Riman-Rox teoremasi - Riemann–Roch theorem

The Riman-Rox teoremasi muhim teorema matematika, xususan kompleks tahlil va algebraik geometriya, bo'shliq o'lchamini hisoblash uchun meromorfik funktsiyalar belgilangan nollar bilan va ruxsat berilgan qutblar. Bu ulangan kompleks tahlil bilan bog'liq ixcham Riemann yuzasi sirt topologik jihatdan tur g, faqat algebraik parametrlarga o'tkazilishi mumkin bo'lgan tarzda.

Dastlab isbotlangan Rimanning tengsizligi tomonidan Riman (1857), teorema ishdan keyin Riman sirtlari uchun aniq shaklga keldi Riemann qisqa umr talaba Gustav Roch  (1865 ). Keyinchalik u umumlashtirildi algebraik egri chiziqlar, yuqori o'lchovli navlari va undan tashqarida.

Dastlabki tushunchalar

3-turdagi Riemann yuzasi.

A Riemann yuzasi ${ displaystyle X}$ a topologik makon Bu mahalliy ochiq maydon uchun gomeomorfikdir ${ displaystyle mathbb {C}}$, kompleks sonlar to'plami. Bundan tashqari, o'tish xaritalari Ushbu ochiq pastki to'plamlar o'rtasida bo'lish talab qilinadi holomorfik. Oxirgi holat tushunchalar va usullarni o'tkazishga imkon beradi kompleks tahlil holomorfik va meromorfik funktsiyalar kuni ${ displaystyle mathbb {C}}$ yuzasiga ${ displaystyle X}$. Riman-Roch teoremasi uchun sirt ${ displaystyle X}$ har doim deb taxmin qilinadi ixcham. Og'zaki nutq bilan aytganda, tur ${ displaystyle g}$ Riemann sirtining tutqichlari soni; masalan, Riemann sirtining o'ng tomonida ko'rsatilgan turi uchta. Aniqrog'i, jins birinchisining yarmi sifatida belgilanadi Betti raqami, ya'ni yarmi ${ displaystyle mathbb {C}}$-birinchisi singular homologiya guruh ${ displaystyle H_ {1} (X, mathbb {C})}$ murakkab koeffitsientlar bilan. Jins tasniflaydi ixcham Riemann sirtlari qadar gomeomorfizm, ya'ni, agar ularning jinsi bir xil bo'lsa, bunday ikkita sirt gomomorfikdir. Shuning uchun, bu Riemann sirtining muhim topologik o'zgarmasidir. Boshqa tarafdan, Xoj nazariyasi jinsi bilan mos tushishini ko'rsatadi ${ displaystyle mathbb {C}}$-olomorfik bir shakllar makonining o'lchami ${ displaystyle X}$, shuning uchun ham Riman yuzasi haqida murakkab-analitik ma'lumotlarni kodlaydi.^[1]

A bo'luvchi ${ displaystyle D}$ ning elementidir bepul abeliya guruhi sirtning nuqtalarida. Bunga teng ravishda, bo'linuvchi bu butun son koeffitsientlari bilan sirt nuqtalarining cheklangan chiziqli birikmasidir.

Har qanday meromorfik funktsiya ${ displaystyle f}$ belgilangan bo'linishni keltirib chiqaradi ${ displaystyle (f)}$ sifatida belgilangan

${ displaystyle (f): = sum _ {z _ { nu} in R (f)} s _ { nu} z _ { nu}}$

qayerda ${ displaystyle R (f)}$ ning barcha nollari va qutblari to'plamidir ${ displaystyle f}$va ${ displaystyle s _ { nu}}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle s _ { nu}: = { begin {case} a & { text {if}} z _ { nu} { text {tartibning nolga teng}} a - a & { text {if }} z _ { nu} { text {buyruq qutbidir}} a. end {case}}}$

To'plam ${ displaystyle R (f)}$ chekli ekanligi ma'lum; bu natijadir ${ displaystyle X}$ ixcham bo'lish va (nolga teng bo'lmagan) holomorf funktsiyaning nollari an ga ega emasligi to'planish nuqtasi. Shuning uchun, ${ displaystyle (f)}$ aniq belgilangan. Ushbu shaklning har qanday bo'luvchisi a deb ataladi asosiy bo'luvchi. Bosh bo'linuvchi bilan farq qiladigan ikkita bo'luvchi deyiladi chiziqli ekvivalent. Meromorfikaning bo'luvchisi 1-shakl shunga o'xshash tarzda belgilanadi. Global meromorfik 1-shaklning bo'linuvchisi deyiladi kanonik bo'luvchi (odatda belgilanadi ${ displaystyle K}$). Har qanday ikkita meromorfik 1-shakl chiziqli ekvivalentni hosil qiladi, shuning uchun kanonik bo'luvchi chiziqli ekvivalentga qadar yagona aniqlanadi (shuning uchun "kanonik bo'luvchi").

