mumkin) ekvariant indeks teoremasi.

Deligne-Mumford uyumlari uchun Rimann-Roch teoremasi

Algebraik bo'shliqlardan tashqari, to'plamlar uchun to'g'ridan-to'g'ri umumlashtirish mumkin emas. Murakkablik allaqachon orbifold holatida paydo bo'ladi (Kavasakining Riman-Roch ).

Sonli guruhlar uchun ekvariant Riman-Roch teoremasi ko'p holatlarda Riman-Roch teoremasiga teng ketma-ket uyumlar cheklangan guruhlar tomonidan.

Teoremaning muhim dasturlaridan biri shundaki, u a ni aniqlashga imkon beradi virtual fundamental sinf jihatidan K- nazariy virtual fundamental sinf.

Izohlar

^ Fulton, Teorema 18.3.

Adabiyotlar

Edidin, Dan (2012-05-21). "Deligne-Mumford stacklari uchun Riemann-Roch". arXiv:1205.4742 [math.AG ].
Uilyam Fulton (1998), Kesishmalar nazariyasi, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2-nashr), Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, JANOB 1644323
Toen, B. (1998-03-17). "Deligne-Mumford staklari uchun Riemann-Roch teoremalari". arXiv:matematik / 9803076.
Bertran, Ten (1999-08-18). "K-nazariyasi va algebraik to'plamlarning kohomologiyasi: Riemann-Roch teoremalari, D-modullar va GAGA teoremalari". arXiv:matematik / 9908097.
Lowrey, Parker; Shyurg, Timo (2012-08-30). "Grotendik-Riman-Roch olingan sxemalar uchun". arXiv:1208.6325 [math.AG ].
Vakil, Matematik 245A Algebraik geometriyadagi mavzular: Algebraik geometriyada kesishmalar nazariyasiga kirish

Shuningdek qarang

Kavasakining Riman-Roch formulasi

Tashqi havolalar

https://mathoverflow.net/questions/25218/why-is-riemann-roch-for-stacks-so-hard

Bu algebraik geometriya bilan bog'liq maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish.

[1] Fulton, Teorema 18.3.

[1]