Belgisi ${ displaystyle deg (D)}$ belgisini bildiradi daraja bo'luvchi (vaqti-vaqti bilan indeks deb ham yuritiladi) ${ displaystyle D}$, ya'ni sodir bo'lgan koeffitsientlar yig'indisi ${ displaystyle D}$. Jahon meromorf funktsiyasining bo'luvchisi har doim 0 darajaga ega ekanligini ko'rsatish mumkin, shuning uchun bo'linish darajasi faqat uning chiziqli ekvivalentlik sinfiga bog'liq.

Raqam ${ displaystyle ell (D)}$ - bu birinchi darajali qiziqish: o'lchov (ustida ${ displaystyle mathbb {C}}$) meromorfik funktsiyalarning vektor makonining ${ displaystyle h}$ barcha koeffitsientlari yuzasida ${ displaystyle (h) + D}$ salbiy emas. Intuitiv ravishda, biz buni barcha meromorfik funktsiyalar deb o'ylashimiz mumkin, ularning qutblari har bir nuqtada tegishli koeffitsientdan yomon emas ${ displaystyle D}$; agar koeffitsient in ${ displaystyle D}$ da ${ displaystyle z}$ manfiy, demak biz buni talab qilamiz ${ displaystyle h}$ hech bo'lmaganda nolga ega ko'plik da ${ displaystyle z}$ - agar koeffitsient ${ displaystyle D}$ ijobiy, ${ displaystyle h}$ eng yuqori darajadagi qutbga ega bo'lishi mumkin. Chiziqli ekvivalentlar uchun vektor bo'shliqlari tabiiy ravishda global meromorfik funktsiya (skalergacha aniq belgilangan) bilan ko'payish orqali izomorfikdir.

Teorema bayoni

Riman-Rox teoremasi ${ displaystyle g}$ kanonik bo'luvchi bilan ${ displaystyle K}$ davlatlar

${ displaystyle ell (D) - ell (K-D) = deg (D) -g + 1.}$

Odatda, raqam ${ displaystyle ell (D)}$ Bu qiziqish, ammo ${ displaystyle ell (K-D)}$ tuzatish muddati (mutaxassislik ko'rsatkichi deb ham ataladi) sifatida qaraladi^[2][3]) shuning uchun teorema aytish bilan taxminan parafrazlangan bo'lishi mumkin

o'lchov − tuzatish = daraja − tur + 1.

Chunki bu vektor makonining o'lchamidir, tuzatish atamasi ${ displaystyle ell (K-D)}$ har doim salbiy emas, shuning uchun

${ displaystyle ell (D) geq deg (D) -g + 1.}$

Bu deyiladi Rimanning tengsizligi. Rochning qismi bayonot - bu tengsizlik tomonlari orasidagi mumkin bo'lgan farqning tavsifi. Jinsning umumiy Riemann yuzasida ${ displaystyle g}$, ${ displaystyle K}$ darajaga ega ${ displaystyle 2g-2}$, bo'luvchini ko'rsatish uchun tanlangan meromorfik shakldan mustaqil ravishda. Bu qo'yishdan kelib chiqadi ${ displaystyle D = K}$ teoremada. Xususan, qancha vaqt bo'lsa ${ displaystyle D}$ kamida darajaga ega ${ displaystyle 2g-1}$, tuzatish muddati 0 ga teng, shuning uchun

${ displaystyle ell (D) = deg (D) -g + 1.}$

Endi teorema past jinsli yuzalar uchun tasvirlangan bo'ladi. Yana bir-biriga yaqin teoremalar mavjud: ushbu teoremaning ekvivalent formulasi chiziqli to'plamlar va uchun teoremani umumlashtirish algebraik egri chiziqlar.

Misollar

Teorema nuqta tanlash orqali tasvirlanadi ${ displaystyle P}$ ko'rib chiqilayotgan yuzada va raqamlar ketma-ketligi to'g'risida

${ displaystyle ell (n cdot P), n geq 0}$

ya'ni, dan tashqari hamma joyda holomorf bo'lgan funktsiyalar makonining o'lchami ${ displaystyle P}$ bu erda funktsiya eng ko'p buyurtma qutbiga ega bo'lishi mumkin ${ displaystyle n}$. Uchun ${ displaystyle n = 0}$, funktsiyalar shunday bo'lishi kerak butun, ya'ni butun yuzada holomorfik ${ displaystyle X}$. By Liovil teoremasi, bunday funktsiya doimiy bo'lishi shart. Shuning uchun, ${ displaystyle ell (0) = 1}$. Umuman olganda, ketma-ketlik ${ displaystyle ell (n cdot P)}$ ortib boruvchi ketma-ketlikdir.

Nolinchi daraja

The Riman shar (shuningdek, deyiladi murakkab proektsion chiziq ) oddiy bog'langan va shuning uchun uning birinchi singular homologiyasi nolga teng. Xususan, uning turi nolga teng. Sfera ikki nusxada qoplanishi mumkin ${ displaystyle mathbb {C}}$, bilan o'tish xaritasi tomonidan berilgan

${ displaystyle mathbb {C} ^ { times} ni z mapsto { frac {1} {z}} in mathbb {C} ^ { times}.}$

Shuning uchun, shakl ${ displaystyle omega = dz}$ bitta nusxada ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ Riman sferasida meromorfik shaklga qadar tarqaladi: u cheksizlikda er-xotin qutbga ega, chunki

${ displaystyle d chap ({ frac {1} {z}} o'ng) = - { frac {1} {z ^ {2}}} , dz.}$

Shunday qilib, uning bo'luvchisi ${ displaystyle K: = operatorname {div} ( omega) = - 2P}$ (qayerda ${ displaystyle P}$ cheksiz nuqtadir).

Shuning uchun teorema ketma-ketlikni aytadi ${ displaystyle ell (n cdot P)}$ o'qiydi

1, 2, 3, ... .

Ushbu ketma-ketlikni nazariyasidan ham o'qish mumkin qisman fraksiyalar. Aksincha, agar ushbu ketma-ketlik shu tarzda boshlanadigan bo'lsa, unda ${ displaystyle g}$ nol bo'lishi kerak.

Bir tur

Torus.

Keyingi holat - bu Riemann turi ${ displaystyle g = 1}$, masalan torus ${ displaystyle mathbb {C} / Lambda}$, qayerda ${ displaystyle Lambda}$ ikki o'lchovli panjara (izomorfik guruh ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$). Uning jinsi bitta: uning birinchi singular homologiyasi guruhi o'ngdagi rasmda ko'rsatilgandek ikkita ko'chadan erkin hosil bo'ladi. Standart kompleks koordinatasi ${ displaystyle z}$ kuni ${ displaystyle C}$ bitta shaklni beradi ${ displaystyle omega = dz}$ kuni ${ displaystyle X}$ bu hamma joyda holomorfik, ya'ni umuman qutblarga ega emas. Shuning uchun, ${ displaystyle K}$, ning bo'luvchisi ${ displaystyle omega}$ nolga teng.

Ushbu sirtda ushbu ketma-ketlik mavjud

1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;

va bu ishni tavsiflaydi ${ displaystyle g = 1}$. Darhaqiqat, uchun ${ displaystyle D = 0}$, ${ displaystyle ell (K-D) = ell (0) = 1}$, yuqorida aytib o'tilganidek. Uchun ${ displaystyle D = n cdot P}$ bilan ${ displaystyle n> 0}$, darajasi ${ displaystyle K-D}$ qat'iy manfiydir, shuning uchun tuzatish muddati 0 ga teng. O'lchamlarning ketma-ketligini ham nazariyasidan olish mumkin elliptik funktsiyalar.

Ikkinchi avlod va undan tashqarida

Uchun ${ displaystyle g = 2}$, yuqorida aytib o'tilgan ketma-ketlik

1, 1, ?, 2, 3, ... .

Bundan ko'rinib turibdiki? 2 daraja muddati, nuqtaga qarab 1 yoki 2 ga teng. Shuni isbotlash mumkinki, har qanday 2-egri chiziqda ketma-ketligi 1, 1, 2, 2, ... bo'lgan oltita nuqta bor va qolgan nuqtalar umumiy ketma-ketlik 1, 1, 1, 2, ... Xususan, 2-egri chiziq a giperelliptik egri chiziq. Uchun ${ displaystyle g> 2}$ ko'p holatlarda ketma-ketlik boshlanishi har doim to'g'ri ${ displaystyle g + 1}$ bittasi va boshqa ketma-ketliklarga ega bo'lgan nuqta juda ko'p (qarang Vaystrasht nuqtalari ).

Riemann – Roch chiziqli to'plamlar uchun

Bo'luvchilar va o'rtasida yaqin yozishmalardan foydalanish holomorfik chiziqli to'plamlar Riemann yuzasida teoremani boshqacha, ammo unga teng keladigan tarzda aytish mumkin: bo'lsin L holomorfik chiziqli to'plam bo'ling X. Ruxsat bering ${ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$ ning holomorfik kesimlari makonini belgilang L. Bu bo'shliq cheklangan o'lchovli bo'ladi; uning hajmi belgilanadi ${ displaystyle h ^ {0} (X, L)}$. Ruxsat bering K ni belgilang kanonik to'plam kuni X. Keyinchalik, Riemann-Roch teoremasi buni ta'kidlaydi

${ displaystyle h ^ {0} (X, L) -h ^ {0} (X, L ^ {- 1} otimes K) = deg (L) + 1-g.}$

Oldingi bo'lim teoremasi qachon bo'lishining alohida holatidir L a nuqta to'plami.

Teoremani mavjudligini ko'rsatish uchun qo'llash mumkin g ning chiziqli mustaqil holomorfik kesimlari K, yoki bir shakllar kuni X, quyidagicha. Qabul qilish L ahamiyatsiz to'plam bo'lishi, ${ displaystyle h ^ {0} (X, L) = 1}$ chunki yagona holomorfik funktsiyalar X doimiydir. Darajasi L nolga teng va ${ displaystyle L ^ {- 1}}$ ahamiyatsiz to'plam. Shunday qilib,

${ displaystyle 1-h ^ {0} (X, K) = 1-g.}$

Shuning uchun, ${ displaystyle h ^ {0} (X, K) = g}$borligini isbotlab g holomorfik bir shakllar.

Kanonik to'plamning darajasi

Kanonik to'plamdan beri ${ displaystyle K}$ bor ${ displaystyle h ^ {0} (X, K) = g}$, Riemann-Roch-ga murojaat qilish ${ displaystyle L = K}$ beradi

${ displaystyle h ^ {0} (X, K) -h ^ {0} (X, K ^ {- 1} otimes K) = deg (K) + 1-g}$

sifatida qayta yozilishi mumkin

${ displaystyle g-1 = deg (K) + 1-g}$

shuning uchun kanonik to'plamning darajasi ${ displaystyle deg (K) = 2g-2}$.

Algebraik egri chiziqlar uchun Riman-Roch teoremasi

Riman yuzalarida bo'linuvchilar uchun Riemann-Roch teoremasining yuqoridagi formulasidagi har bir element analogga ega algebraik geometriya. Riemann sirtining analogi a yagona bo'lmagan algebraik egri chiziq C maydon ustida k. Terminologiyaning farqi (egri va yuzaga nisbatan), chunki Riman sirtining o'lchami haqiqiy ko'p qirrali ikkitasi, ammo biri murakkab ko'p qirrali. Riman sirtining ixchamligi algebraik egri chiziq sharti bilan parallel to'liq, bu borliqqa tengdir loyihaviy. Umumiy maydon bo'yicha k, singular (birgalikda) homologiyaning yaxshi tushunchasi yo'q. Deb nomlangan geometrik tur sifatida belgilanadi

${ displaystyle g (C): = dim _ {k} Gamma (C, Omega _ {C} ^ {1})}$

ya'ni global miqyosda aniqlangan (algebraik) bir shakllar makonining o'lchamlari sifatida (qarang Kähler differentsiali ). Va nihoyat, Riemann sirtidagi meromorfik funktsiyalar mahalliy holomorf funktsiyalarning kasrlari sifatida ifodalanadi. Shuning uchun ular bilan almashtiriladi ratsional funktsiyalar bu mahalliy qismlar muntazam funktsiyalar. Shunday qilib, yozish ${ displaystyle ell (D)}$ o'lchov uchun (tugagan) k) har bir nuqtasida qutblari mos keladigan koeffitsientdan yomon bo'lmagan egri chiziqdagi ratsional funktsiyalar makonining D., xuddi yuqoridagi formulaga amal qiladi:

${ displaystyle ell (D) - ell (K-D) = deg (D) -g + 1.}$

qayerda C - proektsion yagona bo'lmagan algebraik egri chiziq algebraik yopiq maydon k. Darhaqiqat, har qanday maydon bo'yicha proektsion egri chiziqlar uchun xuddi shu formula amal qiladi, faqat bo'luvchi darajasi hisobga olinishi kerak. ko'plik mumkin bo'lgan asosiy maydonning kengaytmalaridan va qoldiq maydonlari bo'linuvchini qo'llab-quvvatlovchi nuqta.^[4] Va nihoyat, to'g'ri egri chiziq uchun Artinian uzuk, bo'luvchi bilan bog'langan chiziqlar to'plamining Eyler xarakteristikasi bo'linish darajasi (tegishli ravishda belgilangan) va tuzilish pog'onasining Eyler xarakteristikasi bilan berilgan. ${ displaystyle { mathcal {O}}}$.^[5]

Teoremadagi silliqlik farazini ham yumshatish mumkin: algebraik yopiq maydon bo'ylab (proektsion) egri uchun, ularning barcha mahalliy halqalari Gorenshteyn jiringlaydi, yuqorida aytilgan geometrik turni bilan almashtirilishi sharti bilan, yuqoridagi kabi bayonot amal qiladi arifmetik tur g_asifatida belgilanadi

${ displaystyle g_ {a}: = dim _ {k} H ^ {1} (C, { mathcal {O}} _ {C}).}$^[6]

(Tekis egri chiziqlar uchun geometrik tur arifmetikaga mos keladi.) Shuningdek, teorema umumiy singular egri chiziqlarga (va yuqori o'lchovli navlarga) ham kengaytirilgan.^[7]

Ilovalar

Hilbert polinomi

Riemann-Rochning muhim oqibatlaridan biri bu hisoblash uchun formulani berishdir Hilbert polinomi egri chiziqdagi chiziqli to'plamlar. Agar chiziq to'plami bo'lsa ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ etarli, keyin Hilbert polinomasi birinchi darajani beradi ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { otimes n}}$ proektsion makonga joylashishni ta'minlash. Masalan, kanonik sheaf ${ displaystyle omega _ {C}}$ darajaga ega ${ displaystyle 2g-2}$, bu jinslar uchun juda ko'p chiziqli to'plamni beradi ${ displaystyle g geq 2}$^[8]. Agar biz o'rnatgan bo'lsak ${ displaystyle omega _ {C} (n) = omega _ {C} ^ { otimes n}}$ keyin Riemann-Roch formulasi o'qiladi

${ displaystyle { begin {aligned} chi ( omega _ {C} (n)) & = deg ( omega _ {C} ^ { otimes n}) - g + 1 & = n ( 2g-2) -g + 1 & = 2ng-2n-g + 1 & = (2n-1) (g-1) end {hizalanmış}}}$

Darajani berish ${ displaystyle 1}$ Ning Hilbert polinomi ${ displaystyle omega _ {C}}$

${ displaystyle H _ { omega _ {C}} (t) = 2 (g-1) t-g + 1}$

Chunki tri-kanonik sheaf ${ displaystyle omega _ {C} ^ { otimes 3}}$ egri chiziqni, Hilbert polinomini kiritish uchun ishlatiladi

${ displaystyle H_ {C} (t) = H _ { omega _ {C} ^ { otimes 3}} (t)}$

odatda qurish paytida ko'rib chiqiladi Egri chiziqlarning Hilbert sxemasi (va algebraik egri chiziqlarning modullari ). Ushbu polinom

${ displaystyle { begin {aligned} H_ {C} (t) & = (6t-1) (g-1) & = 6 (g-1) t + (1-g) end {aligned}} }$

va deyiladi G egri chiziqning Hilbert polinomi.

Plurikanonik ko'mish

Ushbu tenglamani yanada tahlil qilib, Eyler xarakteristikasi quyidagicha o'qiydi

${ displaystyle { begin {aligned} chi ( omega _ {C} ^ { otimes n}) & = h ^ {0} left (C, omega _ {C} ^ { otimes n} o'ng) -h ^ {0} chap (C, omega _ {C} otimes chap ( omega _ {C} ^ { otimes n} right) ^ { vee} right) & = h ^ {0} chap (C, omega _ {C} ^ { otimes n} o'ng) -h ^ {0} chap (C, chap ( omega _ {C} ^ { otimes) (n-1)} o'ng) ^ { vee} o'ng) end {hizalanmış}}}$

Beri ${ displaystyle deg ( omega _ {C} ^ { otimes n}) = n (2g-2)}$

${ displaystyle h ^ {0} chap (C, chap ( omega _ {C} ^ { otimes (n-1)} o'ng) ^ { vee} o'ng) = 0}$

uchun ${ displaystyle n geq 3}$, chunki uning darajasi hamma uchun salbiydir ${ displaystyle g geq 2}$, uning global bo'limlari yo'qligini nazarda tutgan holda, global bo'limlardan ba'zi proektsion makonga joylashtirilgan ${ displaystyle omega _ {C} ^ { otimes n}}$. Jumladan, ${ displaystyle omega _ {C} ^ { otimes 3}}$ ichiga joylashtiradi ${ displaystyle mathbb {P} ^ {N} cong mathbb {P} (H ^ {0} (C, omega _ {C} ^ { otimes 3}))}$ qayerda ${ displaystyle N = 5g-5-1 = 5g-6}$ beri ${ displaystyle h ^ {0} ( omega _ {C} ^ { otimes 3}) = 6g-6-g + 1}$. Bu qurilishida foydalidir Algebraik egri chiziqlar moduli chunki uni qurish uchun proektsion makon sifatida foydalanish mumkin Hilbert sxemasi Hilbert polinom bilan ${ displaystyle H_ {C} (t)}$^[9].

Yakkalik xususiyatlarga ega tekislik egri chiziqlari turi

Darajaning algebraik egri chizig'i d bor (d − 1)(d − 2)/2 − g o'ziga xoslik, to'g'ri hisoblanganda. Bundan kelib chiqadiki, agar egri chiziq (d − 1)(d - 2) / 2 xil o'ziga xoslik, bu a ratsional egri chiziq va shunday qilib, ratsional parametrlashni tan oladi.

Riemann-Xurvits formulasi

The Riman-Xurvits formulasi Riemann sirtlari yoki algebraik egri chiziqlar orasidagi (kengaytirilgan) xaritalar Riman-Roch teoremasining natijasidir.

Maxsus bo'luvchilar haqidagi Klifford teoremasi

Maxsus bo'luvchilar haqidagi Klifford teoremasi bu ham Riman-Roch teoremasining natijasidir. Unda aytilishicha, maxsus bo'linuvchi uchun (ya'ni, shunday) ${ displaystyle ell (K-D)> 0}$) qoniqarli ${ displaystyle ell (D)> 0,}$ quyidagi tengsizlik mavjud:^[10]

${ displaystyle ell (D) leq { frac { deg D} {2}} + 1.}$

Isbot

Algebraik egri chiziqlar bayonoti yordamida isbotlanishi mumkin Serre ikkilik. Butun son ${ displaystyle ell (D)}$ global bo'limlari makonining o'lchamidir chiziq to'plami ${ displaystyle { mathcal {L}} (D)}$ bilan bog'liq D. (qarz Cartier bo'luvchisi ). Xususida sheaf kohomologiyasi, shuning uchun bizda bor ${ displaystyle ell (D) = mathrm {dim} H ^ {0} (X, { mathcal {L}} (D))}$va shunga o'xshash ${ displaystyle ell ({ mathcal {K}} _ {X} -D) = dim H ^ {0} (X, omega _ {X} otimes { mathcal {L}} (D) ^ { vee})}$. Biroq, egri chiziqning alohida holatida yagona bo'lmagan proektsion navlar uchun Serre ikkilikligi buni ta'kidlaydi ${ displaystyle H ^ {0} (X, omega _ {X} otimes { mathcal {L}} (D) ^ { vee})}$ ikkilamchi uchun izomorfdir ${ displaystyle H ^ {1} (X, { mathcal {L}} (D)) ^ { vee}}$. Chap tomon shu bilan tenglashadi Eyler xarakteristikasi bo'luvchi D.. Qachon D. = 0, biz qatlamning tuzilishi uchun Eyler xarakteristikasini topamiz ${ displaystyle 1-g}$ ta'rifi bo'yicha. Umumiy bo'luvchi uchun teoremani isbotlash uchun bo'linuvchiga birma-bir nuqtalarni qo'shib, Eyler xarakteristikasining o'ng tomonga qarab o'zgarishini ta'minlash mumkin.

Riemann ixcham sirtlari uchun teoremani algebraik versiyadan foydalanish mumkin Chou teoremasi va GAGA printsipi: aslida har bir ixcham Rimann yuzasi ba'zi bir murakkab proektsion fazadagi algebraik tenglamalar bilan belgilanadi. (Chou teoremasi proektsion makonning har qanday yopiq analitik kichik o'zgaruvchanligi algebraik tenglamalar bilan belgilanadi va GAGA printsipi algebraik xilma-xillik kogomologiyasi xuddi shu tenglamalar bilan aniqlangan analitik navning sheaf kogomologiyasi bilan bir xil ekanligini aytadi).

Riman-Roch teoremasining umumlashtirilishi

The Egri chiziqlar uchun Riemann-Roch teoremasi Riemann sirtlari uchun 1850-yillarda Riemann va Roch tomonidan va algebraik egri chiziqlar uchun Fridrix Karl Shmidt 1931 yilda u ishlayotganda mukammal maydonlar ning cheklangan xarakteristikasi. Tomonidan aytilganidek Piter Roket,^[11]

F. K. Shmidtning birinchi asosiy yutug'i Riman-Rochning ixcham Riman yuzalaridagi klassik teoremasini cheklangan tayanch maydoni bo'lgan funktsional maydonlarga o'tkazish mumkinligini kashf etishdir. Aslida uning Riemann-Roch teoremasini isboti cheklangan emas, balki ixtiyoriy mukammal bazalar uchun ishlaydi.

Keyingi egri chiziqlar nazariyasi u bergan ma'lumotni takomillashtirishga harakat qilishi ma'nosida asoslidir (masalan Brill-Noeter nazariyasi ).

Yuqori o'lchamdagi versiyalar mavjud (tegishli tushunchasi uchun) bo'luvchi, yoki chiziq to'plami ). Ularning umumiy formulasi teoremani ikki qismga bo'lishiga bog'liq. Bittasi, endi uni chaqirish mumkin Serre ikkilik, sharhlaydi ${ displaystyle ell (K-D)}$ muddat birinchining o'lchovi sifatida sheaf kohomologiyasi guruh; bilan ${ displaystyle ell (D)}$ teoremaning chap tomoni nol kohomologiya guruhining o'lchami yoki bo'limlar maydoni Eyler xarakteristikasi va uning o'ng tomoni uni a sifatida hisoblash daraja Rimann yuzasi topologiyasiga muvofiq tuzatilgan.

Yilda algebraik geometriya Ikkinchi o'lchovning bunday formulasi italyan maktabining geometrlari; a Riemann-Roch sirtlari uchun teorema isbotlandi (bir nechta versiyalari mavjud, ehtimol birinchisi tufayli bo'lishi mumkin Maks Neter ).

An n- o'lchovli umumlashtirish, Xirzebrux – Riman-Rox teoremasi tomonidan topilgan va isbotlangan Fridrix Xirzebrux, ning ilovasi sifatida xarakterli sinflar yilda algebraik topologiya; unga juda katta ta'sir ko'rsatdi Kunihiko Kodaira. Taxminan bir vaqtning o'zida Jan-Per Ser Serre ikkilanishining umumiy shaklini berayotgan edi, biz hozir buni bilamiz.

Aleksandr Grothendieck 1957 yilda keng miqyosda umumlashtirilishini isbotladi, hozirda Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi. Uning asarlari Riemann-Rochni nav haqidagi teorema sifatida emas, balki ikki nav o'rtasidagi morfizm haqida qayta sharhlaydi. Dalillarning tafsilotlari tomonidan nashr etilgan Armand Borel va Jan-Per Ser 1958 yilda.^[12] Keyinchalik Grothendieck va uning hamkorlari dalillarni soddalashtirdilar va umumlashtirdilar.^[13]

Va nihoyat uning umumiy versiyasi topildi algebraik topologiya ham. Ushbu o'zgarishlar asosan 1950-1960 yillarda amalga oshirildi. Shundan so'ng Atiya - Singer indeks teoremasi umumlashtirishga yana bir yo'l ochdi. Binobarin, a uchun Eyler xarakteristikasi izchil sheaf oqilona hisoblash mumkin. O'zgaruvchan sum ichida faqat bitta chaqiriq uchun, masalan, boshqa dalillar yo'qolib borayotgan teoremalar ishlatilishi kerak.

Shuningdek qarang

• Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi
• Xirzebrux – Riman-Rox teoremasi
• Kavasakining Riman-Roch formulasi
• Hilbert polinomi
• Algebraik egri chiziqlar moduli

Izohlar

Adabiyotlar

• Borel, Armand va Serre, Jan-Per (1958), Le thééréme de Riemann-Roch, d'après Grothendieck, Bull.S.M.F. 86 (1958), 97-136.
• Griffits, Fillip; Xarris, Jozef (1994), Algebraik geometriya asoslari, Wiley Classics kutubxonasi, Nyu-York: John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118032527, ISBN  978-0-471-05059-9, JANOB  1288523
• Grothendieck, Aleksandr va boshqalar. (1966/67), Théorie des chorrahalari va Théorème de Riemann-Roch (SGA 6), LNM 225, Springer-Verlag, 1971.
• Fulton, Uilyam (1974). Algebraik egri chiziqlar (PDF). Matematikadan ma'ruza matnlari seriyasi. V.A Benjamin. ISBN  0-8053-3080-1.
• Jost, Yurgen (2006). Riemannning ixcham yuzalari. Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-33065-3. Murakkab vaziyatning isboti uchun 208-219-betlarni ko'ring. E'tibor bering, Jost biroz boshqacha yozuvlardan foydalanadi.
• Xartshorn, Robin (1977). Algebraik geometriya. Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90244-9. JANOB  0463157. OCLC  13348052., algebraik yopiq maydon egri chiziqlari uchun bayonotni o'z ichiga oladi. IV.1 bo'limiga qarang.
• "Riman-Rox teoremasi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• Xirzebrux, Fridrix (1995). Algebraik geometriyadagi topologik usullar. Matematikadan klassikalar. Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-58663-0. JANOB  1335917.. Yaxshi umumiy zamonaviy ma'lumotnoma.
• Shigeru Mukai (2003). Invariants va moduliga kirish. Kembrij ilg'or matematikada o'qiydi. 81. Uilyam Oksberi (tarjima). Nyu-York: Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  0-521-80906-1.
• Kompakt Riemann yuzalarida vektorli to'plamlar, M. S. Narasimxon, 5-6 betlar.
• Riman, Bernxard (1857). "Theorie der Abel'schen Functionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1857 (54): 115–155. doi:10.1515 / crll.1857.54.115. hdl:2027 / coo.31924060183864. S2CID  16593204.
• Roch, Gustav (1865). "Ueber algebraischen Functionen-da Anzahl der willkurliclic Konstantenni o'ladi". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1865 (64): 372–376. doi:10.1515 / crll.1865.64.372. S2CID  120178388.
• Shmidt, Fridrix Karl (1931), "Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik p", Mathematische Zeitschrift, 33: 1–32, doi:10.1007 / BF01174341, Zbl  0001.05401, dan arxivlangan asl nusxasi 2017-12-22 kunlari, olingan 2020-05-16
• Stixenot, Xenning (1993). Algebraik funktsiyalar maydonlari va kodlari. Springer-Verlag. ISBN  3-540-56489-6.
• Misha Kapovich, Rimann-Roch teoremasi (ma'ruza bayoni) boshlang'ich kirish
• J. Grey, The Riman-Roch teoremasi va geometriya, 1854–1914.
• Ixtiyoriy maydon bo'ylab proektsion egri chiziqlar uchun Riemann-Roch bormi? kuni MathOverflow